VERİ GÖSTERİMİ Veri Tipleri İkili bilgiler bilgisayar içinde bellek veya işlemci yazaçlarında saklanır. Yazaçlar veri ve denetim bilgileri içerirler.
Sayısal bilgisayarlarda bulunan veri tipleri aşağıdaki sınıflardan birine girer. 1. Aritmetik işlemlerde kullanılan sayılar, 2. Veri işlemlerinde kullanılan alfabenin harfleri 3. Özel amaçlarla kullanılan diğer ayrık semboller.
İkili sayaçlar hariç tüm veri tipleri bilgisayar yazaçlarında ikili kodlanmış olarak bulunur. Çünkü yazaçlar yaz-bozlardan oluşmuştur ve yaz-bozlar ise 2 durumlu birimler olup 1 ve 0 saklayabilirler
Sayı Sistemleri Bir sayı sisteminin tabanı r dir. Farklı r tane rakam kullanılır. Her bir rakam r nin bir tamsayı üssü ile çarpılır. Bu da bulunduğu basamağın sayısıdır. Örneğin 10 tabanının sembolleri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 dur.
Örnek:724,5 7x10 2 +2x10 1 +4x10 0 +5x10-1
İkili (101101) 2 =(1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 )=(45) 10
Sekizlik Onaltılık Sekizlik sistemin sembolleri= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Onaltılık sistemin sembolleri= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E (736,4) 8 =(7x8 3 +3x2 2 +3x8 1 +6x8 0 +4x8-1 )=(478,5) 10 (F3) 16 =15x16 1 +3x16 0 =(243) 10
Ondalık 41.6875 sayısının ikiliye dönüşümü 41 20 1 10 0 5 0 2 1 1 0 0 1 0.6875 2 1.3750 2 0.7500 2 1.5000 2 1.0000 (41.6875) 10 =(101001.1011) 2 Dönüşüm
Sekizlik ve Onaltılık Sayılar 1 2 7 5 4 3 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 A F 6 3
Sekizlik sayı İkili kodlanmış sekizlik 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 10 11 12 24 62 143 370 001 000 001 001 001 010 010 100 110 010 001 100 011 011 111 000 Ondalık denkliği 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 99 248 İkili kodlanmış sekizlik sayılar
Onaltılık sayı İkili kodlanmış onaltılık 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F 1111 14 32 63 F8 0001 0100 0011 0010 0110 0011 1111 1000 İkili kodlanmış onaltılık sayılar Ondalık denkliği 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 50 99 248
BCD Gösterim Ondalık sayı 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 99 248 BCD sayı 0001 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0001 0000 0010 0000 0101 0000 1001 1001 0010 0100 1000 BCD sayılar
Karakter, ASCII Sayısal bilgisayar sistemlerinde alfasayısal kümede 10 rakam, büyük ve küçük harfler ve özel karakterler yer almaktadır. Bunlar da 32 ile 128 arasında yer almaktadır. Bu durumda bunların ifadesi için 7 bite ihtiyaç vardır. Dikkat edilirse rakamlardan ASCII ye BCD den dönüştürülürken en önemli bitleri 011 olmaktadır.
Karakter İkili Kod Karakter İkili Kod A 100 0001 0 011 0000 B 100 0010 1 011 0001 C 100 0011 2 011 0010.. ASCII karakterleri
Tümleyenler Tümleyenler sayısal bilgisayarlarda çıkarma işlemlerini ve mantıksal işlemlerin yapılmasını basitleştirir. İki tür tümleyen vardır. Bunlar r ve (r-1) dir. r ye göre tümleyen 2 ise r-1 e göre tümleyen 1 olur.
(r-1) e Göre Tümleyen r tabanında n rakamlık bir N sayısının (r-1) e göre tümleyeni alınırken (r n -1)-N den hesaplanır. Örneğin n=4 alındığında (r n -1)=(10 4-1)=10000-1=9999 bulunur. Burada n sayıda 9 bulunmaktadır. Bir ondalık sayının 9 a göre tümleyeni her bir terim 9 dan çıkarılarak elde edilir. 546700 ün tümleyeni 999999-546700=453299 elde edilir. İkilik tabanda 1011001 sayısının 1 e göre tümleyeni 0100110 dır.
r ye Göre Tümleyen r n -N=[(r n -1)-N]+1 olur. Örnek: 2389 sayısının 10 a göre tümleyeni 7610+1 dir.
İşaretsiz Sayılarda Çıkarma Bilgisayarda r tabanındaki n rakamlık iki işaretsiz sayının çıkarma işlemi M-N (N 0) şeklinde gösterilir. Aşağıdaki yolla yapılır. 1. Eksiltilen M ile çıkartılan N in r ye göre tümleyeni toplanır. Bu işlem M+(r n -N)=M-N+r n dir. 2. Eğer M N ise elde toplamdan r çıkarılarak çıkarma sonucu M-N bulunur. 3. Eğer M<N ise toplam üzerinde son elde ile ilgili işlem yapılmaz. Çıkan toplamın r ye göre tümleyeni alınır ve sonuç bunun negatif değerine eşittir.
Örnek olarak 73532-13250=59282 dir. Bunu tümleyen ile yaparsak, 13250 nin 10 a göre tümleyeni 86750 dir. M= 72532 N in 10 a göre tümleyeni= + 86750 Toplam= 159282 10 5 son elde atmak için= - 100000 Cevap= 59282
M<N olursa; M=13250 N=72532 M= 13250 N in 10 a göre tümleyeni= + 27468 Toplam= 40718 Cevap negatif 59282=40718 in 10 a göre tümleyenidir.
Örnek: X=1010100 ve Y=1000011 alınsın. 2 ye göre tümleyen X-Y ve Y-X bulunursa; X= 1010100 Y nin 2 ye göre tümleyeni= + 0111101 Toplam= 10010001 2 7 son elde atıldığında= - 10000000 Cevap: X-Y= 0010001
Y= 1000011 X in 2 ye göre tümleyeni= - 0101100 Toplam= 1101111 Son elde yoktur. Toplamın 2 ye göre tümleyeninin negatifi alınırsa cevap 0010001 bulunur.
Sabit Nokta Gösterimi İkili veya ondalık noktalı sayılar işaretleri ile toplanır. Tamsayıların, kesirli sayıların, tam veya kesirli sayıların gösterilmesinde ikili noktanın yerine ihtiyaç vardır. Bir yazaçtaki ikili noktanın yerini göstermek için iki yol vardır: bir sabit pozisyon verilerek ya da bir kayan nokta gösterimi kullanarak. Sabit nokta yönteminde ikili noktanın her zaman sadece bir sabit pozisyonun olduğu varsayılır. Nokta ya en sola ya da en sağa konur. Böylece yeri sabit olur. Kayan noktalı sayıları saklamak için iki yazaç kullanılır. Ondalık noktanın ilk yazaçta olduğu kabul edilir.
Tamsayı Gösterim Bir ikili tamsayı pozitif olduğunda işareti 0, negatif olduğunda işareti 1 ile gösterilir. Bir sayının 3 farklı gösterimi olabilir. 1. İşaretli normal ikili 2. İşaretli 1 e göre tümleyen 3. İşaretli 2 ye göre tümleyen Pozitif sayılar sadece 1. şekilde, negatif sayılar ise 3 şekilde de gösterilebilir.
Örnek: 8 bit yazaçta 14 sayısı depolanmak istendiğinde: +14: 00001110-14: İşaretli normal ikili: 1 0001110 İşaretli 1 e göre tümleyen: 1 1110001 İşaretli 2 ye göre tümleyen: 1 1110010
Aritmetik Toplama İki sayının işareti aynı ise, toplanarak çıkan sonuca aynı işaret konmaktadır. Eğer farklı ise mutlak değerce büyük sayıdan küçük olan çıkarılır ve sonuca mutlak değerce büyük olan sayının işareti verilir. Bu da beraberinde karışık devreleri ve karışık denetimleri getirir. Bu olay 2 ye göre tümleyen çok basit bir hal alır. Bu durumda kıyaslama ve çıkarma işlemine gerek olmayıp, sadece toplama ve tümleyen alma işlemine gerek vardır.
+6 00000110 +13 00001101 +19 00010011-6 11111010 +13 00001101 +7 00000111 +6 00000110-13 11110011-7 11111001 Negatif sayılar ikiye göre tümleyen olarak tanımlandığında onu pozitif sayıya dönüştürmek mümkündür. -6 11111010-13 11110011-19 11101101
Aritmetik Çıkarma İşaretli sayılar eğer işaret bitiyle birlikte 2 ye göre tümleyeni olarak verilmişse çıkarılması kuralı: çıkanın, 2 ye göre tümleyeni alıp (işaret bit dahil) bunu işaret biti dahil çıkarılana eklemek. Örnek: -6 (-13)=+7-6 11111010 11111010-13 11110011 00001101 (2 ye göre tümleyen) 1 00000111 İşaret bitinin solundaki bit atıldığında +7 bulunur.
Taşma n rakamlı iki sayının toplamı n+1 rakamlıdır. Bu durumda taşma meydana gelir. Bu durum işaretli ve işaretsiz tüm sayılarda ortaya çıkar. Taşma farklı işaretli sayılarda meydana gelmez, aynı işaretli sayılarda meydana gelir. Taşmanın varlığı işaret biti ile bundan taşan eldenin aynı olup olmamasından anlaşılır. Bu da ÖZEL-VEYA kapısıyla ortaya çıkar.
Ondalık Sabit Nokta Gösterimi BCD gösterim verilen bir sayının her rakamının ayrı ayrı 4 er bit ile gösterilmesidir. Örnek: 4385 0100 0011 1000 0101 BCD deki işaretli ondalık sayıların gösterimi, ikilideki işaretli sayıların gösterimine benzer. Genellikle + işareti yerine 0000, - işareti yerine de 1001 kullanılır. Örnek: (+375)+(-240)=+135 0 375 0000 0011 0111 0101 9 760 1001 0111 0110 0000 0 135 0000 0001 0011 0101 9760 0240 ın 10 a göre tümleyenidir.
Kesir, Üs Bir sayının kayan noktalı gösterimi iki bölümden oluşur. İlk bölüm işaretli bir sabit noktalı sayıdır ve kesir adını alır. İkinci bölüm ondalık (veya ikili) noktanın yerini gösterir ve üs olarak adlandırılır. Örnek: +6132,789 +0,6132789 (kesir) +04 (üs) olarak gösterilir. Burada üssün değeri, bize ondalık düzende noktanın gerçek yerinin kesirde gösterilenden 4 basamak daha sağda olacağını gösterir. Örnek: +1001,11 sayısı 8 bit kesir ve 6 bit üs olarak şu şekilde gösterilir. +1001,11 01001110 (kesir) 000100 (üs) Kesrin pozitif olduğunu göstermek için en soldaki biti 0 yapılmıştır.
Normalizasyon Eğer bir kayan noktalı sayının kesrinin en önemli basamağı sıfırdan farklı ise bu sayı normalize edilmiştir. Örnek: 350 normalizedir fakat 00035 normalize değildir. 00011010 ikili sayısı normalize değildir. 3 bit sola kaydırılarak 11010000 elde edilir. Bu sayı normalizedir.
Diğer İkili Kodlar Gray Kodu Gray kodu nda kendine karşı düşen dizi bir sonraki terime geçtiğinde sadece 1 biti değişikliğe uğramaktadır. Gray Kodu 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000 Ondalık Karşılığı 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Gray kodu sayıcıları, bazen sayısal sistemlerde işlemleri denetleyen zamanlama dizilerini sağlamak amacıyla da kullanılmaktadır
Diğer Ondalık Kodlar BCD nin dezavantajı 9 a göre tümleyeninin hesaplanmak istenildiğinde karşılaşılan güçlüktür. Diğer yandan 2421 ve Excess-3 kodlarında bu tümleyen işlemi kolayca gerçekleştirilebilir. 2421 kodu ağırlıklı kodlara örnektir. Örneğin 1101 bir birleşimi sıra ile olur. BCD kodlamaya bazen 8421 ağırlıklı kod da denmektedir. Excess-3 kodu daha eski bilgisayarlarda kullanılan bir ondalık koddur. Ağırlıksızdır. Bir basamağın Excess-3 kodu ona karşılık düşen BCD koduna 3 eklenerek elde edilir.
Ondalık Rakam BCD 8421 2421 Excess-3 Excess-3 Gray 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 Tanımlanm ış Bit Birleşimi 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1101 1110 1111 0000 0001 0010 0000 0001 0011 1000 1001 1011
Hata Bulma Kodları İkili bilgiler iletişim ortamlarında taşınırken, dışarıdan gelen (gürültülere) etkilere bağlı olarak bazı bitler 1 den 0 a, 0 dan 1 e karşılıklı olarak değişir. Bir hata bulma kodu ile bu hatalar taşınma esnasında bulunabilir. Fakat düzeltilemez
Eşlik Biti Çoğu hata bulma kodları eşlik bitlerini kullanır. Bir eşlik biti, ikili mesaj ile birlikte bir ilave bit içerir. Eşlik bit ikili mesajdaki 1 lerin toplamına göre değer alır. 3 bitlik bir mesaj ve iki mümkün eşlik biti aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Eşlik üreteci ve denetleyici ağı ÖZEL-VEYA fonksiyonlarından oluşan bir mantık devresidir. ÖZEL-VEYA fonksiyonu üç veya daha fazla değişken için tanımlanan bir tek fonksiyondur. Tek fonksiyon bir mantıksal fonksiyondur. Tek sayıdaki değişkenlerin değeri 1 ise bu fonksiyonun değeri 1 dir. Bu tanımlamaya göre P(çift) fonksiyonu x, y, z değişkenlerinden herhangi ikisi 1 olduğunda 1 değerini alır. P(tek) fonksiyonu P(çift) fonksiyonunun tümleyenidir.
Mesaj xyz 000 001 010 011 100 101 110 111 P(tek) 1 0 0 1 0 1 1 0 P(çift) 0 1 1 0 1 0 0 1
Tek eşlik biti ile hata bulma