Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Transkript

1 * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

2 SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q şeklinde ifade edilemeyen sayılar } Reel Sayılar R=QUI N Z Q R

3 a ve b iki reel sayı ve a<b olsun. {x R: a<x<b} şeklinde tanımlanan reel sayı kümesine a ve b sayıları ile belirtilen açık aralık denir ve (a,b) şeklinde gösterilir. {x R: a x b} şeklinde tanımlanan reel sayı kümesine a ve b sayıları ile belirtilen kapalı aralık denir ve [a,b] şeklinde gösterilir. (a,b]={x R: a<x b} [a,b)={x R: a x<b} yarı açık aralık denir.

4 a ve b sayısı iki reel sayı olsun. a + r = b olacak şekilde pozitif bir r sayısı mevcut ise; a sayısı b den küçüktür veya b sayısı a dan büyüktür denir ve a<b ile gösterilir.

5 Teorem: 1) a0 ise a.c<b.c 4) ab.c 5) a0 ise 1 a > 1 b 6) a0 ise a c b c

6 EBOB / OBEB En Büyük Ortak Bölendir Ortak Bölenlerin En Büyüğü Büyük parçalardan küçük küçük parçalar elde ediliyorsa yani büyükten küçüğe gidiliyorsa ebob/obeb bulunur. Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak bölen sayılar çarpılıp ebob/obeb bulunur. Örnek: 80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki demir çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla kaç cm olur? ebob/obeb (80,120) = = 40 cm

7 EKOK / OKEK En Küçük Ortak Kat Ortak Katların En Küçüğü Küçük küçük parçalardan büyük parçalar elde ediliyorsa yani küçükten büyüğe gidiliyorsa ekok/okek bulunur. Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır, bölenlerin hepsi çarpılır ekok/okek bulunur. Örnek: Bir hastanede hasta yatakları katlara 4'er, 5'er, 6'şar olarak dağıtıldığında her defasında 1 yatak artıyor. Buna göre, en az kaç tane yatak vardır? ekok/okek (4,5,6) = = = 61 yatak

8 MUTLAK DEĞER Bir a reel sayısının mutlak değeri, = + a, a > 0 a = - a, a < 0 şeklinde tanımlanır. a ister negatif ister pozitif olsun tanıma göre a daima pozitiftir. Ayrıca a 2 = a 2 ve a = a 2 yazılabilir. Mutlak değer, sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını ölçer.

9 Teorem: a 0 a a a a = a ve a b = b a a b a + b a + b a. b = a. b a n = a n a = a, b 0 olmak üzere b b Her p pozitif sayısı için, a = p ise a = p veya a = p a p ise a p

10 ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR a herhangi bir sayı ve n pozitif bir tamsayı olmak üzere; a. a. a a çarpımına a nın n-inci dereceden kuvveti denir n tane ve a n olarak gösterilir. a 0 olmak üzere a n = 1 ve a n a0 = 1 olarak tanımlanır.

11 Buna göre; 2 4 = = 16 ( 2) 3 = = = = = olur. 7 0 = 20 0 = ( 10) 0 = 1

12 Teorem: a, b R + ve m, n N için a m. a n = a m+n am a n = am n (a 0) (a m ) n = a m.n (a. b) n = a n. b n Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

13 n bir tamsayı ve a reel bir sayı olmak üzere, 1) ( a) 2n = a 2n ifadesi daima pozitiftir. 2) ( a 2n ) = a 2n ifadesi daima negatiftir. 3) ( a) 2n+1 = a 2n+1 ifadesi a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.

14 a 0 ve n herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere, n-inci kuvveti a olan bir tek pozitif reel sayı vardır. a nın n-inci kuvvetten kökü denilen bu sayı n a ile gösterilir. Teorem: a, b R + ve m, n N için n a n = a

15 n a. b = n a n b n a b = n a n b, (b 0) m n a = m.n a Eğer n tek ise, a nın negatif değerleri içinde n a tanımlanabilir. Bu durumda n a, n- inci kuvveti a olan bir negatif sayıdır. 3 8 = = = 1

16 Verilen bir köklü sayıyı kökten kurtarmak için çarptığımız sayıya, verilen köklü sayının eşleniği adı verilir. Bazı köklü sayıların eşleniği aşağıdaki gibidir; a eşleniği a a + b eşleniği a b a + b eşleniği a b a + b eşleniği a b a b + c eşleniği a b c Not: Eşlenik çarpımı sonucu iki kare farkı elde edilir. a + b. a b = a 2 b 2

17 İÇ İÇE KÖKLER m a n b k c = m.n.k. a n.k. b k. c m n k a = m.n.k. a a. a. a a = a 2n n tane a

18 SONSUZ KÖKLER n a. n a. n a = n 1 a n a: n a: n a: = n+1 a n a. m a. n a. m a = m.n 1 a m+1 n a. m b. n a. m b = m.n 1 a m. b n a + n a + n a + = n a n a n a = 1+ 4a a+1 2

19 1) 1 x = 2 ise x=? 7) (32) 4Τ5. (16) 5Τ4 işleminin sonucunu hesaplayınız. 2) x 1 3 ise x in aralığını bulunuz. 8) 12 3 =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 3) 3x + 12 > 0 ise x in aralığını bulunuz. 9) = a 27 ise a nın değerini hesaplayınız. 4) =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 10) hesaplayınız. =? işleminin sonucunu 5) 0,00001 =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 11) hesaplayınız. 6 işleminin sonucunu 6) (8a 6 ) 4Τ3 işleminin sonucunu hesaplayınız. 1 12) işleminin sonucunu hesaplayınız.

20 CEBİR Matematiğin en önemli konularından olan cebir, özellikle sayısal işlem yapma, verilen bir bağıntının uygulanması, bağıntılarda bir değişkenin belirlenmesi gibi çok sayıda konuyu içermektedir. Değişken, sabit, parametre ile bunların toplamlarını, farklarını, çarpımlarını ve bölümlerini içeren, üslü, köklü ifadeleri de bulunduran fakat eşitlik veya eşitsizlik içermeyen ifadelere cebirsel ifade denir.

21 Değişken: Farklı değerler alabilen büyüklüktür. x, y, z gibi Sabit: Her zaman aynı kalan büyüklüktür. 5, 10, 12, 7 gibi Parametre: Bazen sabit, bazen de değişken olarak işlem gören büyüklüğe denir. mx + 8 3x 7 m: parametredir, her türlü değer alabilir. x: değişken 8: sabittir. 3: parametre, x: değişken, -7 sabittir.

22 CEBİRSEL İŞLEMLER Sayılarda 4 işlem (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) yapılırken işaretlere dikkat edilmesi gerekiyor. Toplama ve çıkarma yapılırken, aynı işaretli sayılar kendi içinde toplanır, farklı işaretli sayılarda ise mutlak değerce büyük olandan küçük olan çıkarılır ve büyüğün işareti verilir. Çarpma ve bölme işlemlerinde aynı işaretli olanların çarpımı veya bölümü pozitif, farklı işaretli olanların çarpımı veya bölümü negatiftir.

23 Not: Dört işlemden önce varsa kuvvet alma işlemi gerçekleştirilir. Parantezli ifadelerden kurtulduktan sonra işlemlere geçilir.

24 1) 89+9 :( 2)2 + 2.( 5) 1.( 10) :10 =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 2) ( 10) : ( 2) 2 =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 3) 136 :(34) ( 2) ( 1) 200 =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 4) ( 1)121 +( 2) ( 2) 5 =? işleminin sonucunu hesaplayınız.

25 Harfli işlemeler yapılırken de aynı mantıkla çözümlenir. 5) 2m m 2m n n 3m m n 2m n 3n m =? işleminin sonucunu hesaplayınız. 6) 2r p 3 r 2p 2r 7r r p p 2p 3r +4r =? işleminin sonucunu hesaplayınız.

26 İstenileni diğer değişken türünden yazmak. 7) x 2y = 4x 3y 5 ise x in y türünden değerini hesaplayınız. 8) a, x R olmak üzere 2a x 3 x+3a 4 =0 ise x in değerini a türünden bulunuz. 9) x x. y x 1 y x + 1 = 0 ise y nin değerini hesaplayınız.

27 ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER Bir polinomu, iki veya daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazmaya, verilen polinomu çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Metodları Çarpanlara ayırma konusu ile ilgili soruları birkaç metod ile çözebiliriz.

28 1. Ortak Çarpan Parantezine Alma Her terimde ortak olan çarpanlar, bütün çok terimlinin ortak çarpanı olarak yazılır. Ortak çarpan; terimlerin katsayılarının O.B.E.B. i ile ortak harflerin üssü en küçük olanlardan oluşur. xa ± xb ± xc = x(a ± b ± c)

29 Örnek: 12x 2 y 2 6xy x 4 y 4 ifadesini çarpanlara ayıralım. Çözüm: Katsayıları 12, -6 ve 18 dir. (12, -6, 18) = 6 dır. Ortak harfler x ve y dir. x lerin üssü en küçük olanı x, y lerin en küçük olanı y 2 dir. O halde; ortak çarpan 6xy 2 dir.

30 2. Gruplandırma Yöntemi Tüm terimler; aynı ortak çarpan parantezine sahip değilse, terimler uygun şekilde (ortak parantez olacak şekilde) ikişerli, üçerli v.b gruplara ayrılır. Her grup kendi ortak çarpan parantezine alınarak işleme devam edilir.

31 Örnek: ax + bx + ay + by = x.(a + b) + y.(a + b) =(a + b).(x + y) Örnek: 2x-2ax-3a+3 a 2 = 2x.(1 - a) - 3a.(1 - a) = (1 - a).(2x - 3a)

32 3. Tam Kare Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması Örnek: 9x xy + 4y 2 Çözüm: ifadesini çarpanlara ayıralım. 9x xy + 4y 2 9x 2 = 3x 4y 2 = 2y Böylece; 2. 3x. (2y) (2. terim) 9x xy + 4y 2 = (3x + 2y) 2

33 4. x 2 + Mx + N Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması x 1. x 2 = N x 1 + x 2 = M olacak şekilde x 1 ve x 2 sayıları bulunabilirse x 2 + Mx + N = x + x 1. x + x 2 şeklinde çarpanlara ayırma işlemi yapılır.

34 x 2 7x + 10 ifadesini çarpanlara ayırınız. (-2)+(-5) (-2).(-5) -7 ve 10 sayıları yukarıdaki biçimde yazılabildiğinden ifade x 2 7x + 10 = x 2. (x 5) şeklinde yazılabilir.

35 x 2 5x 6 ifadesini çarpanlara ayırınız. (-6)+(+1) (-6).(+1) x 2 5x 6 = x 6. (x + 1) şeklinde yazılabilir.

36 5. ax 2 + bx + c Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ax 2 = px. qx c = m. n ve b. x = m. p + n. q. x olarak yazılabilirse ax 2 + bx + c = şeklinde yazılabilir. px + n. (qx + m) NOT: 1.terimin çarpanları ile 3. terim çarpanları seçilir. Bu çarpanlar, çapraz çarpılıp toplandığında 2. terimin işareti ile birlikte veriyorsa seçimler doğru yapılmıştır.

37 Örnek: 3x 2 x 2 ifadesini çarpanlara ayıralım. elde edildiğinden 3x 2 = 3x. x 2 = +2. ( 1) x = x 3x 2 x 2 = 3x + 2. (x 1)

38 6x 2 13x + 6 ifadesini çarpanlara ayıralım. 3x -2 2x -3 3x.( 3)+2x.( 2)=( 9x)+( 4x)= 13x 6x 2 13x + 6 = 3x 2. (2x 3) olarak yazılır.

39 6. İki Kare Farkı Şeklindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması a 2 b 2 = a b. (a + b) eşitliğine iki kare farkı denir. Örnek: x 2 25 = x 2 25 = x 5. x + 5 İki kare farkında, ifadelerinin köklerinin toplamları ve farkları çarpan olarak yazılır.

40 7. İki Kare Farkına Dönüştürerek Çarpanlara Ayırma Verilen çok terimli; terim ekleme ve çıkarma veya gruplandırma ile iki kare farkı biçimine getirilerek çarpanlara ayrılır. a 2 b 2 4a + 4 ifadesini çarpanlarına ayıralım a 2 b 2 4a + 4 = a 2 4a + 4 b 2 Tam kare ifadesi = (a 2) 2 b 2 = a 2 + b. a 2 b İki kare farkı

41 8. İki Küp Toplamı veya Farkının Çarpanlara Ayrılması a 3 + b 3 = a + b. (a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = a b. (a 2 + ab b 2 ) Örnek: a ifadesini çarpanlara ayıralım. a = a = a + 2. (a 2 2a + 4)

42 9. Tam Küp Biçimindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 eşitlikleri vardır.

43 NOT : İki sayının küpler toplamı ile bu sayıların toplamının küpü birbirine eşit değildir. a 3 + b 3 a + b 3 İki sayının küpler farkı ile bu sayıların farkının küpü birbirine eşit değildir. a 3 b 3 (a b) 3

44 10. a n b n ve a n + b n İfadelerinin Çarpanlara Ayrılması n N + ise a n b n = a b. (a n 1 + a n 2. b + + b n 1 ) n N + ve n tek ise a n + b n = a + b. (a n 1 a n 2. b + a n 3. b 2 + b n 1 ) Not: n çift sayı ise a n + b n ifadesi çarpanlarına ayrılmaz.

45 Örnek: a 5 1 = a 1. (a 4 + a 3 + a 2 + 1) a = a + 2. (a 4 2a 3 + 4a 2 8a + 16) x 3 y 3 = x y. (x 2 + xy + y 2 )

46 Önemli Özdeşlikler (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 +b 3 + 3ab(a + b)

47 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = a 3 b 3 3ab(a b) (a + b) 2 = (a b) 2 +4ab (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

48 x 2 +2xy+y 2 1) x = 196, y = 4, a = 38 ve b = 2 için a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 kaçtır? ifadesinin değeri 2) x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere; 3x 2 + 2xy 8y 2 = 0 olduğuna göre 6x+y 3x y işleminin sonucunu hesaplayınız. 3) x pozitif gerçel sayı olmak üzere, x 4 7x = 0 ise x x 3 işleminin sonucunu hesaplayınız. 4) x 2 y xy 2 = 0 x. y = 2 olduğuna göre (x + y) 2 işleminin sonucunu hesaplayınız.

49 5) x + y + z = 6 ve xy + yz + xz = 12 olduğuna göre x 2 + y 2 + z 2 toplamı kaçtır? 6) x 1 3x = 6 ise x3 1 x 3 kaçtır? 7) x 2y = 5 ve a + 3b = 6 olduğuna ax 2ay+3bx 6by+12 6y 3x+9 sonucunu hesaplayınız. ifadesinin

50 8) a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = 125 olduğuna göre x 2 a a+b x 2 b 8x 2 8 işleminin sonucunu hesaplayınız. 9) x2 a 3 x 3a : x2 +ax+a 2 x 2 a 2 x 3 a 3 ifadesinin sadeleşmiş biçimini hesaplayınız. 10) 3a 2 6a 2 = 0 olduğuna göre 27a 3 8 a 3 kaçtır?

51 *: Ders notları, ilk hafta verilen kaynaklar üzerinden öğrencilerin yararlanması amacıyla hazırlanmıştır.