DERS 9 Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri Bundan öncki drst bir fonksiyonun grafiğini çizmk için izlnbilck yol v yapılabilck işlmlr l alındı. Bu drst, grafik çizim stratjisini yani grafik çizimind izlnck adımları nt olarak ifad dck v grafik çizimin çşitli örnklr vrcğiz. 9.. Grafik çizimind izlnck adımlar. y f() in grafiğini çizmk için aşağıdaki adımlar izlnbilir: Adım. f() i analiz diniz. A) f nin tanım kümsini blirlyiniz(f nin tanım kümsi, f() in tanımlı olduğu tüm rl sayıların oluşturduğu kümdir). B) Koordinat ksişimlrini bulunuz(eğr varsa, y-ksişimi f() dır; - ksişimlri d f() ın çözümlri). C) Asimtotları bulunuz( ( lim f ( ) ± aasimtot; lim f ( ) b m a is, vya lim f ( ) ± a y b yatay asimtot). + is, a düşy Adım. ) i analiz diniz (Hazırlayacağınız bir tabloda ) in sıfır olduğu vya tanımsız olduğu yrlri, işart dğişimini göstriniz; böylc, f() in nrlrd artan, nrlrd azalan olduğunu v ayrıca yrl maksimum v minimum dğrlrini blirlyiniz). Adım 3. ) i analiz diniz (Hazırladığınız tabloda ) in d sıfır olduğu vya tanımsız olduğu yrlri, işart dğişimini göstriniz; böylc, f() in nrlrd aşağıya doğru, nrlrd yukarıya doğru konkav olduğunu v ayrıca varsa dönüm noktalarını blirlyiniz). Adım 4. Grafiği çiziniz (Hazırladığınız tablodan da yararlanarak, asimtotları çiziniz, koordinat ksişimlrini, yrl maksimum v yrl minimum noktalarını, dönüm noktalarını işartlyiniz v şklinizi tamamlayınız). Şimdi bu adımları bazı örnklr üzrind grçklştirlim.
Drs 9. 48 Örnk. f() 4 3 il vriln fonksiyonun grafiğini çizlim. Adım. f() i analiz dlim. A) f nin tanım kümsi tüm rl sayılar kümsi R dir. B) f() olduğundan, f nin y ksişimi (,) dır. f() 4 3 3 ( ), oduğundan, -ksişimlri (,) v (,) noktalarıdır. C) Asimtotlar : f bir polinom olduğundan düşy vya yatay asimtot yoktur. Adım. ) i analiz dlim : ) 4 3 6 4 ( 3/) ifadsindn kritik dğrlrin v 3/ olduğu görülür. f nin artan vya azalan olduğu aralıkları ) in aşağıdaki işart dğişim tablosundan blirlybiliriz. ) f () 3/ - - - - - - - - - + + + + + azalan azalan -7/6 artan Tablo inclninc görülür ki f, (-,3/) aralığında azalan, (3/, ) aralığında artan olup 3/ d yrl minumum vardır. Adım 3. f ''/( ) i analiz dlim: ) (-) v ) olan dğrlri, dğrlridir. f nin aşağıya vya yukarıya doğru konkav olduğu aralıkları ) in aşağıdaki işart dğişim tablosundan blirlybiliriz. ) + + + + + + + + - - - - + + + + + + f () Yukarıya konkav Aşağıya konkav - Yukarıya konkav Tablonun inclnmsindn görülür ki f,(-,) v (, - ) aralıklarında yukarıya doğru, (,) aralığında aşağıya doğru konkav olup v d dönüm noktası vardır.
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 49 Şimdi, Adım v Adım 3 t ld dilnlri bir tabloda öztlylim: 3/ f () - -7/6 ) ) - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + - - - + 9 + + + + + Tablonun sonunda çiziln ğrilr grafiğin hangi aralıklarda artan vya azalan; hangi aralıklarda aşağıya vya yukarıya doğru konkav olduğunu blirtmk için çizilmiştir. Bu ğrilrdn, (,) v (,-) noktalarının dönüm noktaları, f(3/) -7/6 nın da yrl minimum dğri olduğu görülmktdir. Adım 4. Grafiği çizlim. y Dönüm nok. f() 4 3 - - - Dönüm nok. Yrl min.
Drs 9. 5 Örnk. f() 3 + 3-9 +5 in grafiğini çizlim Adım. f() i analiz dlim. A) f nin tanım kümsi tüm rl sayılar kümsi R dir. B) f() 5 olduğundan, y ksişimi (,5) noktasıdır. f() 3 + 3-9 +5 (-)(+5) -5, olduğundan, ksişimlri (,) v (-5,) noktalarıdır. C) Asimtotlar : f bir polinom olduğundan düşy vya yatay asimtot yoktur. İlk örnğimizd d görüldüğü üzr, ikinci v üçüncü adımları birlikt grçklştirrk bulguları bir tk tablo üzrind göstrmk daha lvrişli olmaktadır v bundan sonra öyl yapacağız. Adım -3. f () v f () i analiz dlim. ) 3 + 6-9 3( +-3) 3(-)(+3) -3 v. ) 6 + 6 6(+) - -5-3 - f () 3 6 5 ) + + + - - - - - - + + + + + ) - - - - - - - + + + + + + + + + + Adım 4. Yrl maks. (-3,3) y f() 3 + 3-9 +5 Dönüm nok. (-,6) (,5) Yrl min. (-5,) (,)
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 5 Örnk 3. f ( ) nin grafiğini çizlim. Adım. f () i analiz dlim. A) f nin tanım kümsi R\{} dir. B) f ( ) olduğundan, y ksişimi (, ) noktasıdır. Bir ksrin sıfır olduğu yrlr, payın sıfır olduğu, ancak paydanın sıfırdan farklı olduğu yrlrdir. Örnğimizd payın sıfır olduğu dğr dir. Dolayısıyla, -ksişimi (,) noktasıdır. C) lim m olduğundan, y yatay asimtottur. Adım -3. ) v ) i birlikt analiz dip ilgili tabloyu hazırlıyoruz. ( ) ( ) ) ( ) ( ) Hr R\{} için ) < olduğundan, f tüm tanım kümsind azalan bir fonksdiyondur. ) ( ) 3 ) in bu ifadsindn hr (,) için f ( ) < v hr (, ) için ) > olduğu görilmktdir. Dolayısıyla, f fonksiyonu (,) aralığında aşağıya doğru, (, ) aralığında yukarıya doğru konkavdır. Bu hususlar aşağıdaki tablo üzrind göstrilmiştir. f () ) ) / - - - - - - - - - - -/4 - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - /4 - - - - + + + + +
Drs 9. 5 Adım 4. Grafiği çizlim. y - 3 f ( ) Örnk 4. f ( ) in grafiğini çizlim. + Adım. f() i analiz dlim. A) f nin tanım kümsi R dir. B) f ( ) olduğundan, y ksişimi (,) dir. f ( ) olan hiç dğri + bulunmadığından, bu fonksiyonun ksişimi yoktur. C) lim olduğundan, y yatay asimtottur. m + olduğundan, düşy asimtot yoktur. f nin tanım kümsi R Adım v Adım 3 ü birlikt grçklştirip bir tk tablo yapacağız. ( + ) f ( ) ' ( + ) ( + )
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 53 ( ) ( + ) ( + ) ( ) 6 ) m ' 3 4 ( + ) ( + ) 3 ) v ) in işart dğişimini v f () in bazı dğrlrini göstrn aşağıdaki tabloyu hazırlayıp grafik çizimin gçcğiz. f () ) ) 3 3 3/4 3/4 / + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + - - - - - - + + + + + + + + Adım 4. Yrl maks. y Dönüm nok. Dönüm nok. 3 3 f ( ) + Örnk 5. ( ) in grafiğini çizlim. f Grafik çizim stratjisindki adımları sırasıyla izliyoruz. Tanım kümsi : R -ksişimi v y-ksişimi : (,). Düşy asimtot yok.
Drs 9. 54 lim, lim lim lim y yatay asimtot. ) + ( + ) ) in bu ifadsindn, hr < - için ) < v hr > - için ) > olduğu görülür. ) + ( + ) ( + ) ) in bu ifadsindn, hr < - için ) < v hr > - için ) > olduğu görülür. Bu hususlar v grafiğin artan vya azalan, yukarı vya aşağı doğru konkav olduğu aralıklar aşağıdaki tabloda göstrilmiştir. f () ) ) - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + - - - - - + + + + + + + + + + + + + + Tablodan yaralanılarak aşağıdaki grafik ld dilir. y f ( ) - - Dönüm Yrl min.
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 55 Örnk 6. f ( ) in grafiğini çizlim. Grafik çizim stratjisindki adımları sırasıyla izliyoruz. Tanım kümsi : R\{} -ksişimi : yok, y-ksişimi : yok. lim, lim düşy asimtot. + lim, lim y yatay asimtot. ( ) ) ) in bu ifadsindn, hr < için ) < v hr > için ) > olduğu görülür. ) ( + ( ) ) 4 ( ) ( + ) 3 Hr R için + ( ) + > v > olduğundan, ikinci türvin asla sıfır 3 olmadığına v ikinci türvin işartinin tarafından blirlndiğin dikkat diyoruz. Bu düşünclrl aşağıdaki tablo ld dilir. f () ) ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Drs 9. 56 Tablodan yaralanılarak aşağıdaki grafik ld dilir. y Yrl min. f ( ) Örnk 7. f ( ) ln in grafiğini çizlim. Grafik çizim stratjisindki adımları sırasıyla izlylim. Tanım kümsi : (, ). -ksişimi :, y-ksişimi : yok. lim ln + ln lim + ( ) lim + ( ) (Düşy asimtot yok.) lim ln (Yatay asimtot yok.) ) ln + ln + / )
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 57 Eld dilnlri tabloda göstrlim: f () ) ) / -/ - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Tanım kümsinin (, ) aralığı olduğunu, lim ln + unutmuyoruz. Tablodan yararlanılarak grafik aşağıdaki gibi ld dilir. v lim ln olduğunu y f ( ) ln / Yrl min.
Drs 9. 58 9. Maksimum Minimum Problmlri. Skizinci drst bir fonksiyonun yrl maksimum, yrl minimum, mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrini tanımlamıştık. 8.6 da bir fonksiyonun kapalı bir aralık üzrind mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrindn söz dilbilcğini v ğr fonksiyon söz konusu kapalı aralıkta sürkli is mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrin mvcut olduğunu görmüştük. 8.6 da günlük yaşamdan maksimum minimum problmlri v çözümlrin örnklr vrmiştik. Drsimizin bu kısmında maksimum minimum problmlrin yni örnklr vrcğiz. Mutlak maksimum v mutlak minimumla ilgili tml sonucu bir kz daha ifad diyoruz: Torm. f fonksiyonu [ a, b ] kapalı aralığında sürkli is, f nin [ a, b ] aralığı üzrind mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlri vardır. [ a, b ] kapalı aralığı üzrind sürkli bir f fonksiyonunun mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrini bulmak için. f nin [ a, b ] aralığı üzrind sürkli olduğundan min olunuz.. f nin ( a, b ) aralığında kritik noktalarını bulunuz. 3. f nin kritik noktalarda aldığı dğrlri; f (a) v f (b) yi bulunuz. 4. Adım 3 t bulduğunuz dğrlrdn n büyüğü f nin mutlak maksimum dğri, n küçüğü d mutlak minimum dğridir. Örnk. Radyo ürtn bir firmanın, haftada radyo ürtmsi durumunda toplam gidri Gi() 5 +, fiyat talp fonksiyonu is p (.), olarak vriliyor. (Para birimi olarak YTL alınız.) a) Haftalık maksimum gliri bulunuz. b) Haftalık maksimum kârı, bu kârın grçklşmsi için haftada ürtilmsi grkn radyo sayısını v radyo başına fiyatı bulunuz. c) Eğr firma hr bir radyo için YTL vrgi ödmk durumunda kalırsa, maksimum kâr n olur v bunun için haftada kaç radyo ürtilmlidir? Bu durumda maksimum kâr için bir radyonun satış fiyatı n olur? Çözüm. a) Glir fonksiyonu olacağından G () (. ) (.), G '() (.) 5 olduğu görülür. Glir fonksiyonunun kritik dğr olan 5 v uç noktaları il d aldığı dğrlr
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 59 G (), G (5) 5, G ( ). dir. Dolayısıyla, maksimum glir 5 YTL olur. b) Kâr fonksiyonu K () G () Gi() (.) - (5 + ) -5 + 8 - (.) v K ' () 8 (.) 4 olup kâr fonksiyonunun kritik dğr olan 4 v uç noktaları il d aldığı dğrlr K() -5, K( ) -5, K(4) Dir. Böylc, maksimum kâr YTL dir v 4 radyo ürtilinc grçklşir. Bir radyonun satış fiyatı p p(4) (.)(4) 6 YTL dir. c) Radyo başına YTL vrgi ödninc gidr fonksiyonu kâr fonksiyonu Gi() 5 + + 5 + 4, K () G() Gi() (.) - (5 + 4) -5 + 6 - (.). v K ' () 6 (.) 3 olup kâr fonksiyonunun kritik dğr olan 3 d aldığı dğr, K(3) 4, uç noktalarında aldığı dğrlrdn büyük olduğundan, maksimum kâr 4 YTL dir v 3 radyo ürtilinc grçklşir. Bir radyonun satış fiyatı p (.)(3) 7 YTL dir. Örnk. Bir yüzm havuzu zararlı baktrilrin yok dilmsi için priyodik olarak ilaçlanıyor. İlaçlama yapıldıktan t gün sonra havuz suyunun hr cm 3 ünd C(t) 3 t 4 t + 5, t 8 baktri görülüyor. Havuzdaki baktri sayısı ilaçlamadan kaç gün sonra minimum olur? Çözüm. C(t) 3 t 4 t + 5, t 8 C '( t) 6 t 4 t 4. ; C () 5, C(4), C(8) 5. Havuzdaki baktri sayısı ilaçlama yapıldıktan 4 gün sonra minimum olur v minimum sayı C (4) dir.
Drs 9. 6 Örnk 3. Aşağıdaki şkild görüldüğü gibi, uzun bir duvarın önünd bir ta-rafı duvar v diğr üç tarafı tl-örgü il çvrili dikdörtgn biçimind bir alan oluşturulmak istniyor. Bu iş için kullanılacak tl-örgü 4 m. olduğuna gör, oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgnin boyutları n olmalıdır? Maksimum alan n olur? 4 m. 4 Problmin çözümü için dikdörtgnin duvara dik gln knarının uzunluğunu il göstrlim. O zaman duvara parall olan knarın uzunluğu 4 - olur. Dik dörtgnin alanı A () (4 - ) 4,, dir v A '( ) 4-4 6 olduğu görülüp A (), A (), A (6) 7 dğrlrindn maksimum alanın A(6) 7 m olduğu v maksimum alan için dikdörtgnin ninin 6 m, boyunun m olması grktiği sonucu çıkar. Örnk 4. Bir cviz ürticisi, gçmiş dnyimlrindn, dönüm başına ağaç dikrs, hr bir ağacın yılda ortalama 6 kg. cviz vrcğini tahmin diyor. Dönüm başına ağaçtan sonra dikilck hr ağaç, ağaç başına yıllık vrimi kg. düşürüyor. Bir dönüm n çok 45 ağaç dikilbildiğin gör, maksimum vrim için dönüm başına kaç ağaç dikilmlidir? dönümlük bir toprağa cviz kilirs alınabilck yıllık maksimum vrim n olur? Çözüm. Bir dönüm kilck ağaç sayısı N() + olsun. Bu fonksiyonun tanım kümsi [, 5] aralığıdır. Dönüm başına yıllık vrim V() ( + ) (6 - ) +, 5 olarak grçklşir. Kritik dğr olarak bulunur v V '( ) () 4 5 V(), V(5) 45, V(5) 5 dğrlrindn dönüm başına + 5 5 ağaç dikilirs yıllık vrimin maksimum olacağı görülür. Maksimum vrim, V(5) 5 kg olur. dönümlük topraktan yıllık maksimum vrim,.5 5 kilogram olur.
Grafik Çizimi, Maksimum Minimum Problmlri.. 6 Problmlr 9. y f () in grafiğini, grafik çizim stratjisi uygulayarak çiziniz. 3 a) f ( ) 6 + 5 b) f ( ) 6 + 3 c) f ( ) ( + 4)( ) ç) f ( ) 3 4 3 d) f ( ) ( 4) ) f ( ) 3 + 4 36 + 5. Aşağıdaki fonksiyonların hr birinin grafiğini grafik çizim stratjisini uygulayarak çiziniz. a) f ( ) ln b) f ( ) (3 ) c) f ( ) ç) f ( ) ln 3. f () 3 3 9 + 3 dnklmi il vriln fonksiyonun [-4,] kapalı aralığı üzrind mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrini blirlyiniz. 4. 5 odası bulunan bir otl 4 YTL lik oda fiyatı il hr gc dolmaktadır. Otl idarsi, fiyatı yüksltrk kârını artırıp artıramayacağını blirlmk istiyor. Fiyattaki hr YTL lik artışın o gc 5 odanın boş kalmasına ndn olduğu görülüyor. Hr oda için günlük sabit gidr 5 YTL v hr dolu oda için günlük srvis gidri d YTL olduğuna gör, otl idarsi maksimum kâr için oda fiyatını kaç YTL olarak blirlmlidir? (Oda fiyatında indirim asla düşünülmmktdir.) 5. Haftada adt hsap makinsi ürtip satan bir firmanın gidr fonksiyonu v fiyat fonksiyonu Gi() 68 + 5, p() 4 ( / 4), 5 olarak vriliyor. Firmanın kârı hangi ürtim sviysind maksimum olur? 6. Şkild görüldüğü gibi, bir vin önünd dikdörtgn şklind bir alan tl örgü il çvrilcktir. Bu alanın 6 mtrlik kısmı v il kapatıldığından oraya tl örgü kullanılmayacaktır. Bu iş için kullanılmak üzr sadc 36 mtr tl örgü bulunduğuna gör maksimum alan çvirmk için dikdörtgnin boyutları n olmalıdır? EV 7. Aşağıdaki fonksiyonların hr birinin (, ) aralığında mutlak maksimum v mutlak minimum dğrlrini (varsa) bulunuz. 7 a) f ( ) 3 + b) f ( ) 5 + 3 +
Drs 9. 6 8. Bir üründn tan ürtmk için yapılan toplam gidr Gi( ) 6 + ln dir. Minimum ortalama gidri bulunuz. 9. Tlvizyon sti ürtn bir firmanın, ayda tlvizyon sti ürtmsi durumunda, toplam gidr fonksiyonu Gi() 7 + 6, fiyat talp dnklmi d p, 6 3 olarak vriliyor. Para birimi, birim para il göstrilsin. a) Maksimum gliri bulunuz. b) Maksimum kârı; bu kârın grçklşmsi için kaç adt tlvizyon sti ürtilmsi grktiğini v hr bir tlvizyon stinin kaça satılması grktiğini blirlyiniz. c) Eğr firma, ürttiği hr tlvizyon sti için 5 birim para vrgi ödrs, kârın maksimum olması için kaç adt tlvizyon sti ürtmlidir? Bu durumda maksimum kâr n olur? Hr bir tlvizyon stini kaça satmalıdır?. Elktrik sobası ürtn bir firmanın, ayda lktrik sobası ürtmsi durumunda, toplam gidr fonksiyonu Gi() 5 + 35, fiyat talp dnklmi d p 5.5, olarak vriliyor. Para birimi, birim para il göstrilsin. a) Maksimum gliri bulunuz b) Maksimum kârı; bu kârın grçklşmsi için kaç adt lktrik sobası ürtilmsi grktiğini v hr bir lktrik sobasının kaça satılması grktiğini blirlyiniz. c) Eğr firma, ürttiği hr lktrik sobası için 5 birim para vrgi ödrs, kârın maksimum olması için kaç adt lktrik sobası ürtmlidir? Bu durumda maksimum kâr n olur? Hr bir lktrik sobasını kaça satmalıdır?. Bir baktri kolonisin ürmlrini arttıran bir ilaç vriliyor. İlaç vrildiktn t dakika sonra kolonidki baktri sayısı aşağıdaki ifad il vriliyor: N (t) + 36t t 3, 3. a) Kolonidki baktri sayısı hangi t dğri için maksimum olur? Maksimum sayı kaçtır? b) Kolonidki baktri sayısı hangi t dğrind n çok artmaktadır?. Blli bir otomobil parçası ürtn bir döküm firması bu parçadan hr yıl adt satmaktadır. Hr bir parçanın yıl boyunca stokta bulundurulup dpolanması firmaya YTL y mal olmaktadır. Firma, dpolama v döküm için toplam gidrini minimuma indirmk amacıyla satacağı parçaları birkaç dfada, hr dfasında dökümünü yaptığı parçalar satıldıktan sonra ynilrini dökmk surtiyl grçklştirmk istiyor. Yni parçalar dökülürkn, hr sfrind kalıp hazırlanması grkiyor v kalıp hazırlanması için hr sfrind 65 YTL masraf yapılması grkiyor. Firmanın toplam gidrinin minimum olması için yılda kaç kz döküm yapması v hr sfrind kaç adt parça ürtmsi grkir?