x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

Transkript

1 TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki artma miktarına oranlarsak; olur. h 0 için bu oranın limiti varsa bu limite fonksiyonun türevi denir. = = f (x) ile gösterilir. *Türev Alma Kuralları 1) Sabit bir sayının türevi sıfırdır. 2) n pozitif bir tamsayı olmak üzere x n nin türevi nx n-1 şeklindedir. 3) f(x) = u(x)±v(x) fonksiyonunun türevi de f (x) = u (x)±v (x) şeklindedir. 4)f(x) = u(x)v(x) fonksiyonunun türevi de f (x) = u (x)v(x)+ u(x)v (x) şeklindedir. 5) f(x) = u(x)/v(x) fonksiyonunun türevi 6) f(x) = (u(x)) n ise f (x)= u (x) n u n-1 (x) *Kapalı Fonksiyonların Türevi F(x,y) = 0 biçiminde bir bağıntıyla verilen fonksiyonlara kapalı fonksiyonlar denir. Eğer F(x,y) = 0 bağıntısından y, x in bir fonksiyonu olarak çekilebiliyorsa, y = f(x) biçiminde yazılabiliyorsa göre, (x) türevi çözümlenebilir. Aksi takdirde kapalı fonksiyonlar için türev alma kuralına x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. *Parametrik Fonksiyonların Türevi y= f(u) ve u= g(x) şeklinde türevi alınabilen iki fonksiyon ise y=f(g(x)) bileşik fonksiyonunun türevi bir diğer deyişle y nin x e göre türevi,

2 şeklinde bulunur. Buna zincir kuralı denir. y= f(x) biçiminde verilen fonksiyon aynı zamanda x= h(t) ve y = g(t) t IR eşitlikleri ile de belirtilebilir. Burada t IR değişkenine parametre denir. y=f(x) in x=h(t) ve y=g(t) biçiminde gösterimine de parametrik gösterim denir. x=h(t) ve y=g(t) şeklinde parametrik fonksiyon için = türevi zincir kuralı yardımıyla bağıntısından elde edilir. TRANSANDANT FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri y = sin x y = cos x y = cos x y = -sin x y = tan x y = 1+tan 2 x = = sec 2 x y = cot x y = -(1+cot 2 x) =- = cosec 2 x y = sec x = y = sin x/cos 2 x y = cosec x= y =- (cos x/sin 2 x) Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri y = arcsin x y = y = arccos x y y = arctan x y = y = arctan x y = Logaritmik Fonksiyonların Türevleri y = ln x y = y = log x y = Üstel Fonksiyonun Türevi y= a x y = a x lna y= e x y = e x lne = e x TRANSANDANT FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ y= u(x) olmak üzere ; (y= 3x 2 +5) Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri y = sin u y = cos u y =u cos u y = - u sin u y = tan u y = u ( 1+tan 2 u) = = u sec 2 u

3 y = cot u y = - u (1+cot 2 u) =- = - u cosec 2 u y = sec u = y = cosec u= y = u sin u/cos 2 u y =- u cos u/sin 2 u Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri y = arcsin u y = y = arccos u y y = arctan u y = y = arctan u y = Logaritmik Fonksiyonların Türevleri y = ln u y = y = log a u y = Üstel Fonksiyonun Türevi y= a u y = u a u lna y= e x y = u e u lne = u e u Yüksek Dereceden Türevler y = f(x) fonksiyonunun y = dy/dx türevi birinci dereceden türevdir. y nün bir daha türevi alınabiliyorsa, bunun x e göre türevine y nin ikinci dereceden türevi denir. böyle devam edilerek y = f(x) fonksiyonunun n.dereceden türevi alınabilir. y şeklinde gösterilen ikinci dereceden türev ilk türevin eğiminin ve değişme oranının bir ölçüsüdür. y ile gösterilen üçüncü dereceden türev de ikinci dereceden türevin eğimini ve değişim oranını gösterir. y = (birinci dereceden türev) y =... y n = (ikinci dereceden türev) (n. dereceden türev) Genellersek y n = f 4 (x) = = D 4 y şeklinde ifade edilebilir.

4 *Fonksiyonların Çarpımının Yüksek Dereceden Türevi İçin Leibnitz Formülü y= f(x)g(x) olsun. y = f (x)g(x) + f(x)g (x) y = f (x)g(x)+2f (x)g (x)+f(x)g (x) y türevini Binom açılımından faydalanarak; y = f 2 (x)g(x) + f 1 (x)g 1 (x)+ f(x)g 2 (x) şeklinde düşünebiliriz. Genellersek; y n = f n (x)g 0 (x) + f n-1 (x)g 1 (x) + f n-2 (x)g 2 (x)+..+ f 0 (x)g n (x) *Logaritmik Türev Alma y=f(x) g(x) şeklindeki fonksiyonların türevini almak için her iki tarafın ln i alınır. *TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile A dan B ye geçen d doğrusu verilmiştir. d doğrusunun eğimi: m = tan α = = x a yaklaştıkça B noktası A noktasına yaklaşır. B yi A ya yaklaştırma işini sürdürürsek limit durumunda d doğrusu y= f(x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğet olur. Bu durumda y = f(x) eğrisi üzerinde A(a, f(a)) noktasında çizilen teğetin eğimi m ise

5 m = = f (a) dır. y=f(x) fonksiyonunun üzerindeki bir nokta A(x 0, y 0 ) ise bu noktadan çizilen teğetin denklemi, y-y o = f (x 0 )(x-x 0 ) olur. y = f(x) eğrisinin üzerinde alınan bir noktadan çizilen teğete değme noktasında dik olan doğruya fonksiyonun o noktadaki normali denir. Normal çizildiği noktada teğete dik olduğundan y= f(x) eğrisine dik kabul edilir. m T = Teğetin eğimi m N = normalin eğimi m T m N = -1 m N =- ve m T = f (x 0 ) m N =- y = f(x) eğrisi üzerindeki A(x 0,y 0 ) noktasından çizilen normalin denklemi: y-y o = - (x-x 0 ) olur. *ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR f, [a, b] IR herhangi bir fonksiyon olsun. Bu aralıktaki x 1 ve x 2 noktaları için x 1 x 2 iken f(x 1 ) f(x 2 ) şartı sağlanıyorsa f ye artan fonksiyon, x 1 x 2 iken f(x 1 ) f(x 2 ) şartı sağlanıyorsa f ye azalan fonksiyon denir.

6 f fonksiyonu (-, a) aralığında artan, (a,0) aralığında azalan, (0, + ) aralığında artandır. g fonksiyonu ise (-, 2) aralığında azalan, (2, + ) aralığında artandır. Cebirsel ifadesi verilmiş bir fonksiyonun arttığı ve azaldığı aralıkları türev yardımıyla kolayca bulabiliriz. y = f(x) fonksiyonunun f (x) türevi sürekli olsun. Eğer f (x) > 0 ise f(x) fonksiyonu artan fonksiyondur. f (x) < 0 ise f(x) fonksiyonu azalan fonksiyondur. Bir diğer ifadeyle, f (x) = şeklindeydi. Türev tanımında h > 0 olduğundan f (x) >0 olması için f(x+h) f(x) > 0 olmalıdır. Fonksiyon artandır. Türev tanımında h < 0 olduğundan f (x) <0 olması için f(x+h) f(x) < 0 olmalıdır. Fonksiyon azalandır.

7 *MİNİMUM VE MAKSİMUM - A 1 noktasındaki, x 1 e karşı gelen y 1 fonksiyon değeri, A 1 noktasına komşu olan diğer noktalardan daha küçüktür. - A 3 noktasındaki, x 3 e karşı gelen y 3 fonksiyon değeri, A 3 noktasına komşu olan diğer noktalardan daha küçüktür. - A 2 noktasındaki, x 2 ye karşı gelen y 2 fonksiyon değeri, A 2 noktasına komşu olan diğer noktalardan daha büyüktür A 1, A 3 noktaları için yerel (lokal) minimum A 2 noktası için yerel (lokal) maksimum olduğu söylenebilir. Bu grafik incelendiğinde gerçekte x = x 1 iken yani A 1 noktasında mutlak minimum (en düşük nokta) olduğunu söyleyebiliriz. Ancak eğri yukarıya doğru sınırsız uzadığı için (en yüksek nokta) mutlak maksimum nokta yoktur. Özetle, x x 1 x 2 x 3 f (x) Tanım: y = f(x) fonksiyonunun tanım aralığındaki her x değeri için f(x) f(x 0 ) ise (x 0,f(x 0 )) noktasında fonksiyonun mutlak maksimumu, f(x) f(x 0 ) ise (x 0,f(x 0 )) noktasında fonksiyonun mutlak minimumu vardır. A 3 noktasında y = f(x) fonksiyonunun f (x) türevi belirli değildir. O halde yerel minimum yada yerel maksimum noktasında fonksiyonun türevi olmayabilir. Ancak bu noktalarda türev belirli ise, bir diğer deyişle tanımlanabiliyorsa (A 1 ve A 2 deki gibi) f (x) = 0 dır. Bu nedenle şekilde A 1 ve A 2 noktalarında teğetler yatay eksene paraleldir. O halde y = f(x) fonksiyonunun (x 0, f(x 0 )) noktasında yerel minimumu yada yerel maksimumu varsa, bu durumda f (x)=0 dır yada f (x 0 ) belirli değildir. Her yerel minimum yada yerel maksimum noktada fonksiyonun türevi işaret değiştirir.

8 Yerel maksimum için x < x 2 iken f (x) >0 x > x 2 iken f (x) <0 Yerel minimum için x < x 1 iken f (x) <0 x > x 1 iken f (x) >0 dır. Özetle yerel maksimum noktada fonksiyon önce artar sonra azalır, yerel minimum da ise fonksiyon önce azalır sonra artar. TANIM : y = f(x) fonksiyonunun f (x) türevini sıfır yapan bir diğer ifadeyle, f (x) = 0 denklemini sağlayan x 0 noktasına kritik nokta denir. Kritik nokta yada noktaların fonksiyonun tanım aralığının içinde olması gerekir. f (x) = 0 denklemini sağlayan her nokta fonksiyonun bir yerel maksimumu yada minimumu olmayabilir. Özetle, minimum ve maksimum değerlerin bulunması birinci ve ikinci türev testi ile özetlenebilir. - Birinci Türev Testi 1) f (x) bulunur. 2) f (x) denkleminin kökleri yani kritik noktalar bulunur. 3) Kritik noktaların yer aldığı aralıklarda f (x) in artan yada azalan olduğu aralıklar saptanır. 4) f(x) in tanım kümesindeki her kritik nokta için f (x) in işaret değiştirip değiştirmediği bulunur. f (x) (-) den (+) ya değişirse yerel minimum (+) dan (-) ye değişirse yerel maksimum vardır. f (x) işaret değiştirmezse yerel minimum yada maksimum yoktur. -İkinci Türev Testi 1) f (x) bulunur. 2) f (x) denkleminin kökleri yani kritik noktalar bulunur. 3) f (x) bulunur. 4) f(x) in tanım kümesinde bulunan x 0 kritik noktasında f (x) türevi sürekli olmak üzere, f (x 0 ) <0 ise x 0 yerel maksimum noktanın absisidir. f (x 0 ) >0 ise x 0 yerel minimum noktanın absisidir.

9 *EĞRİLERİN KONVEKS VE KONKAVLIĞI TANIM: (a,b) açık aralığında tanımlanmış ve sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer her x 1,x 2 (a,b) için eğri üzerindeki (x 1, f(x 1 )) ve (x 2, f(x 2 )) noktalarını birleştiren doğru parçası f fonksiyonunun üstünde kalıyorsa f fonksiyonunun (ab) aralığında eğrine konveks eğri adı verilir. TANIM1: (a,b) açık aralığında tanımlanmış ve sürekli bir f fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer her x 1,x 2 (a,b) için eğri üzerindeki (x 1, f(x 1 )) ve (x 2, f(x 2 )) noktalarını birleştiren doğru parçası f fonksiyonunun altında kalıyorsa f fonksiyonunun (ab) aralığında eğrine konkav eğri adı verilir. Konveks ve konkav eğri tanımı olarak farklı kaynaklarda farklı gibi görünen tanımlar bulmak mümkündür. Yukarıdaki tanımda eğrinin belli bir aralıkta tamamının bir doğru altında kalması veya üstünde kalması biçiminde verilen bu tanımda eğrinin sürekli olması dışında bir şart yoktur. TANIM 2: y= f(x) bir eğri ve N bu eğri üzerinde bir nokta olsun. Eğer y=f(x) in N noktasındaki bir komşuluğu N noktasındaki teğetinin tamamıyla üst kısmında bulunuyorsa, eğrinin bu kısmına konveks (dışbükey) eğri parçası denir. eğrinin tamamı konveks ise eğriye konveks eğri denir.

10 y= f(x) bir eğri ve N bu eğri üzerinde bir nokta olsun. Eğer y=f(x) in N noktasındaki bir komşuluğu N noktasındaki teğetinin tamamıyla alt kısmında bulunuyorsa, eğrinin bu kısmına konkav(içbükey) eğri parçası denir. Eğrinin tamamı konkav ise eğriye konkav eğri denir. Eğrinin konvekslikten konkavlığa konkavlıktan konveksliğe geçtiği noktalara dönüm (büküm) noktaları denir. Tanım 2 de teğetin var olma şartı türevin varlığını gerektirmektedir. Buradan da konveks ve konkavlığın türevle ilişkisi olduğu söylenebilir. Teorem: y=f(x) fonksiyonunun [a,b] aralığında f (x) türevi sürekli ve a) f (x) >0 ise fonksiyon bu aralıkta konveks (dışbükey) dir. b) f (x) <0 ise fonksiyon bu aralıkta konveks (içbükey) dir. Teorem: y=f(x) fonksiyonunun gösterdiği eğri üzerindeki bir noktada konkavlık yön değiştiriyorsa bu noktaya büküm noktası denir. y= f(x) fonksiyonunun f (x) türevi sürekli ise büküm noktasındaki f (x) in türevi sıfır olmak zorundadır. Ancak f (x)=0 denklemini sağlayan her nokta büküm noktası olmayabilir. *ASİMTOTLAR TANIM: Bir y=f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki hareketli bir N noktası sınırsız olarak uzaklaştığında bu noktanın belli bir doğruya veya eğriye olan uzaklığı sıfıra yaklaşıyorsa bu doğru veya eğriye y=f(x) fonksiyonunun asimtotu denir. İki tür asimtot vardır: A) DOĞRU ASİMTOTLAR A1) Düşey Asimtot A IR olmak üzere f:a IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer, asimtotu denir. veya ise x= a doğrusuna y= f(x) eğrisinin bir düşey

11 Bir y=f(x)= fonksiyonu için q(a)= 0 ise veya olacağından bu durumda x=a doğrusu düşey asimtottur. Kesirli fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan değerler düşey asimtotu verir. A2) Yatay Asimtot A IR olmak üzere f:a IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer, ise y=b doğrusuna y=f(x) eğrisinin bir yatay asimtotu denir. y=f(x)= fonksiyonunda p(x) ve q(x) birer polinom olmak üzere, - p(x) ve q(x) polinomlarının dereceleri birbirine eşit ise yatay asimtot vardır ve p(x) ve q(x) in en büyük terimlerinin oranı b ise y=b doğrusu yatay asimtottur. - p(x) polinomunun derecesi q(x) polinomunun derecesinden küçük ise y=0 doğrusu yatay asimtottur. - p(x) polinomunun derecesi q(x) polinomunun derecesinden büyük ise yatay asimtot yoktur. A3) Eğik Asimtot A IR olmak üzere f:a IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer Olacak biçimde m ve n sayıları varsa y=mx+n doğrusuna y=f(x) eğrisinin bir eğik asimtotu denir. Bir y=f(x) eğrisinin y=mx+n biçiminde eğik asimtotunun var olması için gerek ve yeter şart olmasıdır., veya, y=f(x)= biçimindeki polinomların oranı olarak verilen fonksiyonlarda p(x) in derecesi q(x) in derecesinden bir büyük ise, bir diğer ifadeyle, p(x) = derece q(x)+1 oluyorsa eğik asimtot vardır. Bu durumda p(x) in q(x) e bölünmesiyle elde edilen tam kısım eğik asimtotu verir. B) EĞRİ ASİMTOTLAR A IR olmak üzere f:a IR, y=f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer eğri asimtotu denir. olacak biçimde bir y=g(x) eğrisi var ise y=g(x) eğrisine y=f(x) eğrisinin bir

12 y= biçiminde polinomların kesiriolan bir fonksiyonda payın derecesi paydanın derecesinden en az iki fazla ise f(x) in eğri asimtotu vardır. Bu eğri asimtot payın paydaya bölümünden elde edilen bölümdür.