2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin çözümlenmesi. ARAÇLAR Kuvvet tablası, ağırlıklar (10g, 20g ve 50g), ağırlık taşııcıları, grafik kağıdı, su terazisi. GİRİŞ Bir noktaa anı düzlemde ve anı anda etki eden kuvvetler, eş zamanlı düzlemsel kuvvet sistemini oluştururlar. Bu tür kuvvet sistemi, anı noktaa ugulanan ve kuvvet sistemi ile anı etkii apan başka bir kuvvet ile er değiştirebilir. İşte bu kuvvete sistemin bileşke kuvveti denir ve R ile gösterilir. Üzerine kuvvetlerin ugulandığı bir parçacık, eğer ne doğrusal bir hareket ne de bulunduğu nokta etrafında dönme hareketi apmıorsa ve bu halini gözlem süresi bounca sürdürüorsa bu parçacık için dengededir deriz. Bu açıklamadan parçacığa etkien kuvvetlerin bileşkesinin büüklüğünün sıfır olacağı sonucu çıkar. (Yardımcı bilgi; Newton'un 1. ve 2. hareket asalarını öğreniniz.) Kuvvetler alnız, bir düzlemde ugulanmaıp üç boutta da (,,z) ugulanabileceğinden artık düzlemsel terimini kullanmaıp, kuvvetleri eş zamanlı kuvvetler olarak adlandıracağız. Eş zamanlı kuvvet sistemi bir kuvvetle dengelenebilir. İşte bu kuvvete dengeleici kuvvet denir ( D ) ve ugulanma noktası eş zamanlı kuvvetlerinki ile anı olup, doğrultusu bileşke kuvvet R nin tersi önündedir. Şekil 1'de bileşke ve dengeleici kuvvet arasındaki ilişki gösterilmiştir. Not: Kou renk ile azılı harfler vektörü göstermektedir. Şekil 1 Vektörler, büüklüğü ve önü olan doğru parçaları olarak bilinir. Bu denede kuvvetlerin ugulanma doğrultuları ve büüklüklerinden bahsedeceğimize göre kuvvetleri de vektörler ile gösterebiliriz. Bölece kuvvet problemlerini vektörlerin çözümlenmesi öntemlerine göre analiz edebiliriz. 25
Vektörlerin Toplanması Yöntemleri Paralelkenar Metodu: Bileşke kuvveti belirlemek için kullanılan paralelkenar metodu, bilinen iki kuvvet vektörleri A ve B nin başlangıç noktaları anı tutularak paralelkenar oluşturulması ilkesine daanır. R, A ve B vektörlerinin bileşkesidir (Şekil 2). İki eşzamanlı kuvvet A ve B nin bileşke kuvvetinin büüklüğü (Şekil 2 deki gibi), kuvvetlerin aralarındaki açı ve büüklükleri kullanılarak R 2 = A 2 + B 2 +2 A B cosα (1) bulunabilir. Bu ifadee cosinüs teoremi denir. Şekil 2. Paralelkenar metodu Uçuca Ekleme Yöntemi: Uçuca ekleme öntemi sistemdeki kuvvet saılarına göre iki farklı isim almaktadır. Herhangi bir sisteme (bu denede halkaa) eğer iki kuvvet ugulanıorsa bileşke kuvvet vektör üçgeni metodu (Şekil 3), eğer ikiden çok kuvvet ugulanıorsa bileşke kuvvet poligon metodu (Şekil 4) ile bulunabilir. Şekil 3. Vektör üçgeni metodu. Eğer A ve B kuvvetleri eş zamanlı ise bunların bileşkesi, vektörlerinin bitiş noktasının başlangıç noktasına birleştirilmesile bulunur. Bunun için A vektörü sabit tutulur, B vektörünün doğrultusu değiştirilmeksizin başlangıç noktası A vektörünün bitiş noktasında olacak şekilde kadırılır. Sabit A vektörünün başlangıç noktası ile B vektörünün bitiş noktasını birleştiren bir vektör çizilir. Bu vektör sistemin bileşke vektörüdür. Eğer bu vektör PO önünde okunursa bileşke vektörünü, OP önünde okunursa dengeleici kuvveti verir. Vektörlerin toplanmasında kullanılan öntemlerden biri de uçuca ekleme önteminin poligon metodudur (Şekil 4). Bu önteme göre bir vektör bir erden başka ere önü ve büüklüğü değiştirilmeden taşınabilir. Bölece verilen kuvvet vektörlerini birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktasına gelecek şekilde erleştirir ve birinci vektörün başlangıç noktasından son vektörün bitiş noktasına bir vektör çizersek, bu vektöre sistemin bileşke vektörü denir. 26
Şekil 4. Poligon metodu. Analitik Metot: Vektörel kuvvetler düşe ve ata bileşenlerine arılarak da çözümlenebilirler (Şekil 5). Bu önteme analitik metot denir. Bileşke kuvveti bulmakta kullanılan analitik metot bir noktaa ugulanan kuvvetlerin vektörlerini düşe ve ata bileşenlerine aırıp, bileşenlerin arı arı toplanmasından oluşan bir öntemdir. Bir F vektörünün ata F ve düşe F bileşenleri F = F cosθ ve F = F sinθ (2) eşitliklerinden bulunur. F 1 R ΣF F 2 F 1 F 2 = F + F 1 2 = F + F 1 2 2 2 R = + R = Arc θ tan F 1 θ 1 θ 2 ΣF F 2 Şekil 5. Analitik Metot. Eğer bir P noktasına n tane, farklı büüklüklerde ve doğrultularda kuvvetler ugulanmış ise, kuvvetlerin ata bileşenlerini ve düşe bileşenlerini de ile gösterirsek, ata ve düşe bileşenlerin toplamı 27
n = F + F +... + F 1 2 n 1 (3) n = F1 + F2 +... + Fn 1 (4) olur. (3) ve (4) eşitliklerinden bileşke kuvvetin ata ve düşe bileşenlerini bulmuş oluruz. Bileşke kuvvet R nin büüklüğü 2 2 R = + (5) ile, bileşke kuvvetin atala aptığı açı ise θ R = Arc tan (6) şeklinde bulunur. DENEYİN YAPILIŞI Kuvvetlerin analizi Şekil 6'da görülen kuvvet tablası kullanılarak apılacaktır. Büüklükleri isteğe göre seçilmiş kuvvetler (bu denede ağırlıklar), 360 lik bir uvarlak masa çevresinde hareket ettirilebilen makaralar ve ipler ardımıla masanın ortasında bulunan pime takılı bir halkaa ugulanırlar. Kuvvetlerin büüklükleri ve doğrultuları öle seçilmeli ki halka, merkezdeki pim olmaksızın durmalıdır vea pime dokunmamalıdır. İşte böle bir duruma sistemin denge hali denir. Böle bir durumda kuvvetlerden biri diğer kuvvetler tarafından oluşturulan sistemin dengeleici kuvveti olarak alınabilir. Şekil 6. Kuvvet Tablası. Kuvvet tablasını kurunuz, su terazisi kullanarak tablaı er düzlemine tamamen paralel konuma getiriniz. Bunu apabilmek için su terazisinin önünü bir kaç defa değiştirerek tablanın aaklarını aarlaınız. Eğer tabla er düzlemi ile bir θ açısı aparsa denee etkisi ne olur? 1. Birbirinden farklı büüklükte ve aralarındaki açı 90 olmaan iki kuvveti, kütleler, makaralar ve ip ardımıla oluşturunuz. Bunları pim, tablanın ortasında takılı iken apınız. Şimdi üçüncü kuvvetin bu sistemi dengee getirecek biçimde kütleleri ve makaranın 28
konumunu değiştirerek oluşturunuz. Sistemin dengede olup olmadığını kuvvetlerin ugulandığı halkanın pime dokunup dokunmadığından kontrol ediniz. Kuvvetlerin büüklüklerini ve aralarındaki açıı veri tablosuna kadediniz. Bu işlemleri farklı büüklük ve açılar için de tekrarlaınız. Ağırlıklardan oluşan bir kuvvetin büüklüğü F=mg olarak bulunur. Burada m ağırlıkların kütlesi olup kg ile ölçülür, g erçekimi ivmesi olup birimi m/s 2 dir. Bu denede g nin büüklüğü 10 m/s 2 olarak alınacaktır. Bölece ağırlıklardan oluşan bir kuvvetin büüklüğü F=mg olmak üzere, birimi; F 2 2 = mg = ( kg)( m / s ) = kg m / s (7) dir. Bu birime Newton denir ve N harfi ile gösterilir. 1N' luk kuvvetin anlamı ise; 1kg kütleli bir cismi 1 m/s 2 lik bir ivme ile harekete geçirecek kuvvettir. Bölece bir cismin ağırlığı, kütlesi m ile erçekimi ivmesi g nin çarpımına eşittir ve F g =W ile gösterilir, birimi de Newton' dur. 2. Büüklükleri ve aralarındaki açı farklı olan üç tane kuvvet oluşturunuz. Dördüncü bir kuvvetin büüklüğünü ve doğrultusunu aarlaarak sistemin dengee gelmesini sağlaınız. Sistem dengede iken kuvvetlerin büüklüklerini ve aralarındaki açıı kadediniz. Bu işlemi farklı kütleler için de bir defa daha tekrarlaınız. VERİLERİN ÇÖZÜMLENMESİ 1. İki Kuvvet, Bileşkesi ve Dengeleicisi: Şekil 1' deki gibi kuvvetlerin uza diagramını bir grafik kağıdına ölçekli olarak aktarınız. Bunu apabilmek için her 0.1 N luk bir kuvveti 2 cm ölçeği olarak alınız (a da ugun bir oran bulunuz). Bileşke kuvveti paralelkenar metodunu kullanarak çiziniz ve uzunluğunu ölçerek büüklüğünü bulunuz. Bileşke kuvvetin büüklüğünü (1) eşitliğinde verilen cosinüs teoreminden bulunuz. Bileşke kuvveti vektör üçgeni metodunu kullanarak çizimle bulunuz. Uzunluğunu ölçerek büüklüğünü bulunuz. Bileşke kuvveti analitik metot ardımıla bulunuz. Her öntem için dengeleici kuvveti de belirleiniz. Verileri ilgili tabloa kadediniz. Bulduğunuz değerleri, dene sonunda bulduğunuz değerlerle karşılaştırınız. 2. Üç Kuvvet, Bileşkesi ve Dengeleicisi: Birinci adımda anlatıldığı gibi üç kuvveti ve bunların bileşkesi ile dengeleici kuvvetinin uza diagramlarını grafik kağıdına çiziniz. 29
Anı grafik kağıdı üzerinde paralelkenar metodunu kullanarak bileşke ve dengeleici kuvveti bulunuz. Üç vektörün bileşkesinin önünü ve büüklüğünü analitik metodu kullanarak bulunuz. Bulduğunuz sonuçları kuvvet tablasından elde ettiğiniz sonuçlarla karşılaştırınız. KAYNAKLAR 1. D. Hallida -R. Resnick, Temel Fizik ( çeviri) 2. Berkele Fizik Programı Mekanik SORULAR 1. Kendi ağırlığınız ne kadardır birimi ile azınız. 2. 100 gr lık bir cisme etkien er çekimi kuvveti ne kadardır? Birimi ile birlikte azınız. 30