Bölüm 1: Temel Kavramlar

Kuyruk Teorisi Bölüm 1: Temel Kavramlar KONU 8 Kuyruk Teorisi nin Bileşenleri Varışlar: Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler Kuyrukta Bekleme : Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet almak için beklerler Hizmet : Mülşterilerin hizmeti alması ve müteakiben sistemi terk etmeleri gereklidir 1

İşletmelerde Kuyruk Sistemi Hizmeti alanlar sistemi terk eder Müşterilerin Varışı Hizmet Sunucu Mülteri Müşteriler sırada bekler Hizmet Varış Süreci 1. Deterministik Varış Süreci 2. Rassal Varış Süreci Poison Dağılımı 2

Poison Dağılımına Bağlı Olan Varışlar için Koşullar Düzenlilik Müşteri hizmet imkanından heran faydalanabilir Durağanlık Bekleme hattı her müşteri için aynı zaman ve uzuluktadır, durağandır Bağımsızlık Müşteriler birbirinden bağımsız olarak sisteme giriş yaparlar Poison Dağılıma Bağlı Varışlar t süresinde k varışın olma olasılığı P( X = k) = ( λt) e k! k λt λ = birim zamanda ortalama varış hızı t = zaman e = 2.7182818 k! = k (k-1) (k-2) (k-3)... (3) (2) (1) 3

Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi Müşteriler Poison dağılıma uygun varış yapmaktadır. Salı 8:00-9:00 = 6 müşteri (ortalama) ise; 8:00-8:30 Saatleri arasında varış yapma olasılığı nedir? Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi λ = 6 müşteri varışı / saat t = 30 dk. = 0.5 saat λ t = 6(0.5) = 3 müşteri 4

Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi P( X = k) = ( λt) e k! k λt P(X=0) = 3 0 e -3 / 0! = e -3 = 0.049787 P(X=1) = 3 1 e -3 / 1! = 3e -3 = 0.149361 P(X=2) = 3 2 e -3 / 2! = 9e -3 /2 = 0.224042 P(X=3) = 3 3 e -3 / 3! = 27e -3 /6 = 0.224042 P(X=4) = 3 4 e -3 / 4! = 81e -3 /24= 0.168031 1-0.049787-0.149361 = 0.800852 (~80.1 %) Bekleme Hattı Hatşekli (bir tane uzun bekleme hattı veya birkaç tane kısa hat) Hizmet sunucu A B C D Müşteriler 5

Bekleme Hattı Kuyruk Atlama (Müşteriler arası kuyruk atlama yapısı) Sunucu A Sunucu B Sunucu A Sunucu B Bekleme Hattı Katılmama (kuyruk yeterince uzun olduğunda müşterinin hatta girmekten vazgeçmesi) 6

Bekleme Hattı Öncelik (müşterilerin hizmet görme sıraları farklılık gösterebilir) İlk gelene, hizmet ilk olarak verilir (FCFS) Son gelene, hizmet en son verilir (LCFS) Rassal gelen, hizmeti rassal olarak alır Bekleme Hattı Atlamalı Bekleme Hatları (ikinci bir hat gerekli olduğunda kullanılır, araç muayene istasyonları) 7

Bekleme Hattı Homojen sıralar (Tüm müşteriler aynı seviyede hizmet ihtiyacındadır) Hizmet Süreci 1. Deterministik Hizmet Süreci 2.Rassal Hizmet Süreci Üssel Olasılık Dağılımı 8

Üssel Hizmet Dağılımının Süreye Bağlılığı f ( X ) = µ e µ X µ = ortalama servis hızı (birim zamanda hizmet sunulabilen ortalama müşteri sayısı) 1 / µ = ortalama servis zamanı t süresinde hizmetin tamamlanma olasılığı P( X t) = 1 e µ t Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi Hizmet süresi = 4 dk. Üssel dağılım Servis zamanının < 3 dk. dan kısa olma olasılığı? 9

Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi Ortalama servis zamanı = 1/µ = 4 dk. Ortalama servis hızı = µ = 1/4 müşteri / dakika Bir hizmetin 3 dk. dan kısa verilme olasılığı ; 3 dk. yı saate çeriverelim, 3/60 = 0.05 saat P(X<0.05) = 1 - e -15 x 0.05 = 1 - e -0.75 = 1-0.47237 = 0.52763 P( X t) = 1 e µ t Modeldeki Formüllerin Özeti Varışlar Arrivals Arrival Varış hızı rate = Average number of arrivals per unit time t sürede k varışını olma olasılığı Probability of k arrivals in t time Varışlar arasındaki Average ortalama time zaman between arrivals Herhangi bir varışın t Probability süre.inde gerçekleşme that an arrival will olasılığı occur within t time Probability Müteakip varışın that the t next arrival zamanı will içinde not occur within oluşmama t timeolasılığı ( λt) e k! 1 λ k λt e λt e λt Hizmet Services Service Hizmet rate hızı = Average number of services per unit time t sürede k hizmetin Probability verilme olasılığı of k services in t time 1 / λ 1/ µ Ortalama hizmet Avergae zamanı service time Probability Hizmetin t that süresinde service will tamamlanma be completed olasılığı within t time Servis süresinin t Probability süresinden that büyük service olma time olasılığı will be grater than t time 1 µ ( µ t) e k! k µt e µt e µt 10

Kesikli ve Sabit Durum Süreleri Kesikli Süreç :Başlangıçtaki kesikli sistem yapısı uzun vadede sistemi temsil edememektedir. Sabit Süreç :Uzun vadeli olasılıklar durağan bir hal sürecinde gerçekleşmektedir. Diğer ifadeyle, sistemde n müşteri bulunma olasılığı zamana karşı uzun vadede sabittir. # (müşteri sayısı) zaman Durağan Hale Ulaşmak için Bazı Gereklilikler Sistem Gereklilik Tekli hizmet sunucu λ < µ k sunucu, farklı hizmet hızları λ < µ 1 + µ 2 +.. +µ k k sunucu, aynı hizmet hızı λ < k µ 11

Durağan Hal Performans Ölçütleri P 0 : Sistemde müşteri olmama olasılığı P n : sistemde n müşteri olma olasılığı L: Sistemdeki ortalama müşteri sayısı L q : Sıradaki ortalama müşteri sayısı W: Sistemde bir müşteri tarafından harcanan ortalama zaman W q : Sırada bir müşteri tarafından harcanan ortalama zaman P w : Varış yapan müşterin hizmet almak için bekleme olasılığı ρ : Hizmet hattının kullanım hızı (hatların meşguliyet oranı, %) Little Modeli Kuyruk teroisi kapsamındaki performans kriterleri arasında karşılıklı ilişkileri Little formülleriyle çözümlemek mümkündür. L = λ W L q = λ W q L = L q + λ / µ 12

Kuyruk Sistemlerinin Gösterimi Varış Süreci / Hizmet Süreci/ Sunucu Sayısı M Markoviyan D Deterministik G Genel M / D / 5 M / D / 5 / 10 / 20 M / M / 1 Kuyruk Sistemi Özellikler Gelişler Poison dağılımdadır Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler Tekli hizmet sunucu vardır Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır Gelen müşteri sayısı sonsuzdur 13

Performans Ölçütleri P 0 = 1- (λ / µ) P n = [1 - (λ / µ)] (λ / µ) n L = λ / (µ - λ) L q = λ 2 / [µ(µ - λ)] W = 1 / (µ - λ) W q = λ / [µ(µ - λ)] P w = λ / µ ρ = λ / µ Bir müşterinin, sistemde t süresinden fazla bekleme olasılığı ; P(X>t)= e-(µ λ)t Örnek Ayakkabı Şirketi Müşteriler, 12 dakikada bir ortalama hızda ve posion dağılıma uygun olarak varış yapmaktadır. Servis hızı ortalama 8 dk. / müşteri irket yönetimi; bu hizmet için performans düzeyinin belirlenmesini istemektedir. 14

Örnek Ayakkabı Şirketi - Çözüm Veriler λ = 1/ 12 müşteri / dk. = 60/ 12 = 5 müşteri/saat µ = 1/ 8 müşteri / dk. = 60/ 8 = 7.5 müşteri/saat Performans Hesaplamaları P 0 = 1- (λ / µ) = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333 P n = [1 - (λ / µ)] (λ/ µ) = (0.3333)(0.6667)n L = λ / (µ λ) = 2 L q = λ 2 / [µ(µ λ)] = 1.3333 W = 1 / (µ λ) = 0.4 saat = 24 dk. W q = l / [µ(µ λ)] = 0.26667 saat = 16 dk. P w = λ / µ = 0.6667 ρ = λ / µ = 0.6667 Kuyruk Teorisi Bölüm 2 : Modeller 15

M / M / k kuyruk Sistemi Özellikler Gelişler Poison dağılımdadır Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler k tane sunucu vardır ve bunların müşteri hizmet hızı µ dır Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır Gelen müşteri sayısı sonsuzdur Performans Ölçütleri P 0 = k 1 n = 0 1 n k 1 1 k n λ + k λ µ! µ! µ k µ λ n λ µ Pn = P0 for n k. n! n λ µ P n = P n k 0 for n > k. k! k 16

λ µ µ 1 W = P + 2 0 k k µ λ µ ( 1)!( ) k Performans Ölçütleri Little Formülünden; diğer performans ölçütleri olan L, L q, W q, hesaplanabilmektedir. P w = k 1 k λ µ P k! µ kµ λ 0 ρ λ = kµ Örnek Posta Ofisi Postane cumartesileri 9:00 ile 13:00 saatleri arasında açık kalmaktadır. Veriler - Bu sürede, sisteme ortalama olarak 100 müşteri gelmekte ve bu kişilere 3 adet personel hizmet vermektedir. - Varışlar Poison dağılımına, hizmet süreleri ise Üssel dağılıma uygun olmaktadır. Postane Yöneticisi aşağıdaki hususları öğrenmek istemektedir ; - Mevcut hizmetin seviyesinin değerlendirilmesi - Tek personele düşüldüğü takdirde bu durumun hiztmete olan etkileri 17

Örnek Posta Ofisi - Çözüm Problemdeki veriler incelendiğinde sistemin M / M / 3 kuyruk sistemi olduğu anlaşılmatadır. Veriler λ = 100 müşteri / saat µ = 40 müşteri / saat (60 / 1.5) Durağan durum var mıdır? (λ < kµ ) λ = 100 < kµ = 3(40) = 120 Durağanlık söz konusudur Özellikler M / G / 1 kuyruk Sistemi Müşteriler Poisson dağılıma uygun olarak ve λ ortalama debisinde varış yapmaktadır. Hizmet süresi ortalama hizmet hızı µ olan genel dağılım sergilemektedir. Tekli hizmet sunucu mevcuttur. Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır Gelen müşteri sayısı sonsuzdur 18

L için Pollaczek Khintchine Formülü L = ( ) 2 λ σ + λ µ 2 1 λ µ 2 + λ µ Dağılımın yalnızca ortalaması ve standart sapması belirli ise yukarıdaki formül kuyruk uzunluğunun tespitinde kullanılabilmektedir. Örnek TV Tamir Şirketi Veriler Bir Tv veya setin tamiri ortalama 2.25 saattir. Tamir süresinin standart sapması 45 dk. dır. Müşteriler Poison dağılım ile varış yaparlar, ortalama varış hızı 2.5 müşteri / saat tir. Tek çalışan günde 9 saat çalışmaktadır. Yeni alınacak tamir ekipmanı ile; yeni tamir süresinin 2 saat, standart sapmasının ise 40 dk. ya düşmesi beklenmektedir. 19

Örnek TV Tamir Şirketi İstenenler: 1)Tamirat için bekleyen ortalama set miktarı 2) Bir müşterinin ortalama bekleme süresi Örnek TV Tamir Şirketi - Çözüm Bu verilerden sistemin M / G / 1 olduğu anlaşılmaktadır. Veriler Mevcut sistem (yeni ekipman olmadan) λ = 1/ 2.5 = 0.4 müşteri / saat µ = 1/ 2.25 = 0.4444 müşteri / saat σ = 45/ 60 = 0.75 saat Yeni sistem (yeni ekipman oluduğu takdirde) µ = 1/2 = 0.5 müşteri / saat σ = 40/ 60 = 0.6667 saat 20

Kuyruk Teorisi Bölüm 3 : Ekonomik Analiz Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi Servis Sistemlerinde Maliyetler Servis süreci yatırım maliyeti Sisteminİşletim maliyeti İşletim Maliyeti = Bekleme Maliyeti + Servis Maliyeti Bekleme Maliyeti = f (Servis debisi, Geliş debisi) Servis Maliyeti = h (Servis debisi) Maliyetler Toplam Maliyet (TM) Hizmet Maliyeti (C 2 ) Hizmet Seviyesi Bekleme Maliyeti (C 1 ) Servis Debisi 21

Optimal Hizmet Hızı TM Maliyeti Rassal Değişken ise; TM = Bekleme Maliyeti + Servis λ µ λ B (TM) = C 1 + C 2 µ µ * = λ + C1λ C 2 µ * = Servis hızının optimum değeri λ = Ortalama varış hızı Optimal Hizmet Hızı Örnek: Bir depoya araçların gelişi Poison olup, saatte ortalama 10 araç gelmektedir. 6 kişilik bir boşaltım ekibi bir aracı ortalama 5 dakikada boşaltabilmektedir. Boşaltım süresinin üssel dağılım sergilemektedir. Bir aracın bir saat bekleme maliyeti 25.000 birimdir. Ekipteki kişilere saat başı 5.000 birim ödenmektedir. Bu veriler ışığında, en iyi ekip sayısını bulunuz. 22

λ = 10 araç/saat C 1 = 25.000 birim C 2 =? C 2 = 6 x 5.000 / 12 = 2.500 birim Optimal Hizmet Süresi x : Ekipteki kişi sayısı (ortalama debiden bulunacaktır) 1 saatte 6 kişi 12 araç 1 saatte x kişiµx araç (lineer ilişki olsun) µx = 12x / 6 = 2x µ*x = 20 araç / saat (formülden bulunur) 20 = 2x ise; x= 10 kişilik ekip Not: µx kesikli değişken ise, farklı µx ler bulunarak en düşük toplam maliyetlisi seçilir. Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi Daha önceki bölümlerde açıkladığımız performans ölçütlerinin tanıtılmasındaki temel amaç, söz konusu ölçütlerin minimal maliyetli kuyruk sistemlerinin geliştirilebilmesidir. Bu kapsamda, aşağıda sunulan maliyetlerin tahmini gerekmektedir : Sunucu başına saatlik maliyet Müşterinin bekletilmesine yönelik maliyet (şerefiye) Müşteriye bekleme hattında hizmet sunulmasının maliyeti 23

Örnek Gıda Şirketinin Müşteri Hattı Bir gıda şirketi, müşterilerinin sorularına cevap verebilmek için 800 numaradan hizmet vermektedir. Veriler Saatte ortalama 225 çağrı alınmaktadır. Her görüşme ortalama 1.5 dk. sürmektedir. Müşterinin hatta bekleme süresi 3 dk. dır. Müşteri hizmetleri temsilcisi saatte 16 $ kazanmaktadır. Gıda şirketi, telefon operatörüne müşteriler hatta kaldığında veya hizmet verildiğinde dakkada 0.18 $ ödemektedir. Müşterinin hatta kalmasının maliyeti 0.2 $/dk. dır. Müşterilere hizmet sunulmasının maliyeti 0.05 $/dk. dır Bu kapsamda, saatlik faaliyet maliyetini minimize edebilmek için Gıda irketi nin kaç adet müşteri hizmetleri temsilcisi istihdam etmesi gerektiğini bulunuz. Çözüm - Toplam Maliyet Modeli k adet müşteri temsilcisi istihdam etmenin saatlik toplam ortalama maliyeti Saatlik toplam ortalama telefon gideri Hizmet sunulan müşterilerin saatlik ortalama şerefiye maliyeti TC(k) = C w k + C t L + g w L q + g s (L - L q ) Toplam saatlik maaş Beklemedeki müşterilerin ortalama saatlik şerefiye maliyeti TC(k) = C w k + (C t + g s ) L + (g w g s ) L q 24

Çözüm - Toplam Maliyet Modeli Veriler C w = $16 C t = $10.80 /saat [0.18(60)] g w = $12 /saat [0.20(60)] g s = $0.05 /saat [0.05(60)] Toplam Saat Başı Ortalama Maliyet : TC(k) = 16k + (10.8+3)L + (12-3)L q = 16k + 13.8L + 9L q Çözüm - Toplam Maliyet Modeli Gelişlerin Poisson, servis zamanının ise Üssel dağılım sergilediği varsayılırsa, M / M / k kuyruk sistemi üzerinden gerekli hesaplamalar yapılabilir. λ = 225 çağrı /saat µ = 40 / saat (60 / 1.5) Durağan durumun oluşması için (λ < kµ) mümkün olan minimal k değeri 6 olacaktır. L, L q, and W q parametreleri için gerekli işlemler yapıldığında aşağıdaki sonuçlara ulaşılmaktadır. 25

Değişik Müşteri Sayılarının Maliyete Etkisi k = 6, 7, 8, 9, 10 için hesaplamalar yapılamalıdır. k L L q W q TC(k) 6 18.1249 12.5 0.05556 458.62 7 7.6437 2.0187 0.00897 235.62 8 6.2777 0.6527 0.0029 220.50 9 5.8661 0.2411 0.00107 227.12 10 5.7166 0.916 0.00041 239.70 Sonuç : bu veriler ışığında 8 adet müşteri temsilcisinin istihdamı önerilebilir. Atlamalı Kuyruk Sistemleri Atlamalı kuyruk sisteminde, müşteri belirli bir hizmet sunucusunda hizmetini temin ettikten sonra diğer sunucuları da ziyaret etmektedir. Müşterilerin Poison dağılımına uygun olarak varış yaptıkları ve sunulan hizmetin zamanının ise üssel dağılım sergilediği dikkate alındığında; Sistemdeki Her Sunucu Toplam Ortalama = İstasyonundaki Zaman Ortalama Hizmet Sürelerinin Toplamı 26

Ödev 8 Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1 Müzik ekipmanları satışı gerçekleştiren bir şirketin satış süreci aşağıdaki gibidir : - Müşteriler siparişlerini satış temsilcisi kanalıyla vermektedir. - Müşteri daha sonra kasaya giderek siparişinin ödemesini gerçekleştirir. - Ödemeyi müteakiben, müşteri ürünü alabilmek için teslimat masasına yönlendirilmektedir. Normal bir Cumartesi günü için veriler: a) Personel: 8 satış görevlisi, 3 kasiyer, 2 işçi teslimat alanında görevlidir. b) Ortalama Hizmet Süreleri : Satış görevlisinin bir müşteri için beklediği ortalama süre 10 dk. Ödeme süreci için gereken ortalama süre 3 dk. Teslimat işlemi için gereken ortalama süre 2 dk. c) İstatistiksel Dağılımlar : Tüm hizmet birimlerinde hizmet süreleri Üssel dağılım sergiler Müşterilerin sisteme varışları Doç. Dr. Fazıl Poison GÖKGÖZ dağılımda olup, varış hızı 40 müşteri/saat tir. Ödev 8 Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1 Varış yapan müşterilerin %75 i satın alma gerçekleştirilyor ise; 1) Verileri dikkate alarak soruya uygun olan kuyruk sisteminin türünü belirleyiniz. 2) Müzik aletleri satış merkezinde bir müşterinin satın alma işlemi için harcadığı ortalama süreyi bulunuz. 3) Hizmet istasyonlarına ilişkin akım şemasını çiziniz ve ilgili kuyruk sitemi notasyonlarını da belirterek tüm sonuçlarınızı gösteriniz. Bu kapsamda gerekli açıklama ve yorumları yapınız. Teslim Tarihi : 24 Mayıs 2006 27

λ µ λ B (TM) = C 1 + C 2 µ (Eşitlik 1) Ödev 8 Bölüm - 2 µ * = λ + C1λ (Eşitlik 2) C 2 Toplam maliyet fonksiyonu (Eşitlik 1) dikkate alarak, optimal hizmet debisinine ilişkin Eşitlik 2 nin nasıl elde edilebileceğini gerekli matematiksel işlemleri yaparak açıklamalar ile gösteriniz. Bu sorudaki veriler üç istasyonlu atlamalı kuyruk sistemidir. M / M / 8 Çözüm M / M / 3 M / M / 2 λ 2 = 30 W 2 = 3.47 λ 3 = 30 W 3 = 2.67 λ 1 = 40 W 1 = 14 Toplam süre = 20.14 dk. 28