KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ

Transkript

1 SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II KUYRUK TEORİSİ III KUYRUK SİSTEMLERİ DERS NOTLARI

2 M/M/1/GD/c/ KUYRUK SİSTEMİ Geçen dersimizde sistemin kapasitesini sınırsız görmüştük. Şimdi eğer kuyruk ve servis gören elemanların (sistemin) kapasitesi sınırlıysa durum ne olur onu göreceğiz. Eğer sistemin kapasitesi aynı anda en fazla c müşteri ise, yeni gelen müşteriler eğer sistemde c den az müşteri varsa sisteme girer ve sistemdeki eleman sayısı 1 artar. Eğer sistemde c müşteri varsa yeni gelen müşteriler sisteme dahil olmadan sistemi terkeder. Bunlar kaybedilmiş müşteriler olurlar. Bu sistemde de gelişler ararası süre ve servis süresi üstel dağılıma uymaktadır. Bu sistem aşağıdaki şekildeki gibi doğum-ölüm süreci olarak modellenebilir. Şekil 11 : M/M/1/GD/c/ kuyruk sisteminin hız(oran) diyagramı

3 Sistemin kapasitesi c dir ve ρ = λ dir. Böyle sitemde ρ >=1 olsa bile kararlılık durumu µ olasılıkları vardır. Çünkü sistemin kapasitesi c olduğu için sistemde şişme hiçbir zaman olmaz. Eğer λ µ ise aşağıdaki formüller geçerlidir.

4 Eğer λ= µ ise aşağıdaki formüller geçerlidir.

5 W ve Wq değerlerinin (28) ve (29) formüllerine gör elde edilmesi ince bir yorumla olur. λ little formülünde (28 ile 30 formüllerinde) birim zamanda sisteme giren ortalama müşteri sayısı idi. Sistemin kapasitesi olduğu durumda, sistemde c müşteri olduğunu görenler sisteme girmeden sistemi terkeder. Bu durumda Birim zamanda sisteme ortalama giriş artık λ λπ c olur. λ λπ c = λ(1 π c ) olur. Bu durumda (28) ve (29) formüllerini ulaştığımız efektif geliş oranı ile birleştirirsek aşağıdaki formüllere ulaşırız.

6 ÖRNEK 5: Bir servisçinin olduğu berber dükkanında toplam 10 sandalye vardır. Gelişlerarası süre ve saç kesimi üstel dağılmaktadır. Ortalama saatte 20 müşteri gelmektedir. Dükkanı dolu gören müşteriler sistemi terk etmektedir. Bir saç kesimi Berberin 12 dakikasını almaktadır. Bu durumda aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Ortalama, berber 1 saatte kaç tıraş yapar? b) Ortalama olarak, Sisteme giren bir müşteri sistemde ne kadar süre harcar? ÇÖZÜM a) c=10, λ=20, μ=5, ρ=20/5= 4 olur. Π 10 sisteme gelip de sistemi dolu gören müşteri oranıdır. Sisteme giren bütün müşteriler tıraş olmaktadır. Sisteme saatte efektif giren müşteri sayısı λ eff =λ(1- Π 10 ) olur. (34) teki eşitlikleri kullanarak Π 0, Π 10 değerlerini bulabiliriz. Π 0 değerini hesaplarsak Π 0 = 1 4 olur Π 10 değerini hesaplarsak Π 10 =ρ 10 Π 0 = =0,75 olur λ eff = λ(1- Π 10 ) = 20 (1-0,75) = 5 tane müşteri efektif olarak sisteme girer ve tıraş olur.

7 ÖRNEK 5: Bir servisçinin olduğu berber dükkanında toplam 10 sandalye vardır. Gelişlerarası süre ve saç kesimi üstel dağılmaktadır. Ortalama saatte 20 müşteri gelmektedir. Dükkanı dolu gören müşteriler sistemi terk etmektedir. Bir saç kesimi Berberin 12 dakikasını almaktadır. Bu durumda aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Ortalama, berber 1 saatte kaç tıraş yapar? b) Ortalama olarak, Sisteme giren bir müşteri sistemde ne kadar süre harcar? ÇÖZÜM b) W değerini bulmak için (35) ve (37) eşitliklerini kullanırız. (35) i kullanırsak L (Sistemdeki müşteri sayısı) değerini buluruz. L = ρ[1 c+1 ρc +cρ ] (1 ρ )(1 ρ) = 9,67 müşteri (ρ=4 alınmıştır) W = L/ λ eff = 9,67/5 = 1,93 saat Sonuçlara baktığımızda berberin oldukça yoğun olduğu ve müşterilerin epey beklemek zorunda olduğu görülmektedir. Berber en az bir tane eleman tutmalıdır.

8

9 M/M/s/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ Bu kuyruk sisteminde gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. s adet servis elemanı vardır. Kuyruk disiplini genel kuyruk disiplinidir. Sistem kapasitesi sonsuzdur ve müşterilerin geldiği popülasyonun kapasitesi sonsuzdur. Bu kuyruk sistemini doğum-ölüm süreci gibi modellersek aşağıdaki şekilde verilen oran diyagramını elde ederiz. Şekil 12: M/M/s/GD/ / KUYRUK SİSTEMİ için hız diyagramı

10 Bu durumda s adet servisçi vardır. ρ = λ olur. Burada Eğer ρ <1 ise kararlılık durumu sµ olasılıkları mevcuttur. (38) i (16)-(19) Eşitliklerinde yazarsak aşağıdaki formüllere ulaşırız.

11 ρ >=1 ise kararlılık durumuna erişilemez. Sistem şişer ve patlar (sistemdeki müşteri sayısı sürekli artar). (39.2) den bütün servisçilerin dolu olması olasılığını (P(j >= s)) aşağıda (40) daki gibi elde ederiz. Lq ise aşağıda (41) deki gibi elde edilir. Takibeden slaytta tablo 6 da bazı durumlar (ρ ve s değerleri) için P(j >= s) değerleri verilmiştir.

12 Tablo 6 da bazı durumlar (ρ ve s değerleri) için P(j >= s) değerleri verilmiştir. Tablo 6: verilen ρ ve s değerleri için M/M/s/GD/ / sisteminde j nin s den büyük olma olasılığı j:sistemdeki müşteri sayısı

13 (28) Formülü (L = λ W (28)) Formülü aşağıdaki gibi olur (42). L ve W değerlerini elde ederken L = Lq + Ls ve Ws = 1/µ ve Ls = λ / µ eşitliklerini kullanırız.

14 L değerini (43) deki gibi W değerini (44) deki gibi buluruz.

15 ÖRNEK 6: İki memuru olan bir banka şubesi düşünün. Ortalama olarak bankaya saatte 80 müşteri gelmekte ve boş memur için ortak (tek) kuyrukta beklemektedirler. Bir müşteriye ortalama hizmet 1,2 dakika sürmektedir. Gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. a) Bankadaki beklenen müşteri sayısı nedir? b) Müşterinin bankada geçirdiği süre nedir? c) Servisçilerin boş olma oranı nedir? ÇÖZÜM : a) Sistemimiz M/M/2/GD/ / kuyruk sistemidir. λ = 80 müşteri, μ= 50 müşteri ve ρ=80/(2*50) = 80/100=0.8 <1 (Kararlılık durumu mevcut) dir. Tablo 6 ya baktığımızda P(j>=2) = 0,71 dir. Eşitlik (41) uygulanırsa Lq= P(j s)ρ 1 ρ = 2,84 müşteri Eşitlik (43) uygulanırsa L = Lq + λ/ μ =4,44 müşteri

16 ÖRNEK 6: İki memuru olan bir banka şubesi düşünün. Ortalama olarak bankaya saatte 80 müşteri gelmekte ve boş memur için ortak (tek) kuyrukta beklemektedirler. Bir müşteriye ortalama hizmet 1,2 dakika sürmektedir. Gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. a) Bankadaki beklenen müşteri sayısı nedir? b) Müşterinin bankada geçirdiği süre nedir? c) Servisçilerin boş olma oranı nedir? ÇÖZÜM : b) W = L/ λ =4,44/80 = 0,055 saat =3,3 dak. c) Memurun boş olma yüzdesini şu şekilde hesplarız. Eğer sistemde hiç müşteri yoksa memur boş olacak, eğer sistemde 1 müşteri varsa memur %50 ihtimalle boş olacak, diğer durumlarda dolu olacaktır. Şu halde Boş olma oranı = Π 0 + 0,5Π 1 olacaktır. Eşitlik (40) kullanılırsa Π 0 = P j s s!(1 ρ) (sρ) s = 0,11 olur Eşitlik (39.1) kullanılırsa Π 1 = (sρ)j Π 0 j! = 0,176 Boş olma oranı = Π 0 + 0,5Π 1 = 0,11 + 0,5*0,176 =0,198 olur.

17 ÖRNEK 7: Banka Yöneticisi Cuma günleri kaç tane memur çalışacağına karar verecektir. Müşteriler her bir dakika bekletildiğinde 5 cent bekletme maliyeti oluşmaktadır. Bankaya dakikada 2 müşteri gelmektedir. Bir müşterinin servisini tamamlamak ortalama iki dakika sürmektedir. Bir memuru çalıştırma maliyeti $9/saattir. Gelişlerarası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. Servis maliyeti ve bekleme maliyetini (Toplam maliyeti) minimize etmek için kaç tane servis elemanı çalışmalıdır. ÇÖZÜM 7: λ=2 müşteri/dk, μ=0,5 müşteri/dk ρ = λ sμ < 1 olmalıdır. 4 < 1 olmalıdır. Şu halde s>=5 s olmalıdır. Toplam Maliyet = Servis Maliyeti Dakika + Bekleme maliyeti Dakika Servis Maliyeti Dakika = (9/60)s = $0,15s Bekleme maliyeti Dakika Beklenen müşteri = ( Dakika ) ( Bekleme maliyeti müşteri ) = 2*Wq*($0,05) = $0,10*Wq s=5 için ρ = λ sμ = 2/(5*0,5) = 0,80 Tablo 6 dan P(j>=5) =.55

18 (42) Eşitliğini kullanırsak Wq = Lq/λ = P(j s) = 1,1 dakika sμ λ Böylece s=5 için S=5 için Bekleme maliyeti Dakika = 0,10 * 1,1 = $0,11 Toplam maliyet Dakika = 0,15*5 + 0,11 = $0,86 olur. Eğer 6 memur çalışsaydı Servis maliyeti = 6* 0,15 = $0,90 olur. Böylece 6 memur çalıştığında sadece servis maliyeti 5 memur çalıştığında oluşan toplam maliyetten fazladır. Şu halde 5 memurdan fazla çalıştırmak karlı değildir. Optimum servis eleman sayısı 5 olur.

19 M/G/ /GD/ / ve GI/G/ /GD/ / KUYRUK SİSTEMLERİ Bu tip kuyruk sistemlerine pek çok örnek vardır. Bu sistemlerde sonsuz servisçi vardır veya bu sistemler self servis sistemleridir. Gelişler üstel yada genel dağılıma uyabilir. Servis süreleri genel dağılım olabilir. Kuyruk disiplini genel disiplin olabilir. Sistem kapasitesi sonsuz ve müşterilerin geldiği popülasyon sınırsızdır. Bu sistemler aşağıdaki gibi işler; 1. Gelişlerarası süre bbd olup dağılım A ya uyarlar ve E(A) = 1/λ. Böylece geliş oranı (hızı) λ olur. 2. Müşteri sisteme geldiğinde hemen servis başlar. Her bir müşterinin serviste geçirdiği süre S dağılımına uysun. E(S)=1/μ olsun. Servis hızı böylece μ olur L sistemdeki müşteri sayısı olsun. W bir müşterinin sistemde harcadığı süre olsun. W = 1/μ olur. W yi kullanarak L e karar veririz. L= λw = λ/ μ olur. (47) (47) için üstel dağılım zorunluluğu (hem gelişlerarası süre hemde servis süresi için) yoktur. Fakat aşağıdaki eşitlik için gelişlerarası sürenin üstel dağılması gerekmektedir. Servis süresi dağılımı hala herhangi bir dağılım (genel dağılım) olabilir. Sistemde j müşteri olmasının kararlılık olasılıkları (Poisson dağılımına uyar)aşağıdaki gibi bulunur. Πj = λ μ j e (λ/ μ) j!

20 ÖRNEK 8 : Her yıl XYZ kasabasında 3 tane dondurma dükkanı açılmaktadır. Her bir dondurma dükkanı ortalama 10 yıl işte kalmaktadır. Ocak tarihinde a) kasabada ortalama dondurma dükkânı adedi ne olur? b) Bu tarihte kasabada 25 dondurma dükkanı olması olasılığı ne olur? (Eğer dükkan açılma süresi üstel dağılıyorsa) CEVAP 8: a) λ = 3 dükkan/yıl dır. 1/μ = 10 yıl dır. Kararlılık durumuna ulaşıldığında ortalama olarak L = λ (1/μ ) =3*10 = 30 dükkan olur. b) Dükkan açılma süresi üstel dağıldığından 25 dükkan olma olasılığını bulabiliriz. Π 25 = λ μ j e (λ/ μ) j! = e (30) 25! = 0,05 olur.

21 M/G/ 1 /GD/ / KUYRUK SİSTEMİ Bu sistemde servis süreleri üstel olmak zorunda değildir. Herhangi bir dağılım olabilir. Servis süreleri S dağılımı, E(S) = 1/μ ve Var S = σ 2 olsun. Servis süreleri üstel dağılım olmadığı için bu sistem bir doğum-ölüm süreci değildir. Unutkanlık özelliği artık yoktur. Servis süresi son servisin bitiş zamanından bağımsız değildir. Bu sistem doğum-ölüm süreci olmadığından kararlılık durumu olasılıklarını bulmak zordur. Fakat Allahtan, Pollaczeck ve Khinchin in sonuçlarını kullanarak Lq,L,Ls,Wq,W,Ws değerlerine karar verebiliriz. M/G/ 1 /GD/ / kuyruk sistemi için Pollaczeck ve Khinchin yukarıdaki değerlerin aşağıdaki eşitliklerle bulunabileceğini göstermiştir. Lq= λ2 σ 2 +ρ 2 2(1 ρ) (48) olur. ρ= λ/ μ dir, Ws= 1/μ olduğundan Eşitlik (30) dan Ls= λ (1/μ ) = ρ olur. L=Ls+Lq olduğundan L = Lq+ ρ (49) olur. (29) Ve (28) i kullanarak Wq=Lq/ λ (50) ve W= Wq + 1/μ (51) olur. Π 0 = 1- ρ olduğu gösterilebilir. (Servisçinin boş olma olasılığı)

22 ÖRNEK: (48)-(51) formüllerinin nasıl kullanıldığını görelim. Önce soruyu M/M/ 1 /GD/ / sistemi için çözüp sonuçları M/G/ 1 /GD/ / sistemi ile karşılaştıralım. λ=5 müşteri/saat olsun, μ=8 müşteri/saat olsun. ρ = λ/ μ a) Önce servis sürelerininde gelişlerarası süre gibi üstel dağıldığını kabul edelim. Bu durumda L,Lq,W,Wq değerleri ne olur. L = λ =5/3 olur. μ λ Lq= L- ρ = 25/24 W=L/ λ = 1/3 saat Wq=Lq/ λ = 5/24 saat olur. b) Servis süresi üstel değilse ve herhangi bir dağılıma uyuyorsa ve E(S) = 1/8 ve Var S=1/64 ise o zaman L,Lq,W,Wq değerleri ne olur. Lq= λ2 σ 2 +ρ 2 2(1 ρ) (48) = 25/24 müşteri L=Lq+ ρ =5/3 müşteri Wq=Lq/ λ = 5/24 saat ve W=L/ λ = 1/3 saat olur. (Bu durumda aynı sonuçlar çıkar) c) Servis süresi üstel değilse ve herhangi bir dağılıma uyuyorsa ve E(S) = 1/8 ve Var S=0 ise o zaman Lq,Wq değerleri ne olur. Lq= λ2 σ 2 +ρ 2 2(1 ρ) (48) = 25/48 müşteri Wq=Lq/ λ = 5/48 saat olur. Bu durumda bu kuyruktaki müşteri servis süresinin üstel dağıldığı durumun yarısı kadar bekler.

23 M/M/ R /GD/ K/K KUYRUK SİSTEMİ Bu sistemde gelişler arası süre ve servis süresi üstel dağılmaktadır. R adet tamirci veya servisçi vardır. Müşteri potansiyeli K adettir ve Sistem Kapasitesi müşteri potansiyeli kadardır. Örneğin Bir polis noktasında 5 tane devriye arabası olsun ve bunlar bozulunca tamir için iki ustanın olduğu bir tamirhane olsun. Bu sistem yukarıdaki kuyruk sistemidir. M/G/ s /GD/ s/k KUYRUK SİSTEMİ Bu sistemde gelişler arası süre üstel servis süresi herhangi bir dağılıma uymaktadır. s adet servisçi mevcuttur. Sistem kapasitesi servisçi adedi kadardır, ve servisçi bulamayan müşteri kaybedilmektedir. Örneğin Uçak rezervasyon sisteminde firmayı arayan müşteri sistemi meşgul bulursa başka bir firmayı aramaktadır. İtfaiye örneğinde eğer servisçiler meşgulse o zaman müşteriyi ifade eden çağrıda yangın çağrı noktasını tamamen yakabilmektedir. Ambulans örneğinde eğer çağrıya ambulans tedarik edilemezse çağrı başka bir hastaneyi arayacak (müşteri ve zaman kaybı olacak) yada hastanın durumu için hoş olmayan sonuçlar doğabilecektir.

24