ORAN ORANTI syısının 0 dn frklı oln b syısın ornı :b vey olrk gösterilir. b İki vey dh fzl ornın eşitlenmesiyle oluşn ifdeye orntı denir. b =c d ifdesine ikili orntı denir. Bir orntı orntı sbitine eşitlenerek b =c =k biçiminde de yzılbilir. d Örnek...1 : =3b ise +4 b 2b =? ORANTININ ÖZELLİKLERİ 1) b =c d.d=b.c ( içler d ışlr çrpım ı eşittir) 2) 3) 4) b = c d c = b d b =c d =k b =d c =1 k b =c d =k n b n =cn d n=kn Örnek...4 : 3 = b 4 = c 5 ve 3 4b 2c= 68 ise c k çt ır? Örnek...2 : +4b +2b =5 3 ise 2 b +b =? w w w. m t b z. c o m Örnek...5 : 1 2 =2b+1 3 =3c 4 ve +b 2 c=3 ise k çtır? UYARI b =c d =e f ifdesi :c:e=b:d:f olrk d yzılbilir. Örnek...3 : :5:c=8:b:12 ise b+bc kçtır? Örnek...6 : Bir krışımd bulunn, b ve c mddeleri rsınd b =2 3, b c =2 ilişkisi olduğu biliniyor. 5 Krışımın toplm ğırlığı 1250 grm ise krışımd kç grm mddesi vrdır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 1/7
NOT 1) x =x ifdesinde x' e ile b nin ort b orntılısı denir. 2) b =c ifdesinde x syısın, b ve c x nin dördüncü orntılısı denir. Örnek...10 : x+ 7 =11, + 7 x =9 ise x =? Örnek...7 : 2, 3 ve 12 ile dördüncü orntılı oln syı ; 3 ve 12 ile ort orntılı oln negtif reel syı b ise b kçtır? Örnek...11 : b =b c =c d =3 İse d =? 5) b =c d m.+n.c m.b+n.d =k (m ve n syılrının her ikisi de sıfır olmmk koşuluyl) örneğin b =c d +c b+d =k 1 2 = 3 6 1+3 2+6 =1 2 Örnek...8 : b = c d = 3 8 ise b+d +c =? w w w. m t b z. c o m Örnek...12 : x+ y y =y+z z =z+k k =1,3 ise x k =? Örnek...9 : 3 =b 5 = 6+k.b 28 ise k kçtır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 2/7
ORANTI MODELLERİ 1. DOĞRU ORANTI İki çokluk belirten ifde ynı ktlrl rtıp ynı ktlrl zlıyors böyle çoklulr ters orntılıdır denir. Kısc y, x ile doğru orntılı ise bu ilişkiyi y=k.x ( k >0) ile modelleriz. y y=k.x Örnek...16 : Bir rcın duruş mesfesi, frene bsıldığı ndki hızının kresi ile orntılıdır. Bu rç stte 40 km hızl giderken duruş mesfesi 5 metre olduğun göre, stte 80 km hızl giderken duruş mesfesi kç metre olur? k x 0 1 2... y 0 k 2k... Örnek...17 : Bir sınıftki kız öğrencilerin syısı 1,8 erkek öğrencilerin syısı ise 1,5 ile doğru orntılıdır. S ınıf m evcudu en z kçtır? 1 x Örnek...13 : syısı b ile doğru orntılı ve =8 için b=20 ise b=25 için kçtır? w w w. m t b z. c o m Örnek...18 : Eş güçteki 20 işçi 300 m 2 duvr örebiliyor. Bun göre ynı güçteki 30 işçi ynı sürede kç m 2 duvr örer? Örnek...14 : ( 2) syısı (b+1) ile doğru orntılı ve =48 için b=5 ise b=59 için kçtır? Örnek...19 : Bir ust 6 günde 7 sndlye,bir çırk 9 günde 5 sndlye ypbilmektedir. Berber 217 sndlyeyi kç günde yprlr? Örnek...15 :,b,c syılrı sırsıyl 2,4 ve 5 ile doğru orntılı ve 4 3b+2c=60 ise b kçtır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 3/7
2. TERS ORANTI iki çokluktn biri büyürken diğeri ynı ornd küçülüyors bu çokluklr ters orntılıdır denir. Kısc y, x ile ters orntılı ise bu ilişkiyi modelleriz. y y= k x (k>0) ile Örnek...23 : Eş güçteki 20 işçi bir işi 30 günde bitirebiliyor. Bun göre ynı güçteki 25 işçi kç günde işi bitirir y= k x k 1 Örnek...20 : syısı ile b ters orntılı ve =8 için b=20 ise b=24 için kçtır? Örnek...21 : (x+4) syısı (y 2) ile ters orntılıdır. x=1 için y=10 ise y=3 için x kçtır? x x 1 2... y k k/2... w w w. m t b z. c o m Örnek...24 : 30 kişilik bir topluluğ 20 gün yetecek kdr yemek vrdır. 5 gün sonr kç kişi bu topluluktn yrılmlıdır ki kln yemek kln kişilere 30 gün yetsin? 3. BİLEŞİK ORANTI İçinde üç vey dh fzl orn bulundurn orntılr bileşik orntı denir. Kısc y, x ile doğru, z ile ters orntılı ise bu ilişkiyi y= k.x z (k>0) ile m odelleri z. Örnek...25 : syısı ile b syısı doğru, c ters orntılıdır. =12 için b=16 ve c=20 ise c=12 ve b=10 için kçtır? Örnek...22 :, b, c syılrı sırsıyl 2, 4 ve 5 ile ters orntılı ve 4 3b+2c 4=260 ise c kçtır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 4/7
Örnek...26 : (x+3) syısı ile (y+2) syısı doğru, (z 4) ile ters orntılıdır. x=17 için z=9 ve y=8 ise z=12 ve y=10 için x kçtır? ORTALAMALAR 1) ARİTMETİK ORTALAMA 1, 2,... n gibi n tne syının ritmetik ortlmsı A= 1 + 2 +...+ n n dir. Örnek...30 : İlk 40 sym syısının ritmetik ortlmsı nedir? Örnek...27 : 225 TL 3 ve 4 ile doğru 2 ile ters orntılı prçlnırs en büyük prç kç TL olur? Örnek...28 : Eşit kpsiteli 9 işçi 15 m 2 hlıyı 6 stte dokuybiliyors ynı kpsitedeki kç işçi 30 m 2 hlıyı 12 stte dokur? w w w. m t b z. c o m Örnek...31 : 4+ 12 ile 4 12 syılrının ritmetik ortlmsı kçtır? Örnek...32 : Aritmetik ortlmsı 10 oln 8 syıy ritmetik ortlmsı 6 oln kç syı eklenirse yeni ortlm 7 olur Örnek...29 : Eşit kpsiteli 8 işçi 32 prç işi günde 16 st çlışrk 18 günde ypbiliyors 12 işçi 8 prç işi günde 4 st çlışrk kç günde bitirir? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 5/7
2) GEOMETRİK ORTALAMA 1, 2,... n gibi n tne syının geometrik ortlmsı G= n 1. 2... n dir. Örnek...36 : ile b nin ritmetik ortlmsı 10 dur. ile geometrik ortlmsı 6, b ile geometrik ortlmsı 8 oln syı kçtır? Örnek...33 : 1,2,32 nin geometrik ortlmsı kçtır? Örnek...34 : 5+2 6 ile 5 2 6 syılrının geometrik ortlm sı kçtır? Örnek...35 : İki syının ritmetik ve geometrik ornlrı eşitse bu s yılr ın ornı k ç olbilir? w w w. m t b z. c o m 3) HARMONİK ORTALAMA 1, 2,... n gibi n tne syının hrmonik n ortlm sı H= 1 + 1 +...+ 1 dir. 1 2 n Örnek...37 : 30 ile 20 syılrının hrmonik ortlmsı nedir? Örnek...38 : Geometrik ortlmsı 6 oln iki syının ritmetik ortlmsı 9 dur. Bu syılrın hrmonik ortlmsı kçtır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 6/7
DEĞERLENDİRME 1) b =3 5 ise b +b =? 6) 328 TL yşlrı 2,3 ve 7 oln üç çocuğ yşlrıyl ters orntılı bölüştürülürse en çok ln kç TL lır? 2) Bir okuld gözlüklü öğrencilerin gözlüksüz 3 öğrencilere ornı dir. Gözlüklü öğrenci 8 syısının 150 den fzl oluğu biliniyors okul mevcudu en z kçtır? 7) Birbirine bğlı üç çrktn birincisi 12 kere döndüğünde ikinci 9 üçüncüsü ise 15 dönüş ypmktdır. Bu çrklrdki toplm diş syısı 2820 ise en küçük çrkın diş syısı nedir? 3), b, c pozitif syılr 4) ise b kçtır? 3.b = 4 b.c = 5.c 3 =b 4 = c 5 ve 2 +b 2 +c 2 =8000 ve b+c 2=24 ise c kçtır? w w w. m t b z. c o m 8) 3 x 2 ile 3 x+1 syılrının ritmetik orlmsı 42 ise x kçtır? 9) Bir topluluktki erkeklerin boy ortlmsı 1,8 m,kdınlrın boy ortlmsı 1,5m ve topluluğun boy ortlmsı 1,55 ise kdınlrın syısının erkeklerin syısın ornı nedir? 5) 560 TL yşlrı 5,ve 9 oln krdeşlere yşlrıyl doğru orntılı olrk pylştırılırs frk ne kdr olur? 10) x ile y nin ritmetik ortlmsı 6, x 2 ve y 2 nin ritmetik ortlmsı 18 ise x ve y nin geometrik ortlmsı kçtır? 9. Sınıf Mtemtik Konu Anltımı 2014 2015 7/7