TMOZ/cege@yahgrups.cm Kasım - 005 Trignmetri Gemetri İlişkisi 3 Gemetri ile Trignmetri Srusu Yazma Tekniği Eyüp Kamil Yeşilyurt Mustafa Yağcı u yazımızda, gemetri yardımıyla trignmetri srularının, nasıl çözüleceği lmasa da nasıl hazırlanabileceğine örnekler vermek istiyruz. nlatmaya çalışacağımız bu yöntemle sru yazmak, bize daha eğlenceli geliyr, umarız sizlerin de hşuna gider. Sinüs Teremi. bir üçgen lsun. çılara sırasıyla,, diyelim. O zaman = = sin sin sin eşitlikleri geçerlidir. yrıca, eğer üçgenin köşelerinden geçen çember R yarıçaplı ise, bu değerler R ye eşittir. Kanıt: köşesinden geçen çap çemberi nktasında kessin. m( ) = 90 ve m( ) = m() lur. sin = sin = br lduğundan eşitliğin biri gösterilmiş lur. Diğerleri de simetrik şekilde kanıtlanabilir. Sinüs Teremi nin anlatmak istediği, kenarların karşılarındaki açıların sinüsleriyle dğru rantılı lduğudur. O halde + + = π lmak üzere her zaman kenarları sin, sin ve sin lan bir üçgeni vardır. c a R b ' sin + sin sin = sin( + ) ütünler iki açının sinüsleri eşit lduğundan, üçgenin kenar uzunluklarına sin(+), sin ve sin diyebiliriz. unu örneklerimizde sıkça kullanacağız. 1
Örnek 1. 3 Yukarıdaki üçgenin açı ve kenarlarını sinüs teremi yardımıyla aşağıdaki gibi yazmak mümkündür. N sin sin 3 3 N sin 3 + sin 3 N üçgeninden başlayarak sinüs teremi uyguladık. Şimdi üçgeninde sinüs teremi uygulayalım: sin + sin 3 = sin u eşitlik üzerinde trignmetri kurallarını kullanarak da değişiklik yapmak mümkün ama biz sadece sin 3 i yalnız bırakmayı tercih ettik ve ilk srumuzu hazırladık. sin Sru 1. ifadesini sadeleştiriniz. (evap: sin 3) Okur, yarım açı, iki kare farkı veya sin + cs = 1 gibi eşitlikler kullanarak değişik biçimlerde sru hazırlayabilir. çılar tekniği kullanılarak ilginç sru veya kurallar yazılabilmektedir. 1 slında bu yöntemi daha önceden cege mail grubumuzda gündeme getirmiş ve güzel örnek de göndermiştik. ynı örneği tekrar vermeden değişik örnekler yazalım. 1 rdışık açılar tekniği için http://www.gecities.cm/eyupkamilyesilyurt/prje/ana.htm
Örnek. Langley üçgenini (0, 80, 80 ) ele alıp, kenarları sinüs teremi yardımıyla belirleyelim. 0 sin 0 sin 0 0 0 100 sin 0 sin 0 sin 0 sin 0 40 40 80 80 sin 0 sin 0 sin80 sin 80 sin 80 Şekilden de görüldüğü üzere sin 0 sin 80 sin 0 sin 0 + + = sin80 sin80 diye bir eşitlik varmış. unu kullanarak bir sru yazalım ama yazdığımız srunun cevabının da hş lmasını istiyrsak üzerinde ynama yapmamız gerekecek. Sl yanı sin 0 rtak parantezine alalım: sin80 sin 0 sin 0 1+ + sin 80 = sin80 Eşitliğin her iki yanını sin 0 ye bölelim: sin80 sin 0 sin80 1+ + = sin80 sin 0 Düzenleme yapılırsa: elde edilmiş lur. sin80 sin 0 sin80 + = 1 sin80 sin 0 cs10 sin 0 cs10 + = 1 cs10 sin 0 Sru. cs10 sin 0 cs10 + ifadesi kaça eşittir? (evap: 1) cs10 sin 0 Şimdi de trignmetrik denklemlerle ilgili basitçe bir sru hazırlayalım. Örnek 3. şağıdaki şekilde = 30 lduğu zaten görülmektedir. 3
sin.sin Geniş açılı üçgenin kenar uzunluklarını yerleştirerek işe başlıyruz. Snra açırtay uzunluk frmülünü uygulayarak bir eşitlik elde etmeyi planlıyruz. akalım planımız ne kadar işe yarayacak? 3 = sin = sin sin = sin sin ( ) + = sin + = 4 cs 1+ = 4 cs ( ) 1+ = 4 cs 1+ 1 = 4 cs 1+ sec 1+ tan = 4 ( ) ( ) Görüldüğü gibi elde edilen eşitlikler birçk alternatifle değişik şekillerde ifade edilebilmektedir. iz elde ettiğimiz sn eşitlikten srumuzu sralım. Sru 3. ( 1+ sec ) ( 1+ tan ) = 4 denkleminin ( ) 0,π aralığındaki kökü kaçtır? (evap: 6 π ) Şimdi de Ptlemy Teremi ni kullanarak bir sru hazırlayacağız, önce hatırlayalım: Ptlemy Teremi. ir kiriş dörtgeninde karşılıklı kenar uzunluklarının çarpımlarının tplamları, köşegen uzunluklarının çarpımlarına eşittir. Kanıt: Herhangi bir D kiriş dörtgeni çizelim. = a, = b, D = c, D = d ve köşegenlerin uzunlukları e ve f lsun. Genelliği bzmadan m(d) > m() farzedelim. D üzerinde öyle bir F nktası alalım ki m(df) = m() lsun. m(d) = m() ve m(d) = m(d) lduğundan DF ile üçgenleri benzerdir. Eşleme yapılırsa = yani D FD D = FD bulunur. Diğer yandan F ile D üçgenlerinin benzerliğinden de D = F lur. u iki eşitlik taraf tarafa tplanırsa D + D = F + FD = (F + FD) = D. 4
Yani; a c + b d = e f. u terem Türkçe kaynaklarda atlamyüs Teremi diye geçer. Örnek 4. e çap lacak şekilde rastgele açılar alınabilir, ben hazırladığım srunun test sınavına uygun lmasını istediğim için açıları 30,, 90 larak seçiyrum, e = sin 90 = 1, f = sin 70 luyr. e f = a c + b d lduğundan, 1 sin 70 = sin + sin 30 sin 50 3 1 sin 70 = + sin 50 sin 70 = 3 + sin 50 sin 70 sin 50 = 3 cs 0 cs 40 = 3 cs 0 cs 40 = sin 0 cs0 csec 0 ct 40 = 3 3 30 40 sin50 sin e 50 40 30 f sin30 50 sin40 D Sru 4. csec 0 ct 40 işleminin değeri kaçtır? Dördüncü örnekte 30 yerine, 40 yerine y alarak aynı işlemleri yaptığımızda sin( + y) = cs y+ sin y cs açılımı elde edilebiliyr. Sru 5. sin15 3 işleminin değeri kaçtır? Snsöz. Öğrenciyken, bu sruları nasıl yazıyrlar da tertemiz snuçlar çıkıyr diye hiç merak etmediniz mi? EKY & MY 005 www.gemetri.gretmeni.cm www.mustafayagci.cm www.matematik.kulubu.cm 5