π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "π θ = olarak bulunur. 2 θ + θ θ θ θ θ π 3 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ 22.04."

Pinar Genç
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 UŞAK FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ ANALİZ II VİZE SORULARI ÇÖZÜMLERİ Aşağıdaki gibi, M ve M merkezli br yarıçaplı iki dairenin kesişimi şeklinde bir park inşa edilmektedir. Bu iki dairenin kesişim bölgesinin çimlendirilmesi planlanmaktadır. Çimlendirilecek alanın kaç br olacağını hesaplayınız. (0 Puan) Daireleri aşağıdaki şekilde olduğu gibi koordinat ekseni üzerine yerleştirelim ve kesişim noktasında kutup eksenin ne kadarlık bir açı yaptığını bulalım; B A Merkezi orijine yerleştirilen çemberin denklemi r =, merkezi (,0) noktasında olan çemberin denklemi ise r = cosθ dır. Bu iki denklemi ortak çözersek kutup ekseninin kaç radyanlık açı yaptığı konumda kesiştiklerini bulabiliriz. = cosθ cos olarak bulunur. Kesişim bölgesinin x-eksenin üst kısmında kalan alanını bulup ile çarpalım. Bu alan da yukarıda görüldüğü gibi sarı (A) ve mavi (B) alanlara ayrılırsa, aşağıdaki integraller yardımı ile alan hesaplanabilir. Toplam Alan = (A + B) = d 4cos d d 4 cos d θ + θ θ θ θ θ 0 = + 0 θ Toplam Alan = ( ) 0 sin θ + cos θ + d + + θ = + + = br. r cos( θ ) = kutupsal denklemi ile tanımlı eğriyi çiziniz. ( Puan) Periyodun olduğunu hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon çift olduğu için x eksenine göre simetriktir. r = sin ( θ ) olarak hesaplanıp türevin kökleri bulunursa, 0 + k k (k Z) elde edilir. θ 0( ) ( ).. ( ) r r artan azalan 0 0

(0 Puan) Daireleri aşağıdaki şekilde olduğu gibi koordinat ekseni üzerine yerleştirelim ve kesişim noktasında kutup eksenin ne kadarlık bir açı yaptığını bulalım; B A Merkezi orijine yerleştirilen

2 Not: Öncelikle parantez dışında kalan değerleri göz önüne alınız. Parantez içindeki değerler, periyot tamamlandıktan sonra başa dönülerek elde edilen değerlerdir. Tabloyu aşağıdaki gibi çizime aktarabiliriz; 6 6 Periyot tamamlandığında henüz tek bir yaprak oluşmuş olur. İncelemeyi radyan daha devam ettirip (Bu incelemeyi yukarıdaki tabloyu kullanarak yapabiliriz.) simetri alırız. Ya da simetriden yararlanmadan, şekil kendini çizmeye başlayıncaya kadar yukarıdaki tablodan yararlanarak çizim yaparız.. Bir öğrenci, kendisine grafiği çizilmek üzere verilen bir fonksiyonun türevini alıyor ve sıfıra eşitleyerek x = - ve x = köklerini buluyor. Grafiği elde etmek için gerekli diğer işlemleri tamamladıktan sonra grafiği çiziyor. Çizdiği grafiği bir bilgisayar programı ile kontrol ettiğinde, kendi çizdiği grafik x = - ve x = noktalarında birer yerel ekstremum değere sahip olmasına rağmen gerçek grafiğin x = - noktasında bir ekstremum değere sahip olmadığını görüyor. Buna göre; a. Gerçek grafiğin x = - civarındaki muhtemel görünümü nasıldır? (0 Puan) b. Öğrencinin bu hatasının kaynağı ne olabilir? ( Puan) Öncelikle öğrencinin hatasından başlayalım. Benim beklentim olan cevap; Öğrenci fonksiyonun ikinci türevini incelememiştir. İnceleseydi x = - in aynı zamanda ikinci türevin de kökü olacağını görürdü. Bu durumda x = - noktasında eğriye çizilen teğetin eğimi her ne kadar 0 olsa da bu noktanın çok belirgin bir dönüm noktası olacağını görürdü. (derste bunun için keskin dönüm tabirini kullanmıştık.) Tabii, x = - noktasının bir tanımsızlık noktası olabileceği ihtimalini de düşünebiliriz. Öğrenci türevi yanlış almış da denebilir belki ama bu çok çiğ bir cevap olurdu. Bu açıklamalara göre, grafiğin x = - civarındaki muhtemel şekli de aşağıdaki olabilir.

İncelemeyi radyan daha devam ettirip (Bu incelemeyi yukarıdaki tabloyu kullanarak yapabiliriz.) simetri alırız.

3 - 4. integralini hesaplayınız. ( Puan) ( ) Öncelikle integralinin sonucunu belirleyelim; x = t dönüşümü yapılırsa, arctan arctan dt x = = = = = t = + c x 4 ( t ) 4 x = dt 4 Bu integral tipinde bir integraldir. n haline getirebilmek için iki kere kısmi integrasyon ( ) uygulanabileceği gibi bir indirgeme formülü elde edilerek bundan yararlanılabilir. Burada iki kere kısmi integrasyon uygulanacaktır. integralini çözmeye çalışalım; Bu yolla ( ) integraline ulaşılacaktır. ( ) 4x = u du = ( ) ( ) = dv v = x şeklinde kısmi integrasyon uygulayalım; x x = + 4 elde edilir. Burada da integralin payına 4 ekleyip 4 çıkaralım; ( ) ( ) ( ) + x ( x 4 4) x = + 4 = ( 4 x ) ( 4 x ) ( 4 x ) ( 4 x ) ( ) ( ) x = buradan ( ) ( ) ( ) ( ) x integralini çekelim; ( ) = + ( ) ( ) 6 elde edilir..(i) 6 ( )

n haline getirebilmek için iki kere kısmi integrasyon ( ) uygulanabileceği gibi bir indirgeme formülü elde edilerek bundan yararlanılabilir. Burada iki kere kısmi integrasyon uygulanacaktır.

4 Şimdi de integraline ulaşmak için ( ) integraline aynı işlemi uygulayalım; ( ) x = u du = ( ) ( ) = dv v = x şeklinde kısmi integrasyon uygulayalım; x x = + ( ) ( ) elde edilir. Burada da integralin payına ekleyip çıkaralım; ( ) + x ( x ) x = + = + ( ) ( ) ( 4 x ) ( ) ( ) + ( ) x = + 4 ( ) ( ) ( ) buradan ( ) x x x arctan integralini çekelim; ( ) = + = + + c ( 4 x ) 4( ) 4 + ( ) 4( ) 8 elde edilir. Bu sonucu da (I) no lu satırda yerine koyalım; x x x = + + arctan + c ( ) ( ) ( ) olarak sonucu elde edebiliriz. Not = buna benzer bir integral derste çözüldü ve aynı integralin indirgeme formülünü çalışmanız söylenmişti. x. f ( x) = fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki soruları bu fonksiyona göre cevaplandırınız. x + a. f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz. (0 Puan) b. y = f(x), y = lnx ve x = fonksiyonları ile tanımlı eğrilerin sınırladığı alanı hesaplayınız. ( Puan) f(x) fonksiyonu x = - noktasında tanımsızdır. Dolayısı ile bu noktada bir dikey asimptot olabilir; x lim = ve x + + x x lim = olduğundan x = - doğrusu bir dikey asimptottur. x + x Fonksiyonun x eksenini x= noktasında, y-eksenini ise -/ noktasında kestiği kolaylıkla hesaplanabilir. Şimdi de varsa yatay asimptotunu bulalım; x x lim = = lim fonksiyonun yatay asimptotu y= doğrusudur. Hem sonsuza hem de eksi x x + x x + sonsuza giderken y= e yaklaşmaktadır. Şimdi de türevlerini inceleyelim;

( ) 4( ) 8 elde edilir. Bu sonucu da (I) no lu satırda yerine koyalım; x x x = + + arctan + c ( ) ( ) ( ) 6 6 4 8 olarak sonucu elde edebiliriz.

5 f ( x) = ( x + ) türevin 0 a eşit olduğu x değeri yoktur ve daime pozitiftir. Bu da eğrinin devamlı artan olduğunu gösterir. Bu bilgiler grafiği elde etmek için yeterlidir ancak bura ikinci türev de incelenmiştir; f ( x) = 6 ( x + ) görüldüğü gibi ikinci türev in de kökü yoktur. Paydanın kuvveti tek olduğundan paydanın sıfırdan büyük olduğu yerlerde (x> için) ikinci türev negatif yani eğri aşağı konkav, paydanın sıfırdan küçük olduğu yerlerde (x < için) ikinci türev pozitif yani eğri yukarı konkavdır. Grafik aşağıdaki gibi olmalıdır; Sorunun ikinci kısmına gelelim; x y = lnx fonksiyonu ile f ( x) = fonksiyonunun x = den başka kesişim noktası yoktur. Çünkü lnx x + x fonksiyonu y=0 da eksi sonsuza gider ve artan bir fonksiyondur. f ( x) = fonksiyonu ise y= x + doğrusunda sınırlanmaktadır yani daha fazla artamaz. Buna göre birbirlerine göre konumları aşağıdaki gibi olur.

Paydanın kuvveti tek olduğundan paydanın sıfırdan büyük olduğu yerlerde (x> için) ikinci türev negatif yani eğri aşağı konkav, paydanın sıfırdan küçük olduğu yerlerde (x < için) ikinci türev pozitif

6 Şekildeki taralı alanı veren integral; x ln x x + olarak yazılabilir (bu integrali yazan sorunun puan değerinin çoğunu hak edecektir.) integral aşağıdaki gibi de düzenlenebilir; x ln x..(i) x + Buradaki iki integrali de ayrı ayrı çözüp yerine yazalım; Birinci integral için kısmi integrasyon uygulayalım; ln x = u du = ln x = x = x ln x = x ln x x = ( ln ) ( ln ) = ln 4 = dv v = x Diğer integrali almadan önce payı paydaya bölelim; x 7 = = ( x ln x + ) = ( ln 7) ( ln ) = 4 ln x + x + Bu sonuçların hepsini (I) nolu satırda yerine koyarsak; A 7 7 ln 4 4 ln ln ln = + = br olarak elde edilir 6. y = sayısının yaklaşık değerini hesaplayınız. (0 Puan) 9, f ( x + x ) = y + dy f ( x ) + f ( x ) x özelliğini kullanmak için f ( x) =, x 0 = 9, x0 =0, olarak alalım; x 89 f (9 + 0, ) f (9) = = = olarak elde edilir x x= 9 Not: payda nın ayrıca hesaplanması da mümkündür. Öğr. Grv. Tolga KABACA

Diğer integrali almadan önce payı paydaya bölelim; x 7 = = ( x ln x + ) = ( ln 7) ( ln ) = 4 ln x + x + Bu sonuçların hepsini (I) nolu satırda yerine koyarsak; A 7 7 ln 4 4 ln ln ln = + = br olarak

Benzer belgeler

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...

İçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1... İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki