İyi Bir Modelin Özellikleri 1. Basitlik. Belirlenmişlik 3. R ölçüsü 4. Teorik tutarlılık 5. Tahmin Gücü 1 Model Tanımlanması Araştırmada kullanılan modelin tanımlamasının doğru olduğu kabul edilmektedir.. Doğru modele ulaşmak için R, t, F, DW-d vb. İstatistik ve ekonometrik testler kullanılır. Eğer model hala tatmin edici değilse, araştırmacı tanımlama hatalarından ya da seçilen modeldeki sapmalardan kaygılanmaya başlamaktadır. -Yanlış Fonsiyonel Biçim, - Gereksiz Değişkenin Modelde Yer Alması, -Gerekli Değişkenin Gözardı Edilmesi, -Değişkenlerin Ölçme Hatalı Olması.
Tanımlama Hatası Tipleri Y = β 1 + β X + β 3 X + β 4 X 3 + u lny = β 1 + β X + β 3 X + β 4 X 3 + u Yanlış Fonksiyonel biçim Y = λ 1 + λ X + λ 3 X + λ 4 X 3 + u Y = λ 1 + λ X + λ 3 X + λ 4 X 3 + λ 5 X 4 + v v = u - λ 5 X 4 Gereksiz Değişkenin Modelde Yer Alması, 3 Tanımlama Hatası Tipleri Y = β 1 + β X + β 3 X + β 4 X 3 + u Y = α 1 + α X + α 3 X + v v = β 4 X 3 + u Gerekli Değişkenin Gözardı Edilmesi, Y i* = β 1* + β * X i* + β 3* X i * + β 4* X i *3 + u i * Y i* = Y i + ε i X i* = X i + w i Ölçme Hatası Sapması 4
Tanımlama Hatası Sonuçları Gerekli Değişkenin Gözardı Edilmesi Y i = β 1 + β X i + β 3 X 3i + u i Y = α 1 + α X i + v i v = β 3 X 3i + u X 3 Değişkenini gözardı etmenin sonuçları 1. α 1 ve α üzerine etkisi (r 3 0), α 1 ve α sapmalı ve tutarsız olacaktır.. (r 3 =0) ise α sapmasız olacak, α 1 hala sapmalı olacaktır. 3. Hata varyansına etkisi ise σ yanlış tahmin edilmiş olur. 5 Tanımlama Hatası Sonuçları Gereksiz Değişkenin Modelde Yer Alması, Y i = β 1 + β X i + u i Y = α 1 + α X i + β 3 X 3i +v i u i = β 3 X 3i + v i Gereksiz Değişkenin Modelde Yer Almasının Sonuçları 1. Bu tür modeldeki EKK tahmincileri tutarlı ve sapmasızdır.. Hata varyansı σ doğru tahmin edilmiştir. 3. Güven aralıkları ve hipotez testleri hala geçerlidir, 4. α lar etkin değildirler. 6
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Şimdi modele alınması gereken değişkenlerin alınmaması sonucunda ortaya çıkabilecekleri tartışacağız. 7 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Analizimizde iki durum söz konusudur. Y sadece X ile ya da X ve X 3 ile ilişkilendirilecektir. 8
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Doğru tanımlama. Problem yok Y sadece X ile ilişkilendirilirse problem söz konusu olmayacaktır. 9 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Doğru tanımlama. Problem yok Doğru tanımlama. Problem yok. Y hem X ve hem X3 ile ilişkilendirilirse yine problem söz konusu olmayacaktır 10
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Doğru tanımlama. Problem yok Doğru tanımlama. Problem yok. Doğru model, çok açıklayıcılı model iken, tek açıklayıcılı model tahmin etmenin sonuçlarını inceleyeceğiz. 11 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Doğru model Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Doğru tanımlama. Problem yok Doğru tanımlama. Problem yok. Daha sonra da doğru model, tek açıklayıcılı model iken, çok açıklayıcılı model tahmin etmenin sonuçlarını inceleyeceğiz. 1
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Yanlış tanımlamanın sonuçları Y = β 1 + β X + u Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Tahmini model Y ˆ = b + b X 1 Yˆ = b + b X + b X 1 3 3 Doğru tanımlama. Problem yok Tahminciler sapmalı, standart hatalar geçersiz. Doğru tanımlama. Problem yok. Gerekli bir açıklayıcı değişkenin modele alınmaması, modeldeki tahmincilerin sapmalı ve standart hatalarının geçersiz olmasına yol açacaktır. 13 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Y ˆ = b + b X 1 Cov( X, X 3 ) E( b ) = β + β 3 Var( X ) Bu durumda X 3, b nin β 3 Cov(X, X 3 )/Var(X ) kadar yanlı olmasına neden olacaktır. 14
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Y ˆ = b + b X 1 Cov( X, X 3 ) E( b ) = β + β 3 Var( X ) X 3 sabitken X nin doğrudan etkisi Y β β 3 X 3 ün etkisi X 3 gibi davranan X nin görünen etkisi X X 3 β doğrudan etkisine ek olarak X, modele alınmayan X 3 ün vekili gibi davranıp dolaylı etkiye de sahip olacaktır. 15 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI X 3 sabitken X nin Y üzerindeki doğrudan etkisi Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Y ˆ = b + b X 1 Cov( X, X 3 ) E( b ) = β + β 3 Var( X ) Y β β 3 X 3 ün etkisi X 3 gibi davranan X nin görünen etkisi X X 3 Vekil etkisi iki faktöre bağlı olacaktır: X 3 ün Y üzerine etkisinin gücü (β 3 ) ve X ninx 3 ü taklit etme yeteneği. 16
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI Y β + β X + X + u = 1 β 3 3 Y ˆ = b + b X 1 Cov( X, X 3 ) E( b ) = β + β 3 Var( X ) X 3 sabitken X nin doğrudan etkisi Y β β 3 X 3 ün etkisi X 3 gibi davranan X nin görünen etkisi X X 3 X nin X 3 ü taklit etme yeteneği X 3 ile X ilişkilendirildiğinde elde edilen eğim elde edilir. 17 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------ Örneğimizde eğitim süresi (S), yetenek puanı (ASVABC) ve annenin eğitim düzeyine (SM) ilişkilendirilecektir. 18
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------ S β + β ASVABC + SM + u = 1 β 3 Cov( ASVABC, SM ) E( b ) = β + β 3 Var( ASVABC ) Daha sonra SM yi modelden çıkararak tahminleyeceğiz. 19 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------ S β + β ASVABC + SM + u = 1 β 3 Cov( ASVABC, SM ) E( b ) = β + β 3 Var( ASVABC ) Β 3 ün pozitif olduğunu, sağduyuya dayanarak kabul etmek makul olacaktır. Bu varsayım çoklu regresyonun pozitif ve yüksek derecede anlamlı olduğu tahmin gerçeğiyle kuvvetli olarak desteklenmektedir. 0
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM. cor SM ASVABC Source SS df MS (obs=570) Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F SM ASVABC = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 --------+------------------ R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ SM Adj R-squared 1.0000 = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 ASVABC Root 0.3819 MSE 1.0000 = 1.9805 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------ S β + β ASVABC + SM + u = 1 β 3 Cov( ASVABC, SM ) E( b ) = β + β 3 Var( ASVABC ) ASVABC ve SM arasındaki korelasyon pozitif olduğundan kovaryansı da pozitif olacaktır. Var(ASVABC) da otomatik olarak pozitif olacaktır. Bundan dolayı sapma da pozitif olacaktır. 1 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 84.89 Model 1153.80864 1 1153.80864 Prob > F = 0.0000 Residual 300.43873 568 4.05006818 R-squared = 0.3340 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.339 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.015 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.1545378.0091559 16.879 0.000.1365543.17513 _cons 5.770845.4668473 1.361 0.000 4.853888 6.687803 ------------------------------------------------------------------------------ SM nin ihmal edildiği regresyon yukarıda yer almaktadır.
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------. reg S ASVABC ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.1545378.0091559 16.879 0.000.1365543.17513 _cons 5.770845.4668473 1.361 0.000 4.853888 6.687803 ------------------------------------------------------------------------------ Gördüğünüz gibi, ASVABC nin katsayısı SM ihmal edildiğinde gerçektende daha yüksek olmaktadır. Farkın bir kısmı tam değişime bağlı olabilir, fakat fark sapmaya atf olunabilir. 3 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 83.59 Model 443.110436 1 443.110436 Prob > F = 0.0000 Residual 3011.13693 568 5.301974 R-squared = 0.183 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.167 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.305 ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- SM.3445198.0376833 9.14 0.000.705041.4185354 _cons 9.506491.4495754 1.145 0.000 8.63458 10.3895 ------------------------------------------------------------------------------ S β + β ASVABC + SM + u = 1 β 3 Cov( ASVABC, SM ) E( b3 ) = β 3 + β Var( SM ) SM yerine ASVABC in ihmal edilmesiyle elde edilen regresyon yukarıda yer almaktadır. b 3 nin yukarı doğru sapma yapması beklenir. β nin pozitif olmasını bekleriz ve sapma ifadesinde yer alan hem kovaryans hem de varyans pozitif olduğunu biliyoruz. 4
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- ASVABC.138106.0097494 14.166 0.000.1189567.157556 SM.154783.035078 4.413 0.000.0858946.36715 _cons 4.79177.510431 9.390 0.000 3.78908 5.793475 ------------------------------------------------------------------------------. reg S SM ------------------------------------------------------------------------------ S Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- SM.3445198.0376833 9.14 0.000.705041.4185354 _cons 9.506491.4495754 1.145 0.000 8.63458 10.3895 ------------------------------------------------------------------------------ Yukarıdaki örnekte sapma gerçekten çarpıcıdır. SM katsayısı iki katından daha fazladır. (Büyük sonucun sebebi Var(SM), Var(ASVABC) den daha küçükken, β ve β 3 nin tahminlerinin aynı boyutta olmasıdır.) 5 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805. reg S ASVABC Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 84.89 Model 1153.80864 1 1153.80864 Prob > F = 0.0000 Residual 300.43873 568 4.05006818 R-squared = 0.3340 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.339 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.015. reg S SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 83.59 Model 443.110436 1 443.110436 Prob > F = 0.0000 Residual 3011.13693 568 5.301974 R-squared = 0.183 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.167 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.305 Sonuç olarak, R bir değişken ihmal edildiğinde nasıl davranış gösterdiğini inceledik. Snin ASVABC deki basit regresyonundaki, R değeri 0.33, ve S nin SM deki basit regresyonundaki R değeri 0.13 dir. 6
GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805. reg S ASVABC Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 84.89 Model 1153.80864 1 1153.80864 Prob > F = 0.0000 Residual 300.43873 568 4.05006818 R-squared = 0.3340 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.339 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.015. reg S SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 83.59 Model 443.110436 1 443.110436 Prob > F = 0.0000 Residual 3011.13693 568 5.301974 R-squared = 0.183 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.167 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.305 Yukarıdaki örnek S Deki değişimin %35 i yetenek puanı(asvabc) i ve SM ile, % 33 ünü sadece yetenek puanı(asvabc) ve %13 üde annenin eğitim yılı (SM) ile açıklanmaktadır. 7 GEREKLİ BİR DEĞİŞKENİN MODELE ALINMAMASI. reg S ASVABC SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F(, 567) = 156.81 Model 130.039 615.101949 Prob > F = 0.0000 Residual 4.04347 567 3.94756 R-squared = 0.3561 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3539 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE = 1.9805. reg S ASVABC Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 84.89 Model 1153.80864 1 1153.80864 Prob > F = 0.0000 Residual 300.43873 568 4.05006818 R-squared = 0.3340 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.339 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.015. reg S SM Source SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 83.59 Model 443.110436 1 443.110436 Prob > F = 0.0000 Residual 3011.13693 568 5.301974 R-squared = 0.183 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.167 Total 3454.4737 569 6.07073351 Root MSE =.305 8
Tanımlama Hatası Testleri Gereksiz değişkenlerin varlığının araştırılması, Basit t testi Değişken gerekli olup olmadığı F testi Gerekli değişkenlerin gözardı edilmesinin ve yanlış fonksiyonel biçimin test edilmesi: 1. Hataların İncelenmesi. The Durbin-Watson d istatistiği(-) 3. Ramsey in RESET testi 4. Eklenen Değişkenler için Lagrange Multiplier (LM) testi 5. Hausman Testi 9 Hataların İncelenmesi 60 60 60 40 40 40 0 0 0 0 0 0-0 -0-0 -40 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Y Residuals -40 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Y Residuals -40 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Y Residuals 30
Ramsey in RESET testi Modelde tanımlama hatası olup olmadığını araştırmak için 1. Adım: Y i = β 1 + β X i + u i Ŷ. Adım: ˆ e ve Y arasındaki dağılma diyagramı çizilerek n Ŷ derecesi belirlenir. (n=, 3,..,) değişkenleri eklenerek yardımcı regresyon modeli yeniden tahminlenir: Dağılma diyagramından yola çıkarak grafik parabolik ise; Y = b + b X + Y ˆ + u i 1 i Grafik kübik ise; Y = b + b X + Yˆ + Yˆ + v 3 i 1 i 31 3
Ramsey in RESET testi 3. Adım: 4. Adım: 5. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır. F tab =F α, f 1, f =? f 1 : Yeni Değişken Sayısı f : n yeni modeldeki katsayı sayısı F ( ) ( 1 R )/f R R /f Yeni Eski 1 hes = Yeni 6. Adım: F hes > F tab H 0 reddedilebilir. 33 Ramsey in RESET testi Uygulama: Türkiye nin 1984-003 dönemi için İhracatı (IHR,milyar $) ile ABD Döviz Kurları (1/ 1000 YTL) değerleri aşağıda verilmiştir. YILLAR DK IHR YILLAR DK IHR 1984 0.368 7.134 1994 9.848 18.106 1985 0.55 7.958 1995 45.95 1.638 1986 0.680 7.457 1996 81.796 3.5 1987 0.861 10.19 1997 15.805 6.61 1988 1.431 11.66 1998 6.33 6.974 1989.15 11.65 1999 4.15 6.588 1990.61 1.959 000 66.71 7.775 1991 4.184 13.594 001 131.3 31.334 199 6.888 14.715 00 1513.10 35.76 1993 11.058 15.345 003 1500.69 38.317 34
Ramsey in RESET testi 1. Adım: ln(ihr ) =.84 + 0.179 ln(dk ) t t (71.59) (3.503) t R = 0.968 eski e = 0.1673 t. Adım: Yardımcı regresyon modeli tahmin edilir. 3 t = + t t + t ln(ihr ) 17.961.349ln(DK ) 3.993ln(IHR ) 0.43ln(IHR ) t (.561) (.53) (-.185) (.301) R = 0.9839 yeni e = 0.0851 t 35 Ramsey in RESET testi 3. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır. 4. Adım: F tab =F α,, 0-4 =3.63 α=0.05 5. Adım: f 1 : Yeni Değişken Sayısı f : n yeni modeldeki katsayı sayısı ( ) ( 1 R )/f Yeni Eski 1 hes Yeni ( ) ( ) R R /f 0.9839 0.968 / F = = = 7.90 1 0.9839 /(0 4) 6. Adım: F hes > F tab H 0 reddedilebilir. Model spesifikasyonu doğru değildir. 36
Lagrange Multiplier (LM) testi Y = β + β X + β X + β X + v 3 i 1 i 3 i 4 i i Y = α + α X + u i 1 i i Sınırlandırılmamış Model Sınırlandırılmış Model 1. Adım:Sınırlandırılmış model EKK ile tahminlenip $ i ue i elde edilir.. Adım: e = β + β X + β X + β X + w i 3 1 i 3 i 4 i i R 37 Lagrange Multiplier (LM) testi 3. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır. 4. Adım: χ = nr hes 5. Adım: χ = c c: sınırlama sayısı tab 6. Adım: χ hes > χ tab H 0 reddedilebilir. 38
Lagrange Multiplier (LM) testi Uygulama: Kısa dönemde bir malın üretimiyle toplam üretim maliyetini gösteren veriler aşağıda verilmiştir. Üretim (X) Toplam Maliyet $ (Y) 1 193 6 3 40 4 44 5 57 6 60 7 74 8 97 9 350 10 40 39 Lagrange Multiplier (LM) testi 40
Lagrange Multiplier (LM) testi 1. Adım: Ŷ = 166.467 + 19.333X t t (8.751) (6.50) R = 0.840. Adım: Y = β + β X + β X + β X + u Teorik olarak 3 i 1 i 3 i 4 i i sınırlandırılmamış model e = 4.7 + 43.5443X 1.9615X + 0.9396X i 3 t (-3.87) (9.11) (-13.15) (15.89) R = 0.9895 41 Lagrange Multiplier (LM) testi 3. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır. 4. Adım: χ hes = 10(0.9895) = 9.895 5. Adım: χtab = 5.99 c = (sınırlama sayısı) 6. Adım: χ hes > χ tab H 0 reddedilebilir. 4
Hausman Tanımlama Testi Basit regresyon modeli için Hausman test istatistiği ˆ q m = m: 1 serbestlik dereceli ki kare dağılımıdır. Vq ( ˆ) Gerçek model: Tahminlenen model: (Araç Değişkenli Model) Y Y = α + β X + ε i 0 0 i i = α + β Z + υ i 1 1 i i ˆq = ˆ β ˆ β Var( qˆ ) = Var( ˆ β ˆ 1) Var( β0) 1 0 43 Araç değişken yöntemi ile tutarlı tahminciler elde edilebilir. Araç değişken Z ise araç değişken tahmincisi; YZ ˆ β ˆ 1 = = β1 + XZ ˆq = ˆ β ˆ β 1 0 εz XZ Var( ˆ β ) Var( qˆ ) = Var( ˆ β ) Var( ˆ β ) 1 0 Z σ = σ XZ X Z 1 = σ XZ r: X ve Z arasındaki korelasyon katsayısı ˆ 1 r = Var( β0 ) r 44
Hausman Tanımlama Testi ˆ q m = Vq ( ˆ) qr ˆ m = Var ( ˆ β )1 r 0 45 Hausman Tanımlama Testi 1. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır. m: 1 serbestlik dereceli ki kare dağılımıdır.. Adım: Test İstatistiği: qr ˆ m = Var ( ˆ β )1 r 0 3. Adım: m: 1 serbestlik dereceli ki kare dağılımı gösterir. 4. Adım: H 1 hipotezi altında m > χ 1 H o reddedilebilir. 0 ˆβ tutarsızdır. 46
Hausman Tanımlama Testi Uygulama: İhracat modelini Hausman testi ile test edelim. EKK ile tahmin edilen model ln(ihr ) =.84 + 0.179 ln(dk ) t ( ) s b (0.03048) (0.007635) i t (71.59) (3.503) t s(β 0 ) Araç değişkeni kullanılarak elde edilen model: ln(ihr ) =.881+ 1.171ln(GSMH ) t t (-4.149) (8.67) t 47 Hausman Tanımlama Testi qˆ = ˆ β ˆ β = 1.171 0.1794 = 0.9916 1 0 Var ( β0 )=(0.007635) = 0.0000583 rln DK,ln GSMH = 0.836189 = qr ˆ β = (0.9916) (0.836189) m = 3906.036 Var ( ˆ ) 1 r 1 0.836189 (0.0000583) 0 ( ) ( ) ( ) 48
Hausman Tanımlama Testi 1. Adım: H 0 : Model spesifikasyonu doğrudur. H 1 : Model spesifikasyonu yanlıştır.. Adım: Test İstatistiği: qr ˆ m = = 3906.036 Var ˆ ( β )1 r 0 4. Adım: χ 1 = 3.84 5. Adım: m > χ 1 H o reddedilebilir. 49 Ölçme Hataları 1. Bağımlı değişkendeki Ölçme Hataları. Bağımsız değişkendeki Ölçme Hataları 3. Hem Bağımlı hem de Bağımsız Değişkendeki Ölçme Hataları 50
Bağımlı Değişkendeki Ölçme Hataları Y i = α + βx i +e i Y * i = Y i + w i σu var(ˆ) β = x i Doğru Model Y * i = (α + βx i +e i ) + w i Y * i = α + βx i +v i Yanlış Model var( ˆ σ σ +σ β ) = = v e w xi xi Katsayıların sapmasız tahminlerini vermektedir. tahmin edilen varyanslar ölçme hatasının bulunmadığı duruma göre daha büyüktür. 51 Bağımsız Değişkendeki Ölçme Hataları Basit doğrusal regresyon denklemi Y = β + β X + e i 0 1 i Bağımsız değişken X de toplamsal ölçme hatası olsun. Bu hata v i ile ifade edilirse, ölçme hatalı bağımsız değişken X = X + v * i i i Ölçme Hatası v i, temel varsayımları sağlamakta, e i ile v i nin bağımsız olduğu varsayılsın. 5
Bağımsız Değişkendeki Ölçme Hataları X X v * = β β ( ) * i i i Y = + X v + e i 0 1 i i i Y = β + β X + e β v * i 0 1 i i 1 i Hatalı tahminlenen model e = e β v * i i 1 i Y = β + β X + e * * i 0 1 i i Katsayıları tahmincileri sapmalı ve turtarsızdır. X lerde ölçme hatası olması, Y lerde ölçme hatası olmasından daha kötü sonuç doğurur. 53 Bağımlı ve Bağımsız Değişkendeki Ölçme Hataları Y = Y + w * i i i 1. w i ve v i temel varsayımlara sahip X = X + v * i i i. e i, v i ve w i birbirinden bağımsızdır.
Bağımlı ve Bağımsız Değişkendeki Ölçme Hataları Parametre tahmincileri Sapmalı Tutarsız olacaktır. Bağımsız Değişkenlerin Ölçme Hatalı Olması Durumunda Çözüm Yolları 1. σ < σ EKK uygulanabilir. v X. Alet Değişken Yöntemi 56
Leamer in Model Seçim Yaklaşımı Leamer e göre, model kurma arayışına girmek için 6 neden vardır: Hipotez Testi Yorumlama Basitleştirme İkame Değişken arama Veri seçme Yeni model ilave etme. 57 Leamer in Model Seçim Yaklaşımı Bir malın talebinin belirlenmesi; En basit şekilde talep kuramına göre; her şey aynı iken, bir malın talep edilen miktarı tüketicinin geliri ile o malın fiyatına bağlıdır. Y: Talep edilen miktar (Portakal), I: Gelir; P: Fiyat İlk olarak Log-log model ile başlandığını varsayılsın; logy = 6. + 0.85 logi 0.67 logp R =0.15 s(b i ) (1.1) (0.1) (0.13) n=150 58
Leamer in Model Seçim Yaklaşımı Hipotez Test ile arayışta fiyat esnekliği katsayısınının-1 olduğu varsayımı; logy = 6. + 0.85 logi 0.67 logp R =0.15 s(b i ) (1.1) (0.1) (0.13) n=150 Sınırlı regresyon tahmini logy + logp = 7. + 0.96 logi R =0.14 s(b i ) (1.0) (0.0) t 4.8 n=150 F testi sonucu fiyat esnekliği katsayısının -1 olduğu hipotezi reddedilemez. 59 Leamer in Model Seçim Yaklaşımı Veri seçme veri setinin güneş alan ve almayan bölgeler olarak ayrılması; logy N = 7.3 + 0.89 logi N 0.60 logp N R =0.18 s(b i ) (1.9) (0.41) (0.5) n=65 t (3.84) (.17) (.4) t tab = t 6,0.05 = logy S = 7.0 + 0.8 logi S 1.10 logp S R =0.19 s(b i ) (.) (0.31) (0.6) n= 85 t (3.18) (.64) (4.3) t tab = t 8,0.05 = 1.98 N: Kuzey S:Güney P:Fiyat I:Gelir Gelir ve fiyat değişkenlerinin bölgesel katsayıları aynıdır hipotezi ile veri seçme arayışı gerçekleştirilebilir. 60
Leamer in Model Seçim Yaklaşımı İkame değişken arama; Gelir (I) yerine Harcama ( E) değişkeninin kullanılması logy = 5. + 1.1 loge 0.45 logp R =0.18 s(b i ) (1.0) (0.18) (0.16) n=150 Yeni bir model kurma İşaretleri yanlış logy = 3.1 + 0.83 loge + 0.01 logp 0.56 loggp R =0.0 s(b i ) (1.0) (0.83) (0.13) (0.60) n=150 GP: İkame mal fiyatı (Mandalina Fiyatı) 61 Leamer in Model Seçim Yaklaşımı Yorumlama İşaretleri doğru logy = 4. + 0.5 logi - 0.61 logp + 0.09 loggp R =0.19 s(b i ) (0.9) (0.19) (0.14) (0.31) n=150 Basitleştirme logy = 3.7 + 0.58 log(e/p) R =0.19 s(b i ) (0.8) (0.18) n=150 6
Hendry in Model Seçim Yaklaşımı 1. Veri alabilmeli: Model ile yapılan kestirimler mantığa uymalı. Teoriye uygun olmalı: İktisadi anlamı olmalı 3. Dışsallığı zayıf açıklayıcı değişkenleri olmalı: Açıklayıcı değişkenleri hata terimiyle ilişkisiz olmalı 4. Katsayılar değişmez olmalı: Katsayıların değerleri durağan olmalı, aksi halde kestirim güç olur. 5. Hata terimi Beyaz Gürültülü olmalı: Modelden tahmin edilen hatalar bütünüyle rassal olmalı. 6. Kapsayıcı olmalı: Model bütün rakip modelleri kapsamalı yada içermeli. 63 Hendry in Model Seçim Yaklaşımı Yukardan aşağıya yada genelden özele yaklaşım Y = β X + β X +... + β X + δ Y + δ Y +... + δ Y + u t 0 t 1 t 1 m t m 1 t 1 t m t m t Genel Model Y t = αx t Özel Model 64
Hendry in Model Seçim Yaklaşımı Dependent Variable: HOUSING Method: Least Squares Sample: 1963 1985 Included observations: 3 Housing: İnşa edilen konut sayısı GNP: GSMH INTRATE: Faiz UNEMP: İşsizlik POP: Nüfus Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 5087.434 11045.79 0.460577 0.6506 GNP 1.756353.139984 0.8073 0.45 INTRATE -174.6918 61.00066 -.863769 0.0103 POP -33.43369 83.07564-0.40449 0.691 UNEMP 79.71988 1.5794 0.650353 0.537 R-squared 0.449950 Mean dependent var 1601.100 Adjusted R-squared 0.37716 S.D. dependent var 345.4715 S.E. of regression 83.61 Akaike info criterion14.308 Sum squared resid 144474. Schwarz criterion 14.56713 Log likelihood -159.6833 F-statistic 3.681069 Durbin-Watson stat 0.793569 Prob(F-statistic) 0.0374 65 Hendry in Model Seçim Yaklaşımı Dependent Variable: HOUSING Method: Least Squares Sample: 1963 1985 Included observations: 3 İşareti yanlış Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 645.0187 393.4653 1.63938 0.1176 GNP 0.901419 0.5599 3.568574 0.000 INTRATE -187.017 51.5749-3.66384 0.0018 UNEMP 35.58666 53.55095 0.664538 0.5143 R-squared 0.445000 Mean dependent var 1601.100 Adjusted R-squared 0.357369 S.D. dependent var 345.4715 S.E. of regression 76.9448 Akaike info criterion 14.48 Sum squared resid 145770. Schwarz criterion 14.43976 Log likelihood -159.7863 F-statistic 5.078083 Durbin-Watson stat 0.816988 Prob(F-statistic) 0.009478 66
Hendry in Model Seçim Yaklaşımı Dependent Variable: HOUSING Method: Least Squares Sample: 1963 1985 Included observations: 3 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 687.8977 38.6818 1.797571 0.0874 GNP 0.905395 0.48978 3.636444 0.0016 INTRATE -169.6579 43.8389-3.870084 0.0010 R-squared 0.43101 Mean dependent var 1601.100 Adjusted R-squared 0.375311 S.D. dependent var 345.4715 S.E. of regression 73.0513 Akaike info criterion 14.17830 Sum squared resid 1491140. Schwarz criterion 14.3641 Log likelihood -160.0505 F-statistic 7.608750 Durbin-Watson stat 0.831697 Prob(F-statistic) 0.003489 67 Seçilmiş Hipotez Testleri 1. Yuvalanmış Model Testleri. Yuvalanmamış Model Testleri Model A: Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + b 4 X 4 + u Model B: Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u Model C: Y = a 1 + a X + u Model D: Y = b 1 + b Z + v Model E: Y = c 1 + c X + c 3 Z + u 68
Yuvalanmış Model Testleri Model A: Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + b 4 X 4 + u Model B: Y = b 1 + b X + b 3 X 3 + u B modeli, A modeli içinde yuvalanmıştır. Hipotez testleri: A modeli tahmin edilerek H 0 : β 4 = 0 test edilerek hipotez kabul edilirse A modeli B modeline indirgenir. 69 Yuvalanmamış Hipotez Testleri Model C: Y = a 1 + a X Model D: Y = b 1 + b Z + u + v C ve D yuvalanmamış modellerdir. 70
Yuvalanmamış Hipotez Testleri 1. Ayırdedici Yaklaşım, Belirlilik Katsayıları Hocking S p Ölçüsü Mallow C p Ölçüsü Amemiya PC Ölçüsü Akaike AIC Schwartz SC 71 Yuvalanmamış Hipotez Testleri Farklı Model Bilgisiyle Ayırdedici Yaklaşım Yuvalanmamış- F testi Davidson-MacKinnon testi 7
Yuvalanmamış-F testi Model E: Y = c 1 + c X + c 3 Z + u Model C: Y = a 1 + a X + u Model D: Y = b 1 + b Z + v C modeli doğru ise c 3 = 0 D modeli doğru ise c = 0 olacaktır. Katsayılar t yada F Testi ile test edilirler 73 Yuvalanmamış-F testi Uygulama: 1990-00 yılları verisi ile Vadeli Mevduat (VM), Para arzı(pa) ve GSMH verileri ile Yuvalanmamış F testini yapalım. YILLAR VM PA GSMH 1990 0.04 0.07 0.397 1991 0.073 0.117 0.634 199 0.115 0.191 1.104 1993 0.159 0.8 1.997 1994 0.409 0.63 3.888 1995 0.879 1.57 7.855 1996.044.95 14.978 1997 4.144 5.659 9.393 1998 9.01 11.43 53.518 1999 17.958.40 78.83 000 4.348 31.91 15.596 001 35.65 47.41 179.48 00 47.159 61.879 65.476 74
Yuvalanmamış-F testi Model E: Sadece t testi uygulayarak Dependent Variable: VM VM = c1 + c GSMH+ c3 PA Sample (adjusted): 1987 1999 Included observations: 13 after adjustments H 0 : c 3 = 0 H 0 : c = 0 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob C 0.0144 0.108611 0.195599 0.8488 GSMH -0.010894 0.01517-0.870379 0.4045 PA 0.806634 0.050800 15.87869 0.0000 R-squared 0.999663 Mean dependent var 10.96 Adjusted R-squared 0.999596 S.D. dependent var 15.71347 S.E. of regression 0.315964 Akaike info criterio 0.73797 Sum squared resid 0.99833 Schwarz criterion 0.863170 Log likelihood -1.76318 F-statistic 14834.53 Durbin-Watson stat 1.593500 Prob(F-statistic) 0.000000 75 VM = c 1 + c GSMH+ c 3 PA Gelirin vadeli mevduat üzerinde bir etkisi yok (c =0) Para arzının vadeli mevduat üzerinde bir etkisi vardır. VM = f(pa)
Model C: Yuvalanmamış-F testi VM = f(gsmh) VM = c 1 + c GSMH+ c 3 PA Dependent Variable: VM Method: Least Squares Sample (adjusted): 1987 1999 Included observations: 13 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C -0.05933 0.59706-0.09999 0.9 GSMH 0.187100 0.00535 35.13456 0.0000 R-squared 0.991168 Mean dependent var 10.96 Adjusted R-squared 0.990365 S.D. dependent var 15.71347 S.E. of regression 1.54417 Akaike info criterion 3.84517 Sum squared resid 6.16955 Schwarz criterion 3.9313 Log likelihood -.99391 F-statistic 134.437 Durbin-Watson stat 1.85363 Prob(F-statistic) 0.000000 77 Yuvalanmamış-F testi Model D: VM = f(pa) VM = c1 + c GSMH+ c3 PA Dependent Variable: VM Method: Least Squares Sample (adjusted): 1987 1999 Included observations: 13 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.01340 0.106930 0.115398 0.910 PA 0.76587 0.004378 174.1750 0.0000 R-squared 0.999638 Mean dependent var 10.96 Adjusted R-squared 0.999605 S.D. dependent var 15.71347 S.E. of regression 0.31463 Akaike info criterion 0.651975 Sum squared resid 1.07396 Schwarz criterion 0.738890 Log likelihood -.37836 F-statistic 30336.94 78 Durbin-Watson stat 1.467167 Prob(F-statistic) 0.00000
F Testi: 1. Adım: Yuvalanmamış-F testi VM = c1 + c GSMH+ c3 PA VM = f(gsmh, PA) Sınırlandırılmamış Model R-squared 0.999663 VM = f(pa) Sınırlandırılmış Model R-squared 0.999638 H 0 : c = 0 (Değişken modele eklenmemelidir.) H: En az biri sıfırdan farklıdır. (Değişken modele eklenmelidir.).adım ( ) hes ( 1 R ) f yeni ( ) ( 1 0.999663) 13 3 R yeni R eski f1 0.999663 0.999638 1 F = = = 0.7418 3.Adım F 1, 10, 0.05 = 4.96 4.Adım F hes < F tab H 0 reddedilemez. t testi ile F testi benzer sonuçları vermiştir. VM = f(pa) 79 Davidson-MacKinnon J Testi Model C: Y = a 1 + a X + u Model D: Y = b 1 + b Z + v C modelini, D modeliyle karşılaştırmak istediğimizi düşünelim; 1. Adım: D modelini tahmin et, tahmin edilmiş Y değerleri ˆ D Y i bul.. Adım: ˆ D Y i değerini, C modeline ek bir açıklayıcı değişken olarak koy, aşağıdaki modeli tahmin et. Y = α + α X + α Yˆ + u D t 1 i 3 i i Kapsayıcılık İlkesi 3. Adım: α 3 = 0 olup olmadığı t testiyle kontrol edilir. 4. Adım: Eğer α 3 = 0 hipotezi reddedilmez ise, C modelini doğru model olarak kabul ederiz. C Modeli, D Modelini kapsamaktadır. 80
Davidson-MacKinnon J Testi Model C: Y = a 1 + a X + u Model D: Y = b 1 + b Z + v D modelini, C modeliyle karşılaştırmak istediğimizi düşünelim; 1. Adım:. Adım: Yˆ C i C modelini tahmin et, tahmin edilmiş Y değerleri ˆ C Y i bul. değerini D modeline ek bir açıklayıcı değişken olarak koy, aşağıdaki modeli tahmin et. Y = β + β Z + β Yˆ + u C t 1 i 3 i i Kapsayıcılık İlkesi 3. Adım: β = 3 0 olup olmadığı t testiyle kontrol edilir. 4. Adım: Eğer β 3 = 0 hipotezi reddedilmez ise, D modelini doğru model olarak 81 kabul ederiz. D Modeli, C Modelini kapsamaktadır. Davidson-MacKinnon J Testi Uygulama: 1990-00 yılları verisi ile Vadeli Mevduat (VM), Para arzı(pa) ve GSMH verileri ile Davidson- MacKinnon J sınaması ile testini yapalım. YILLAR VM PA GSMH 1990 0.04 0.07 0.397 1991 0.073 0.117 0.634 199 0.115 0.191 1.104 1993 0.159 0.8 1.997 1994 0.409 0.63 3.888 1995 0.879 1.57 7.855 1996.044.95 14.978 1997 4.144 5.659 9.393 1998 9.01 11.43 53.518 1999 17.958.40 78.83 000 4.348 31.91 15.596 001 35.65 47.41 179.48 00 47.159 61.879 65.476 8
Davidson-MacKinnon J Testi Model C: VM = a 1 + a PA + u Model D: VM = b 1 + b GSMH + v 83 Davidson-MacKinnon J Testi Model C: VM = a1 + a PA + u Dependent Variable: VM Method: Least Squares Sample: 1990 00 Included observations: 13 H 0 reddedilemez Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.01816 0.108335 0.167648 0.870 PA 0.806634 0.050800 15.87869 0.0000-0.0588 0.066899-0.870379 0.4045 YD R-squared 0.999663 Mean dependent var 10.96 Adjusted R-squared 0.999596 S.D. dependent var 15.71347 S.E. of regression 0.315964 Akaike info criterion 0.73797 Sum squared resid 0.99833 Schwarz criterion 0.863170 Log likelihood -1.76318 F-statistic 14834.53 Durbin-Watson stat 1.593500 Prob(F-statistic) 0.000000 C modeli doğru bir modeldir. C modeli, D modelini kapsamaktadır. 84
Davidson-MacKinnon J Testi Model D: VM = b1 + b GSMH + v Dependent Variable: VM Method: Least Squares Sample (adjusted): 1990 00 Included observations: 13 after adjustments H 0 red. Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.00819 0.108579 0.075447 0.9413 GSMH -0.010894 0.01517-0.870379 0.4045 1.057760 0.066615 15.87869 0.0000 YC R-squared 0.999663 Mean dependent var 10.96 Adjusted R-squared 0.999596 S.D. dependent var 15.71347 S.E. of regression 0.315964 Akaike info criterio 0.73797 Sum squared resid 0.99833 Schwarz criterion 0.863170 Log likelihood -1.76318 F-statistic 14834.53 Durbin-Watson stat 1.593500 Prob(F-statistic) 0.00000 D modeli doğru bir model değildir.d modeli, C modelini kapsamamaktadır. 85