TAKİYÜDDİN'İN FARKLI BÜYÜKLÜKTE SONSUZ NİCELİKLER MESELESİNE TRİGONOMETRİDEN GETİRMİŞ OLDUĞU BİR ÖRNEK Dr. Remzi DEMİR Bu meseleye ilk defa, hareketin imkânı problemini tartışan Elealı Zenon (İ.Ö. 90-30) dikkat çekmiş ve Zenon paradoksa yönelttikleri için, sonsuz büyük ve sonsuz küçük kümelerin olabilirliğini reddetmişti 1. Aristoteles (İ.Ö. 38-322) ise, sonsuz kümeleri, bütün sayıların bir kümesi olarak düşündü ve değişmez varlıklar olarak objelerin sonsuz kümelerinin var oluş imkânını kabul etmedi 2. Değişmezler, ona göre, sadece gizil olarak sonsuz olabilirler, gerçekte ise sonsuz değildirler. Eukleides (İ.Ö. y. 300)'in II. ve V. postülalarında sonsuzluk fikri mevcuttur 3. Onun ünlü yorumcusu Diadokos Proklos (10-8) da, bir dairenin sonsuz tane çapının, bu daireyi, sonsuz sayıdaki çaplarının iki katı sonsuzlukta parçalara taksim edeceği örneğine dayanarak, sonsuzun iki katının olmasının gerçek olamıyacağını ve bu sebeple "Gerçek Sonsuzdan değil ancak "Gizil Sonsuz"dan bahsedilebileceğini söylemektedir. Ortaçağ boyunca filozoflar nesnelerin Gerçek Sonsuz Kümelerinin olup olamayacağını tartışmışlar ve yine paradoksa götüren şöyle bir örnek üzerinde durmuşlardır: Ortak merkezli iki çemberin sonsuz sayıdaki ortak yarıçaplarının üzerinde yer alan birer noktaları, her zaman birbirleriyle bire bir eşleştirilebileceği için, bu iki kümenin eleman sayısı birbirine eşit olmalıdır. Ancak yine de dıştaki dâirenin çevresi içtekinden daha büyüktür. 1 Bu konuda bkz. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modem Times, New York 192, s. 992; Graham Flegg, Numbers, Their History and Meaning, Suffolk 1983, s. 2; Alfred Weber, Felsefe Tarihi, Çev.: Vehbi Eralp, III. Baskı, İstanbul 19, s. 19-20; Timur Karaçay, "Sonsuzluğun Olağanüstü Üzellikleri", Matematik Dünyası, C. I, S. 1, Ankara 1991, s. 1-1. 2 M. Kline, s. 993. 3 G. Flegg, s. 2. M. Kline, s. 993. M. Kline, s. 993.
92 REMZİ DEMİR Galileo Galilei (1-12) de bu mesele ile yakından ilgilenmiş ve Mekanikle İlgili İki Yeni Bilim Üzerine Söylevler ve Matematiksel Kanıtlar (138) adlı eserinde birisi aritmetik, diğeri ise geometrik olan iki örnek teşkil edip bunlar üzerinde tartışmıştır. Doğal sayılar ile bunların karelerini sonsuza kadar bire bir eşleştirebiliriz. Şu halde, bu iki kümenin eleman sayıları ve dolayısı ile bu iki küme birbirine eşit olacaktır. Ancak kare sayıların her biri aynı zamanda 1 2 3... 1 9 1 2... bir doğal sayı olduğu için, doğal sayılar kümesi içinde yer alacağından, kare sayılar kümesinin, doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi olması, yani doğal sayılar kümesinin onu kapsaması gerekir. Buradan, daha büyük bir sonsuzun daha küçük bir sonsuza eşit olduğu şeklinde paradoksal bir neticeye ulaşılır ki bu durum Galileo'yu hayretlere düşürecektir. Diğer örnek ise, daha önce sözünü ettiğim ortak merkezli çemberler örneğine çok benzemektedir. Bir ABC üçgeninin BC tabanına paralel olarak çizilen DE doğrusu, tabandan daha kısadır. Üçgenin A köşesinden tabana doğru çizilecek herhangi bir doğru, DE doğrusunu her hangi bir x noktasında, tabanı ise herhangi bir y noktasında kesecek, yani bu iki doğrunun birer noktalarını birbirleriyle bire bir eşleştirecektir. A köşesinden tabana sonsuz sayıda doğru çizilebileceğinden, DE'nin bütün noktaları, BC'nin bütün noktaları ile eşleştirilebilir. Öyleyse DE üzerinde ne kadar nokta varsa BC üzerinde de o kadar nokta olacaktır ki bu, iki doğrunun uzunluklarının birbirlerine eşit olduğunu söylemektir. Galileo, bu örneklere bakarak, sonsuz nicelikler hakkındaki "daha büyük", "daha küçük" ve "birbirlerine eşit" şeklindeki kıyaslayıcı ifâdelerin geçersiz olması gerektiği ve bu tip mukayeselerin sadece sonlu M. Kline, s. 993. W.J. Reichmann, The Spell of Mathematics, Suffolk 19, s. 19-190; M. Kline; s. 993; G. Flegg, s. 2-2. W.J. Reichmann, s. 11; M. Kline, s. 993; Cari B. Boyer, A History of Mathematics, New York 198, s. 39-31.
TAKİYÜDDİN'İN FARKLI BÜYÜKLÜKTE SONSUZ NİCELİKLER 93 nicelikler için yapılabileceği neticesine vardı 8. Böylece Galileo da paradoksa yönelttikleri için sonsuz kümelerle işlem yapılamıyacağı fikrine iştirak etmiş oluyordu. Galileo'dan takriben üç yüz sene sonra, bütün bu gelişmelerden haberdâr olan bir kimse, Georg Cantor (18-1918), meseleyi farklı bir açıdan ele alacak ve sonsuz kümelere bazı özel nitelikler atfederek paradoksları çözecektir 9. İşte, 18 tarihinde kaleme aldığı Ceridetü'd-Dürer ve Haridelü'l- Fiker adlı eserinde 10, İstanbul Rasathanesi'nin kurucusu, matematikçi ve astronom Takiyüddin bin Maruf (121-18), sonsuzlar meselesine başka bir sahadan, trigonometriden bir örnek getirmektedir. Bilindiği üzere, tanjant ve kotanjant Ebu'1-Vefa El-Buzcani tarafından trigonometriye dahil edildiklerinde, bazı matematikçiler buna itiraz etmişlerdi 11. Çünkü 3 derecelik bir yayın tanjant ve kotanjantı yarıçap büyüklüğüne eşit olduğu halde, derecenin üstündeki yayların tanjantları büyük miktarda artarak 90 derecede sonsuz büyüklüğe ulaştığı gibi, bu derecenin altındaki yayların kotanjantları da aynı şekilde artarak 0 derecede sonsuz büyüklüğe ulaşmakta ve bu durum interpolasyon işleminde büyük halalara sebebiyet vermekteydi. Oysa interpolasyon yöntemi, tanjant vs kotanjant tablolarında verilen değerler arası değerleri tesbit etmek için kullanılan yegâne yöntemdi. Meselâ, tg 3 ve tg 'nin değerleri belli iken, interpolasyonla tg 3 1"nın değeri hesap edilebilir ve neticede hata ancak milyonda birler hanesinde gerçekleşir ki, bu çok küçük olduğu için ihmal edilebilir. Buna rağmen tg 8 ve tg 8 belli iken interpolasyonla elde edilen tg 8 1' nın değerindeki hata ise onda birler hanesine kadar yürümüş olacaktır ki, bu derece büyük bir hata ihmal edilemez. İşte bu durum karşısında, Ebu'r-Reyhan EI-Beyruni yarıçapı "1" kabul ederek, tanjant için sâdece 0 ile arasındaki yayların, kotanjant içinse sadece 90 ile arasındaki yayların kullanılmasını tavsiye etmiştir 12. İslam Dünyası'nda bu fonksiyonların - ve - 8 W.J. Reichmann, s. 11. 9 W..J. Reichmann, s. 12; "Cantor, Gerog", "Cantor Köşegen Yöntemi", "Cantor Paradoksu" maddeleri, AnaBritannica, C., İstanbul 198, s. 310-12. 10 Bu yazma eserin bir nüshası Kandilli Rasathanesi Kütüphanesi No: 183'de kayıtlıdır. 11 Salih Zeki, Asar-ı Bakiye. C. I, İstanbul 1329, s. 0. 12 Salih Zeki, s. 1.
9 REMZİ DEMİR Takiyüddin Muhammed bin Zeynüddin Maruf (Yüce Allah, Dünya ve Ahirette Her İkisini de Esirgesin)'un İcadı Olan Onlu Tanjant ve Kotanjant Tablosu (1) Yay 1 2 3 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 18 19 20 21 22 23 2 2 2 2 28 29 30 31 32 33 3 3 3 3 38 39 0 1 2 3 8 9 0 1 2 Tanjant 0 1' '' ''' 3 9 2 9 9 0 8 101 2 2 8 0 8 3 19 212 3 0 9 9 3 9 2 8 3 0 2 9 3 3 9 3 8 3 9 0 0 2 2 8 8 0 9 1 3 0 0'0"9''' 2 9 9 0 0 2 2 3 813 8 0 9 8 3 9 1 8 9 3 9 0 0 3 2 9 10000 3 0 2 110 0 1918 2 3 9 2 9 9 Fark 0 1'"'" 9 0 8 1 2 3 8 8 9 9 3 1 9 2 0 0 1 0 1 1 1 1 8 2 2 2 3 1 3 0 2'"0'" 1 3 1 8 8 2 9 3 3 0 2 1 1 2 1 3 2 3 9 8 2 3 9 1 3 1 0 1 89 88 8 8 8 8 83 82 81 80 9 8 3 2 1 0 9 8 3 2 1 0 9 8 3 2 1 0 9 8 3 2 1 0 39 38 1 Bu tablo Ceridetü'd-Dürer'den alınmıştır.
TAKİYÜDDİN'İN FARKLI BÜYÜKLÜKTE SONSUZ NİCELİKLER 9 Yay Tanjant Fark 3 8 9 0 1 2 3 8 9 0 1 2 3 8 9 80 81 82 83 8 8 8 8 88 89 90 3 2 0 3 2 8 1 8 2 39 9 0 0 3 3 3 2 1 0 1 8 0' " 0 1880 192 2 0 0 3 1 2 0 3 9 1 0 1 2 9 0 2 3 0 2 0 9 8 3 3 2 1 010 8 331 0 1 13 8138 103 813 0911 11301 1300 190811 2 8 3 3 2 9 0 1 sonsuz Kontanjant 9 1 3 0 0 8 19 0 0 0 8 1 9 8 8 0 9 2 101 0 9 9 192 3 0 0 2 3 1 1912 21 2 8 3 2 0 3 1 0 0 2 2 0 9 0 1000 1301 291 2 9 0 8 0 0 9 2 2838 Sonsuz olmakla birlikte 90 'nin tg. dan veya 0 'nin ctg. dan daha küçüktür. Bu ise acayip bir şeydir. 3 3 3 3 33 32 31 30 29 28 2 2 2 2 23 22 21 20 19 18 1 1 1 1 13 12 11 10 9 8 3 2 1 0 Yay biçiminde ifâde edildikleri ve yaya tâbi doğrular olarak bilinmedikleri Beyruni öncesi dönemde de, yarıçap "0" olarak kabul edildiği halde bile, genel eğilim bu yönde idi 13. Böyle bir mahzura rağmen, Takiyüddin Ceride'si için, birer derecelik fasılalarla 0 ile 90 arasındaki yayların ondalı sisteme göre tanjant ve kotanjantlarını gösterir bir tablo hazırlamıştır. Bu tabloda 89 derecenin tanjantı da ya 1 derecenin kotanjantı,2901 olarak gösterilmiş 13 Habaş El-Hasib'in hazırladığı tanjant-kotanjant tablosuna bakınız, Salih Zeki, s. 9-9.
9 REMZİ DEMİR ve 90 derecenin tanjantının ya da 0 derecenin kotanjantının karşısına ise "Sonsuz" ibaresi yazılmıştır. Şu durumda, 89 ile 90 arasındaki yayların tanjantlarının ya da 0 ile 1 o arasındaki yayların kotanjantlarının interpolasyon yöntemi ile tesbit edilebilmesi için (,2901) farkının bilinmesi gerekecektir. İşte tam bu noktada, Takiyüddin, sonsuz bir nicelikten sonlu bir nicelik çıkarılacak olursa, geriye yine sonsuz bir niceliğin kalacağını, ancak bu ikinci sonsuzun, birinci sonsuzdan daha küçük olacağını ve bununsa şaşılacak bir şey olduğunu söylemekte ve böylece, sezgisel de olsa, farklı büyüklükte sonsuz kiimelerin olabileceğine dikkat çekmiş olmaktadır. Bu bilgilerin ışığı altında, Takiyüddin'in, 90 dereceden küçük en az bir tane yayın tanjantının ya da 0 dereceden büyük en az bir tane yayın kotanjantının interpolasyon yöntemi ile tespit edilemiyeceğini bildiğini söylememiz mümkündür.