Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Transkript

1 Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için x > ve x < x x xx olur. lim + x f ( x) a lim x + ve lim f ( x) b x lim ( ) + x bulunur. a b ( ) + n. s n k n k olduğuna göre, lim s n kaçtır? n A) B) C) D) E) Çözüm n s n k n n k k ² n k.( ( n ) + ( n ) + n) n² n.( n ). + n² n s n k n k n. + n lim s n n n lim + n x Not : Pay ve paydadaki polinomların dereceleri eşit ise katsayılar oranı limiti verir.. f : R R her noktada türevli bir fonksiyon ve f () olduğuna göre, lim h f (+ h) h f ( h) kaçtır? A) 5 B) C) 9 D) 6 E)

2 Çözüm I. Yol Türevin tanımından yola çıkarsak. f ( x) f ( x ) lim f (x ) x x x x lim h f ( h+ x ) h f ( x ) f (x ) lim h f (+ h) h f ( h) lim h [ f (+ h) f ( h)] + ( f () h f ()) lim h f (+ h) h f () + lim h f ( h) + h f () f (+ h) f () lim. h. h f ( h) f () lim.( ) h ( ). h f (). + f ().(-) 5 f () 5. 5 II. Yol Değişken h olduğundan h a göre türevleri alınır. lim h f (+ h) h f ( h) f () f () belirsizliği vardır. L Hospital uygulanırsa, f '(). f '().( ) 5 f () 5. 5 elde edilir.. P(x) polinom fonksiyonunun türevi P (x) ve P(x) P (x) x² + x olduğuna göre, P(x) in katsayılarının toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 5 Çözüm P(x) ax² + bx + c olsun. P (x) ax + b olur. P(x) P (x) x² + x (ax² + bx + c) (ax + b) x² + x a, b 7, c 6 bulunur. O zaman P(x) x² + 7x + 6 olur. P(x) in katsayılarının toplamı P().²

3 5. f(x) x ³ ² x + 5 fonksiyonu aşağıdaki aralıkların hangisinde azalandır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) Çözüm 5 f(x) in azalan olması için f (x) < olmalıdır. f(x) x ³ ² x + 5 f (x) x² x < x.(x ) < x ve x 6. Şekildeki d doğrusu, f (x) fonksiyonunun grafiğine A noktasında teğettir. h(x) x f (x) olduğuna göre, h ( ) kaçtır? A) B) C) D) E) 7

4 Çözüm 6 h(x) x f (x) h (x).f(x) + f (x).x f(x) + f (x).x olur. Türevin geometrik yorumuna göre, Fonksiyonun bir noktadaki türevi o noktadaki teğetin eğimine eşittir. d doğrusunun denklemi (iki noktası bilinen doğru denklemi) (, ) ve (, ) y x y x + olur. Eğimi f ( ) olur. h ( ) f( ) + f (-).( ) + ( ).( ) (sinx + cosx). dx integralinde t x dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir? A) (sint + cost). dt B) (sint cost). dt C) (sint cost). dt D) (cost sint). dt E) (sint cost). dt Çözüm 7 t x x t (türevini alırsak) dx dt x için t x için t (sinx + cosx) dx (sin( t ) + cos( t))( dt) (sint cost)( dt) ( sint + cost) dt (sint cost) dt

5 8. f : R R fonksiyonu her noktada türevli ve f (x) x +, f() olduğuna göre, f () kaçtır? A) 5 B) C) D) E) Çözüm 8 f (x) x + her iki tarafın integrali alınırsa, f (x) x+ f(x) x ² + x + c olur. ² f() x için, f() + + c c 5 x ² f(x) + x 5 f() 5 bulunur. 9. Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten f : [, ] [, ] fonksiyonunun tersi f dir. Buna göre, ( x) dx+ f ( x) dx f toplamı kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E)

6 Çözüm 9 f ( x) dx A ve f ( x) dx A ( x) dx+ f ( x) dx f A + A log log 5 8 log 5 log 7 determinantının değeri kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 6 E) 5 Çözüm log log 5 8 log 5 log 7 log 8. log 5.log 5 log ³ log 7 log x x. ( ) : ( + ) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? + x x + x x A) B) C) x D) x E) + x Çözüm x.( x) (+ x) ( ) (+ x).( x) ( x) + x.(+ x) : ( ) (+ x).( x) x² ( ) (+ x).( x) (+ x).( x). ( ) + x²

7 . y³ + 7. y² y ( y ).( y² ) y² y+ 9 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) (y + )(y ) B) (y + )(y ) C) (y + )(y ) D) (y )(y ) E) (y )(y ) Çözüm ( y+ ).( y² y+ 9) ( y ).( y ).( y+ ). ( y ).( y+ ) y² y+ 9 (y + ).(y ). z + z i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 i B) 6 5 i C) + i D) i E) 5 + i Çözüm z x + iy olsun. z x ² + y² olduğuna göre, z + z i x ² + y² + x + iy i y olur. 5 x ² + ( )² + x x² + ( x)² x bulunur. 6 z x + iy 6 5 i elde edilir.

8 . Aşağıdaki tabloyla değişmeli olmayan (G, ) grubu verilmiştir. (Örneğin, bu grupta c d e, d c f dir.). Buna göre, b (x c) d eşitliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir? A) f B) e C) d D) c E) b Çözüm işleminin etkisiz (birim) elemanı a dır. (x c) m olsun. b m d b b m b d m b d b b a b c m c d e m e olur. x c m x c c m c x e c c c a c b olur. x e b x f bulunur. 5. A boş olmayan bir küme olmak üzere, A dan A ya f ve g fonksiyonları tanımlanmıştır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen (fοg) bileşke fonksiyonu bire bir ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) f örtendir. B) g örtendir. C) f bire birdir. D) g bire birdir. E) (gοf) bire birdir.

9 Çözüm 5 Farklı bir h(x) fonksiyonu alalım. h(x ) h(x ) olması için x x olmalıdır. fog(x ) fog(x ) olması için x x olmalıdır. f(g(x )) f(g(x )) olması için g(x ) g(x ) olmalıdır. (fοg)(x) f (g(x)) ile verilen (fοg) bileşke fonksiyonu bire bir ise g(x) de bire bir dir. 6. f (x) fonksiyonunun grafiği, şekildeki gibi, Ox eksenine (, ) noktasında teğet olan ve (, ) noktasından geçen paraboldür. Buna göre, f () kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) Çözüm 6 Parabol denklemi f(x) a.(x r)² + k (r, k) (, ) y a.(x )² y a.(x )² (, ) noktasını sağlar, a.( )² a olur. y a.(x )² y.(x )² y f().( )². 7. ( m)x² + x + m² denkleminin biri pozitif, diğeri negatif iki gerçel kökü varsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) (, ) D) (, ) (, ) E) (, ) (, )

10 Çözüm 7 Kökleri x ve x olsun. x.x a c < m² m < m, m, m (, ) (, ) elde edilir. 8. Şekildeki O merkezli birim çember üzerindeki P ve P noktaları Ox eksenine göre birbirinin simetriğidir. Buna göre, P noktası aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilemez? A) (cos( θ), sin( θ)) B) (cos( θ), sinθ) C) (cosθ, sinθ) D) (cosθ, sin( θ)) E) (cos( θ), sinθ) Çözüm 8 P (cos( θ), sin( θ)) P (cosθ, sinθ) cos( θ) cosθ, sin( θ) sinθ sin( θ) sinθ (cos( θ), sinθ) olamaz.

11 9. sin a cos a ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) sina B) cosa C) tana D) cota E) sina + cosa Çözüm 9 sin a cos a sina.cosa ( sin ² a) sina.cosa sin ² a cosa sina cosa cota sina. AL KL BA // KL AL km BA km KL km K noktasındaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden km yükseklikte yere paralel uçan bir uçağın, A noktasından B noktasına kadar km lik hareketini radarla izliyor. A noktasının yerdeki dik izdüşümü L noktası ve KL km olduğuna göre, radarın taradığı AKB açısının tanjantı kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 7 7 Çözüm tanx? x k y tank tany tanx tan(k y) + tank.tany tank 9 tany 7 tanx tan(k y) tank tany + tank.tany

12 . f : (, ) R f(x) log (x + ) ile tanımlanıyor. Buna göre, ters fonksiyonu belirten f (x) aşağıdakilerden hangisidir? A) f (x) x B) f (x) x + C) f (x) log(x + ) D) f (x) x E) f (x) x³+ Çözüm y f(x) log (x + ) y x + x y x x y f (x) y x f (x) x y. ABC bir dik üçgen m(bac) 9 AE EC BD DC 9 cm BF FG GP x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) B) C) D) E) 5

13 Çözüm ABC üçgeninde [AD] ve [BE] kenarortay oldukları için G noktası ağırlık merkezidir. Dikkat edilirse AD BC 9 cm dir. Ayrıca BG GE olduğu için, BF FG GE olur. AE CP FG Menelaus teoemine göre,.. AC PF GE CP.. PF CP PF Aynı şekilde tekrar Menelaus teoemine göre, FP FC CE AG.. EA GP AG.. GP AG GP AD 9 G noktası ağırlık merkezi GD AG AG 6 AG 6 AG GP olduğundan, GP cm bulunur.. ABC bir üçgen [BD] açıortay AB 8 cm BC cm AD m cm DC n cm Yukarıdaki şekilde m ve n birer tamsayı olduğuna göre, ABC üçgeninin çevre uzunluğu en çok kaç cm olabilir? A) 8 B) C) 5 D) 8 E)

14 Çözüm Açıortay teoremine göre, 8 m n dir. m n 8 < AC < + 8 AC m + n < 8 + olur. m k ve n k olur. k + k < 5k < k < Bu durumda en fazla k alınabilir. Üçgenin çevresi, k olur.. m(adc) m(bcd) 6 AB 6 cm BC cm CD cm AD x Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 6 D) + 6 E) + Çözüm Şekildeki gibi [BC] uzatılırsa DKC eşkenar üçgeni oluşur. KB B noktasından [DK] ya dik çizilirse (KTB ) üçgeni, -6-9 dik üçgeni olur. KB KT ve TB olur. BTA dik üçgeninde, AB 6 ve TB AT ² + TB ² AB ² (pisagor) AT ² + ( )² ( 6 )² AT AD x + bulunur.

15 5. AB // DC [AC] açıortay DC BC m(adc) m(acb) x Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 5 B) 5 C) 5 D) E) 5 Çözüm 5 ADC ikizkenar üçgen (iç-ters açı) s(bac) s(dca) 8 5 ADCB ikizkenar yamuk olduğundan, s(adc) s(dcb) 5 + x x 5 6. Şekildeki ABCD karesinin kenarları üzerindeki K, L, M, N noktalarının her biri, üzerinde bulunduğu kenarın orta noktasıdır. A(ABCD) br² olduğuna göre, taralı alan kaç br² dir? A) B) C) 5 D) 5 E) 5

16 Çözüm 6 Şekilde de görüleceği üzere ABCD karesinin alanı 5 tane taralı küçük karenin alanına eşittir. Dolayısıyla, 5.taralı alan Taralı alan 5 olur. 7. Şekildeki AT doğrusu O merkezli çembere T noktasında teğettir ve AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşittir. Buna göre, taralı alanların toplamı kaç cm² dir? A) 8 B) 6 C) 5 D) E)

17 Çözüm 7 (TBC). AT alan(ocb).²., alan(cot).²., alan(aot) 6 6 AT uzunluğu TBC yayının uzunluğuna eşit olduğuna göre, AT TBC.. (TBC) 6 taralı alan alan(aot) alan(tob) + alan(ocb) taralı alan. AT (TBC) (.²..². ) +.² taralı alan ( TBC)... 6 ( TBC) 9 +..² O, O, O ve M merkezli çemberler birbirlerine şekildeki gibi teğettir. O, O ve O merkezli çemberlerin yarıçapları r cm, M merkezli çemberin yarıçapı da cm olduğuna göre, r kaçtır? A) B) + C) + D) + E) +

18 Çözüm 8 Şekildeki gibi merkezler birleştirildiğinde, bir kenarı r olan (O O O ) eşkenar üçgeni meydana gelir. Eşkenar üçgenin yüksekliği O H r. r M noktası bu üçgenin ağırlık merkezi O M r + OM OH r+ r r r + r.( ) r r.( +.( + ) ) + 9.( + ) + 9. ABCD, O merkezli çemberin teğetler dörtgeni AB // DC DA AB BC cm OH cm Yukarıdaki verilere göre, ABCD teğetler dörtgeninin alanı kaç cm² dir? A) 5 B) 8 C) 6 D) E)

19 Çözüm 9 I. Yol O merkezli çember [DC] ye P de teğet olduğuna göre, OP cm olur. Yarıçap teğete değme noktasında dik olacağından, [PH] [AB] ve [PH] [DC] dir. Bu durumda AD PH 6 olur. Teğetler dörtgeninin karşılıklı kenar uzunluklarının toplamı birbirine eşit olduğu için, AB + DC AD + BC AB + DC 6 Alan(ABCD). AD. 6 8 II. Yol a + c 6 b + d (a+ b) + (c+ d) Alan(ABCD).( a+c) 6 Alan(ABCD). 6 8 elde edilir. Not : Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.

20 . Şekildeki gibi, taban yarıçapı metre, yüksekliği metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derinliği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur? A).x³ B).x³ 9 C).x³ 6 D).x³ E).x³ Çözüm AED ACB AE AC AD AB ED CB x y x y Depoda biriken suyun hacmi, v v.x³ bulunur. x..(y)². x..( )². x Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA