KPSS 2017 önce biz sorduk 50 Soruda 30 soru ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ - DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde 30. yıl
Fikret Hemek ÖABT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Analiz-Diferansiyel Denklemler ISBN 978-605-318-656-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 3.Baskı: 2016, Ankara Proje-Yayın: Seher Reyhani Dizgi-Grafik Tasarım: Vedat Hancı Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz-Diferansiyal Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Ayşegül Eroğlu, Salih Özler, dizgicimiz Vedat Hancı ve Seher Reyhani'ye teşekkürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz deerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...
MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % 80 1-40 a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 28 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % 20 41-50 Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015 2016 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.
İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... III 1. KISIM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR... 5 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU... 6 MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER... 8 SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU... 10 İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ... 12 TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU... 13 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ... 13 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ... 16 FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ... 18 LİMİT LİMİT... 27 SAĞ SOL LİMİT... 27 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ... 29 LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER... 30 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ... 32 MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ... 33 SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ... 35 TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ... 36 BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 37 TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ... 38 / BELİRSİZLİĞİ... 41 BELİRSİZLİĞİ... 42 0 BELİRSİZLİĞİ... 44 ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN / FORMU... 45 SÜREKLİLİK... 46 SÜREKLİLİK TEOREMLERİ... 47 SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ... 47 Kaldırılabilir Süreksizlik... 47 Sıçrama Süreksizliği... 47 Sonsuz Süreksizliği... 48 Balzano Teoremi... 48 DÜZGÜN SÜREKLİLİK... 49 TÜREV TÜREV... 59 SAĞ SOL TÜREV... 60 LİMİT SÜREKLİLİK TÜREV İLİŞKİSİ... 60 TÜREV ALMA KURALLARI... 61 YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER... 77 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ... 80 Parçalı Fonksiyonların Türevi... 80 MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 81 SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 82 TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 82
vi TÜREVİN UYGULAMALARI... 93 L'Hospital Kuralı... 93 ÜSTEL BELİRSİZLİKLER... 95 1, 0 0, 0 Belirsizlikleri... 95 TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU... 97 POLİNOM TÜREV İLİŞKİSİ... 98 DİFERANSİYEL UYGULAMALARI... 98 MAKSİMUM MİNİMUM PROBLEMLERİ... 99 Maksimum Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar... 102 TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU... 106 Teğet Eğim Türev İlişkisi... 106 ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR... 111 YEREL EKSTREMUM DEĞERLER... 114 Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası... 115 TÜREV EKSTREMUM İLİŞKİSİ... 115 Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu... 117 TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ... 120 ASİMPTOT KAVRAMI... 125 Düşey Asimptot... 125 FONKSİYONUN GRAFİKLERİ... 128 TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER... 129 İNTEGRAL BELİRSİZ İNTEGRAL... 149 TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI... 150 İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ... 155 Değişken Değiştirme Yöntemi... 155 ÖZEL DÖNÜŞÜMLER... 158 2 2 a - x İfadesini İçeren İntegraller... 158 RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ... 161 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ... 165 İndirgeme Bağıntıları... 167 KISMİ İNTEGRASYON... 168 BELİRLİ İNTEGRAL... 174 Reimann Kavramları... 174 İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ... 176 Belirli İntegralin Özellikleri... 176 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ... 181 İNTEGRALDE ALAN... 183 İNTEGRALDE HACİM... 184 Kabuk Yöntemi... 190 Dönel Yüzeyin Alanı... 195 Pappus Guldin Teoremi... 198 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ... 203 Seviye Eğrileri... 206 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik... 206 Süreklilik... 209 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev)... 209 Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi... 211
vii Zincir Kuralı... 212 Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi... 213 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM MİNİMUM... 214 Yerel Maksimum... 214 Yerel Minimum... 214 Kritik Nokta Eyer Nokta... 214 Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi... 215 Maksimum Minumum Problemleri... 216 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL... 218 Çift Katlı İntegral... 218 Sınır Değiştirme... 220 Bölge Değiştirme... 221 Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı)... 222 İki Katlı İntegralin Uygulamaları... 223 Hacim Hesabı... 226 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ... 228 Kütle Hesabı... 228 AĞIRLIK MERKEZİ... 229 ÜÇ KATLI İNTEGRALLER... 229 KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR... 237 KARDİYOİD EĞRİSİ... 239 Gül Eğrilerinin Çizimi... 245 DİZİLER SERİLER DİZİ... 255 Sonlu Dizi... 255 Sabit Dizi... 255 EŞİT DİZİLER... 256 ALT DİZİ... 256 DİZİLERDE DÖRT İŞLEM... 257 DİZİLERDE SINIRLILIK... 258 DİZİLERDE MONOTONLUK... 258 ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER... 259 Aritmetik Dizi... 259 Geometrik Dizi... 260 DİZİLERDE LİMİT... 261 Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler... 263 Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları... 264 SERİLER... 265 Geometrik Seri... 267 Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri... 270 Genel Terim Testi... 270 İntegral Testi... 270 p Testi... 271 Karşılaştırma Testi... 271 Karşılaştırma Testinin Limit Formu... 271 Cauchy Kök Testi... 272 D'alambert Oran Testi... 273 Alterne Seriler... 274
viii Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklık İlişkisi... 274 KUVVET SERİLERİ... 275 Yakınsaklık Yarıçapı... 275 Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon... 276 Taylor ve Maclaurin Serileri... 277 Önemli Maclaurin Seri Açılımları... 278 ÇÖZÜMLÜ TESTLER... 284 2. KISIM DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER... 395 Giriş... 395 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü... 396 Genel ve Özel Çözümler... 397 Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması... 399 DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER... 403 DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER... 405 HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER... 406 Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü... 406 Homojen Hâle Dönüştürülebİlİr Dİferansİyel Denklemler... 407 Tam Dİferansİyel Denklemler... 409 İntegrasyon Çarpanı Yardımı İle Dİferansİyel Denklem Çözümü... 411 Lİneer Denklemler... 413 Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi... 413 Bernoullİ Denklemlerİ... 415 Rİccatİ Denklemİ... 416 BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Bİrİncİ Mertebeden n. Dereceden Dİferansİyel Denklemler... 423 Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler... 423 Türeve Göre Çözülebilen Denklemler... 423 x'e Göre Çözülebilen Denklemler... 424 y'ye Göre Çözülebilen Denklemler... 424 Claİraut Denklemİ... 425 Lagrange Denklemİ... 426 İndİrgenebİlİr İkİncİ Mertebeden Dİferansİyel Denklemler... 427 YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Yüksek Mertebeden Lİneer Dİferansİyel Denklemler... 431 Mertebe İndirgeme... 432 Sabit Katsayılı Denklemler... 433 Farklı Reel Kökler... 433 Katlı Reel Kökler... 434 Kompleks Kök... 434 Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler... 437 Belirsiz Katsayılar Yöntemi... 437 Parametrelerİn Değİşİm Yöntemİ... 441 Cauchy Euler Denklemİ... 443 ÇÖZÜMLÜ TESTLER... 447