FRAKTAL YAPILI PENTOMINOLAR VE İŞ ZEKASI Doç. DR. Kutlu MERİH Kendini tekrarlayan basit birimler hayret verecek şekilde karmaşık (complex) oluşumlar yaratabilmeltedir. Bu oluşuma Fraktal Yapılanma diyoruz. Bu anlayış oldukça yeni olup dinamik sistemlerin yaratacağı oluşumları anlamamıza olanak sağlıyor. Bunların en basitinin üçgen, kare ve küp olacağı açıktır. Burada karelerden oluşan beşli şekillerin yatacağı oluşumları inceleyeceğiz Polyominolar Üçgen ve Kare birimler temel bir şekil inşa birimi oluştururlar. Karenin üçgene gore daha geniş bir potansiyel sağladığı kolayca görülür. Düzlem bir alanda kare birimlerden oluşan şekilleri birleştirerek yeni şekiller elde ettiğimizi düşünelim. Bunun kendi içinde bir matematik yapısı ve disiplini olacağı açıktır. Konu üzerinde yoğunlaşırken çıkabilecek sonuçlar oldukça ilgimizi çekecektir. Bunun en populer örneği bilgisayarlara yüklenen TETRIS oyunudur. Burada bunun daha gelişmiş bir versiyonu olan PENTOMINO parçalarını birleştirmekten söz edeceğiz. Burada temel inşa biriminin KARE olduğunu belirtmiştik. Şimdi karelerden oluşan parçaların sayılarına ve adlarına bakalım. NKare NParça NBlok 1 1 1 MINO 2 1 2 DOMINO 3 2 6 TRIOMINO 4 5 20 TETRAMINO 5 12 60 PENTOMINO 6 35 210 HEGZAMINO Daha fazlası için henüz gelişmiş bir model yok. Benzer bir inceleme üçgen birimler için de yapılabilir ama kare parçalar inşa birimi olarak daha büyük potansiyeller sunar. Parça bileşimlerine Solomon
GOLOMB un bu konudalki çalışmalarından sonra Polyominoes (Çokluminolar) adı verilmiş. Çeşitli parça setlerinin oluşturduğu şekiller bir çok araştırmanın ve özellikle matematiğin konusu olmuş. Bu araştırmaların çoğunluğu bu şekillerin birleşmesinden düzgün şekillerin elde edilip edilemeyeceği üzerinedir. Polyomino bilmecelerinin en açık inşa şekli bunların kare veya dikdörtgen şekiller oluşturmasıdır. Eğer bütün set göz önüne alınırsa sadece dörtlü ve beşli parçaların ilginç sonuçları olduğu görülür. Biraz dikkat ile dörtlü parçaların bir 4x5 dikdörtgeni dolduramayacağı görülebilir. Bunun çözümü Poliominoları anlamamıza ışık tutar. Tetrominolar Tetrominoların dörtlü kareden oluşan 5 adet parça olduğunu biliyoruz. Bir kağıda 4x5 kareden oluşan bir dikdörtgen çizelim. Bu dikdörtgeni damalı olarak düşünelim. 10 siyah 10 beyaz kareden oluşacaktır. Şimdi dörtlü parçaları da damalayalım Göreceğiz ki bunların dört tanesi daima ikili siyah beyaz olarak damalanabilir. T şeklindeki parça ise daima 3 beyaz veya üç siyah olarak damalanacak. Böylece parçaların dama sayıları ile dikdöegenin dama sayıları tutmayacak yani bunlarla bu dikdörtgeni inşa etmek olanaksız olacaktır.
Pentominolar Beş kareden oluşan pentominolarda durum değişiktir. Tablodan gördüğümüz gibi beşli kareler 12 parçalık bir sert oluşturuyor. Parçalardaki toplam kare sayısı da 60. Bu değer önemli çünkü çok sayıda çarpanı var. Bu da bunlarla oluşturulacak şekillerin çok sayıda olabileceğini gösteriyor. 3x20 2 çözüm 4x15 368 çözüm 5x12 1010 çözüm 6x10 2339 çözüm
Elde 2339 çözüm varken 12 parçayı 6x10 bir tabloya yerleştirmenin çok kolay olacağı düşünülebilir. Böyle düşünenler sürpriz gelişmelere hazır olmalıdır. Çünkü bu tür problemlerin çözümü ilk göründüğü kadar kolay değildir. Parça Yerleştirme Stratejileri Bu tür problemlerin çözümünde ilk parçaları yerleştirmekte bir sorun yaşanmaz. Sanki hepsi diğerinin mantıklı sonucu gibidir. Fakat sonraki parçalar gidere sorun çıkarmaya başlar. Dikkatli seçilmemiş başlangıç parçaları olanakları kısıtlamıştır. Ama bu geç fark edilir. Sonraki parçalar da bir türlü yerleştirilir fakat sona kalan bir veya iki parça gerçek bir beladır. Kendilerine yer bulamazlar. Bunları yerleştirmek için önceki parçaların düzeni değiştirilir ve bu sefer başlangıçtaki uyum yok olur ve her şeyi yeniden düşünmek gerekir. Daha önce çok uyumlu parçaları bozmak istenmez ve bu da durumu daha da kötüleştirir. Kendine yer bulamayan parçaların sayısı giderek çoğalır. Kişi her şeyi bozup yeniden başlamak ister. Ama bu da aynı sorunun tekrar yaşanması anlamına gelir. Akıllı strateji bazı kritik parçaları seçip bunların yerini değiştirmektir. Birkaç denemeden sonra her şeyin düzene girdiği ve bütün par çaların yerine oturduğu görülür. Durum yoğun bir trafikte arabayı akıllıca sürmekten pek farklı değildir. Yine de bunun net bir strateji olduğu söylenemez. Burada insan beyninin hayranlık verici soyutlama ve yeniden tasarlama yeteneklerine güvenmek gerekir. Yine de bazı kurallara uyulması karşılaşılacak sorunları hafifletecektir. İlk olarak başlangıç parçalarını seçmekte dikkatli olmak gerekir. Onlar nasıl olsa yerleşir. Sonra gelecek parçaların yerleşme sorunları da dikkate alınmalıdır. Biraz dikkatle bazı parçaların yerleşim konusunda diğerlerinden daha uyumlu oldukları görülecektir. Örneğin parça 1 hem köşelere hem de diğer parçalara kolaylıkla uyum sağlar. Bu tür parçaları önce yerleştirme dürtüsünden kaçınmak gerekir. Bu eldeki bir kozdur ve gerçekten gerekinceye kadar kullanmaktan kaçınmalıdır.
Köşelere uymakta güçlük çıkartan parçalar en sorunlu olanlardır. Parça 8 en kötü örnektir. Hiçbir yere uymaz. Yine de parça 7 ile iyi bir çift oluştururlar. Bu ikisi bir köşeye yerleştirilir ve merkeze doğru çalışılırsa genellikle çözüm daha kolay olur. Bir başka strateji işe biraz aritmetik katmaktır. 6x10 tablo 1 den 60 a numaralanır. Burada denemeyle edinilmiş bir kural en küçük numaralı boşluğu en küçük numaralı parça ile doldurmaktır. Parçanın simetrik yapısı onun kullanma alternatiflerini azaltır. Bunun başata az simetyrik olanları kullanmak işi kolaylaştırır. Parça 1 simetrik değildir bu nedenle dört farklı yatay ve dört farklı düşey pozisyonda yer alabilir. Tablonun simetrisi nedeniyle başlangıç herhangi bir dörtte bir de yapılabilir. Tablonun bütünün düşünmek gerekli olmayacaktır 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Bu yöntemle ilerlenirse nihayet bir son parça kalacaktır. Bu parça her şekilde denenir. Uymuyor ise daha önceki parçanın konumu değiştirilir. Böylece geriye doğru gidilir. Bu yöntem oyuncuya her mümkün altrnatifi deneme olanağı sağlar. Ama yine de bunun çok uzun zaman alacağı ve insani kapasiteleri aşacağı açıktır. Günümüzde bu işlemi bilgisayarlar büyük bir hızla yapabilmektedir. Burada bir örneğini görmektesiniz. Prof. David ECK tarafından Java dili ile geliştirilen bu program hızlı ve kapsamlı olmakla birlikte kaba kuvvet yöntemi ile mümkün bütün pozisyonları denemeye çalışıyor ve bazen gerçekçi olmayan adımlar da atıyor. Yine de bilgisayarın işlem gücü bir çözüm var ise bunu veriyor.
İki-Oyunculu Pentomino Oyunu Herhangi bir pentomino takımı ile iki oyunculu bir strateji oyunu oynanabilir. 8x8 bir tablo ve 12 pentomino parçası yetecektir. Oyuncular seçtikleri bir pentomino parçasını sıra ile koyarlar ve son koyabilen kazanır. Bu oyun oyunculara parçaların karakteristik özelliklerini kavrama konusunda da yardımcı olur. Oyuncular X parçasının sonrası için ciddi sorunlar doğuracağını hızla öğrenirler. Buna uyum sağlayan parçaların sayısı çok azdır. Buna karşılık 1 parçası her yere uyum sağlayabilir. FRAKTAL OLARAK PENTOMINO Bir iş Zekası (Business Intellıgence) yazılımı ile bir oyunun ne ilgisi var diye düşünülebilir. Pentominoların ve diğer bazı matematik oyunların Kompleksite anlayışı ile ilgisi bunların aynı zamanda FRAKTAL yapıda olmalarıdır. Diğer bir deyişle ilgisiz polyomino parçaları birleştiğinde kendilerine benzeyen daha büyük şekiller oluşturabilmektedirler. Bu şekiller orijinallerinin 2 veya 3 katı olabilirler. Şimdi açıklama kolaylığı için pentominoların harf olarak gösterilmesine geri dönelim. İkiye katlanmak Basit uygulamalardan başlamak daha kolay olur. Başlangıç olarak bazı parçaları kullanarak ikiye katlamayı deneyebiliriz.. Örnek olarak I, P, V, ve Z parçaları T parçasını ikiye katlar. V ve X dışındaki bütün parçaların ikiye katlanmış şekilleri oluşturulabilir. Sadece 4 parça ile F, I, L, N, P, T, U, W, veya
Y pentomino ikiye katlanabilir. V ve X ikiye katlanamaz. Bu yine damalama tekniği ile gösterilebilir. Üçe katlanmak Üçe katlamak için daha fazla parça gerekecektir. En tipik örnek X parçasını oluşturan parçalardır. Bunlar orijinalin 3 katı bir şekil oluştururlar. Bu da oyun gibi görünen bir yapının aslında fraktal hiyerarşileri anlamamız için bir başlangıç noktası oluşturabileceğidir. Yeni şekilde orijinal x parçasının bulunmadığına dikkat edilmelidir. içinde X olamayan 15 farklı çözüm var. http://recmath.org/polypages/polypages/pictures1/nox.gif
Sadece 9 pentomino parçası kullanılarak herhangi bir orijinal pentomino parçası 3 kat genişlik ve yüksekliğe genişletilebilir. 12 parçanın hepsi ve bazı fazlalar ile de bazı düzgün şekiller ve katlamalar oluşturulabilir. 12 parçanın hepsini üçleyebilen 5 dokuzlu parça seti bulunmaktadır. http://recmath.org/polypages/polypages/index.htm?pentopatts.htm F L P N U V X Y Z 472 F L P N T U V Y Z 504 F I L P T U V Y Z 368 F I L P N U V W Y 434 F I L P N T U V Y 783 Dokuzlu parça takımlarını pentominoların bütün parçalarının üçe katlaması olarak kullanabiliriz. Aad van de Wetering sitesinde parça tekrarlaması gerekmeden bunun mümkün olduğunu göstermeyi başarmış. Aşağıda verilen mümkün 69,153 çözümün sadece bir örneği. Daha fazla bilgi için; http://recmath.org/polypages/polypages/index.htm?pentopatts.htm
Boşluklu Üçlemeler Üçleme işlemleri benzer boşluklar taşıyarak da olabiliyor. Bazı örnekler aşağıda. Bu doğanın fraktal inşasında boşluklu yapıların da ilginç gelişmelere neden olabileceğinin bir kanıtı. http://polyforms.eu/pentominoes/parpolsol.gif
http://www.polyforms.eu/pentominoes/parfixsol.gif Bu kadar basit bir özellik bize doğanın kendini inşa tekniği konusunda da ışık tutmaktadır. Doğada bir çok varlığın fraktal yapıda olması şaşırtıcı değildir. Basit parçalar birleşerek daha büyük parçaları bunlar da birleşerek daha da büyüklerini oluşturmaktadır. Böylece doğanın bizi şaşırtan kompleks yapılarının aslında basit yapıların fraktal hiyerarşisinden oluştuğunu anlayabiliyoruz
KAYNAK: http://en.wikipedia.org/wiki/pentomino Pentominoes: http://www.ma.utexas.edu/users/smmg/archive/1997/radin.h tml Polyhedral Dissections By Stewart T. Coffin http://www.johnrausch.com/puzzlingworld/default.htm