PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
|
|
- Mehmet Günay
- 9 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)= m, s(b)= n ve A ile B nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı s(a) + s(b)= m+ n dir. O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir. PERMÜTASYON, KOMBİNASYON A = *1,2,3,4+ kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 24 B) 48 C) 72 D) 96 E) 100 A = *0,1,2,3,4+ kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (ya bir bay veya bir bayan seçilecek) A) 48 B) 64 C) 72 D) 96 E) bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan = 8 yolla seçilebilir. Çarpma Kuralı : n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3,..., an ile gösterilen n tane nesne için (a1, a2) ye sıralı ikili, (a1, a2, a3) e sıralı üçlü... (a1, a2, a3,..., an ) e sıralı n li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2, Sıralı üçlülerin kümesini A3, Sıralı dörtlülerin kümesini A4... şeklinde gösterelim. A1, A2, A3,..., Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1, n2, n3,..., nr olsun. Bu durumda s(a1.a2.a3...ar)=s(a1).s(a2).s(a3)...s(ar)=n1.n2.n3...nr olur. Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklayalım: İki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir. 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir? (hem bir bay hem de bir bayan seçilecek ) 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir. A = *0,1,2,3,4+ kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 48 B) 64 C) 72 D) 96 E) 100 (2004-KPSS) *0,1,2,3,4+ kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları birbirinden farklı kaç tane beş basamaklı sayı yazılabilir? A) 40 B) 52 C) 74 D) 82 E) 96 *0,1,2,3+ kümesinin elemanlarını kullanarak rakamları birbirinden farklı kaç tane üç basamaklı çift sayı yazılabilir? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 Birler ve onlar basamağında aynı rakam, yüzler basamağında bundan farklı bir rakam bulunan kaç tane üç basamaklı sayı vardır? A) 27 B) 81 C) 89 D) 90 E) 99 1
2 FAKTÖRİYEL 1 den n e kadar olan tamsayıların çarpımına n faktöriyel denir ve şeklinde gösterilir n = 0!=1 1!=1 2!=1.2 = 2 3!=1.2.3= 6 4!= = 24 Uyarı : = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)! 5! = = 5.4! = 5.4.3! = ! 9! = 9.8! = 9.8.7! = ! = ! gibi. göre bu 4 ampul yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir. Yani = 4! = 24 değişik takma şekli vardır. Örnek : Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız. 1. (n 2)!. (n + 1)! =?. (n 1)! 2. (n 1)!. (n 2)!. (n + 1)! =? 15! 13! =? 3. (n 2)!. (n + 1)!. (n 3)! =? 15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! 13! = ! 13! (n 2)! =? = = 210 n ve (n 2) arasında n sayısı (n 2) den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. (n 2)! = n. (n 1). (n 2)! (n 2)! = n. (n 1) Kural : n tane eşyayı n tane yere kadar farklı şekilde dizeriz. 4 tane ampul 4 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir? Açıklayıcı olması için ampullere A, B, C ve D yerlere 1, 2, 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampulleri takalım. A ampulü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampulünün takılması için 4 yol var. A ampulünü taktıktan sonra 3 ampul ve üç yer kalır. B ampulü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampulünün takılması için 3 yol var. A ve B ampulünü taktıktan sonra 2 ampul ve 2 yer kalır. C ampulü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampulünün takılması için 2 yol var. A, B ve C ampulünü taktıktan sonra 1 ampul ve 1 yer kalır. D ampulü 1 yere takılabilir. Yani D ampulünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına 2 Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir. a) Kaç farklı şekilde dizilebilir? b) Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? c) Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? d) Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? e) Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? a) Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yan yana dizilişi = 8! yolla belirlenebilir. b) Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yan yana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizi-
3 lişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir. c) Fizik kitapları yan yana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla, 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yan yana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir. d) 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yan yana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir. e) 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3.,..., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir. PERMÜTASYON : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r lilerine A kümesinin r li permütasyonları denir. n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı P(n, r) = (n r)! formülü ile bulunur. Farklı renkte 7 mendilin 3 ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir? A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7, üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ; 7! P(7,3) = (7 3)! = 7! 4! = ! = = 210 4! farklı şekilde dağıtılabilir. UYARI: n elemanlı bir kümenin n li permütasyonlarının sayısı, P(n, n) = (n n)! = 0! = n elemanlı bir kümenin 1 li permütasyonlarının sayısı, P(n, 1) = (n 1)! = n P(n, 2) = 30 olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır. a) Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? b) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? c) Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? a) 8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır. b) Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir. c) Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3 ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3 ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6! = 6! (56-6) = 50.6! olur. DENİZ sözcüğündeki harfler kullanılarak yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız beş harfli sözcüklerden kaç tanesi E harfiyle başlar? A) 24 B) 48 C) 72 D) 96 E) 120 3
4 (2005-KPSS) 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarını kullanarak rakamları birbirinden farklı üç basamaklı sayılar yazılıyor. Yazılan bu sayıların kaç tanesinde 3 ve 4 rakamları aynı anda bulunur? A) 24 B) 36 C) 48 D) 64 E) 72 DÖNEL (DAİRESEL) SIRALAMA : n tane farklı elemanın daire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yan yana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur. 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır. a) Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? b) Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir? c) Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? a) 7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir. b) Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir. c) Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması söz konusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir. 3 avukat, 4 öğretmen yuvarlak bir masa etrafına oturacaktır. Aynı meslek grubuna ait kişiler yan yana oturmak koşuluyla, kaç farklı şekilde oturabilirler? A) 2!. 3! B) 3!. 4! C) 2!. 3!. 4! D) 3!. 4!. 2! E) 3!. 4!. 3! 4 TEKRARLI PERMÜTASYON n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten,..., nr tanesi de r. çeşitten olsun. n= n1+ n nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı, (n1,n2,, nr ) = / n1!.n2!...nr dir. BABACAN sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2 3 tane A harfi olduğu için n2 = 3 1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve 1 tane N harfi olduğu için n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı, 7! 2!.3!.1!.1! = = 420 KOMBİNASYON (KOMBİNEZON) r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir. n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, C(n,r), C n r ya da n ile gösterilir. r n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı, C(n, r) = (n r)!. r! formülü ile bulunur. UYARI: Permütasyon ile kombinasyon arasındaki fark şöyledir. Permütasyon sıralama veya diziliş söz konusudur. seçimden çok, seçilmiş olunan nesnelerin sıralanışı veya dizilişi önemlidir. Kombinasyonda ise, seçim veya seçme söz konusudur. Sıralama ve diziliş yoktur, nesneleri seçmiş olmak yeterlidir. UYARI: 1) n x = n y 2) n 0 = 1 3) n 1 = n 4) n n = 1 ise x = y veya x + y = n dir.
5 Ali ve Veli nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali nin bulunduğu ve Veli nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir? Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarıda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6-2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur. C(4,3) = 4! (4 3)!.3! = C(n, 2) = 21 olduğuna göre, n kaçtır? = 4 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (2008-KPSS) Ayşen elindeki değişik renkteki 8 boya kalemini kullanarak yandaki şekilde verilen altı kareyi, 3 ve 6 numaralı kareler aynı renkte diğer kareler de bu karelerden ve birbirinden farklı renklerde olmak koşuluyla boyamak istiyor. Ayşen bu boyama işini kaç farklı biçimde yapabilir? A) 6720 B) 6048 C) 3024 D) 336 E) 56 8 Ayşen elindeki 8 kalemden 1 tanesini ile seçer ve 1 seçtiği bu kalemle 3 ve 6 numaralı kareleri boyar. Diğer kareler bu karelerden ve birbirinden farklı renklerde olacağından, kalan 7 kalemden 4 tanesini ile seçer ve seçtiği bu 4 kalemle 1, 2, 4 ve 5 numaralı kareleri boyar. Ancak bu 4 kalemde herhangi bir sıra zorunluluğu olmadığından, bu 4 renk kendi arasında 4! yer değiştirebilir. Sonuç olarak 8 kişi arasından 6 kişilik bir ekip kaç değişik şekilde oluşturulabilir? ! = = 6720 A) 28 B) 34 C) 40 D) 48 E) 56 Aşağıdaki doğrularla oluşturulabilecek kaç farklı dörtgen vardır? Ali ve Murat ın da aralarında bulunduğu 15 kişilik bir gruptan 11 kişilik bir futbol takımı oluşturulacaktır. Ali ve Murat kesinlikle futbol takımında olacağına göre, futbol takımı kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 13 9 B) C) D) 15 9 E) C (6,3) + C (6,2) C (7,4) işleminin sonucu kaçtır? 5
6 6
7 7
TEMEL SAYMA KURALLARI
TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık
Permütasyon Kombinasyon Binom Olasılık Saymanın Temel İlkesi: A1, A2,..., A n kümeleri için s( A1 ) = a1, s( A2 ) = a2,.., s( An ) A xa x xa Kartezyen çarpımının eleman sayısı; s( A xa x... xa ) = s( A
Örnek...5 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 lü perm ütas yonlarının kaç tanesinde,
PERMÜTASYON ( SIRALAMA OLAYI ) Birbirinden farklı n tane nesnenin r tanesinin farklı her dizilişine (sıralanışına) n nesnenin r li permütasyonları denir ve P(n,r)= n! (r n) (n r)! biçim inde gösterilir.
1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON) Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON) Bölüm: BİNOM AÇILIMI Bölüm: OLASILIK...25
1 İçindekiler 1. Bölüm: SIRALAMA (PERMÜTASYON)... 5 2. Bölüm: SEÇME (KOMBİNASYON)...13 3. Bölüm: BİNOM AÇILIMI...21 4. Bölüm: OLASILIK...25 5. Bölüm: FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ...37
16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)
SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal
PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma
TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla
( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
4. Bir tabakta 3 elma, 4 armut ve 5 portakal vardır.
Saymanın Temel İlkesi Birinci elemanı A 1 kümesinden, ikinci elemanı A 2 kümesinden,..., n inci elemanı A n kümesinden alınmak koşulu ile; kaç değişik sıralı n li yazılabilir? 1. Aşağıdaki problemleri,
Kombinatorik {\} /\ Suhap SAHIN
Kombinatorik 0 {\} /\ Suhap SAHIN Kombinatorik Kombinatorik Permutasyon Kaç farklı sekilde sıralanır? Permutasyon n tane x tane P(n,x) = n! (n-x)! kaç farklı sekilde sıralanır? P n x Permutasyon 6 tane
1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA) BÖLÜM: KOMBİNASYON (SEÇME) A. SEÇME (KOMBİNASYON) B. KOMBİNASYON GEOMETRİ İLİŞKİSİ
İçindekiler 1. BÖLÜM: PERMÜTASYON (SIRALAMA)... 10 A. SAYMA KURALLARI... 10 B. FAKTÖRİYEL... 14 C. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r Lİ PERMÜTASYONLARI (Dizilişleri)... 17 Ölçme ve Değerlendirme...20 Kazanım Değerlendirme
PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : P(6, n) = 6! 1. P(6, 2) + P(4, 3)
PERMÜTASYON DÜZEY: 1 TEST : 1 1. P(6, 2) + P(4, 3) işleminin sonucu kaçtır? A) 30 B) 44 C) 50 D) 54 5. P(6, n) = 6! eşitliğini sağlayan n doğal sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {7} B)
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON
PERMÜTASYON - KOMBİNASYON Sayma Yöntemleri Saymanın çeşitli yöntemleri vardır. Bunlardan biri eşleme yolu ile saymadır. Eşleme yolu ile sayma yönteminde sayma sayıları kümesinin elemanları sayılacak nesneler
PERMÜTASYON. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: B) Çarpma Kuralı. Benzer şekilde, a 1
ERMÜTASYON SAYMANIN TEMEL KURALI A) Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir. Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
Sayma. Test - 1. Permütasyon. 1. Birbirinden farklı 3 sarı, 5 lacivert kalemin içinden 1 sarı veya 1 lacivert kalem kaç değişik şekilde seçilebilir?
.Ünite. Birbirinden farklı sarı, lacivert kalemin içinden sarı veya lacivert kalem kaç değişik şekilde seçilebilir? A) B) C) D) E) 0. Bir kitaplık rafında bulunan farklı fizik ve farklı kimya kitabı arasından,
( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
5. BÖLÜM EKİ SAYMANIN TEMEL PRENSİPLERİ
5 ÖLÜM EKİ SYMNIN TEMEL PRENSİPLERİ elirli bir takım deneylerde olanaklı tüm sonuçları belirlemek için geliştirilmiş tekniklere kombinasyon analizi denir Örneğin iki farklı denemede 1 denemenin m 2 denemenin
Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı
TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar
0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim
Ünite 1: SAYMA Konu : Sıralama ve seçme Alt Konu : Toplama ve çarpma yolu ile sayma Neler öğreneceksiniz? Olayların gerçekleşme sayılarını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplamayı öğreneceksiniz.
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER
DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI ÇENTİK METODU İLE SAYMA TEKNİKLERİNDE YENİ TEOREMLER MATEMATİK PROJESİ DANIŞMAN YASEMİN YAVAŞ İSTANBUL-2014 İÇİNDEKİLER AMAÇ... 3 GİRİŞ... 4 TEOREMLER...
ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT
PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı
Cebir Notları. Permutasyon. www.mustafayagci.com, 2005. Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
www.mustafayagci.com, 005 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Matematikçiler üçe ayrılır: Sayı saymayı bilenler ve bilmeyenler Matematikle ilk tanışmamız sayı saymayla başlamıştır desek
MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların
Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4
TEMEL SAYMA. Bill Gates
Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon
Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Kombinasyon K ombinasyon. n tane farklı elemandan oluşan bir kümenin altkümelerine birer kombinasyon denir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.
TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;
TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri
1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON ARASINDAKİ FARK
1 Bir dondurmacıda beş farklı dondurma çeşidi bulunmaktadır. Aylin üç çeşit dondurma almak istiyor. a) Aylin kaç farklı seçim yapabilir? b) Dondurmaların seçiminde sıranın önemli olması durumunda kaç farklı
Okul kantininde 6 değişik türde yemek vardır. İki değişik türlü yemek, yemek isteyen bir öğrenci kaç seçim yapabilir? A) 30 B) 15 C) 10 D) 6 E) 3
KOMBİNASYON ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU Okul kantininde 6 değişik türde yemek vardır. İki değişik türlü yemek, yemek isteyen bir öğrenci kaç seçim yapabilir? 8 yemekten 3'ü seçilecek. 8 8.7. 6 3 3..1 Cevap:
Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK
YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik
A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe
tmoz.info ozeldersci.com 1 PERMÜTASYON Not Örnek 1.1 FAKTÖRİYEL Örnek Örnek Çözüm Çözüm
Tüm hakları yazarı Bora Arslantürk'e aittir. Kaynak belirtmek şartı ile tüm öğretmen ve öğrencilerimizin - 1 permütasyon kombinasyon olasılık kullanımına açıktır.007 yılı sonuna dek kaynak belirtmek şartı
Matematik. Sayma ve Olasılık 1. FASİKÜL 10
Matematik 1. FASİKÜL 10 Sayma ve Olasılık 439 soru Kavram Yanılgıları Müfredat Dışı Konu Uyarıları Bilgi Teknolojileri Uyarlamaları PISA Tarzı Sorular ÖSYM Çıkmış Sınav Soruları Video Çözümler Teşekkürler
4BÖLÜM. ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA
4BÖLÜM ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA ASAL SAYILAR, BÖLÜNEBİLME ve ÇARPANLARA AYIRMA TEST 1 1) Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 80 sayısının çarpanıdır? 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,18,20,25,30,40,45,80
AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI
ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,
Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
Yarışma Sınavı A ) -5 B ) -3 C ) -1 D ) -8 E ) Ölçüsü olan bir açının esas ölçüsü kaç derecedir?
MTEMTİK (TÜRKÇE) ÖĞRETMENİ 1 4 parabolüne teğet olur? -5-3 -1-8 -10 2 5 Ölçüsü - 3816 olan bir açının esas ölçüsü kaç derecedir? 6 124 114 134 144 154 denkleminin kaç farklı kökü vardır? 3 4 1 3 2 5 1
1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?
1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
İÇİNDEKİLER. Ünite Kazanımları Sayma Permütasyon (Sıralama) (6 saat) Konu Kavrama (Kazanım 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)...
İÇİNDEKİLER VERİ, SAYMA VE OLASILIK (8 Saat) Ünite Kazanımları... 4 Sayma Permütasyon (Sıralama) (6 saat)... 7 Konu Kavrama (Kazanım,,, 4,, 6, 7, 8)... 8 Pekiştirme Testi... Tekrarlı Permütasyon (6 saat)...
TEMEL SAYMA PROBLEMLERİ
TEMEL SAYMA PROBLEMLERİ Eşleme Yoluyla Sayma: Bir kümenin kaç elemanlı olduğunu S={1,2,3,,n,n+1, } kümesinden yararlanarak saptamaktır. *Örneğin: Bir okulun toplantı salonunda kaç oturma yerinin var olduğunu
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
İstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.
KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci
SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.
SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden
SERİMYA 2003 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI
SERİMYA 00 I. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. + + 5 0 + + + 0 40 toplamının sonucu kaçtır? A) 5 B) C) D) E) + 4. a,b,c Z olmak üzere, a + b + c 7 = 6 ise, a.b.c kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) 6 E) 8 y.
0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
Örnek: 3 harfi takip eden 3 rakam bulunan altı karakterli kaç adet ruhsat plakası olabilir?
2 Kombinatorik Teori 2.1 Kombinatorik ve temel sayma kuralları Tanım: Matematiğin "sayma" temeline dayanan dalı. Kombinatorik nesnelerin düzeninin incelenmesidir. Kombinatoriğin en önemli alanı, belirli
MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.
ÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen
www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları
www.mustafayagci.com.tr, 2011 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları B u yazımızda, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında kaç değişik şekilde dağıtabileceğimizi
{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
ales dört bin soru tarzına en yakın EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan
ales 2015 tarzına en yakın dört bin soru EŞİT AĞIRLIK ve SAYISAL ADAYLARA ALES SORU BANKASI Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker - Savaş Doğan ALES Eşit Ağırlık ve
İÇİNDEKİLER TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 02-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
İÇİNDEKİLER Sayfa No Test No 3-PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM, OLASILIK VE İSTATİSTİK TOPLAMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...59-60... 01-01 ÇARPMA YOLUYLA SAYMA YÖNTEMİ...61-64... 0-03 FAKTÖRİYEL...65-66...
İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Akıllı Ödev 1
Tam Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi Akıllı Ödev 1 Öğrenci Adı Soyadı Sınıfı Ödev Teslim Tarihi Öğretmen Görüşü Soru 1 Aşağıda sayma pulları ile modellenen matematik işlemlerini bulunuz. Soru 2 Aşağıda
ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI
0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;
BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1
ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4
Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ
PROJE ADI: TEKRARLI PERMÜTASYONA BİNOM LA FARKLI BİR BAKIŞ PROJENİN AMACI: Projede, permütasyon sorularını çözmek genellikle öğrencilere karışık geldiğinden, binom açılımı kullanmak suretiyle sorulara
Toplam Olasılık Prensibi
1 Toplam Olasılık Prensibi A 1, A 2,, A n karşılıklı kapsamayan ve birlikte tamamlayan olaylar kümesi olsun: A k A A j 0 = 0 k j j nn j j 1 = 1 B, S içinde herhangi bir olay ise k j AA j = ise S ise Pr[A
KPSS soruda SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
KPSS 019 10 soruda 86 SORU GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK GEOMETRİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Komisyon KPSS LİSANS MATEMATİK - GEOMETRİ SORU BANKASI ISBN 978-605-41-77-0 Kitapta yer alan bölümlerin
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 10.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 10.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08 09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 0.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 0.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%) VERİ, SAYMA VE OLASILIK 0. SAYMA
KÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.
Küme: elirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz. n iyi sanatçı ( - ) n güzel şarkı ( - ) Sınıftaki en güzel kız ( - ) Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + ) Uçan insanlar ( + ) oş Küme: lemanı olmayan
UYGULAMALI MATEMATİKSEL İSTATİSTİK
UYGULAMALI MATEMATİKSEL İSTATİSTİK Yazarlar: Çiğdem ÖZARI Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI Prof. Dr. Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL Uygulamalı Matematiksel
Cebir Notları. Nesnelerin Dağılımları Mustafa YAĞCI,
www.mustafayagci.com, 2006 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Nesnelerin Dağılımları Bu yazımızda, r ve n birer sayma sayısı olmak üzere, r tane nesneyi n farklı kutuya belli şartlar altında