ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI GEOMETRİDE ÖZEL DURUMDAN YARARLANARAK PROBLEM ÇÖZME METODU ENES KOCABEY HALİL İBRAHİM GÜLLÜK 2014 DANIŞMAN ÖĞRETMEN : YÜKSEL DEMİR 1
PROJE RAPORU PROJENİN AMACI: Bu çalışmada geometride keşfettiğimiz bir yöntemi detaylarıyla ele alacak ve uygulamalarını göreceğiz. Hedeflerimizi genel manada; Bu yöntem sayesinde geometri sorularına yeni bir bakış elde etmek, Ünlü lemma ve teoremleri yöntemimizle kanıtlamak, Gerçekten zor problemlere bu metottan yararlanarak akla yatkın ve doğal çözümler üretmek, Metodumuzun belli biçimdeki problemlere uygulanabilirliğini göstermek şeklinde sıralayabiliriz. PROJEYE GİRİŞ VE SÜREÇ: Geometri alanında bugüne kadar birçok farklı çalışma yapılmış, birçok yeni teorem ve lemma üretilmiştir. Günümüzde halen gelişmekte olan bu alan olimpiyat matematiğinin de bir alt dalı olmuştur. Bu alandaki kaynakları taradığımızda, genelde hep önce teoremler ve lemmaların verildiğini ve sonra bu teoremlerin kullanım alanları üzerinde durulduğunu gördük. Biz projemizde bu çalışmalardan farklı olarak geliştirdiğimiz bir teorem veya lemmadan değil bir metottan söz edeceğiz. TÜBİTAK Matematik Olimpiyatlarının 1. ve 2. Aşama sınavına hazırlanırken, milli takım seçme sınavına hazırlanırken, TÜBİTAK ın düzenlediği yaz kamplarında, kış kamplarında, milli takım kamplarında karşımıza birçok geometri problemi çıkıyordu. Böylece geometride hep yeni yöntemler öğreniyor, keşfediyor ve Acaba bu yöntemleri farklı problemlere uygulayabilir miyiz? düşüncesinde çalışmalarımızı sürdürüyorduk. IMO Shortlist ve tüm dünyanın ulusal sınavları temelli yürüttüğümüz bu çalışma sonucunda akla yatkın, uygulanabilir yöntemler keşfetmeyi hedefliyorduk. İlk olarak Sırbistan ın 2011 de düzenlediği ulusal matematik olimpiyatındaki 4. soruda problemin resmi çözümünden farklı bir çözüm ürettik. Bu soruda kullandığımız özgün yöntemi farklı sorulara uygulamaya koyulduk. Bu safha biraz zor ve uzundu, örneğin uygulamalar kısmındaki 4.soru üzerinde bu yöntemle çözüm elde etmemiz yaklaşık 2 gün sürdü. Hedefimize ulaştığımızı düşündüğümüz, çalışmamızın meyvesi olan bu projede gerçekten işlevsel bulduğumuz bir metoda değineceğiz. İlerleyen bölümlerde hem ayrıntılı olarak metodumuzdan hem de uygulamalarından bahsedeceğiz. 2
YÖNTEM: Bilindiği üzere birçok geometri probleminin özel durumu genel durumuna oranla çok daha kolay olmaktadır. Özel durum genel durum hakkında bir fikir verebilir mi? düşüncesinden hareketle elde ettiğimiz bu yöntemde önce geometri sorularının özel durumlarını ele alıyor, sonra benzerlik ve homoteti yardımıyla özel durumu da kullanarak genel duruma geçiş yapıyoruz. Daha derin düşünecek olursak, bazı geometri problemlerinin özel durumundan genel durumuna geçişte birçok noktanın hareketinin doğrusal olduğunu keşfettik. Sonra bu doğrusal hareket acaba bazı benzerlikler meydana getirir mi diye düşündük ve bunu araştırmaya başladık. Araştırmalarımız sonucu elde ettiğimiz sonuçları uygulamalar kısmındaki problemlerin analiz kısmında detaylı olarak belirttik. Uygulamalar kısmındaki problemlerde özel durum başlığı altında özel durumu ele aldık. Sonraki adımda geçiş başlığı altında özel durumdan genel duruma geçişi, benzerlikleri ve homotetileri gösterdik. Son olarak problemi ve yöntemin bu problemde kullanılmasının detaylı analizini analiz başlığı altında verdik. Metodumuz uygulama temelli olduğundan bu sistematikte yazılmış problemler üzerinden daha iyi anlaşılacağını düşünüyoruz. Uygulamalardaki problemler incelendiğinde göze çok hoş gözükmeyen birtakım trigonometrik ifadeler görülebilir ancak biz problemlere estetik çözüm verdiğimizi iddia etmiyoruz. Biz problemlere akla yatkın, doğal, biraz hesaplama yapmak gerekse bile aslında gayet mantıklı çözümler verdiğimizi iddia ediyoruz. NOT: Notasyon kolaylığı açısından uygulamalar bölümündeki problemlerdeki uzunluk hesaplamalarında ile doğru parçasının uzunluğunu gösteriyoruz. 3
UYGULAMALAR PROBLEM 1: Bir üçgeninde köşesine ait içaçıortay kenarını de köşesine ait içaçıortay kenarını da kesiyor. ise, olduğunu gösteriniz.( noktasının doğrusuna olan uzaklığını ifade etmektedir.) ÇÖZÜM: ÖZEL DURUM olsun. Bu durum için soruyu çözelim. açıortay olduğundan dir. olduğundan bu durum için soru çözülür. Benzer durum için de doğrudur. GEÇİŞ ve noktalarından ye inen dikme ayakları sırasıyla ve olsun. alalım. den ye inen dikme ayağı olsun. den ye inen dikme ayağı, den ye inen dikme ayağı, dan ye inen dikme ayağı, den ye inen dikme ayağı olsun olsun. ve olur (Benzerliklerden). yamuğunda = olduğundan Tales teoreminden, olur. olur. Özel durumdan ve olduğundan olur. Biz yukarıda olduğunu göstermiştik. Dolayısıyla olur. Çözüm biter. ANALİZ : Bu problem aslında iyi bilinen bir lemmadır. İspatı metodumuzun daha iyi anlaşılmasını sağladığından bu probleme bu kısımda yer verdik. noktası üzerinde değişirken rastgele konumları incelemek yerine ilk olarak ve özel durumlarını incelemek büyük bir kolaylık sağlamış ve problemin çözümünde ana rolü oynamıştır. 4
PROBLEM 2: Düzlemde verilen bir üçgeni için noktası kenarı, kenarı üzerinde ve olacak biçimde ve noktaları alınıyor.,,, noktaları sırasıyla üçgenlerinin diklik merkezleridir.,,, noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: Genelliği bozmadan varsayabiliriz. Düzlemde doğrusuna kendisine paralel olacak şekilde kaydırdığımızı düşünelim ( Sorunun koşullarını sağlayacak biçimde). doğrusunun bu şekildeki farklı konfigürasyonları için soruyu düşünelim..,, noktalarının doğrusallığını gösterirsek benzer şekilde diğer üçlüler de doğrusal olur, problem biter. ÖZEL DURUM olsun. den ye çizilen paralelin yi kestiği nokta olsun. Bu durumda kesenimiz olur. üçgeninin diklik merkezi olsun. Bu durumda soruda belirtilen,, noktaları sırasıyla noktaları olurlar. Bunların doğrusal olduğunu göstermemiz yeterlidir. Bu üç nokta da noktasında doğrusuna inen dik doğru üzerinde olduğundan bu üç nokta doğrusaldır. Özel durumun ispatı biter. GEÇİŞ olduğundan = olduğunu gösterirsek, ve üçgenleri benzer olur, dolayısıyla,, noktaları doğrusal olur. = olduğunu gösterelim. = = olsun olsun. üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı, üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı olsun. Bir köşenin diklik merkezine olan uzaklığından = ve = olur. Buradan, = olur (1) Dikliklerden olur. üçgeninde sinüs teoreminden = olur. olduğundan = olur. Bu durumda yi de kullanarak = = elde ederiz.(1) den dolayı = olduğunu gösterirsek soru biter. ve üçgenlerinde sinüs teoreminden, ve 5
ve olur. = olur. = = 1 olduğundan; = olur, problem biter. ANALİZ: Bu dört diklik merkezinin üzerinde bulunduğu doğru Steiner doğrusu olarak bilinmektedir. Burada metodumuzu kullanarak verdiğimiz ispat literatürdeki ispattan farklıdır. Burada doğrusu kendine paralel biçimde değişirken ve noktaları doğrusal hareket eder. Özel durumdan elde ettiğimiz, noktalarının doğrusallığı bize genel durumda ve üçgenleri arasında benzerlik kurma fikrini verdi ve biraz hesaplama yaparak bunun doğru olduğunu gösterdik. Böylece metodumuzun kullanıldığı farklı bir çözüm elde etmiş olduk. 6
PROBLEM 3:Dar açılı bir üçgeni için sırasıyla kenarları üzerinde ve koşulunu sağlayan noktaları alınıyor. ve nin orta noktaları sırasıyla ve noktaları olsun. üçgeninin çevrel çemberinin merkezi noktası olsun. noktasının ve noktalarına göre simetrikleri sırasıyla ve olsun. noktalarının çembersel olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: üçgeninin çevrel yarıçapı olsun. noktasının üzerindeki konumlarına göre düşüneceğiz. ÖZEL DURUM noktası den ye inen dikme ayağı olsun. Bu ayağa diyelim. kenarının; de kenarının orta noktası olmak üzere ; noktası noktasına, noktası da noktasına gider. noktası üçgenin diklik merkezi olmak üzere, kenarının orta noktası olsun. olduğundan noktası noktasına gider. üçgeninin çevrel çemberi bu özel durum için üçgeninin çevrel çemberine yani üçgeninin 9 nokta çemberine gider. Benzer şekilde üçgeninin çevrel çemberi de üçgeninin 9 nokta çemberine gider. Dolayısıyla noktaları üçgeninin 9 nokta çemberi üzerinde olur. Özel durumun ispatı biter. GEÇİŞ ve kenarlarının orta noktaları çakışık olduğundan paralelkenar olur. ve olur. Benzer şekilde ve kenarlarının orta noktaları çakışık olduğundan paralelkenar olur. ve olur. Buradan ve üçgenleri eş olur. Dolayısıyla ve olur. Buradan da paralelkenar olur. olur. olduğundan dolayı, olur. Biz noktalarının çembersel olduğunu ispat edelim. Bunu ispat edersek benzer şekilde noktaları da çembersel olur. Buradan çembersel olur, problem biter. üçgeninin açıları olsun olur. Dolayısıyla olur. Biz olduğunu gösterirsek çözüm biter. 9 nokta çemberinden dır. olduğundan biz olduğunu ispatlarsak çözüm biter. olsun. = olduğunu göstermemiz yeterlidir (1) 7
Bilindiği üzere dır. dik üçgeninde olduğundan olur. Dolayısıyla ve olur. olduğundan olur. olur. olduğundan olur (2). üçgeninde sinüs teoreminden, = dır. Ayrıca olduğundan, = 2. dır. = olur.(2) den, olur. (1) i ispatlamış oluruz, çözüm biter. ANALİZ: Bu problem Sırbistan da yılında düzenlenen ulusal matematik olimpiyatı 2. Aşama sınavının 4.sorusudur. Problemin resmi çözümü ürettiğimiz çözümden tamamen farklıdır noktası doğrusu üzerinde değişirken noktasının ın orta dikme doğrusu üzerinde hareket ettiğini keşfettik. Özel durumdan tanımladığımız ve noktalarını kullanarak ve üçgenlerinin eşliğini ispatladık. Bu temel gözlem çözümde ana rolü oynadı. Çözümün geri kalanını birtakım hesaplamalar yaparak tamamladık. 8
PROBLEM 4:Düzlemde dar açılı bir üçgeni verilsin. ve noktaları sırasıyla ve kenarları üzerinde olacak şekilde verilsin. ve noktaları sırasıyla ve üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleridir. ve noktaları da sırasıyla ve üçgenlerinin diklik merkezleridir. noktasından doğrusuna dik çizilen doğru ile, noktasından doğrusuna çizilen dik doğru noktasında kesişiyor ise olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM doğrusunu kendisine paralel olacak şekilde kaydıralım. ÖZEL DURUM olsun. ve noktası kenarı üzerinde olsun. Biz soruyu doğrusu doğrusu iken çözelim. üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve diklik merkezi olsun. den ye inen dikme ayağı olsun. den ye inen dikme ayağı olsun. dan ye inen dikme ayağı olsun. olsun. Özel durum için olduğunu ispatlamalıyız. olduğundan olduğunu ispatlamalıyız. dir.(*) olduğundan dir. olduğundan dir.bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak olduğundan = olduğundan, olur.(***) olduğundan olur.(**) olur. Buradan, olur. Bunu (**) da yerine yazarsak, olur. olur. Buradan, olur. Bunu (***) da yerine yazarsak, olur. olduğundan, (*) doğrudur olur. olsun. olur., olur. Buradan, (*) doğrudur da doğrudur. olur. Buradan olur ki bu 9
GEÇİŞ olsun. olsun. Özel durumdan dir. dir. Aynı zamanda dir, çünkü bu iki doğru da doğrusuna diktir. olduğunu göstermek için üçgenlerinin benzer olduğunu ispatlamamız yeterlidir. Paralelliklerden dir. olduğunu gösterirsek çözüm biter. merkezli üçgenini üçgenine götüren homoteti oranı olsun. olur. Buradan olur. den ye inen dikme ayağı W olsun. olur. olsun. yamuğunda tales teoremimden ve olur. den e inen dikme ayağı olsun. olur. olsun. = olur. olur. Buradan ve noktaları çembersel olur. Buradan da olur. olsun. Benzer şekilde olur ve ve noktaları çembersel olur olur. den ye inen dikme ayağı olsun. = dir olsun. olur. olduğundan dır. Buradan olur. ( üçgeninde sinüs teoremi) Ayrıca dır.( üçgeninde sinüs teoremi) (1) doğrudur. olur ki bu da (1) den 10
ANALİZ: Bu çalışmamızın en zor olduğunu düşündüğümüz sorusu budur. Gerçekten bu problemin IMO Shortlist G7, G8 düzeyinde olduğunu söyleyebiliriz. Yöntemimizi bu problemde kullanmak için çok uzun uğraşlar verdik. Problemin zor olmasının temel sebebi ve doğrularının konumlarının biraz belirsiz olmasıdır. Bu konumları netleştirmek maksadıyla önce özel durumu ele aldık. Buradan elde ettiğimiz ve noktalarını kullanarak, ve noktalarının sırasıyla ve doğruları üzerinde hareket ettiğini gördük. Bu doğrusal hareketi keşfetmemiz genel duruma geçişte benzerliklerini görmemizi ve böylece gerçekten metodumuzu tam olarak ifade eden bir çözüm elde etmemizi sağladı. Tabii ki bu benzerliği ispat etmek için biraz hesaplama yapmamız gerekti. 11
SONUÇLAR: Geometri problemlerine yeni bir giriş tekniği geliştirdik. Steiner doğrusunu bilinen ispatından farklı olarak metodumuzla ispat ettik. İlk önce problemlerin özel durumlarını ele alarak problemlere daha doğal çözümler elde ettik. Özel durumdan genel duruma geçerken noktaların doğrusal hareket ettiği problemlere metodumuzun uygulanabilirliğini gösterdik. TARTIŞMA: Bu çalışma sonucunda geometride özel durumundan genel durumuna geçerken noktaların doğrusal hareket ettiği problemlere farklı bir yaklaşım geliştirmiş olduk. Bu yaklaşımı bazı noktaların çembersel veya eliptik hareket ettiği problemlere uygulamada ilk girişimimizde başarısız olduk ancak bu hala üzerinde uğraştığımız bir meseledir. Literatür taramasında karşılaştığımız bu tip problemlerde de bu metodu uygulamaya çalışıyoruz. Ancak genel olarak en başta belirttiğimiz öncelikli hedeflerimize ulaştığımızı düşünüyoruz. KAYNAKÇA: Djukić, Dušan; Janković, Vladimir; Matić, Ivan ve Petrović, Nikola (2011), The IMO Compendium: A Collection of Problems Suggested for International Mathematical Olympiads 1959-2009 (Springer) http://www.artofproblemsolving.com http://www.matematikolimpiyati.com MATERYAL: Geometri şekilleri Geogebra programı yardımıyla çizilmiştir. 12