Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Transkript

1 ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014

2 PROJENİN AMACI: Eşitsizlik problemlerine farklı bir bakış açısı getirmek Bilinen bir eşitsizliğin farklı yönlerine ışık tutacak şekilde farklı bir ispatını vermek Nesbitt eşitsizliğinden yola çıkarak doğal yöntemlerle bazı trigonometrik ve geometrik eşitsizlikler elde etmek Bulduğumuz eşitsizliklerden yola çıkarak genelleme yapmak Sonuçlar arasında ilişki kurmak Projeye Giriş Bu projede Matematik Dünyası dergisinde gördüğüm bir değişken dönüşümünün eşitsizlik sorularına uygulanmasından ve buradan yola çıkarak elde ettiğim bulgulardan bahsedeceğim. Bize eşitsizlik sorularına geometrik olarak yaklaşmayı sağlayan bu dönüşümü farklı kaynaklardaki olimpiyat sorularına uygulayarak orijinal çözümler elde ettim. Nesbitt eşitsizliğinden yola çıkarak bazı geometrik ve trigonometrik eşitsizlikler buldum. Projede de bunlara yer vereceğim. Ayrıca şunu vurgulamak istiyorum: Projemde elde ettiğim eşitsizliklere veya kullandığım materyale farklı kaynaklarda (internet vs.) rastladıysam kaynakçada yer verdim. Bilindiği üzere eşitsizlikler konusu geniş ve üzerinde çok fazla araştırma yapılmış bir daldır. Ben projemde yararlandığım veya elde ettiğim eşitsizliklerin benzerlerinin olduğu kaynakları kaynakçaya yazdım. Diğer kaynaklarda bulunabilecek benzer veya aynı eşitsizliklerin bu projenin özgünlüğüne zarar vereceğini düşünmüyorum. Çünkü elde ettiğim eşitsizlikler kadar yöntem de önemlidir ve farklıdır. Benim projedeki amacım hem sorulara farklı bir bakış açısı getirmek hem de bu trigonometrik ve geometrik eşitsizlikleri özgün ve doğal bir yolla elde etmektir. Projede sırasıyla; Kullanacağım dönüşüme Ön bilgiler kısmında; kullanacağım diğer materyallere Sorular kısmında; dönüşümü uygulayarak orijinal şekilde çözdüğüm sorulara En son kısımda ise Nesbitt eşitsizliğinden yola çıkarak bulduğum trigonometrik ve geometrik eşitsizliklere, sonuçlar arasında ilişki kurduğum notlara, yaptığım genellemelere yer verdim.

3 Yöntem: Önbilgiler Kullanacağımız Değişken Dönüşümü: ve pozitif reel sayıları için, ve olmak üzere, ve alalım. Görüleceği üzere, ve, ve üçgen kenarları Bu üçgen üçgeni olsun. Açıları da sırasıyla, ve olsun. diyelim. O halde, ve, ve sırasıyla, ve kenarlarına teğet olan dış teğet çemberlerin yarıçapları olsun., ve ise sırasıyla bu kenarlara ait yükseklikler ve S de üçgenin alanı olsun. Projede kullanacağım rutin adlandırmalar bunlar. Şimdi yukarıdaki dönüşümle değerinin ne olacağını görelim: Not: Kaynak taramasında bu dönüşümün adına rastlamadım. Projede buna üçgen dönüşümü diyeceğim. Açıları, ve veya, ve olan bir üçgenini kastettiğim zaman, ve açılarını sırasıyla bunlara eşittir demek istedim. Ve sayı ifade eden gibi harflerle pozitif reel sayıları kastettim. Yukarıdaki değişken dönüşümünü olimpiyat sorularını çözerken kullanacağım. Nesbitt eşitsizliğinin farklı bir ispatını yaptıktan sonra ise yöntem olarak daha çok bir şey üretmeye çalıştım. Bir de notasyon kolaylığı açısından kullandığım mesela toplamından kastettiğim(benzerleri için de cyclic toplamı kastettim.) dir. Leibniz Teoremi: eşitliğidir. eşitsizliği doğrudur. Özdeşlik: İspat: Özdeşlik: İspat: Heron formülünden sadeleştirirsek elde edebiliriz. Teorem: Özdeşlik: İspat:, ve Aritmetik geometrik ortalamalar eşitsizliğinden Özdeşlik: doğrudur. İspat:,,, ve ; elde edilir.

4 Not: Üçgen dönüşümünü aşağıdaki üç bilinmeyenli homojen eşitsizlik problemlerine uygulayarak orijinal çözümler elde ettim. Ve bu çözümler belirttiğim kaynaklardaki çözümlerden farklıdır. Aslında sorulara dönüşümü uyguladıktan sonra geriye göze hoş gelen geometrik eşitsizlikler kalıyor. Soru 1 ( Old and New Inequalities) ve pozitif reel sayıları için eşitsizliğini ispatlayınız. Çözüm: Üçgen dönüşümü uygularsak yani, ve alırsak olmak üzere soru şuna dönüşür: eşitsizliğini ispatlamalıyız. ifadesine bakalım. Varsayalım ki olsun. ve O halde olacağından Chebysev eşitsizliğinden; Nesbitt eşitsizliğinden dolayı biliyoruz ki (Nesbitt eşitsizliğinin buna denk olduğuna konu bütünlüğü açısıdan sayfa 6 da değineceğim.) O halde olduğunu göstermeliyiz. ispatlamamız gereken eşitsizlik şu olur: Bu da zaten AGO dan doğru Soru 2 (Euler eşitsizliği) İspat:, ve olduğunu biliyoruz. Bu üç eşitsizliği çarparsak Üçgen dönüşümünü kullanırsak,, ve olmak üzere Ve ; Bu da demektir.

5 Soru 3 (Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5) eşitsizliğini ispatlayınız. ( ve pozitif reel sayıdır.) Çözüm: Üçgen dönüşümünü uygularsak soru eşitsizliğini ispatlamalıyız. olduğunu kullanırsak olduğunu göstermeliyiz. Bu da zaten Cauchy Schwarz eşitsizliğinden doğru Soru 4 İspat: Üçgen Dönüşümü uygularsak ; da doğrudur. olduğunu kullanırsak eşitsizliğini ispatlayınız. eşitsizliğini ispatlamalıyız. olduğunu göstermeliyiz. ye denktir. Ki bu Soru 5 ( Old and New Inequalities) eşitsizliğini ispatlayınız. Çözüm: Üçgen dönüşümünü kullanırsak ; eşitsizlik şuna dönüşür: Bu da demektir. Benzer şekilde ve Bu üç eşitsizliği toplarsak Ayrıca

6 Nesbitt Eşitsizliği: (, ve ) İspat: Üçgen dönüşümünü uygularsak Nesbitt eşitsizliği eşitsizliğine dönüşür. Chebysev eşitsizliğinden; olduğunu biliyoruz. (Soru 1 de göstermiştik. Varsayalım ki olsun. O halde ve ) Ayrıca demektir: Bu eşitsizlik aslında şu üçgeninin dış merkezlerinin oluşturduğu üçgen olsun.,, ve olsun., ve yani Şimdi elde ettiğim bu alan eşitsizliğinden hareketle daha genel bir lemma elde edelim.

7 Lemma: Herhangi bir üçgeninde, ve noktaları sırasıyla, ve kenarları üzerinde olmak üzere,, ve olsun. İspat: Düzlemde Afin dönüşümü; doğrusallıkları, bir doğru üzerindeki uzunluk oranlarını ve alan oranlarını koruduğundan genelliği bozmadan yi eşkenar üçgen kabul edebiliriz. Bu eşkenar üçgenin kenar uzunluğu da kabul edelim. (Homotetiden kabul edebiliriz.), ve olsun. O zaman, ve, ve geometrik ortalamalar eşitsizliğini uygularsak) Lemmanın ispatı biter. (6 terime aritmetik Not 1:Daha önce bildiğimiz bir lemma şöyle der: lemma ise bundan daha kuvvetlidir çünkü: eşitsizliği doğrudur. Yukarıda ispatladığım Not 2: Yukardaki benzer mantıkla düşünürsek (Yukarı şekilden takip ediniz.) Soru 5 te bulduğumuz eşitsizliği de ; nin dış merkezlerinin oluşturduğu üçgen olmak üzere demektir. Ancak bunu yukarıdaki lemmadaki gibi (, ve noktaları sırasıyla, ve kenarları üzerinde istendik noktalar olmak üzere) genelleyemeyiz. Varsayalım ki genelleyebilelim. Afin dönüşümüyle benzer şekilde kenar uzunluğu olan eşkenar üçgen kabul edelim. olacak şekilde, ve noktalarını alalım. yi sıfıra götürürsek (yani alırsak) değeri, 1 e gidecektir. çelişkisi elde edilir.

8 Şimdi ve nın değerini üçgenin çevrel yarıçapı ve üçgenin açılarının cinsinden hesaplayalım. nin açıları, ve olsun. Sinüs teoreminden, ve olduğunu biliyoruz. Olduğundan elde ederiz. Öyleyse Benzer şekilde ve Not: Benzer şekilde ve olacağından üçgeni nin ortik üçgeni Ayrıca üzere) ( ; üçgeninin çevrel yarıçapı olmak

9 Şimdi yukarıda bulduğumuz, ve değerlerini Nesbitt eşitsizliğinde yerine koyalım. olmak üzere eşitsizliği elde edilir. eşitsizlik + Sonuç: olmak üzere + eşitsizlikleri doğrudur. Bu elde ettiğimiz trigonometrik eşitsizliği 2 farklı üçgen için uygulayalım. 1) Açıları,2 ve olan üçgeni için uygulayalım. Sinüs teoreminden, ve olduğunu kullanırsak ; Sonuç: Her iki tarafı Diğerlerini benzer şekilde yazıp toplarsak ile çarparsak şunu elde ederiz: 2) Açıları, ve olan üçgeni için uygulayalım. Cosinüs teoreminden hesaplanırsa üçgeni dar açılı ve sinüs teoreminden benzer şekilde açıların diğer notasyonları da O halde; Sonuç: Dar açılı bir üçgeni için; Bunu Leibniz eşitsizliği ile birleştirirsek değerine kenar uzunlukları cinsinden üstten bir sınır getirmiş olduk. eşitsizliğini elde ederiz. Bu şekilde Not 1: İlk kısımda elde ettiğim eşitsizliğinin daha zayıf hali olan kaynak 3 te bulunmaktadır. (ispatı farklı olarak)

10 Not: Aslında özdeşliğini kullanarak da olmak üzere eşitsizliğini ispatlayabiliriz. elde ederiz. Ayrıca Couchy Schwarz eşitsizliğinden elde ederiz. Ayrıca bir önceki sayfadaki 2 numaralı uygulamada yaptığımız gibi elde edebiliriz. Bu da demektir. Sonuçlar Çözümü genellikle Cauchy Schwarz, aritmetik geometrik ortalamalar veya Chebysev eşitsizliğiyle olan 3 bilinmeyenli homojen eşitsizlere üçgen dönüşümünü uygulayarak sorulara farklı bir yaklaşım getirdim. Nesbitt eşitsizliğini geometrik yorumlayarak farklı bir ispatını verdim, bunu genelleştirdim ve buradan yola çıkarak bazı trigonometrik eşitsizlikler elde ettim. 1) olmak üzere; ve eşitsizliklerini 2) üçgeninin, ve kenarları üzerinde sırasıyla istendik şekilde, ve noktaları alınıyor.,, ve olmak üzere alan eşitsizliğini elde ettim. üçgeninin dış merkezlerinin oluşturduğu üçgen olsun. Alanları benzer şekilde tanımlarsak,, ve olmak üzere; eşitsizliği doğrudur. Ayrıca, ve noktaları istendik şekilde olursa bu önermenin yanlış olacağını gösterdim. Bulduğum trigonometrik eşitsizlikleri 2 farklı üçgen için deneyerek; 1) Açıları, ve olan üçgen için kullanarak herhangi bir üçgeni için eşitsizliğini, 2) Açıları, ve olan dar açılı üçgeni kullanarak herhangi bir dar açılı üçgeni için eşitsizliğini elde ettim. Bunu Leibniz eşitsizliğiyle de birleştirirsek elde ederiz.

11 Tartışma Projede elde ettiğim yukarıdaki maddeler sayesinde amaçlarıma ulaştığımı düşünüyorum. Matematik olimpiyatı çalıştığım süreçte karşılaştığım sorulara farklı bir bakış açısı getirdim. Bulguları genelleyerek lemma ürettim, eşitsizlik sorularına farklı bir yaklaşım getirdim, Nesbitt eşitsizliğinin farklı yönlerine vurgu yaptım. Eklediğim notlarla bazı sonuçlara başka nasıl gelebileceğimizi gösterdim. Projede elde ettiğim geometrik ve trigonometrik eşitsizlikler aslında çok karmaşık değildir ve bu eşitsizlikler önümüze soru verildiğinde uğraşarak ispatlayabileceğimiz türdendir. Ben projede ise bir yerden yola çıkarak doğal yollarla bu güzel eşitsizlikleri elde ettim. Şunu vurgulamak istiyorum. Elde ettiğim eşitsizlikler kadar yöntem de önemlidir ve farklıdır. Ben bu projeye başlarken daha önce bahsettiğim gibi Matematik Dünyası dergisinin bir sayısında gördüğüm değişken dönüşümüyle yola çıktım. Sorular çok zor olmayabilir ama farklı çözümler getirdim. Bu projenin gelişime açık olduğuna, bu alana katkıda bulunduğuma ve özgün sonuçlar bulduğuma inanıyorum. Bu konuda çalışma yapacak arkadaşlara önerim şudur: Aslında Nesbitt eşitsizliğinden başka eşitsizlikler de geometrik olarak yorumlanabilir, genelleştirilebilir ve güzel sonuçlar çıkabilir. Uğraşmakta fayda var. Kaynakça Alkan, Emre, Bir Eşitsizlik Üzerine, Matematik Dünyası, Geometric Inequalities Marathon 1 (The First 100 Problems and Solutions) 4. Özdemir,Mustafa,Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5,Altın Nokta, Old and New inequalities