PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ"

Aydin Sönmez
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR LİSESİ Ataköy Kısım,34156 Bakırköy-İstanbul DANIŞMAN ÖĞRETMEN SEÇİL SEVİNÇ

2 PROJENİN ADI: NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR: ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN PROJE DALI: PROJE ÖĞRETMENİ: MATEMATİK SEÇİL SEVİNÇ PROJE AMACI: Üçgenlerde ispatlanan Napoleon Teoremini kullanarak bu özelliğin dikdörtgende uygulanabilirliğinin araştırılması. GİRİŞ: Üçgenlerde sağlanan Napoleon Teoreminin ispatı verilir. NAPOLEON TEOREMİ Herhangi bir üçgenin üç kenarının üzerine ister içine,isterse dışına doğru eşkenar üçgenler çizildiğinde,bu üçgenlerin ağırlık merkezleri birleştirilirse yine bir eşkenar üçgen oluşur. İspat: ABC üçgeninin üç kenarının üzerine üçgenin içine/dışına doğru şekildeki gibi BA C,CB A ve AC B eşkenar üçgenleri yerleştirilirse ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri sırasıyla D,E ve F ise DEF üçgeni de eşkenardır.

3 ABC üçgeninde = a, =b, =c, =n, =m ve =x ve ABC üçgeninin alanı olsun. AF ve AE içinde bulundukları üçgenlerin içaçıortay doğruları olduklarından m( = dir.bundan dolayı m( ) = A + dır.fae üçgeninde kosinüs teoreminden, = + 2.m.n. cos(a+ ) (1) bulunur. m ve n uzunlukları,içinde bulundukları eşkenar üçgenlerin yüksekliklerinin 2/3 ü olduğundan m= ve n= tür. Bu değerler (1) eşitliğinde yerine yazılırsa; = +.cos(a+ ) den 3 = + -2.b.c. cos(a+ ) (2) elde edilir. cos(a+ ) = cosa.cos - sina.sin değeri (2) de yerine yazılırsa; 3 = + -2.b.c. den 3 = + -b.c.cosa+ b.c.sina (3) olur. ABC üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak; den -bccosa = bulunur. ABC üçgeninin alan formülünü uygularsak; = dan bcsina=2 bulunur.

Bu değerler (3) te yerine yazılıp formül düzenlenirse bulunur.bu eşitlik a,b,c değerlerine göre simetrik olduğundan dolayı aynı işlemleri [FD] ve [ED] kenarları için yaparsak aynı sonuç elde edilir.

4 Bu değerler (3) te yerine yazılıp formül düzenlenirse bulunur.bu eşitlik a,b,c değerlerine göre simetrik olduğundan dolayı aynı işlemleri [FD] ve [ED] kenarları için yaparsak aynı sonuç elde edilir.demek ki dir ve DEF üçgeni eşkenardır. YÖNTEM : Bu proje boyunca doğrudan ispat uygulanmıştır. ABCD dörtgeninde = a, olsun. ABCD dörtgeninin kenarlarının üzerine üçgenin dışına doğru DCE,DAL,ABF ve BKC eşkenar üçgenleri yerleştirilir ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri,, ve ise dörtgeni eşkenar dörtgendir. ve içinde bulundukları üçgenlerin içaçıortay doğruları olduklarından m( = dir. Bundan dolayı m( ) = dir.

5 üçgeninde kosinüs teoreminden, bulunur. uzunluğu DAL eşkenar üçgenin ve uzunluğu DEC eşkenar üçgenin yüksekliğinin 2/3 ü olduğundan; (4) =. = ve =. = tür. Bu değerleri (4) eşitliğinde yerine yazarsak; bulunur., ve üçgenleri üçgenine eş olduğundan aynı işlemleri yaptığımızda = = = buluruz. üçgeninin iç açılarının toplamını yazarsak ; m( )+ m( )+ = dan m( )+ m( ) = dir. (5) (5) eşitliğinde m( ) = x dersek m( ) = -x olur., ve üçgenleri üçgenine eş olduğundan m( ) = m( )=m( ) = - x ve m( ) = m( )=m( ) = x dir. A üçgeninin iç açılarının toplamından m = dir. m( ) = m( )= x olduğundan dörtgenin köşesinin açı ölçüsü - 2x dir. C üçgeninin iç açılarının toplamından m( )= dir. m( =m( )= x olduğundan dörtgeninin köşesinin açı ölçüsü - 2x dir.d üçgeninin iç açılarının toplamından m = dir. m( =m( )= -x olduğundan dörtgenin köşesinin açı ölçüsü +2x dir. üçgeninin iç açılarının toplamından m = dir.m( =m( )= -x olduğundan dörtgeninin köşesinin açı ölçüsü +2x dir.

SONUÇ: dörtgeninde ; = = = m( )=m( )= - 2x m( )=m( )= +2x olduğundan tüm kenar uzunlukları birbirine eşit,karşılıklı açılar eşit ve birbirine bakan açılar toplamı olduğundan dörtgeni eşkenar

6 SONUÇ: dörtgeninde ; = = = m( )=m( )= - 2x m( )=m( )= +2x olduğundan tüm kenar uzunlukları birbirine eşit,karşılıklı açılar eşit ve birbirine bakan açılar toplamı olduğundan dörtgeni eşkenar dörtgendir. YÖNTEM : ABCD dörtgeninde = a, olsun. ABCD dörtgeninin kenarlarının üzerine üçgenin içine doğru DCE,DAL,ABF ve BKC eşkenar üçgenleri yerleştirilir ve bu üçgenlerin ağırlık merkezleri,, ve ise dörtgeni eşkenar dörtgendir. üçgeni dik üçgen olduğundan = + dir. (6) =, =, =, = dir.

7 noktası DAL üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan dolayı yüksekliğin 2/3 ü kadardır. =. = bulunur. = - den = - bulunur. noktası FAB üçgeninin ağırlık merkezi olduğundan dolayı yüksekliğin 1/3 ü kadardır. =. = bulunur. Bu değerleri (6) denkleminde yerine koyarsak; = +( den bulunur.,, üçgenleri üçgeni ile eş üçgenler olduğundan bulunur.yine bu üçgenlerin eşliğinden dolayı dörtgeninin ve köşelerinin açı ölçüleri eşittir, ve köşelerinin açı ölçüleri eşittir. SONUÇ: Kenarlarının eşit olması,karşılıklı açıların eşit olması, karşı durumlu açıların toplamının olması dörtgeninin eşkenar dörtgen olduğunu gösterir. Geliştirme: Üçgenler üzerinde sağlanan Napoleon Teoreminin dikdörtgen üzerine uyguladığımızda eşkenar dörtgen oluştuğunu gösterdik.projenin geliştirilmesinde, düzgün olan diğer çokgenlerde uygulanabilirliği araştırılabilir. Kaynaklar: 1) Mustafa Yağcı, 2004 Yaz Matematik Dünyası Dergisi, Geometri Köşesi, syf ) John E. Wetzel,1992,Converses of Napoleon s Theorem.Amer. Math.Monhtly 89,pp ) H. Martini, 1996, On the Theorem of Napoleon and related topics, Math, Semester Ber, 43, pp ) MEB Komisyon,2012, 10.Sınıf Matematik Kitabı, Sayfa ) MEB Komisyon,2012, 10.Sınıf Geometri Kitabı,Sayfa , ,

Benzer belgeler

CEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C

CEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C 1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B