ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

Transkript

1 ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. Kazanım : İki üçgenin eşliğini açıklar, iki üçgenin eş olması için gerekli olan asgari koşulları belirler. Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki. Kazanım : ir üçgende daha uzun olan kenarın karşısındaki açının ölçüsünün daha büyük olduğunu gösterir.. Kazanım : Uzunlukları verilen üç doğru parçasının hangi durumlarda üçgen oluşturduğunu belirler.

2 ÜÇGN ÇILR ÜÇGN,, doğrusal olmayan üç nokta olmak üzere & [] [] [] kümesine üçgen denir ve biçiminde gösterilir. Şekildeki üçgeninde,, noktaları üçgenin köşeleridir. [], [] ve [] üçgenin kenarlarıdır. = a, = b ve = c üçgenin kenar uzunluklarıdır. c a b a a a, ve açıları üçgenin iç açılarıdır. u açılar W, W ve X biçiminde de gösterilir. W, W ve X açıları üçgenin dış açılarıdır. [], [] ve [] kenarlarının sınırladığı noktalar kümesi üçgenin iç bölgesidir. Üçgen düzleminde, üçgene veya iç bölgesine ait olmayan noktalar kümesi üçgenin dış bölgesidir. KNRLRIN GÖR ÜÇGNLR Çeşitkenar Üçgen Kenar uzunlukları birbirinden farklı olan üçgenlerdir. İkizkenar Üçgen Herhangi iki kenarı eş olan üçgenlerdir. ş kenarlar, üçgenin ikiz kenarları diğer kenar da üçgenin tabanıdır. ş kenarların karşısındaki açılar üçgenin taban açıları, diğer açı ise üçgenin tepe açısıdır. Şekildeki ikizkenar üçgeninde; =, m( W ) = m( X ) [] ve [] eş kenarlardır. c b [] kenarı üçgenin tabanıdır. ve açıları taban açıları, açısı tepe açısıdır. a şkenar Üçgen Üç kenarı da eş olan üçgenlerdir. Şekildeki üçgen bir eşkenar üçgendir. = = m( W ) = m( W ) = m( X ) = 0 dir ÇILRIN GÖR ÜÇGNLR ar çılı Üçgen: Üç açısı da dar açı olan üçgenlerdir. ik Üçgen: ir açısı dik açı olan üçgenlerdir. ik üçgende, dik açıyı oluşturan kenarlar dik kenarlar, diğer kenar ise hipotenüs olarak adlandırılır. Geniş çılı Üçgen: ir açısı geniş açı olan üçgenlerdir. 0

3 Üçgende çılar ÜÇGN YRIMI LMNLR Kenarortay ir üçgenin, bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenarına ait kenarortayı denir. Şekildeki üçgeninde [ ] kenarına ait [ ] kenarortayı çizilmiştir. [] kenarortayının uzunluğu = V a biçiminde gösterilir. iğer iki kenarortay V b ve V c biçiminde gösterilir. çıortay V a ir üçgenin herhangi bir açısını iki eş parçaya ayıran ışının, köşe ile köşenin karşısındaki kenar arasında kalan parçasına, üçgenin o köşeye ait açıortayı denir. Şekildeki üçgeninde köşesine ait [ ] açıortayı çizilmiştir. [] açıortayının uzunluğu, = n biçiminde gösterilir. ve köşelerine ait açıortay uzunlukları da sırasıyla n ve n n biçiminde gösterilir. Yükseklik ir üçgende, bir köşeden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına, üçgenin bu kenarına ait yüksekliği denir. Şekildeki üçgeninin [] kenarına ait [H] yüksekliği çizilmiştir. H = h a biçiminde gösterilir. h a [] ve [] kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla h b ve h c biçiminde gösterilir. H ÜÇGN ÇI ĞINTILRI ir üçgende, iç açıların ölçüleri toplamı 180 dir. üçgeninde [] // çizilirse; W ile a W ile a iç ters açılar olur. u durumda, m( W ) = m( ) a, m( W ) = m( ) a olacağından, m() + m() + m() = 180 (do ru aç ) m() + m() + m() = 180 bulunur. 07

4 Üçgende çılar ÖRNK 1 üçgeninde m( ) a = 80 m( ) a = 80 m( ) a = ise kaç derecedir? ÖRNK üçgeninde =, = m( a ) = 110 ise m( a ) = kaç derecedir? ir üçgende, bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. üçgeninde, [// [] çizilirse W ile a yöndeş W ile a iç ters açılar olur. u durumda, m( W ) = m( a ) m( W ) = m( a ) + m( W ) + m( W ) = m( a ) + m( a ) m( W ) + m( W ) = m( a ) bulunur. ÖRNK Şekilde,, noktaları doğrusaldır. Verilenlere göre kaç derecedir? 08

5 Üçgende çılar ÖRNK z α y Şekildeki verilenlere göre, α = + y + z olduğunu gösteriniz. ÖRNK Şekildeki verilenlere göre kaç derecedir? ir üçgende, dış açıların ölçüleri toplamı 0 dir. ir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olacağından, m( a ) = m( W ) + m( W ) m( a ) = m( W ) + m( X ) m( a ) = m( W ) + m( X ) + m( a ) + m( a ) + m( a ) = (m( W ) + m( W ) + m( X )) =.180 = 0 bulunur. ÖRNK z y üçgeninde + y + z = 80 ise y kaç derecedir? 09

6 Üçgende çılar ÖRNK 7 0 üçgeninde, m( a ) = m( a ), = m( a ) = 0 ise m( a ) = kaç derecedir? ÖRNK 8 üçgeninde, = = ise m( a ) = 90 olduğunu gösteriniz. ÖRNK 9 Şekilde, [] [], = = m( a ) = ise m( a ) = kaç derecedir? 10

7 Üçgende çılar ÖRNK 10 0 üçgeninde verilenlere göre kaç derecedir? ÖRNK 11 1 üçgeninde, m( a ) = 90, m( a ) = 1 = ise m( a ) = kaç derecedir? ÖRNK 1 ir üçgeninde m( W ) m( X ) > m( W ) ise m( W ) nin en küçük tam sayı değeri kaç derecedir? 11

8 Üçgende çılar ÖRNK üçgeninde m( a ) = 10, m( a ) = 0 =, = ise m( a ) = kaç derecedir? ÖRNK 1 18 üçgeninde = =, m( a ) = 18 ise m( a ) kaç derecedir? ÖRNK 1 0 üçgeninde =, = m( a ) = 0 ise m( a ) = kaç derecedir? 1

9 Üçgende çılar ÖRNK 1 1 Şekilde m( a ) = m( a ), m( a ) = m( a ) =, m( a ) = 1 ise m( a ) kaç derecedir? İkizkenar üçgende tepe açısına ait açıortay, kenarortay ve yükseklik çakışıktır. = ve [H] [] ise H = H ve m( a H) = m( a H) H ÖRNK 17 8 üçgeninde =, = [] [], m( ) a = 8 ise m( ) a = kaç derecedir? 1

10 Üçgende çılar ÖRNK 18 e a L K M d b N c Şekilde verilenlere göre a + b + c + d + e = 180 olduğunu gösteriniz. ÖRNK 19 Şekilde verilenlere göre kaç derecedir? ÖRNK üçgeninde, = =, m( a ) = 0 m( a ) = 0 ise m( a ) = kaç derecedir? 1

11 LIŞTIRMLR - 1 şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre değerlerini bulunuz SN YYINLRI

12 0 Üçgende çılar şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre değerlerini bulunuz SN YYINLRI 78 α α

13 İKİ ÜÇGNİN ŞLİĞİ Üçgende çılar Karşılıklı açıların ölçüsü ve karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere eş üçgenler denir. & & & & ile eş üçgen ise, şeklinde gösterilir. z ÖRNK 1 y z y m ( W) = m ( X _ ) b b m( W ) = m( W ) b b m ( X) = m ( W) b & & `, = b b = b b = b a 0 0 Şekilde &, & olmak üzere, m( W ) = 0 ve m( W ) = 0 ise diğer açıların ölçülerini bulunuz. Kenar Kenar Kenar ( K.K.K) şliği c b c b a a & &, Karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan iki üçgen eştir. = = = _ b ` &, & b a ÖRNK şkenar dörtgende herhangi bir köşegenin açıortay olduğunu gösteriniz. 17

14 İki Üçgenin şliği çı Kenar çı (.K.) şliği K α α θ θ L M W, W _ K b X, X & & M `, LKM dir. = KM b a Karşılıklı iki açısının ölçüsü ve bu açıların arasında kalan kenarlarının uzunluğu eşit olan iki üçgen eştir. Paralel doğrular arasında kalan paralel doğru parçalarının eş olduğunu gösteriniz. ÖRNK ÖRNK ir üçgende bir kenarın orta noktasından ikinci kenara çizilen paralel doğrunun, üçüncü kenarın ortasından geçtiğini gösteriniz. 18

15 İki Üçgenin şliği ÖRNK α % % [] [], m( ) = m(), = % = olduğuna göre, m( ) = α kaç derecedir? ÖRNK K v L M &, MKL & olmak üzere verilenlere göre + kaç br dir? ÖRNK 7 % % [] [] = {}, m( ) = m() = cm, = cm, = cm olduğuna göre, = kaç cm dir? 19

16 İki Üçgenin şliği Kenar çı Kenar ( K..K) şliği c α K c α a L a M = KM = LM W, XM _ b ` &, KML & dir. b a İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasında kalan açılarının ölçüsü eşit ise bu üçgenler eştir. ÖRNK 8 Yukarıdaki şekilde [] [] = {} olmak üzere, verilenlere göre kaç cm dir? ÖRNK 9 α eşkenar üçgen, [] [] = {} % = olduğuna göre, m( ) = α kaç derecedir? ir ikizkenar üçgende, tabana ait kenarortayın, ikizkenar üçgeni eş iki üçgene ayırdığını gösteriniz. ÖRNK 0

17 İki Üçgenin şliği ÖRNK 1 α 70 % üçgeninde, =, m( ) = 70 % % m( ) = ise m() = α kaç derecedir? ÖRNK Yukarıdaki şekilde,, noktaları doğrusal ve % kare ise m( ) kaç derecedir? ş iki üçgenin karşılıklı kenarortayları eştir. ş iki üçgenin karşılıklı açıortayları eştir. N & &, [N] [M] M K & &, [K] [L] L ş iki üçgenin karşılıklı yükseklikleri eştir. & &, [H] [K] H K 1

18 LIŞTIRMLR - & & 1., olduğuna göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına yanlış olanların başına da Y yazınız. & &, & &, %, %. şağıda verilenlere göre şekillerin yanlarındaki boşlukları doldurunuz. a. &,... %, % b. [] [] [] [] &,... dikdörtgen. SN YYINLRI c. &,... üçgeninde, =, = olduğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. & a.,... d. &,..... K cm cm cm M L Yukarıdaki üçgenler için &, & ve üçgeninde, = ise = olduğunu gösteriniz. &, LKM & olduğuna göre verilenlere göre Çevre( ) kaç cm dir?

19 ÜÇGNİN KNRLRI ve ÇILRI RSINKİ İLİŞKİ Üçgende çılar ir üçgende iki kenardan büyük olanın karşısındaki açının ölçüsü, küçük olanın karşısındaki açının ölçüsünden büyüktür. a > b > c ise m( W ) > m( W ) > m( X ) olur. c b ir üçgenin kenarları arasındaki sıralama, açıları arasında da vardır. a ÖRNK c 70 b üçgeninde 0 < 0 < 70 olduğundan, 0 a 0 m( X ) < m( W ) < m( W ) c < b < a dır. ÖRNK üçgeninde < < 8 olduğundan, 8 c < b < a m( X ) < m( W ) < m( W ) dır. ir üçgenin açıları arasındaki sıralama, kenarları arasında da vardır. ÖRNK c 70 e b a 0 d Şekilde verilenlere göre a, b, c, d, e arasındaki sıralamayı bulunuz.

20 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK d 7 0 e f a c b 0 k Şekilde verilenlere göre en uzun kenar hangisidir? ÜÇGN ŞİTSİZLİĞİ ir üçgende, bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak c b b c < a < b + c değerinden büyüktür. a [ üzerinde K = = c olacak şekilde K noktası alırsak, K = b + c olur. m( a K) = m( a K) = α ve m( a ) = β olsun. α < α + β olacağından, K α < α + β m(k W ) < m( a K) + m( a ) m(k W ) < m( a K) dir. α c m(k W ) < m( a K) a < c + b... (I) enzer yöntemle b < a + c ve c < a + b bulunabilir. b < a + c b c < a } b c < a... (II) c < a + b c b < a c α β a b I ve II den b c < a < b + c bulunur. ÖRNK 7 a üçgeninde = cm, = cm ise = a nın alabileceği değerler kümesini bulunuz.

21 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK 8 a üçgeninde = br, = br m( W ) < m( W ) ise = a nın alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. ÖRNK 9 7 ve üçgenlerinde verilenlere göre = in alabileceği değerler kümesini bulunuz. ÖRNK 0 8 Şekilde verilenlere göre = in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

22 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK üçgeninde verilenlere göre in alabileceği değerler kümesini bulunuz. ÖRNK üçgeninde bir tam sayıdır. Verilenlere göre Çevre() nin alabileceği en büyük değer kaç br dir? ÖRNK 10 üçgeninde =, = br = 10 br ise = in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz.

23 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK c b 8 üçgeninin kenar uzunlukları birer tam sayıdır. = 8 br ise üçgenin çevresinin en küçük değeri kaç birimdir? ÖRNK c b 0 a 70 üçgeninde, m( W ) = 0, m( X ) = 70 ise c a + b c a + c b ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNK 7 üçgeninde [] [], = = br, = 7 br ise = in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. 7

24 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK 7 Şekildeki verilenlere göre üçgeninin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ÖRNK 8 dörtgeninde verilenlere göre = in en küçük tam sayı değeri kaçtır? ÖRNK dörtgeninde verilenlere göre = in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 8

25 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ÖRNK 0 Çevresi 0 br olan üçgeninin kenar uzunlukları birer tam sayıdır. = ise nin en büyük tam sayı değeri kaç br olur? dörtgeninde + < + dir. ÖRNK 1 7, üçgeninin iç bölgesinde bulunan bir noktadır. Verilenlere göre üçgeninin çevresinin alabileceği değerler kümesini bulunuz. 9

26 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki ir üçgeninde; m( W ) = 90 a = b + c m( W ) < 90 a < b + c m( W ) > 90 a > b + c dir. ÖRNK üçgeninde m( W ) > 90, = br = br ise = in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. ÖRNK üçgeninde m( W ) < 90, = br = br ise = in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz. ÖRNK 8 üçgeninde [ ] ve [ ] açıortaylar = br, = 8 br ise = in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. 0

27 LIŞTIRMLR - şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre en uzun kenarları bulunuz. şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre in değer aralığını bulunuz c. e 71 a d 9 b. b c d a 0 e 7 f 1 k a 0 b c e 0 d SN YYINLRI k d 9 e c 78 b 9. f a. b a d 9 e c 9 1 1

28 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki şağıdaki soruların her birinde in alabileceği tam 7. sayı değerlerini bulunuz. 1. α β. 1 7 α. şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre in en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı 8 değerlerini bulunuz şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre in alabileceği tam sayı değerlerini bulunuz. (α < 90, β > 90 ) SN YYINLRI β α. β 1. 10

29 Yazılıya Hazırlık Soruları 1.. α 0 α eşkenar üçgen, [] [], = ise m( ) a = α kaç derecedir? üçgeninde,, doğrusal = = ve m( a ) = 0 ise m( a ) = α kaç derecedir?.. α 0 0 üçgeninde =, = m( ) a = 0, m( ) a = 0, m( ) a = 70 SN YYINLRI üçgeninde, = = cm =, = = cm, = cm ve = cm ise kaçtır? ise m( a ) = α kaç derecedir?.. 1 üçgeninde =, = ise % m( ) oranı kaçtır? % m( ) Şekilde, [] [], [] [], [] [] =, = cm ve = 1 cm ise = kaç cm dir?

30 İki Üçgenin şliği c b 1 a üçgeninde, = cm, = cm = 1 cm ise in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? üçgeninde m( W ) =, m( W ) = = a cm, = b cm, = c cm ise a + b c + b c + c a b a b değeri nedir? SN YYINLRI üçgeninde, = cm, = 8 cm Şekilde verilenlere göre, en uzun kenar hangisidir? m( W ) > m( W ) ise = in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

31 TST - 1 Üçgende çılar üçgeninde, =, = üçgeninde, [] açıortay, m( ) a = 80 m( ) a = 0, m( ) a = 70 ise m( ) a = kaç derecedir? ) 1 ) 0 ) ) 0 ) % % m( ) = ise m() nin cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) ) 180 ) ) 180 ).. 0 K 70 üçgeninde, [] // [], [K] // [] SN YYINLRI m( a K) = 0, m( a ) = 70 ise m( a ) = kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 üçgeninde, =, = m( a ) = ise m( a ) = kaç derecedir? ) 70 ) 7 ) 80 ) 8 ) üçgeninde, = = % % % m( ) = m() ise m() kaç derecedir? ) ) ) 8 ) 0 ) 7 üçgeninde, = = = ve m( a ) = 80 ise m( a ) kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0

32 Üçgende çılar z üçgeninde, =, = Şekilde, üçgeninin iç açıortaylarının kesim noktasıdır. una göre z, in kaç katıdır? m( a ) = 110 ise m( a ) kaç derecedir? ) 1 ) 1 ) ) ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 70 ) üçgeninde, = =, m( ) a = 0 ise m( ) a kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 0 ) 0 ) 0 SN YYINLRI 10 Şekilde, m( W ) =, m( W ) =, m( X ) = m( ) a = 10 ise kaç derecedir? ) 1 ) 0 ) ) 0 ) üçgeninde, =, = m( ) a =, m( ) a = ise m( ) a kaç derecedir? ) ) 8 ) ) ) 7 üçgeninde, = = [] // [], m( ) a = ise m( ) a = kaç derecedir? ) 8 ) ) 0 ) ) 8

33 TST - İki Üçgenin şliği 1.. üçgeninde, m( ) a = m( ) a =, = cm ve = cm ise + kac cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 ) 8 1 Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] [] [], =, = cm ve = 1 cm ise + kaç cm dir? ) ) ) ) ) ve eşkenar üçgenler olmak üzere, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) ) 8 ) 10 ) 1 ) 1 SN YYINLRI eşkenar üçgeninde, = = ve m( ) a = 10 ise m( ) a = kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 0 ) ) α K ve eş üçgenlerinde, m( ) a = + 0 ve m( ) a = 0 ise m( ) a = α kaç derecedir? ) 100 ) 110 ) 10 ) 10 ) 10 üçgeninde, = K, m( ) a = 0 = = cm, = K = cm ve = cm ise + K kaç cm olur? ) 1 ) 1 ) 17 ) 18 ) 19

34 İki Üçgenin şliği üçgeninde, [] [], [] [] = = cm, = = 1 cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) 11 ) 1 ) 1 ) 1 ) α & & dörtgeninde, b m( ) a = 100 ve m( ) a = ise m( ) a = α kaç derecedir? ) 100 ) 110 ) 10 ) 1 ) üçgeninde, =, m( ) a = 0 m( ) a = 70, = cm ve = + cm ise kaçtır? ) ) ) ) 7 ) 8 SN YYINLRI Şekilde, [] [], [] [] = = cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) Şekilde, m( ) a = m( ), a = cm = 8 cm ve = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 8 ) 7 ) ) ) Şekilde, [] // [], [] [] = {} = = 8 cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 9 ) 8 ) )

35 TST - 8 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki dörtgeninde verilenlere göre en uzun kenar aşağıdakilerden hangisidir? ) [] ) [] ) [] ) [] ) [] Şekilde, = br, = br, = br = 7 br ise = in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç br dir? ) 19 ) 18 ) 17 ) 1 ) üçgeninde, = br, = br = 1 br ise in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? ) ) ) ) ) SN YYINLRI üçgeninde, = br, = br m( W ) > m( W ) ise = in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? ) ) ) ) ).. 7 üçgeninde, = br, = br ise = in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 Şekilde, = br, = br, = br = 7 br ise = in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç br dir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 9

36 Üçgenin Kenarları ve çıları rasındaki İlişki c b 1 üçgeninde bir tam sayı olmak üzere = br, = br, = ( 1) br ise üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç br dir? ) 11 ) 1 ) 1 ) 1 ) a üçgeninde, m( ) a = 8, m( ) a = 1 ise a b + c b + b a c ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) a b ) a ) c b ) c ) a b üçgeninde verilenlere göre in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? ) ) ) ) ) SN YYINLRI Şekildeki verilenlere göre üçgeninin çevresinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç birimdir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) üçgeninde kenar uzunlukları birer tam sayıdır. = cm ise üçgenin çevresinin en küçük tam sayı değeri kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 dörtgeninde verilenlere göre = in en küçük tam sayı değeri kaç birimdir? ) 1 ) ) ) ) 0

37 ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN NZRLİĞİ 1. Kazanım : ir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen bir doğru diğer iki kenarı kestiğinde bu doğrunun üçgenin kenarlarını orantılı doğru parçalarına ayırdığını (temel orantı teoremi) ve bunun karşıtının da doğru olduğunu gösterir.. Kazanım : İki üçgenin benzerliğini açıklar, iki üçgenin benzer olması için gerekli olan asgari koşulları belirler.. Kazanım : Üçgenlerin benzerliğini modelleme ve problem çözmede kullanır.

38 ÜÇGNLR NZRLİK enzerlik Kavramı Tipleri aynı fakat büyüklükleri orantılı olan iki şekil benzer şekillerdir. Örneğin; H G ki do ru parças benzerdir. ki eflkenar üçgen benzerdir. ki kare benzerdir. ki çember benzerdir. ki küp benzerdir. enzerlik bilgisi, büyük boyutlu cisimler üzerinde ölçümler yapmak yerine, bunların küçük modelleri üzerinde bu işlemlerin yapılmasını sağlar. Üçgenlerde enzerlik İki üçgen arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise bu eşlemeye benzerlik, üçgenlere de benzer üçgenler denir. & & * eşlemesi yapıldığında, m( W ) = m( X ) f c b m( W ) = m( W ) ve = = = k m( X ) = m( W ) & & oluyorsa üçgeni ile üçgeni benzerdir denir ve ` şeklinde gösterilir. a d enzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarının uzunlukları oranına benzerlik oranı denir. ş üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı 1 dir. e ÖRNK 1 X Y Z & + YXZ & olduğuna göre, a. Karşılıklı eş olan açıları belirtiniz. b. Karşılıklı kenarlar arasındaki orantıyı yazınız. 8

39 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK c = b = f = 8 e = a = d = Şekildeki iki üçgenin benzer olup olmadığını araştırınız. enzer iseler benzerlik oranını bulunuz. ÖRNK c = b = f = 9 e = a = d = 8 Şekildeki üçgenlerin benzer olup olmadığını araştırınız. Kenar çı Kenar ( K..K.) enzerlik ksiyomu Verilen herhangi iki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eş ise bu iki üçgen benzerdir. = = k ve m( W ) = m( W & & ) ise ` dir. 9

40 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK 8 1 Yukarıdaki şekilde, [] [] = {} = cm, = = cm, = 8 cm ve = 1 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 9 9 üçgeninde, = cm, = cm = cm, = = 9 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 10 9 Yukarıdaki şekilde, [] // [], = cm = cm, = 9 cm, = 10 cm ise = kaç cm dir? 0

41 Üçgenlerin enzerliği Temel Orantı Teoremi ir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru, üç genin diğer kenarlarını farklı noktalarda keserse bu kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır. // [] ise = dir. ÖRNK 7 üçgeninde, [] // [], = cm = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 K ve üçgenlerinde, [] // [] [K] // [], = cm, = cm K = cm ise K = kaç cm dir? ÖRNK 9 8 üçgeninde, [] // [], [] // [] = 8 cm, = cm ise = kaç cm dir? 1

42 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK α 9 üçgeninde, m( W ) = 80, = cm = = cm, = 9 cm ise m( ) a = α kaç derecedir? ÖRNK 11 K L dörtgeninde kenar orta noktalarının birleşimi ile oluşturulan KL dörtgeninin paralelkenar olduğunu gösteriniz. ÖRNK 1 K L dörtgeninde;,, K, L kenar orta noktalarıdır. + = cm ise Çevre(KL) kaç cm dir?

43 Üçgenlerin enzerliği ÜÇGNLR NZRLİK TORMLRİ çı çı çı (...) enzerlik Teoremi İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede karşılıklı açılar eş ise bu iki üçgen benzerdir. c f d e b c e d f b m) ( W = m( X _ ) b m( W) = m( W & & ) ` & + m( X ) = m( W) b a dir. f c a e = = b d a f c a e = = b d a ÖRNK 1 0 α Yukarıdaki şekilde, & + & a, m( ) = m( ) a = 0 ise m( ) a = α kaç derecedir? ÖRNK 1 üçgeninde, m( % ) = m( % ), = cm = cm, = cm ise = kaç cm dir?

44 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK 1 y üçgeninde, [] [], [] [] = = cm, = cm ise = ve = y değerlerini bulunuz. ÖRNK 1 Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 17 üçgeninde, [] açıortay, [] // [] = cm, = cm ise = kaç cm dir?

45 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK 18 1 üçgeninde, m( % ) = m( % ), = 1 cm = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 19 üçgeninde, = = cm, = cm ise = = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, m( % ) = m( % ) = m( % ) = 1 cm, = 8 cm ve = cm ise = kaç cm dir?

46 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK 1 L M K üçgeninde, [M] [], [L] [] [K] [], = cm, = cm = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK y z Yukarıdaki şekilde, [] // [] // [], = y =, = z ise = + olduğunu y z gösteriniz. ÖRNK 1 18 üçgeninde, [] // [], = 1 cm = 18 cm, = cm ise = kaç cm dir?

47 Üçgenlerin enzerliği Kenar Kenar Kenar ( K.K.K.) enzerlik Teoremi İki üçgen arasında yapılan bir eşlemede, karşılıklı kenarların uzunlukları orantılı ise bu üçgenler benzerdir. & & ) eşlemesinde; = = & & & + dir. ÖRNK α % Yukarıda verilenlere göre, m ( ) = α kaç derecedir? ÖRNK 9 Şekilde verilenlere göre, hangi açıların ölçülerinin eşit olduğunu bulunuz. ÖRNK Yukarıdaki şekilde, = 9 cm, = 1 cm = cm, = cm, = 8 cm ise [] // [] olduğunu gösteriniz. 7

48 Üçgenlerin enzerliği I. Tales Teoremi n az üç paralel doğru, iki keseni uzunlukları orantılı parçalara ayırır. d 1 d d 1 //d //d ise = dir. d d d ÖRNK 7 d 1 //d //d olmak üzere, şekilde verilenlere göre = d 1 d kaç cm dir? d II. Tales Teoremi Kesişen iki doğru, paralel iki doğru tarafından kesildiğinde oluşan üçgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları orantılıdır. d 1 d 1 //d ise d 1 //d ise = = d 1 = = d d d d d d ÖRNK 8 üçgeninde, [] [] = {}, [] // [] = cm, = cm, = 8 cm ise kaç cm dir? 8

49 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK 9 üçgeninde, [] [] = {}, [] // [] = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 0 11 dörtgeninde, [] // [] // [] = = cm, = cm, = 11 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 1 K üçgeninde;, K, doğrusal, [] // [] =, = cm, K = cm ise K = kaç cm dir? 9

50 Üçgenlerin enzerliği enzerlik Özellikleri enzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır. c b f e a d & & a b c + = = = k, k : enzerlik oranı d e f I. Karşılıklı kenarortaylarının uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir. III. Karşılıklı yüksekliklerinin uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir. K L K L V V a d Vb Vc = = = k V V e f h h a d hb hc = = = k h h e f II. Karşılıklı açıortaylarının uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir. IV. enzer üçgenlerin çevreleri oranı benzerlik oranına eşittir. = k Çevre( ) Çevre( ) K L V. enzer iki üçgenin alanları oranı benzerlik oranı- n n n n = = = k n n nın karesine eşittir. lan( ) = k lan( ) ÖRNK & + & olmak üzere, = ve () = 0 cm ise () kaç cm dir? 70

51 Üçgenlerin enzerliği ÖRNK N K L M Şekilde, =, KN = NL, = cm LM = cm ve & + LMK & ise kaçtır? MN ÖRNK = cm, = cm, = cm olan üçgeni ile = cm olan üçgeni benzer ise Çevre() kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, = ve = ( ) olduğuna göre kaçtır? ( ) ÖRNK lanlar oranı 1 9 olan benzer iki üçgenin çevreleri oranı nedir? 71

52 LIŞTIRMLR şağıdaki şekillerde verilen uzunluk ve paralelliklere göre, değerlerini bulunuz. şağıdaki üçgenlerde verilenlere göre, değerlerini bulunuz K SN YYINLRI K L N

53 Üçgenlerin enzerliği 7 SN YYINLRI şağıdaki şekillerde verilen uzunluk ve paralelliklere göre, değerlerini bulunuz K

54 Üçgenlerin enzerliği m 8 8 m m Şekildeki ağacın gölgesi ile çocuğun gölgesi aynı noktada bitmektedir. Çocuğun boyu 1 m, gölgesi m ve ağaca olan uzaklığı 8 m ise ağacın boy kaç metredir? Yukarıdaki şekilde, [] [] = {} [] // [] // [], = cm, = 8 cm ise = kaç cm dir?.. üçgeninde, [] [], [] [] = cm, = cm, = cm ise + kaç cm dir? SN YYINLRI Yukarıdaki şekilde, [] [] = {} [] // [] // [], = cm ve = cm ise = kaç cm dir?. K. α üçgeninde, [] [] = {K} [] // [], K = K, = cm = 10 cm, = 11 cm ise = kaç cm dir? & + & a olmak üzere, m( ) = 7 ve m( ) a = 0 ise m( ) a = α kaç derecedir? 7

55 Yazılıya Hazırlık Soruları 1.. K üçgeninde, [] // [], = = 1 cm ise K kaç cm dir? üçgeninde, [] [] = {} [] // [] // [], = cm, = cm = cm ise = kaç cm dir?. 1. üçgeninde, m( ) a = m( ) a = 1 cm, = cm ise = kaç cm dir? SN YYINLRI K L M üçgeninde, [M] [], [K] [] [L] [], = 1 cm, = 9 cm KM = cm ise LM = kaç cm dir?.. K 10 K L M üçgeninde, [] // [] = = ve K = 10 cm ise K kaç cm dir? Yukarıdaki şekilde, [K] // [], [KL] // [] [LM] // [], = cm, = cm LM = cm ise = kaç cm dir? 7

56 Üçgenlerin enzerliği Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] [] [], = 9 cm, = cm = cm ise = kaç cm dir? üçgeninde, m ( % ) = m( % ) =, [] [], = 10 cm = cm ise kaç cm dir? 8. SN YYINLRI 10. K yna üçgeninde, K, doğrusal, [] // [] =, K = cm, K = cm ise = kaç cm dir? 180 cm boyundaki li, ağaçtan 1 m uzakta durmakta ve ağaçtan 10 m uzakta duran aynaya baktığında ağacın ucunu görebilmektedir. una göre, ağacın boyu kaç metredir? 7

57 TST - 1 Üçgenlerin enzerliği 1. G H. Yukarıdaki çokgenlerle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) ile benzerdir. ) ile eş değildir. ) ile G eştir. ) ile H benzerdir. üçgeninde [] // [], [] // [] = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ile eştir... SN YYINLRI Yukarıdaki şekilde [] [], [] [] =, = cm ve = cm ise üçgeninde,, doğrusal, [] // [] =, = ise kaçtır? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 8 Çevre() kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) lanları oranı olan benzer iki üçgenden büyük olanın çevresi cm ise küçük olanın çevresi kaç cm dir? ) 18 ) 0 ) ) ) 0 üçgeninde, m( ) a = m( ) a m( ) a = m( ), a = cm, = 1 cm ise kaç cm dir? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) 77

58 Üçgenlerin enzerliği ve eşkenar üçgenlerdir. = 8 cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) 7 ) ) 9 ) K 8 üçgeninde, [] [] = {K} [] // [], K = K, = 9 cm = 1 cm, = 8 cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) üçgeninde, m( ) a = m( ) a = m( ) a = 1 cm, = 1 cm, = cm ise = kaç cm dir? SN YYINLRI 1 Yukarıdaki şekilde, m( a ) = m( a ) ) ) ) ) 7 ) = cm, = cm, = cm = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] [] [], =, = cm = cm ise = kaç cm dir? ) 8 ) 1 ) 7 ) ) üçgeninde m( ) a = m( ) a m( ) a = m( ) a, = cm ve = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 7 ) ) ) ) 78

59 TST - Üçgenlerin enzerliği K 9 Yukarıdaki şekilde, m( ) a = m( ) a = 9 cm, = cm, = 1 cm ve = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 üçgeninde, [] // [K] // [] = =, = cm ise K = kaç cm dir? ) ) ) ) 8 ) 10.. α 10 1 Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] SN YYINLRI üçgeninde, [] [], [] [] [] [], = cm, = 1 cm = 10 cm ise kaç cm dir? m( ) a & & a =, + ise m( ) = α kaç derecedir? ) 8 ) ) 10 ) 11 ) ) ) 7, ) 0 ), ).. K K dik üçgeninde, K dikdörtgen = 9 cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) ) 8 ) 10 ) 1 ) 1 üçgeninde, [] [] = {K} =, =, K = K = 8 cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) 8

60 Üçgenlerin enzerliği üçgeninde,, doğrusal m( ) a = m( ), a = 9 cm, = cm ise = kaç cm dir? ) v ) c10 ) v üçgeninde, m( ) a = m( ) a = cm ve = = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) 8 ) 10 ) 1 ) 10 ) v K üçgeninde, [] // [K] // [] = 9 cm, = 1 cm, K = 8 cm = cm ise + K kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 17 ) 18 SN YYINLRI üçgeninde, [] [], = cm = cm ve = cm ise kaçtır? ) ) ) ) ) K üçgeninde, [] // [], [] // [] = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) 7 9 ) ) üçgeninde;, K, doğrusal, [] // [] = =, K = cm ise = kaç cm dir? ) 1 ) 18 ) 0 ) ) 8

61 ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN YRIMI LMNLRI 1. Kazanım : ir açının açıortayını çizer ve özelliklerini açıklar.. Kazanım : Üçgenin iç ve dış açıortaylarının özelliklerini gösterir.. Kazanım : Üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini gösterir ve kenarortayla ilgili özellikleri açıklar.. Kazanım : Üçgenin kenar orta dikmelerinin bir noktada kesiştiğini gösterir.. Kazanım : Üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini gösterir ve üçgenin çeşidine göre bu noktanın konumunu belirler.

62 ÜÇGN ÇIORTY Üçgenin herhangi bir açısını eş iki parçaya bölen ışının, köşe ile karşı kenar arasında kalan parçasına, üçgenin o köşesine ait açıortayı denir. [N], açısına ait iç açıortay olup, N = n ile gösterilir. αα N N n θ θ n n β β N N = n N = n Verilen bir açının açıortay doğrusunu çizelim: Verilen açı O açısı olsun. Pergelimizi yeterli bir aralıkta açıp, sivri ucunu O noktasına koyarak O merkezli KL yayını çizelim. K P Pergelimizin açıklığını değiştirmeden, sivri ucunu sırasıyla K ve L noktalarına koyup, K ve L merkezli yayları çizelim. O O L u yayların kesim noktası olan P noktasını O köşesi ile birleştirdiğimizde [ OP, verilen açının açıortayı olur. çıortay doğrusu üzerindeki herhangi bir noktadan kollara çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. &, H & olup, = H ve = H dir. H ÖRNK 1 dik üçgeninde, [] açıortaydır. Verilenlere göre = kaç cm dir? 8

63 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 8 m( a ) = m( a ), [] [], = cm = 8 cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [ ] açıortay, [ ] [ ] = cm, = + cm olduğuna göre = kaç cm dir? ÖRNK H Yukarıdaki şekilde, [ // [, m( a ) = m( a ) m( a ) = m( a ), [] [, [H] [] H = cm ise = kaç cm dir? 87

64 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 0 N v üçgeninde, [N] iç açıortay, m( W ) = 0 m( X ) =, N = v cm olduğuna göre N = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] açıortay, [] [] = 1 cm, = 1 cm, = 17 cm olduğuna göre = kaç cm dir? ÖRNK 7 üçgeninde, [] iç açıortay, [] ve [] dış açıortay, [] [], = 1 cm ise Çevre( ) kaç cm dir? 88

65 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ir üçgenin iç teğet çemberini çizelim: ir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. u nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Üçgenin iç açıortaylarının kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir. İç teğet çemberin merkezinden üçgenin herhangi bir kenarına dik çizilir. Pergel iç teğet çemberin merkezine yerleştirilir ve kenara çizilen dik çizginin kenarı kestiği noktalar kadar açılarak iç teğet çember çizilir. ÖRNK 8 H üçgeninde, Ι iç teğet çemberin merkezidir. [IH] [], H = cm, = + cm ise H = kaç cm dir? ÖRNK 9 I üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi Ι dır. = cm, = 7 cm, = cm ise kaç cm dir? 89

66 Üçgenlerin Yardımcı lemanları K y L M z z y = + % m ( W ) m( ) = 90 + ÖRNK Şekildeki verilenlere göre kaç derecedir? ÖRNK 11 üçgeninde [] ve [] 80 açıortaylar % m( ) = 80 ise % m( ) = kaç derecedir? ÖRNK 1 0 üçgeninde, [ ] ve [ ] açıortaylar m( W % ) = 0, m( ) = ise kaç derecedir? 90

67 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 1 0 üçgeninde, [] ve [] açıortaylardır. % m( ) = 0 ise in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz. üçgeninde [ ] ve [ ] dış açıortaylar ise % m ( W ) m( ) = 90 dir. ÖRNK 1 üçgeninde [] ve [] dış açıortaylar % m( ) = 70 % ise m( ) = kaç derecedir? 70 ÖRNK 1 1 üçgeninde, [ ] ve [ ] dış açıortaylardır. % m( ) = 1 ise in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz. 91

68 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ir üçgende iki dış % m ( W ) m( ) = açıortay ile bir iç açıortay aynı noktada kesişir. ÖRNK 1 üçgeninde [ ] iç açıortay 80 [] dış açıortay % m( ) = 80 ise % m( ) = kaç derecedir? ÖRNK 17 1 üçgeninde, [] iç açıortay, [] dış açıortay m( a ) = 1 olduğuna göre m( a ) = kaç derecedir? ÖRNK 18 0 üçgeninde, [ ] ve [ ] dış açıortaylardır. % % m( ) = 0 ise m( ) = kaç derecedir? 9

69 Üçgenlerin Yardımcı lemanları İç çıortay Teoremi ir üçgende bir iç açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir. c n b c = y b n = cb. y. N y ÖRNK 19 N üçgeninde, [ N] iç açıortay, N = cm N = cm, Çevre() = 1 cm ise kaç cm dir? ÖRNK 0 üçgeninde, [] iç açıortay, = cm = cm, Çevre() = 1 cm olduğuna göre = kaç cm dir? ÖRNK 1 9 Şekilde [] ve [] iç açıortaylar, = cm = 9 cm, = cm ise = kaç cm dir? 9

70 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 8 üçgeninde, [ ] açıortay, = cm = 8 cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] [], [] iç açıortay = cm, = cm ise kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] [], [] [] m( a ) = m( a ), = cm, = cm ise = kaç cm dir? 9

71 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK üçgeninde, [] açıortay, = cm = cm, = cm ise kaç cm dir? ÖRNK 9 üçgeninde, [] [], = = = cm, = 9 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 7 üçgeninde, m( a ) =.m( a ), = cm = cm olduğuna göre = kaç cm dir? 9

72 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 8 1 üçgeninde, [] [], [] [] [] açıortay, = 1 cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 9 8 üçgeninde, [ ] ve [ ] iç açıortaylardır. = 8 cm, = 9 cm, = 10 cm ise nedir? ÖRNK 0 üçgeninde iç teğet çemberin merkezi dir. [] // [], [] // [], Çevre() = 1 cm olduğuna göre, kaç cm dir? 9

73 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ış çıortay Teoremi ir üçgeninde, açısının dış açıortayı, [ ] kenarının uzantısını noktasında kesiyor. c b y b + a = c a y =.( + a) b. c ÖRNK 1 üçgeninde, [ ] dış açıortay,,, doğrusal, = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] iç açıortay, [] dış açıortay = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK N 10 üçgeninde, [N] iç açıortay, [] dış açıortay N = cm, = 10 cm ise N = kaç cm dir? 97

74 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK üçgeninde, [] [], m( a ) = m( a ) = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] [], m( a ) = = cm, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 1 üçgeninde, [] dış açıortay, [] [] = 8 cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? 98

75 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 7 7 üçgeninde, m( a ) =, m( a ) = 7 =, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 üçgeninde, m( ) a = m( ) a = m( ) a = cm, = cm ise = kaç cm dir? Üçgenin ış Teğet Çemberleri ir üçgenin bir iç ve diğer iki köşeye ait dış açıortaylarının kesim noktası bu üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezi olup her üçgende tane dış teğet çember vardır. O ÖRNK 9 noktası, üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir. = cm, = cm ve = cm ise = kaç cm dir? 99

76 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 0 üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi noktası ve dış teğet çemberlerinden birinin merkezi noktasıdır. = cm, = cm ve = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 1 üçgeninde, =, = cm = cm, m( a ) =.m( a ) ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, =, = = cm = cm, = cm ise = = kaç cm dir? 00

77 LIŞTIRMLR - 1 şağıdaki soruların her birinde değerlerini bulunuz SN YYINLRI

78 Üçgenlerin Yardımcı lemanları şağıdaki soruların her birinde değerlerini bulunuz H SN YYINLRI n n

79 Üçgenlerin Yardımcı lemanları şağıdaki soruların her birinde değerlerini bulunuz N N. SN YYINLRI N N 17 0

80 ÜÇGN KNRORTY Üçgenlerde, kenarların orta noktalarını karşılarındaki köşelerle birleştiren doğru parçalarına kenarortay denir. Şekilde de görüldüğü gibi [] kenarına ait kenarortay, köşesi ile köşesinin karşısındaki [] kenarının orta noktasını birleştiren [ ] doğru parçasıdır. V a = V a ir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişirler. = V a u kesişme noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir. G = V b = V c Homojen bir maddeden yapılmış ve kalınlığı her yerde aynı olan düzgün levha şeklindeki üçgensel bir cismin ağırlık merkezi bu cismin denge noktasıdır. G Kenarortay Teoremi c V a b V a = b + c a c V b a V c b V b = a + c b V c = a + b c a ÖRNK 7 üçgeninde, = = cm, = cm = 7 cm ise = kaç cm dir? 0

81 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK üçgeninde, = cm, = cm = cm ise = = kaç cm dir? ÖRNK 8 üçgeninde, =, = 8 cm = cm ise = kaç farklı tam sayı değeri alabilir? ÖRNK üçgeninde, = cm, = cm = = = cm ise + kaç cm dir? 0

82 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir. a a a ÖRNK üçgeninde, [] [], m( W ) = 0 m( X ) = 0, = 8 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 0 α üçgeninde, [] [], [] [] = ve m( a ) = 0 ise m( a ) = α kaç derecedir? ÖRNK 9 8 üçgeninde, [] [], = m( ) a = m( ), a = cm, = 8 cm ise = kaç cm dir? 0

83 Üçgenlerin Yardımcı lemanları G ağırlık merkezi ise k t n k G n t G = 1. G G = 1. G G = 1. G ÖRNK 0 G üçgeninde G ağırlık merkezi, G = + cm G = cm ise kaç cm dir? ÖRNK 1 G üçgeninde, G ağırlık merkezi, + + = cm ise G + G + G kaç cm dir? ÖRNK 1 G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] = 1 cm ise G = kaç cm dir? 07

84 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK G K üçgeninde, G ağırlık merkezi, = G K = cm ise kaç cm dir? ÖRNK G üçgeninde, G ağırlık merkezi, G = cm = = cm, G = cm olduğuna göre G kaç cm dir? ÖRNK 1 H G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] % [GH] [], m(g ) = 1 ve GH = cm ise kaç cm dir? 08

85 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK üçgeninde, [] [], = =, =., = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 7 G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ ] [ ] = G, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 G a üçgeninde, G ağırlık merkezi, [G // [] G = cm ise = a kaç cm dir? 09

86 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK 9 G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] [] // [], = cm ise G kaç cm dir? ÖRNK 0 8 G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] // [] = cm, G = 8 cm ise + kaç cm dir? ÖRNK 1 G K üçgeninde, G ağırlık merkezi, üçgeninde K ağırlık merkezidir. [] [], [] // [] GK = cm ise G kaç cm dir? 10

87 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ ] // [G] [] // [G], Çevre(G) = cm ise üçgeninin çevresi kaç cm dir? ÖRNK v G üçgeninde, [ ] açıortay, G ağırlık merkezi = cm ve G = v cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde ağırlık merkezi G noktasıdır. = M G K [] // [] [K] // [ML] // [] M L ML = cm ise K + kaç cm dir? 11

88 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÖRNK G K 8 H G, H üçgeninin; K, H üçgeninin ağırlık merkezidir. [GH] [HK], GH = cm, HK = 8 cm ise kaç cm dir? c c G b b üçgeninde m( a ) = 90, G ağırlık merkezi ise V a = V b + V c a a bağıntısı vardır. ÖRNK G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [ ] [ ] = cm, = 8 cm ise kaç cm dir? ir üçgeninin kenarortay uzunlukları olan V a, V b, V c arasında aşağıdaki bağıntılar vardır. V b V c < V a < V b + V c V a V c < V b < V a + V c V a V b < V c < V a + V b ÖRNK 7 ir üçgeninin kenarortay uzunlukları V a, V b, V c olmak üzere, V a = cm ve V b = cm ise V c nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? 1

89 Üçgenlerin Yardımcı lemanları ÜÇGNİN KNR ORT İKMLRİ ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır. ir doğru parçasının orta dikme doğrusu ir üçgenin çevrel çemberi r r O O r r Pergelimizi nın yarısından fazla açarak r birim yarıçaplı, ve merkezli yayları çizelim. u yayların kesim noktaları olan ve noktalarını birleştirdiğimizde elde edilen doğrusu, [] nın orta dikmesidir. ir üçgenin köşelerinden geçen çembere, bu üçgenin çevrel çemberi denir. Üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği nokta çevrel çemberin merkezidir. üçgeninde kenar orta dikmelerin kesiştiği noktaya pergelin sivri ucu konur, diğer ucu üçgenin herhangi bir köşesine gelecek şekilde açılır ve çember çizilir. ÜÇGN YÜKSKLİK ir üç ge nde, bir köşeden karşı kenara veya bu kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına, üçgenin bu kenarına ait yüksekliği denir. Şekildeki üçgeninin [] kenarına h a ait [H] yüksekliği çizilmiştir. H = h a biçiminde gösterilir. H [] ve [] kenarlarına ait yüksekliklerin uzunlukları sırasıyla h b ve h c biçiminde gösterilir. Herhangi bir üçgenin yükseklikleri aynı noktada kesişirler. u noktaya üçgenin diklik merkezi denir. iklik merkezi; dar açılı üçgenlerde üçgenin iç bölgesinde, geniş açılı üçgenlerde ise üçgenin dış bölgesinde bulunur. K L K L H H dar açılı üçgeninde diklik merkezi noktasıdır. H = h a, K = h b, L = h c geniş açılı üçgeninde diklik merkezi noktasıdır. L = h a, K = h b, H = h c ik üçgenlerin diklik merkezi 90 lik açının bulunduğu köşedir. Şekildeki üçgeninin diklik merkezi köşesidir. 1

90 Üçgenlerin Yardımcı lemanları oğru üzerindeki bir noktadan bu doğruya dik bir doğru çizelim: ir doğruya dışındaki bir noktadan dikme çizelim: K L K L Verilen doğru l ve bu doğru üzerindeki nokta olmak üzere merkezli bir çember yayı çizelim. u yayın l doğrusunu kestiği noktalar K ve L olsun. K ve L merkezli, eş yarıçaplı iki çember yayı çizelim. u yayların kesim noktası olan noktası ile noktasını birleştirirsek l doğrusuna noktasında dik olan doğrusunu çizmiş oluruz. merkezli bir çember yayı çizelim. u yayın l doğrusunu kestiği noktalar K ve L olsun. K ve L merkezli eş yarıçaplı iki çember yayı çizelim. u yayların kesim noktası olan noktası ile noktasını birleştirirsek l doğrusuna noktasında dik olan doğrusunu çizmiş oluruz. ÖRNK 8 α 0 üçgeninin diklik merkezi noktasıdır. m( a ) = 0 ise m( a ) = α kaç derecedir? H N üçgeninde, [H] yükseklik, [N] açıortay ve [] kenarotay ise H < N < olur. u durumu, h a n V a şeklinde ifade edebiliriz. H ikizkenar üçgeninde, = ise [H] hem açıortay, hem kenarortay, hem de yüksekliktir. olayısıyla, bu üçgen için h a = n = V a dır. 1

91 LIŞTIRMLR - 1. [] []. üçgeninde = = 1 cm = 1 cm 1 1 G üçgeninde G ağırlık merkezi ise G = kaç cm dir? G ağırlık merkezi [] [] [] [] = 1 cm ise G = kaç cm dir? G. [] [] G ağırlık merkezi G = cm G. üçgeninde G ağırlık merkezi [G] [G] G = cm ise G üçgeninde verilenlere göre kaç cm dir? SN YYINLRI = kaç cm dir? 7. üçgeninde. üçgeninde G ağırlık merkezi G = cm G = cm ise + G = = cm = cm = cm ise = kaç cm dir? kaç cm dir? 8. üçgeninde. üçgeninde,, kenar orta noktalar ve KG = cm ise K G = = cm = cm = cm ise = kaç cm dir? kaç cm dir? 1

92 Üçgenlerin Yardımcı lemanları 9. üçgeninde 1. üçgeninde G ağırlık merkezi = = cm = cm G = cm ise G [H] [] = 8 cm = 10 cm H = cm ise 8 H 10 = kaç cm dir? = = kaç cm dir? 10. üçgeninde G ağırlık merkezi = G G = cm ise K kaç cm dir? G K 1. üçgeninde GK = 1 cm olmak üzere, üçgeninin G K 11. üçgeninde SN YYINLRI ağırlık merkezi G ve üçgeninin ağırlık merkezi K ise kaç cm dir? G ağırlık merkezi [] [] = G G = cm ise = kaç cm dir? 1. üçgeninde [] açıortay [ ] kenarortay 8 1. üçgeninde m( a ) = 90 ve V a + V b + V c = 1 cm ise kaç cm dir? = cm = 8 cm = = cm ise = kaç cm dir? 1

93 Yazılıya Hazırlık Soruları 1 1. d 1. H d 1 Yukarıdaki şekilde d 1 // d, [H], [] ve [] açıortaylar, H = cm ise d 1 ve d doğruları arasındaki uzaklık kaç cm dir? üçgeninde [ ] açıortay, [ ] [ ] = cm, = 1 cm ise = kaç cm dir?.. üçgeninde [ ] ve [ ] açıortaylar = ve = cm ise kaç cm dir? SN YYINLRI üçgeninde [] [], [] [] [] açıortay, = cm ve = cm ise = kaç cm dir?.. üçgeninde m( a ) = m( a ) = cm, = cm, = ise kaç cm dir? üçgeninde m( a ) = m( a ) m( ) a = m( ) a, = cm, = cm = v cm ise kaç cm dir? 17

94 Üçgenlerin Yardımcı lemanları H üçgeninde m( a ) = m( a ) = 0 = 9 cm, = cm ise = kaç cm dir? üçgeninde m( a ) = m( a H) [H] [], H = cm, = 10 cm ise = kaç cm dir? 8. SN YYINLRI 10. α üçgeninde [ ] dış açıortay m( a ) = m( a ) = 0, m( a ) = 0 ise m( a ) = α kaç derecedir? Yukarıdaki şekilde m( a ) = m( a ) m( a ) = 10, = cm, = 8 cm = 9 cm ise = kaç cm dir? 18

95 Yazılıya Hazırlık Soruları 1.. G üçgeninde G ağırlık merkezi, [G] [G] =, =, G = cm G = cm ise = kaç cm dir? G üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] [G] [G], = ve G = cm ise = kaç cm dir?.. T K G üçgeninin ağırlık merkezi G noktası, üçgeninin ağırlık merkezi T noktası ve T [] // [] ise G oranı kaçtır? SN YYINLRI 10 G 1 a üçgeninde G ağırlık merkezi, [G] [G] G = 10 cm, G = 1 cm ise = a kaç cm dir?.. G v üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] m( a G) = m( a ), G = v cm G = cm ise G kaç cm dir? 7 üçgeninde =, = cm = cm ve = 7 cm ise kaç cm dir? 19

96 Üçgenlerin Yardımcı lemanları K L üçgeninde =, = = L, K = KL ve K = cm ise kaç cm dir? H 8 üçgeninde [H] [], [] kenarortay = cm, = cm ve = 8 cm ise H = kaç cm dir? 8. SN YYINLRI 10. G üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] = 10 cm, = 1 cm ise kaç cm dir? üçgeninde [ ] kenarortay, [ ] açıortay [] [], = cm, = 8 cm ise = kaç cm dir? 0

97 TST - 1 Üçgende çıortay 1.. α 0 üçgeninde, m( ) a = m( ) a m( ) a = m( ), a m( ) a = 0 ise m( ) a = α kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 üçgeninde, [] açıortay, [] // [] = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) ) ) 1 ).. üçgeninde [] açıortay, = cm = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) SN YYINLRI Yukarıdaki şekilde, [ ] [ ] m( a ) = m( a ), = cm, = cm = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) c0 ) v ).. 1 üçgeninde [] açıortay, = = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) 9 ) 8 ) 7 ) ) üçgeninde [] ve [] iç açıortaylardır. = cm, = cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 1

98 Üçgenlerin Yardımcı lemanları üçgeninde,, doğrusal, m( a ) = m( a ), m( a ) = m( a ) = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) 8 ) 10 ) 1 üçgeninde [] açıortay, [] [] [] [], = cm ise = kaç cm dir? 7 ) ) ) ) ) dörtgeninde [ ] ile [ ] açıortaylar =, =, = 9 cm ise = kaç cm dir? ) 1 ) ) ) ) SN YYINLRI üçgeninde, [] // [], = cm = cm, = 10 cm, m( ) a = m( ) a ise kaç cm dir? ) v ) c1 ) ) v ) v üçgeninde, [] dış açıortay, [] iç açıortay, = 1 cm, = 10 cm = 8 cm ise = kaç cm dir? ) ) c1 ) v ) c10 ) 10 a üçgeninde, m( ) a =.m( ) a = cm, = 9 cm ise = a kaç cm dir? ) c10 ) v ) 1 ) 18 ) 1v

99 TST - Üçgende çıortay 1.. I H üçgeninde;,, doğrusal m( ) a = m( ), a = cm, = cm = cm ise = kaç cm dir? ) ) 8 ) 10 ) 1 ) 1 üçgeninde I iç teğet çemberin merkezidir. [IH] [], H = cm, H = cm ise kaç cm dir? ) 1 ) ) ) ). 9. üçgeninin dış teğet çemberlerinden birinin merkezi noktasıdır. [] [] = {} m( ) a = 9 ise m( ) a m( ) a kaç derecedir? SN YYINLRI üçgeninde [ ] iç açıortay, [ ] [ ] [] [], = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ), ) ), ) ) ) 10 ) 1 ) 0 ) üçgeninde, [] ve [], iç açıortaylardır. [] // [], = 10 cm, = 1 cm ise Çevre( ) kaç cm dir? ) 0 ) ) ) ) 8 üçgeninde, [] [], m( a ) = m( a ) = 1, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) v ) v ) 7

100 Üçgenlerin Yardımcı lemanları üçgeninde [ ] ve [ ] iç açıortaylardır. =, = cm, = 9 cm ise = kaç cm dir? H üçgeninde, [] [], [H] [] ve noktası iç teğet çemberinin merkezidir. + = 10 + H ise kaç cm dir? ) 0 ) 10 ) v ) 8 ) 10 ) ) 0 ) 1 ) v ) üçgeninde, [] açıortay, [] [] [] [], = 10 br, = br ise = kaç birimdir? 7 9 ) ) ) ) ) SN YYINLRI 1 üçgeninde, [] iç açıortay, [] [] =, = cm, = 1 cm ise kaç cm dir? ) v ) c10 ) 10 ) v ) α 1 üçgeninde, [] [], [] [] =, = cm ise kaç cm dir? ) 18 ) 1 ) 1 ) 9 ) üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi noktasıdır. =, = m( ) a = 1 ise m( ) a = α kaç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 8

101 TST - Üçgende Kenarortay 1.. G G 10 1 a üçgeninde G ağırlık merkezidir. G = cm ve G = cm ise G + G kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 11 ) 10 üçgeninde, G ağırlık merkezi, [G] [G] G = 10 cm, G = 1 cm ise = a kaç cm dir? ) 7 ) ) ) ) 0. G SN YYINLRI. G 8 üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] =, G = cm ise kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 0 ) ) 0 üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] G = cm, G = 8 cm ise = kaç cm dir? ) c ) v ) c10 ) v7 ) v. 1 G üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] G = cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 18. ir üçgeninde ; V a = 1 br, V b = 9 br V c = br ise kaç birimdir? ) c10 ) c1 ) c10 ) c1 ) c10 9

102 Üçgenlerin Yardımcı lemanları G G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [G] // [] = cm ise kaç cm dir? ) 18 ) ) 0 ) ) üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] [] [], = 1 cm ise G = kaç cm dir? ) c0 ) v ) ) c10 ) üçgeninde, m( a ) = m( a ) =, = cm, = 8 cm = cm ise = kaç cm dir? ) v ) ) ) v ) v SN YYINLRI G üçgeninde, G ağırlık merkezi m( G) a = m( G), a = 9 cm, = 1 cm = 1 cm ise G kaç cm dir? ) 10 ) ) 8 ) 9 ) G G üçgeninde, G ağırlık merkezi, [] [] = cm ise kaç cm dir? ) ) 9 ) 1 ) 1 ) 18 üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] = G = G, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) 9 0

103 TST - 8 Üçgende Kenarortay 1.. c G 1 üçgeninde, [] [] = {G} v = = cm, = = cm G = 1 cm ise = c kaç cm dir? ) c0 ) v ) c ) ) c8 üçgeninde, [] [], = v cm = = cm, ise = = kaç cm dir? ) c1 ) ) v ) v ).. G üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] = G + 8 cm ise G kaç cm dir? ) ) ) ) ) SN YYINLRI K G üçgeninde G ağırlık merkezi ve,, kenar orta noktalarıdır. = 1 cm ise KG kaç cm dir? ) 1 ) ) ) ).. G H 7 üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] [GH] [], H = cm, H = 7 cm ise GH = kaç cm dir? ) 1 ) v ) v ) ) v üçgeninde G ağırlık merkezi G [] [], = cm, = = cm ise G kaç cm dir? ) ) ) ) 10 )

104 Üçgenlerin Yardımcı lemanları G G a üçgeninde, G ağırlık merkezi, G = 8 cm G = G = cm ise = a kaç cm dir? ) c ) v ) c10 ) c1 ) c üçgeninde, [] [] = {G}, G ağırlık merkezi, G = cm, G = = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) v ) ) v G üçgeninde G ağırlık merkezi, [ G] açıortay, =, G = cm, = 1 cm ise G = kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 ) SN YYINLRI G K üçgeninde [ ] ve [ ] kenarortaylardır., K, doğrusal, = G ve GK = cm ise kaç cm dir? ) 1 ) 18 ) 0 ) ) G üçgeninde G ağırlık merkezi, [] [] [] [G], G = cm ise G = kaç cm dir? ) 8 ) v ) v ) 9 ) v 0 0 üçgeninde, [] [], m( a ) = 0 m( a ) = 0 ve = cm ise = kaç cm dir? ) v ) 9 ) v ) 1 ) v

105 ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT İK ÜÇGN ve TRİGONOMTRİ 1. Kazanım : ik üçgende Pisagor teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.. Kazanım : ik üçgende dar açıların trigonometrik oranlarını tanımlar ve uygulamalar yapar.. Kazanım : irim çemberi tanımlar ve trigonometrik oranları birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarıyla ilişkilendirir.. Kazanım : Üçgende kosinüs teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.

106 İK ÜÇGN ir açısının ölçüsü 90 olan üçgenlere dik üçgen denir. ik üçgende dik açının karşısındaki kenar uzunluğuna hipotenüs, diğer kenarlara ise dik kenar denir. dik kenar hipotenüs dik kenar Pisagor Teoremi "ir üçgeninde m( a ) = 90 olması için gerek ve yeter şart a = b + c olmasıdır." u ifadeden de anlaşılacağı gibi Pisagor teoremi çift yönlüdür. Yani m( a ) = 90 a = b + c b a a = b + c m( a ) = 90 dir. c Pisagor teoreminin doğruluğu, şekildeki karelerin alanlarından bulunabilir. ÖRNK 1 10 H 1 üçgeninde, [H] [], = 10 cm, H = cm, H = 1 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde [] [], = = cm, = cm ise = kaç cm dir? 8

107 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK H üçgeninde, [H] [], H = cm = = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 1 7 Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] = cm, = 1 cm, = 7 cm ise = kaç cm dir? k R + olmak üzere, kenar uzunlukları; k, k, k k, 1k, 1k 8k, 1k, 17k 7k, k, k olan üçgenler birer dik üçgendir. u üçgenlere verilen aşağıdaki örnekleri inceleyiniz

108 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK Şekilde görüldüğü gibi yere dik olan bir ağaç yerden 1 m yüksekliğinden ve ağacın ucu, ağacın m uzağına düşecek şekilde kırılmıştır. una göre, kırılmadan önce ağacın boyu kaç metredir? 1 m m ğacın kırılan parçası oluşan dik üçgenin hipotenüsü olup 1 metredir. ( üçgeni) O halde, kırılmadan önce ağacın boyu = metredir. ÖRNK 1 Yukarıda verilenlere göre, + + toplamı kaç cm dir? 7 ÖRNK 7 1 Yukarıdaki şekilde [] [], [] [] = cm, = cm, = 1 cm ise kaç cm dir? 0

109 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK üçgeninde, [] [], = cm = 9 cm, = 17 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 9 8 üçgeninde, [] [], =, = cm, = 8 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 10 1 Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] =, = 1 cm, = cm olduğuna göre, = kaç cm dir? 1

110 ik Üçgen ve Trigonometri ve 90 Üçgenleri 0 v v 0 ÖRNK 11 0 % % üçgeninde m( ) = 0, m( ) = = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 1 0 v % % üçgeninde m( ) = 0, m( ) = = v cm ise = kaç cm dir?

111 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 1 1 v % üçgeninde [] [], m ( ) = 1 % m ( ) =, = v cm ise = kaç cm dir? ÖRNK % üçgeninde, [] [], m( ) = m ( % % ) = 1, m ( ) = 1, = cm olduğuna göre, = kaç cm dir? ÖRNK 1 üçgeninde, [] [], [] [] = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir?

112 ik Üçgen ve Trigonometri Üçgeni h =. H 1 H 7 h ÖRNK 1 1 H Yukarıdaki şekilde, [] [], [] [] % [H] [], m( ) = 1, H = cm ve = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK üçgeninde, [] [], [] [] % [] // [], m ( ) = 1, = 8 cm ve = cm ise kaç cm dir?

113 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK % üçgeninde, [] [], m ( ) = 1 = 1 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 19, üçgeninde, [] [], m( a ) =, = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 0 üçgeninde, [] [], = = cm, = cm ise = kaç cm dir?

114 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 1 α üçgeninde, [] [], = % = ise m ( ) = α kaç derecedir? ÖRNK 10 üçgeninde, [] [], = = cm, = 10 cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 1 üçgeninde, [] [], m( a ) = m( a ) m( ) a = 1, = cm, = cm ise kaç cm dir?

115 ik Üçgen ve Trigonometri Öklid ağıntıları h = p.k c h b b = k.a c = p.a p H k a.h = b.c a ÖRNK c h b H 9 üçgeninde, [] [], [H] [] H = cm, H = 9 cm ise H = h, = c ve = b değerlerini bulunuz. ÖRNK H c üçgeninde, [] [], [H] [] H = cm, H = cm ise = c kaç cm dir? ÖRNK Yukarıdaki şekilde [] [], [] [] [] [], = cm, = cm ise = kaç cm dir? 7

116 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 7 H üçgeninde m ( % ) = m ( % H) m( H % ) = m( % ), [] [H], H = cm H = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 8 1 H üçgeninde, [] [], [] [] [H] [], =, = 1 cm olduğuna göre = kaç cm dir? ÖRNK 9 8 ve dik üçgenlerinde, [] [] [] [], = cm, = cm = 8 cm ise kaç cm dir? 8

117 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 0 h H üçgeninde, [] [], [H] [] = cm, = cm ise H = h kaç cm dir? ÖRNK 1 8 H üçgeninde, [H] [], m( a ) = m( a H) = cm, = 8 cm ise H = kaç cm dir? üçgeninde [H] [] c H y b = c, = b =, = y ise c + y = b + olur. ÖRNK H üçgeninde, [H] [], = cm = cm, = cm ise = kaç cm dir? 9

118 ik Üçgen ve Trigonometri İK ÜÇGN R ÇILRIN TRİGONOMTRİK ORNLRI m( a KOL) = α açısına göre, K OLK dik üçgeninde [OK ] : hipotenüs [OL] : komşu dik kenar [KL] : karşı dik kenar O α L cosα = OL komflu dik kenar uzunlu u =, α OK hipotenüs uzunlu u α α ÖRNK 0 < α < r olmak üzere, sinα = ise cosα, tanα ve cotα değerlerini bulunuz. ÖRNK α Yukarıdaki şekil beş eş kareden oluşmuştur. una göre, tanα kaçtır? 0

119 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK α üçgeninde m( a ) = α, = = cm = cm, = cm ise cotα kaçtır? ÖRNK H 8 üçgeninde, [] [], [H] [] H = cm ve H = 8 cm ise açısının trigonometrik oranlarını bulunuz. ÖRNK 7 H α üçgeninde, [H] [], m( a H) = α = cm ve = = cm ise cosα kaçtır? 1

120 ik Üçgen ve Trigonometri Ölçüleri 0 ve 0 Olan çıların Trigonometrik Oranları ir kenar uzunluğu cm olan eşkenar üçgeninde [H] [] çizildiğinde; H = H = 1 cm, H = v cm m( H) a = m( H) a = 0 olur. H dik üçgeninde, 0 0 v H 1 H sin0 = 1 =, cos0 = H sin0 = H H =, cos0 = ulunan değerler karşılaştırıldığında, H =, tan0 = H 1 H =, tan0 = H 1 H = =, cot0 = = H H =, cot0 = H 1 = = dir. sin0 = cos0 = 1, sin0 = cos0 =, tan0 = cot0 =, tan0 = cot0 = eşitlikleri oluşur. u durumu aşağıdaki gibi kurallaştırabiliriz. irbirini 90 ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir. α + β = 90 ise sinα = cosβ, tanα = cotβ dır. Ölçüsü Olan çının Trigonometrik Oranları ik kenar uzunlukları 1 br olan ikizkenar dik üçgeninde, = = 1 br, = v br olur. sin = 1 = =, cos = 1 = = v 1 1 tan = = 1, cot = tan = 1 1 ÖRNK 8 şağıda birbirini 90 ye tamamlayan açılarla ilgili örnekler verilmiştir. İnceleyiniz. sin1 = cos7 sin0 = cos70 sin = cos tan1 = cot89 tan1 = cot7 tan7 = cot ÖRNK 9 α < 90 ve β < 90 olmak üzere sinα + tan = cosβ + cot eşitliğini sağlayan α + β kaç derecedir?

121 ik Üçgen ve Trigonometri İRİM ÇMR Merkezi başlangıç noktası ve yarıçapının uzunluğu 1 birim olan y çembere birim çember denir. (0, 1) K(, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere; OTK dik üçgeninde, OT + KT = OK + y = 1 olur. ( 1, 0) O 1 K(, y) T (1, 0) + y = 1 bağıntısı birim çemberin denklemidir. (0, 1) ÖRNK 0 irim çember üzerinde apsisi ordinatına eşit olan noktaları bulunuz. ÖRNK 1 irim çember üzerinde, uzunlukları; 0, r, r, r ve π olan yönlü yayların bitim noktalarının koordinatlarını bulunuz.

122 ik Üçgen ve Trigonometri Kosinüs ve Sinüs onksiyonları K(, y) noktası birim çember üzerindedir. m( a KOL) = α olmak üzere; y K(, y) noktasının apsisine, α gerçek sayısının kosinüsü denir ve cosα biçiminde gösterilir. α gerçek sayısını, cosα ya dönüştüren fonksiyon kosinüs fonksiyonudur. K(, y) noktasının ordinatına, α gerçek sayısının sinüsü denir ve sinα biçiminde gösterilir. α gerçek sayısını, sinα ya dönüştüren fonksiyon sinüs fonksiyonudur. ( 1, 0) (0, 1) K(, y) sinα 1 α (1, 0) O cosα L (0, 1) 1 cosα 1 ve 1 sinα 1 dir. ÖRNK sin r ve cos r ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNK sin180 ve cos180 ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNK, O y α irim çemberde verilenlere göre, cosα ve sinα değerlerini bulunuz.

123 ik Üçgen ve Trigonometri Tanjant ve Kotanjant onksiyonları = 1 ve y = 1 doğruları birim çembere ve noktalarında teğettir. m( a OK ) = α olmak üzere, [OK nın, = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatı, α reel sayısının tanjantıdır ve tanα olarak gösterilir. = 1 doğrusu tanjant eksenidir. y ekseni ile tanjant ekseni paralel olduğundan, π O y cotα = 1 π T K R tanα α 0 π y = 1 r r α = veya α = r r O halde; tan ve tan için [OK ile = 1 doğrusu kesişmez. tanımsızdır. π [OK nın, y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisi, α reel sayısının kotanjantıdır ve cotα olarak gösterilir. y = 1 doğrusu kotanjant eksenidir. ekseni ile kotanjant ekseni paralel olduğundan, α = 0, α = π veya α = π için [OK ile y = 1 doğrusu kesişmez. olayısıyla cot0, cotπ ve cotπ tanımsızdır. sin a cos a tan α =, cot α = cos a sin a tan0, cot70, tan10 ve cot10 değerlerini birim çember çizerek gösteriniz. ÖRNK tan0, cot90 ve tan180 ifadelerinin değerlerini bulunuz. ÖRNK

124 ik Üçgen ve Trigonometri TRİGONOMTRİK ONKSİYONLRIN İRİM ÇMRİN ÖLGLRİNKİ İŞRTLRİ ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduğundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan bir açının kosinüsü ile sinüsünün işareti o bölgedeki bir noktanın apsis ve ordinatının işareti ile aynıdır. Tanjant ve kotanjantın işaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün işaretlerinin oranından bulunur. u durumda, α (0, 90 ) ise trigonometrik oranların tümü pozitiftir. π π π π α (90, 180 ) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. α (180, 70 ) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatiftir. α (70, 0 ) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. r 1 b0, l olmak üzere, sin = ise cos, tan ve cot değerlerini bulunuz. ÖRNK 7 sin = 1 koşuluna uygun dik üçgen yanda çizilmiştir. Pisagor bağıntısından, = v birimdir. r b0, l olduğundan bu bölgede (I. bölge) cos > 0, tan > 0 ve cot > 0 dır. ÖRNK 8 r b, rl olmak üzere, tan = ise sin, cos ve cot değerlerini bulunuz. tan = koşuluna uygun dik üçgen yanda çizilmiştir. 1 Pisagor bağıntısından, = c10 birimdir. b, r l olduğundan bu bölgede (II. bölge) sin > 0, cos < 0 ve cot < 0 dır.

125 ik Üçgen ve Trigonometri II. ölgedeki çıların Trigonometrik Oranları sin y tan M M K K T 180 α α α O cot cos T irim çember üzerindeki K noktasının y eksenine göre simetriği K olmak üzere, ölçüleri α ve π α olan açıların trigonometrik oranları için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. sinα = K ve sin(180 α) = K cosα = O ve cos(180 α) = O tanα = T ve tan(180 α) = T cotα = M ve cot(180 α) = M yrıca, K = K, O = O, T = T, M = M olduğundan sin(180 α) = sinα cos(180 α) = cosα tan(180 α) = tanα cot(180 α) = cotα bulunur. irbirini 180 ye tamamlayan açıların ölçülerinin sinüsleri eşit; kosinüs, tanjant ve kotanjantları ters işaretlidir. ÖRNK 9 şağıda (90, 180 ) aralığındaki bazı açıların trigonometrik oranları hesaplanmıştır. İnceleyiniz. sin10 = sin(180 0 ) = sin0 = cos10 = cos(180 0 ) = cos0 = 1 tan10 = tan(180 0 ) = tan0 = v sin1 = sin(180 ) = sin = cos1 = cos(180 ) = cos = tan1 = tan(180 ) = tan = 1 cot10 = cot(180 0 ) = cot0 = cot1 = cot(180 ) = cot = 1 sin10 = sin(180 0 ) = sin0 = 1 cos10 = cos(180 0 ) = cos0 = tan10 = tan(180 0 ) = tan0 = cot10 = cot(180 0 ) = cot0 = v 7

126 ik Üçgen ve Trigonometri KOSİNÜS TORMİ ir üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait açılar,, olmak üzere a = b + c bc.cos b = a + c ac.cos c b c = a + b ab.cos dir. a İspat üçgeninde [H] [] dir. H = alırsak, H = a olur. H dik üçgeninde, = H + H c = + h h = c... (I) olur. H dik üçgeninde c b h H a = H + H b = h + ( a ) h = b ( a )... (II) olur. I ve II eşitliklerinden c = b ( a ) c = b a + a b = a + c a... (III) olur. H dik üçgeninde cos = c = c.cos olacağından bu değeri III eşitliğinde yerine yazarsak b = a + c.a.c.cos elde edilir. lde ettiğimiz bu bağıntı kosinüs teoremidir. enzer işlemlerle a = b + c bc.cos c = a + b ab.cos eşitlikleri de elde edilir. Kosinüs teoremi yardımıyla İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açısı verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluğunu Üç kenar uzunluğu bilinen üçgenin açılarının ölçülerini bulabiliriz. ÖRNK 0 üçgeninde [] [], = cm = cm, = ise = kaç cm dir? 8

127 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 1 ir üçgeninde, a = cm, b = cm ve m( X ) = 0 ise c kenarının uzunluğu kaç cm dir? Verilenleri, c = a + b ab.cos bağıntısında yerine yazarsak c = +...cos0 c = c = 7 c = v7 cm olur. ÖRNK c1 ir üçgeninde, a = c1 cm, b = cm ve c = cm ise m( W ) kaç derecedir? ÖRNK 10 ir gölün en uzak iki noktası ve dir. uzunluğunu bulmak için m( ) a = 10 olacak şekilde uzak bir tepe üzerinde bir noktası alınarak, ile arasının 0 m, ile arasının 0 metre olduğu tespit ediliyor. uzunluğu kaç metredir? 9

128 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 8 Şekilde, [] [] = {} dir. Verilenlere göre, = kaç cm dir? ÖRNK ir üçgeninde, a = b + c + bc bağıntısı varsa m( a ) kaç derecedir? ÖRNK a üçgeninde, = br, = br ve 1 cos( + ) = olduğuna göre, = a kaç birimdir? 0

129 ik Üçgen ve Trigonometri ÖRNK 7 Şekilde, kirişler dörtgenidir. = cm, = = cm, = cm ise cos kaçtır? ÖRNK 8 üçgeninde = cm, = cm, = 19 cm ve = ise m( a ) kaç derecedir? c19 1

130 LIŞTIRMLR şağıdaki dik üçgenlerde verilenlere göre, değerlerini bulunuz v SN YYINLRI 8. 7 v v 10 H. 10. H 0

131 ik Üçgen ve Trigonometri şağıdaki dik üçgenlerde verilenlere göre, değer-. lerini bulunuz H H 10 H 0. H SN YYINLRI 8. + H H H 7. H 10.

132 ik Üçgen ve Trigonometri şağıdaki soruların her birinde verilenlere göre istenilenleri bulunuz kare 10 a =? α cosα =? a. =? 7. =? =? SN YYINLRI r 8. α b0, l ve tanα = olduğuna göre sırasıyla sinα, cosα ve cotα değerlerini bulunuz. 9.. α 7 α =? α eşkenar üçgeninde m( a ) = α =. ise tanα kaçtır?. c19 α α =? 10. ir üçgeninde, b = a + c vac ise m( W ) kaç derecedir?

133 Yazılıya Hazırlık Soruları üçgeninde [] [], = = 7 cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? üçgeninde, [] [], [] [] [] [], = cm, = cm ise = kaç cm dir?.. 0 % % üçgeninde, m( ) =, m() = 0 = cm ise = kaç cm dir? SN YYINLRI 8 üçgeninde, [] [], [] [] = cm, = 8 cm ise = = kaç cm dir?.. H üçgeninde H = H + 1 cm [H] [] ve = 1 cm kaç cm dir? ise Yukarıdaki şekilde [] [], = = cm, = cm, = cm ise = kaç cm dir?

134 ik Üçgen ve Trigonometri α 100 Yukarıdaki şekilde, [] [], = % % =, m( ) = 100 ise m( ) = α kaç derecedir? 7 üçgeninde, = cm, = cm = 7 cm ise m( a ) = kaç derecedir? 8. SN YYINLRI 10. α v üçgeninde = = cm [] [], = v cm ise = kaç cm dir? 0 1 % üçgeninde =, m( ) = 0 % % m( ) = 1 ise m() = α kaç derecedir?

135 TST - 1 ik Üçgen v v 0 üçgeninde m( W ) =, m ( W ) = 10 ve = v cm ise = kaç cm dir? ) ) ) 8 ) 10 ) 1 % üçgeninde, [] [], m( ) = 0 =, = v cm olduğuna göre, = kaç cm dir? ) 1 ) v ) ) ) v. 10 v. 0 % üçgeninde, m( ) = 10 % m( ) = 0, = v cm ise = kaç cm dir? ) v ) ) v ) v ) v SN YYINLRI üçgeninde, [] [], = 1 cm = 9 cm, = 0 cm olduğuna göre Çevre( ) kaç cm dir? ) ) ) ) 8 ) 0.. m 0 m Uzunluğu metre olan bir merdiven duvardan 0 metre uzaklıktaki bir noktadan duvara dayanıyor. Merdivenin ayakları ok yönünde 1 metre duvara yaklaştırılırsa, merdivenin duvara dayalı ucu kaç metre yukarı çıkar? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 H N 1 üçgeninde, [] [], [H] [] % m ( ) = 1, N = N, = v cm ise HN = kaç cm dir? ) v ) ) v ) ) v 7

136 ik Üçgen ve Trigonometri dik üçgeninde, = br, = br = br ise kaç br dir? ) 11 8 ) 8 9 ) 8 7 ) 8 ) 8 üçgeninde [] [], [] [] = =, = cm ise = kaç cm dir? ) v ) ) v ) v ) v H üçgeninde, [] [], [] [] [H] [], = cm, H = 9 cm H = cm ise = kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 10 ) 1 ) 1 SN YYINLRI 7 0 üçgeninde [] [], m ( X ) = 0 = 8 cm, = 7 cm ise = kaç cm dir? ) 1 ) v ) ) ) v v üçgeninde, [] [], [] [] =, = v cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) 8 ) v ) v üçgeninde [] [], = = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) v ) v ) 8

137 TST - ik Üçgen 1.. üçgeninde, [] [], = cm = = cm ise = kaç cm dir? Şekilde = =, ) 8 ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 % % % % m( ) = m( ), m ( ) = m( ) ise kaçtır? ) 1 ) 1 ) ) 1 ).. dörtgeninde, [] [], [] [] = cm, = cm, = cm ise SN YYINLRI 10m 8m I. durum II. durum h = kaç cm dir? ) c1 ) v ) v ) c1 ) c Yukarıda verilenlere göre, sarkaç I. durumdan II. duruma geldiğinden yerden yüksekliği olan h kaç metre olur? ) ) ) ) ) % üçgeninde, =, m ( ) = 0 = 1 cm, = 8 cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) v ) ) üçgeninde, = = cm [] [], = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) c10 ) c11 ) v ) c1 ) c1 9

138 ik Üçgen ve Trigonometri 7. üç ge nin de, [] [], = = = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) üçgeninde, [] [], [] [] [] [], =, = cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) v ) v ) üçgeninde, [] [], = = cm, = cm ise = kaç cm dir? ) c1 ) 1 ) v ) 1 ) SN YYINLRI % % üçgeninde, m( H ) = m( H ) [H] [], [] [], H = 7 cm = cm ise H kaç cm dir? ) ) 0 ) 18 ) 1 ) 1 H H 1 üçgeninde, [] [], [H] ] = cm, H = 9 cm ise H = kaç cm dir? ) v ) v ) ) ) üçgeninde, [] [], = = 17 cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) ) 8 ) 9 ) 10 ) 1 70

139 TST - ik Üçgen % % üçgeninde, m( ) =.m() [] [], =,,, doğrusal = 1 cm ise kaç cm dir? ) 1 ) 18 ) ) 0 ) % üçgeninde, [] [], m( ) = 1 = cm ise = kaç cm dir? ) + v ) 8 + v ) + v ) 1 ) 8 + v.. 8 üçgeninde, [] [], [] [] =, = 8 cm, = cm ise = kaç cm dir? ) v ) ) v ) ) v SN YYINLRI H üçgeninde, [] [], [H] [] [H] [], = cm, = 8 cm ise kaç cm dir? ),8 ),1 ) ), ) 7, üçgeninde [] [], [] [] [] [], = cm, = 1 cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 8 ) ) ) dik üçgeninde, [] [], [] [] =, = 8 cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) v ) v ) ) v ) 77

140 ik Üçgen ve Trigonometri v v K % üçgeninde, [] [], m( ) = = v cm, = cm ise = kaç cm dir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 eşkenar üçgeninde, [] [] K = v cm, = cm ise = kaç cm dir? 7 9 ) ) ) ) ) üçgeninde, = = v cm [] [], = v cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) v ) v ) SN YYINLRI 8 H üçgeninde, [] [], [] [] [H] [], = 8 cm, H = 8 cm H = cm ise = kaç cm dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) v 1 % % üçgeninde m( ) =.m() = = 1 cm, = 9 cm ise = kaç cm dir? ) ) ) ) ) üçgeninde, [ ] açıortay, [ ] [ ] % m( ) =, = v cm ise = kaç cm dir? ) v + 1 ) v + ) v + 1 ) v + ) v + 78

141 TST - 7 Trigonometri 1.. α H paralelkenarında, [H] [] m( a ) = α, m( a ) = θ ve sinα = ise cosθ kaçtır? ) ) ) θ ) ) α H üçgeninde, [H] [], m( a ) = α m( a ) = θ, H = cm ve H = H = cm ise tanα + cosθ toplamı kaçtır? ) ) ) ) θ ).. sin 90 cos 180 ifadesinin eşiti kaçtır? 1 1 ) 1 ) ) 0 ) ) 1 SN YYINLRI y Özdeş 1 kareden oluşan yukarıdaki şekilde sin verilenlere göre, oranı kaçtır? cos y ) v ) ). tan + cot 90 sin 10 ) ) ifadesinin eşiti kaçtır? 7. ) ) 1 ) 0 ) 1 ) α θ üçgeninde, [] [], m( a ) = α. 7 = 90 olmak üzere, sin. cos cos. cos 9 ifadesinin eşiti kaçtır? ) ) 1 ) 0 ) 1 ) m( ) a = θ ise cosα + sinθ toplamı aşağıdakilerden hangisidir? 1 ) ) ) ) 0 ) 1 79

142 ik Üçgen ve Trigonometri H α α θ üçgeninde, [] [], [H] [] m( a ) = α, = cm ve H = 1 cm üçgeninde, [] [], = m( a ) = α, m( a ) = θ ve cosα = 1 ise ise tanα kaçtır? cosθ kaçtır? ) 1 1 ) ) 1 7 ) ) ) ) ) ) 1 ) sin100, cos10, tan170 değerlerinin işaretleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? sin100 cos10 tan170 ) ) + + ) + + ) + ) SN YYINLRI α 10 θ üçgeninde, [] [], m( ) a = α m( ) a = θ, = 10 cm, cosα = ve sinθ = ise = kaç cm dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) y (, ) O α üçgeninde, = ve cos = tan kaçtır? ) 1 ) ) ) ) ise Koordinat düzleminde, [O] [] m( O) a = α ve (, ) ise tanα kaçtır? ) ) ) ) ) 8 80

143 TST - 8 Kosinüs Teoremi 1. ir üçgeninin kenar uzunlukları arasında a = b + c + bc bağıntısı bulunduğuna göre, m( a ) kaç derecedir?. 8 1 ) 0 ) 0 ) 10 ) 1 ) 10 1 üçgeninde, = 8 cm, = 1 cm. Kenar uzunlukları cm, cm ve cm olan bir üçgende ölçüsü en küçük olan açının kosinüsü kaçtır? ve = 1 cm ise m( a ) kaç derecedir? ) 1 ) 0 ) ) 0 ) 7 1 ) 1 1 ) 1 ) 11 ) 1 ).. 10 üçgeninde, [] [], = cm = cm, = cm ve = 10 cm ise SN YYINLRI üçgeninde, = cm, = cm ve = = = cm ise = kaç cm dir? ) ) c7 ) c10 ) c ) v = kaç cm dir? ) 10 ) 11 ) 1 ) 1 ) üçgeninde, = = cm = cm ve = cm ise = kaç cm dir? ) ) v ) v ) v7 ) v üçgeninde, = cm, = cm m( W ) = 10 olduğuna göre, = kaç cm dir? ) c1 ) ) v ) c19 ) v 81

144 ik Üçgen ve Trigonometri üçgeninde, [] [], [] [] = 1 cm, = cm, = = cm ise kaç cm dir? ) v ) v ) ) v ) v Şekilde [] [] = {} dir. Verilenlere göre = kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 11 ) 10 ) üçgeninde, = cm, = cm = cm ise cos kaçtır? ) ) ) ) ) SN YYINLRI α 1 Şekildeki çemberde, = 1 cm, = cm = = cm, m( ) a = α ise cosα kaçtır? ) ) ) ) ) c1 üçgeninde verilenlere göre = kaç üçgeninde, = c1 cm, = cm cm dir? m( W ) = 0 ise = kaç cm dir? ) c1 ) c10 ) ) ) v ) ) v ) ) v7 ) 8

145 ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNİN LNI 1. Kazanım : Üçgenin alanını veren bağıntıları oluşturur ve uygulamalar yapar.. Kazanım : Üçgende sinüs teoremini ispatlar ve uygulamalar yapar.

146 ÜÇGNİN LNI h h h c c 1. şekilde; yükseklik uzunluğu h, taban uzunluğu c olan bir üçgeni verilmiştir.. şekilde; ve eş olacak şekilde paralelkenarı oluşturulmuştur. olayısıyla ( ) =.( ) dir.. şekilde; paralelkenarsal bölgenin sol köşesine inen dikmenin ayırdığı üçgensel bölge (taralı kısım) kesilmiştir.. şekilde; kesilen kısım paralelkenarsal bölgenin sağ kenarı ile birleştirilerek dikdörtgeni elde edilmiştir. olayısıyla () = () dir. Oluşan dikdörtgenin alanı c.h olacağından () = () () = () c.h =.() () = 1 c.h bulunur. ir üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve bu kenarlara ait yükseklikler, sırası ile h a, h b ve h c olmak üzere, () = ah. a bh. b ch. c = = dir. ÖRNK 1 H üçgeninde [H] [], H = cm = cm ise () kaç cm dir? ÖRNK H üçgeninde, [H] [], [] [] H = cm, = cm, = cm ise kaç cm dir? 8

147 Üçgenin lanı ÖRNK H 10 H üçgeninde [H] [H], H = cm = 10 cm ise () kaç cm dir? ÖRNK v v üçgeninde = = v br, = br ise () kaç br dir? ÖRNK 8 üçgeninde, [] [], [] açıortay = 8 cm, = cm ise () kaç cm dir? 8

148 Üçgenin lanı ÖRNK 0 üçgeninde, m( a ) = 0, = cm = cm ise () kaç cm dir? ÖRNK 7 üçgeninde [] [], [] açıortay + = 10 br, () = 0 br ise = kaç br dir? ÖRNK 8 9 dörtgeninde, [] [], [] // [] = 9 cm, = cm ise () kaç cm dir? 8

149 Üçgenin lanı ik Üçgenin lanı ir dik üçgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir. c () = ac. a ÖRNK 9 üçgeninde, [] [], = cm = cm ise () kaç cm dir? ir ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu v br ise bu üçgenin alanı kaç br dir? ÖRNK 10 Çevre uzunluğu 1 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu cm ise bu dik üçgenin alanı kaç cm dir? ÖRNK 11 87

150 Üçgenin lanı ÖRNK üçgeninde, [] [], = ( + ) cm = ( + ) cm = 1 cm ise () kaç cm dir? şkenar Üçgenin lanı ir kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgeninde h = a a ve () = tür. ir kenar uzunluğu a = cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm dir? ÖRNK 1 Herhangi bir yüksekliğinin uzunluğu, h = v cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm dir? ÖRNK 1 ÖRNK 1 v K v H eşkenar üçgeninde, [K] [], [K] [] [KH] [], K = v br, K = v br () = v br ise KH = kaç br dir? 88

151 Üçgenin lanı ÖRNK 1 ve eşkenar üçgenlerdir. ( ) [] [] ise kaçtır? ( ) İĞR LN ORMÜLLRİ c b u = a + b + c olmak üzere, () = u( u a)( u b)( u c) dir. a ÖRNK 17 7 üçgeninde, = br, = br = 7 br ise () kaç br dir? ÖRNK 18 7 dörtgeninde, [] [], = cm = cm, = cm, = 7 cm ise () kaç cm dir? 89

152 Üçgenin lanı () = 1 a.b.sin X c b = 1 a.c.sin W a = 1 b.c.sin W ÖRNK 19 0 üçgeninde, m( a ) = 0, = cm = cm ise () kaç cm dir? ÖRNK 0 1 üçgeninde = cm, = cm ( ) = 1 cm, = cm ise kaçtır? ( ) ÖRNK 1 8 ve üçgenlerinde, = br = 8 br, = br, () = () ise = kaç birimdir? 90

153 Üçgenin lanı ÖRNK 9 8 dörtgeninde, [] [], [] [] = 9 cm, = 8 cm, = cm ise () kaç cm dir? r O üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı r ve u = a + b + c olmak üzere ( ) = u.r dir. ÖRNK Çevresi 1 cm olan üçgeninin, içteğet çemberinin yarıçapı cm ise () kaç cm dir? ÖRNK 7 üçgeninde, [] ve [] açıortaylar = cm, = 7 cm, = cm ise ( ) kaçtır? ( ) 91

154 Üçgenin lanı c a R b üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R olmak üzere, abc.. () = dir. R ÖRNK 8 üçgeninde, = = cm, = 8 cm olduğuna göre, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir? üçgeninde [H] [] ise. () = dir. H ÖRNK H üçgeninde, [H] [], = cm = 8 cm ise () kaç cm dir? 9

155 Üçgenin lanı ÜÇGN LN ĞINTILRI Yükseklikleri eş olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir. şağıdaki şekillerde yükseklikleri eş olan üçgenlerin tabanları oranından yararlanarak alanları oranı bulunmuştur. İnceleyiniz. S S S 10S S S y y S S S S 8S S a S S a y y y y 7a a 7y y ÖRNK 7 üçgeninde, =, = () = 10 br ise () kaç br dir? ÖRNK 8 y y üçgeninde, = y, = y, = =, () = br ise () kaç br dir? ÖRNK 9 üçgeninde [] açıortay, = br ( ) = br ise kaçtır? ( ) 9

156 Üçgenin lanı ÖRNK 0 G G ( ) üçgeninde G, ağırlık merkezi ise ( ) kaçtır? ÖRNK 1 üçgeninde [] kenarortay, [] açıortaydır. = cm, = cm ise ( ) ( ) kaçtır? ÖRNK üçgeninde, [] [], = = cm, = cm ise () kaç cm dir? 9

157 Üçgenin lanı // ise ( ) = ( ) dir. ÖRNK 1 dörtgeninde, [] // [], [] [] = 1 br, = br, = br ise () kaç br dir? S S G S S üçgeninde, üç kenarortay çizildiğinde oluşan üçgenin alanları eşittir. S S ÖRNK G üçgeninde, [] ve [] kenarortaylardır. () = br ise (G) kaç br dir? 9

158 Üçgenin lanı ir üçgeninde, V a = 9 br, V b = 1 br V c = 1 br ise () kaç br dir? ÖRNK S S G S S S S S üçgeninde G, ağırlık merkezi ise (G) = (G) = (G) dir. üçgeninde,, kenar orta noktaları ise () = () = () = () dir. ÖRNK G k k üçgeninde, G ağırlık merkezidir. [G] [G] G = cm, G = cm, = k, = k ise () kaç cm dir? 9

159 Üçgenin lanı c p q b y ( ). = ( ). k z a ( ) zp.. + ykq.. = ( ) abc.. ÖRNK 7 1 üçgeninde, = 1 br, = br, = br = br ise ( ) ( ) kaçtır? ÖRNK 8 üçgeninde, = cm, = cm = cm, = cm, () = cm ise () kaç cm dir? ÖRNK 9 1 üçgeninde verilenlere göre ( ) ( ) kaçtır? 97

160 Üçgenin lanı SİNÜS TORMİ c b a b c = = sin sin sin a İspat: u teoremin ispatını alan bağıntısından yararlanarak yapalım. () = 1 a.b.sin = 1 a.c.sin = 1 b.c.sin olduğundan a.b.sin = a.c.sin = b.c.sin dır. O halde, ab.. sin ac.. sin bc.. sin = = abc.. abc.. abc.. sin sin sin c = b = a a b c = = elde edilir. sin sin sin ÖRNK 0 α üçgeninde verilenlere göre sinα kaçtır? ÖRNK 1 İki yüksek gerilim kablosu bir nehir boyunca şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Nehrin bir tarafında ve kuleleri diğer tarafında kulesi vardır. ile kuleleri arasındaki uzaklık 0 metre olup m( ) a = 10 ve m( ) a = 1 ise ile arasındaki uzaklık kaç metredir? 98

161 Üçgenin lanı ÖRNK üçgeninde m( X ) m( W ) = 90, = cm ve = cm ise cot kaçtır? ÖRNK Sinop 1 Samsun Sinop-Samsun arası 1 km dir. Samsun dan kalkan bir uçak gibi bir noktada iken uçağın konumu yukarıdaki şekilde ifade edilmiştir. noktasının varış noktasına olan uzaklığını bulunuz. ÖRNK α üçgeninde, [] [], = cm = = cm ve m( a ) = α ise tanα kaçtır? 99

162 Üçgenin lanı ÖRNK 0 üçgeninde =, m( ) a = m( ) a sin = 0 ise kaçtır? sin ÖRNK 1 üçgeninde, [] [], m( a ) = = 1 cm ve = cm ise = kaç cm dir? ÖRNK 7 ir üçgeninde, sin ( W ) + sin ( W ) = sin ( X ) ise m( X ) kaç derecedir? 00

163 LIŞTIRMLR şağıda verilen üçgenlerinin alanlarını bulunuz. 1. şağıda verilen üçgenlerinin her biri eşkenar üçgendir. u üçgenlerin alanlarını bulunuz v H. SN YYINLRI 8. H v H K 01

164 Üçgenin lanı şağıdaki üçgenlerinin alanlarını bulunuz. 1. şağıdaki soruların her birinde taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.. H H. H K SN YYINLRI

165 Üçgenin lanı şağıdaki üçgenlerinin ağırlık merkezleri G Taral lan noktasıdır. una göre değerlerini bulunuz. ( ) 1. şağıdaki üçgenlerinin her birinde değerlerini bulunuz.. Taral lan ( ) G. 7. G 1. G SN YYINLRI G 1. G 10. a a 0

166 Üçgenin lanı şağıdaki sorularda verilenlere göre taralı alanları bulunuz. 1. şağıdaki sorularda istenenleri bulunuz.. =? sinα =? α 0. 1 SN YYINLRI 8. α 0 α =? α =? v α sin =? sin 8 k k 0

167 Yazılıya Hazırlık Soruları L 8 üçgeninde = 10 cm, = 8 cm = 1 cm ise h a kaç cm dir? K üçgeninde, [] // [] K = K = L, (L) = br () kaç br dir? ise.. 10 ve birer üçgendir. m( ) a = m( ) a [] [], =, = cm SN YYINLRI % % üçgeninde, m( ) = m( ) [] [], = cm, = cm ise () kaç cm dir? = 10 cm ise () kaç cm dir?.. 8 üçgeninde = cm, = cm ( ) = cm, = cm ise kaçtır? ( ) 10 % üçgeninde, m( ) =, = 8 cm = 10 cm ise () kaç cm dir? 0

168 Üçgenin lanı üçgeninde, [] [], = = 9 cm, = cm, = cm ise () kaç cm dir? dörtgeninde, [] [], [] [] =, = cm ise () kaç cm dir? 8. SN YYINLRI 10. α üçgeninde, [] // [], [] // [] ( ) = ise kaçtır? ( ) üçgeninde, m( a ) =, = br = br, m( a ) = α ve = ise sinα kaçtır? 0

169 TST - 1 Üçgenin lanı 1. Yüksekliği v cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm dir?. ) 8v ) 9v ) 10v ) 11v ) 1v 7 üçgeninde, = cm, = 7 cm = cm ise h a kaç cm dir? ) v ) ) v ) ) v.. üçgeninde, =, = () = 10 cm ise () kaç cm dir? SN YYINLRI H üçgeninde, [] [], [H] [] H ( ) = H ise kaçtır? ( ) ) ) 0 ) ) ) 8 ) ) ) 1 ) 7 ) 7.. H dörtgeninde [] [], = cm üçgeninde, [H] [], = H () = br ise kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 ) = cm, = cm, = cm ise () kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 17 ) 18 ) 0 07

170 Üçgenin lanı v 10 üçgeninde, =, = =, () = 0 br ise () kaç br dir? ) 8 ) 7 ) ) ) üçgeninde, = v cm, m( ) a = 10, m( ) a = ise = kaç cm dir? ) ) ) ) 7 ) üçgeninde, [] [], [] açıortay = 0 cm, = cm ise () kaç cm dir? ) ) 0 ) ) 0 ) 80 SN YYINLRI üçgeninde, [ ] açıortay, = () = br ise () kaç br dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 10 ) G üçgeninde, G ağırlık merkezidir. ( ) [] // [] ise kaçtır? ( ) ) ) ) ) ) 1 üçgeninde, =, = =, () = 10 br ise () kaç br dir? ) ) ) ) 7 ) 8 08

171 TST - Üçgenin lanı 1. lanı v cm olan eşkenar üçgenin yüksekliği. kaç cm dir? ) v ) v ) v 9 1 ) v ) v üçgeninde, [] [], = 9 cm = 1 cm, = cm ise () kaç cm dir? ) ) 8 ) 0 ) ). 1 H v üçgeninde, [] [], [H] [] H = 1 cm, = v cm ise () kaç cm dir? ) ) ) ) 7 ) 8 SN YYINLRI üçgeninde, = 11 cm, = cm = 1 cm, = ise () kaç cm dir? ) ) ) 7 ) ) c1 c1 üçgeninde, = = c1 br = br, = br ise () kaç br dir? ) ) ) ) ) üçgeninde, [] [], [] [] 8 = cm, = cm, = cm ise () kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 1 09

172 Üçgenin lanı K L üçgeninde, K =, = ( K) 7 L = ise kaçtır? L ( ) ) ) ) ) ) üçgeninde, [] [], [] [] = cm, = cm ise ( ) ( ) kaçtır? ) ) ) 1 ) 19 ) G üçgeninde, G ağırlık merkezidir. [G] // [], () = cm ise (G) kaç cm dir? ) ) ) ) 7 ) 8 SN YYINLRI 1 üçgeninde, [] [], [] açıortay = 1 cm, = cm ise () kaç cm dir? ) v ) ) ) v ) v üçgeninde, =, = ( ) ise kaçtır? ( ) 1 7 ) ) ) ) ) üçgeninde, = cm, m( W ) = 7 m( W ) = 0 ise = kaç cm dir? ) v ) ) v ) v ) c10 10

173 TST - Üçgenin lanı 1. G. üçgeninde, [] [], [] ve [] üçgeninde, =, = kenarortaylardır. = cm, = cm ise (G) kaç cm dir? =, () = 0 br kaç br dir? ise () ) 1 ) 11 ) 10 ) 9 ) 8 ) 1 ) 0 ) ) 0 ).. üçgeninde, [] açıortay, () =.(), + = 18 cm ise kaç cm dir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 SN YYINLRI üçgeninde, = = ( ) = ise kaçtır? ( ) 1 ) ) ) ) 7 9 ) 10.. üçgeninde, [] [], [] [] [] açıortay, = cm, = cm ise () kaç cm dir? ) v ) c1 ) ) v ) 7 üçgeninde, = br, = br ( ) = br, = 7 br ise kaçtır? ( ) ) ) ) ) ) 1

174 Üçgenin lanı G 7 10 üçgeninde, [ ] ve [ ] kenarortaylardır. m( G ) = 10, = 9 br, = % br ise () kaç br dir? ) ) 1 ) 0 ) 19 ) 18 üçgeninde, [] kenarortay, [] açıortay, = cm, = 7 cm, () = cm ise () kaç cm dir? ) ) ) ) ) G üçgeninde, [] [], = 10 cm = 8 cm ise () kaç cm dir? SN YYINLRI üçgeninin ağırlık merkezi G dir. [G] // [], () = cm ise (G) kaç cm dir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 ) 1 ) 1 ) 11 ) 10 ) üçgeninde, [] [], [] [] = = 1 br, = br () = br ise kaç br dir? % % üçgeninde, m( ) = m( ) = = 0 cm, = 1 cm, = ise () kaç cm dir? ) ) 9 ) ) 11 ) ) ) 8 ) ) ) 0 1

175 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları ÖSS Kenar uzunlukları nin katı olan, eşkenar üçgen biçimindeki bir bahçenin çevresine, bir köşesinden başlayarak m ara ile ağaç dikiliyor. ikilen toplam ağaç sayısı 1 olduğuna göre, bahçenin bir kenarı kaç m dir? ) 18 ) 1 ) 1 ) 1 ) ÖSS // = açısının ölçüsü 0 açısının ölçüsü 100 ise açısının ölçüsü kaç derecedir? 0? 100 ) 80 ) 8 ) 90 ) 9 ) ÖSS Yandaki şekilde 0 açısının ölçüsü 0 ise açısının ölçüsü? kaç derecedir? ) 1 ) 0 ) ) 0 ) 7 SN YYINLRI ÖSS üçgeninde = 110 açısının ölçüsü açısının ölçüsü açısının ölçüsü 110 una göre kaçtır? ) ) 0 ) ) 0 ). 198 ÖYS Yandaki ikizkenar üçgeninde = = = açısının ölçüsü kaç derecedir?? ÖYS şağıdaki şekilde ve ikizkenar üçgenlerdir. una göre m( a ) kaç derecedir? = =? m( a ) = 0 0 m( a ) = 0 0 ) 80 ) 7 ) 7 ) 0 ) ) 11 ) 9 ) 7 ) ) 17

176 Üçgenler ÖYS şağıdaki şekilde üçgeninin alanı cm olduğuna göre üçgeninin alanı kaç cm dir? ÖSS ir üçgenin kenar uzunluklarının ikişer ikişer toplamları, 8, birimdir. u üçgenin en küçük kenarı kaç birimdir? = ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 = ) ) 9 ) ) 9 ) ÖSS ÖSS = birim? = 7 birim 7 Yukarıda verilen üçgeninde m( a ) < 0 olduğuna göre kaç birim olabilir? SN YYINLRI ve, [] üzerinde m( a ) = 10 m( a ) = 0 = e = d = k 10 0 e d k Yukarıdaki şekilde bir eşkenar üçgendir. una göre üçgeninin e, d, k kenarları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 ) k < d < e ) d < e < k ) e < k < d ) d < k < e ) k < e < d ÖSS, [] üzerinde? ÖYS [], açısının açıortayı 10 m( a ) = 10 Şekildeki ikizkenar üçgeninde tepe açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 1 ) 0 ) ) 0 ) Taban açıları olan ikizkenar bir üçgeninde tepe açısını üç eş parçaya bölen ışınlar arasındaki açı kaç derecedir? ) ) 8 ) 0 ) ) 18

177 Üçgenler ÖYS = m( a ) = 7 m( a ) = Yandaki ikizkenar üçgeninde taban 7 açısının ölçüsü kaç derecedir?? ) 7 ) 7 ) 7 ) 77 ) ÖSS yamuk K = 8 birim = birim = birim Şekildeki yamuğunda yan kenar doğruları 8 K da kesişmektedir. una göre K kaç birimdir? ) ) ) ) ) ÖSS ÖYS,, doğrusal [] // [] N = N? N açıortay m( a N) = N Yukarıda verilenlere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 SN YYINLRI [] =? m( a ) = 100 m( a ) = α Şekildeki 100 üçgeninde açısının α türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? α ) 100 α ) 100 α ) α 10 ) α 0 ) α ÖYS bir üçgen ÖYS = birim 8 L = 8 birim K P [] PK // PL // P Yukarıdaki şekilde LPK dikdörtgeninin alanı, LP ve KP üçgenlerinin alanları toplamına eşit olduğuna göre, P kaç birimdir? ) 8 ) 7 ) ) ), [] üzerinde = = birim = v birim θ m( a ) = m( a ) = θ Yukarıdaki verilenlere göre, sinθ nın değeri kaçtır? ) ) ) ) 1 ) 1 19

178 Üçgenler ÖYS bir dik üçgen, [] üzerinde açıortay = 1 birim 1 = k birim k Yukarıdaki verilenlere göre = in k türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) 1 + k ) 1 + k 1 + k ) 1 k ) 1 + k 1 k ) 1 + k 1 k. 199 ÖYS 100? H [H] [], = m( a ) = m( a H), m( a ) = 100 Yukarıda verilenlere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 0 ) 0 ) ) 0 ) ÖSS = ve açıortay = birim = birim = birim Şekildeki ikizkenar üçgeninde = kaç birimdir? SN YYINLRI. 199 ÖYS bir dik üçgen [] [] [] [] 10 8 = cm = 10 cm = 8 cm = cm Yukarıdaki verilere göre = kaç cm dir? ) ) 8 ) 0 ) ) ) v ) v ) 1 ) ). 199 ÖYS ÖSS bir dik üçgen [] açıortay = u birim = u birim = birim α 10 u u Şekildeki verilenlere göre α açısı kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) Yukarıdaki verilere göre = in u türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) uv ) uv ) u ) u ) u 0

179 Üçgenler. 199 ÖYS Şekildeki üçgeninin dışında ve açısının P içinde bir P noktası alınmıştır. (P) + (P) sabit olduğuna göre P nin geometrik yeri nedir? ) Işın ) oğru parçası ) Çember yayı ) Parabol yayı ) Hiperbol yayı ÖSS bir üçgen 0 = = m( a ) = 0 Yukarıdaki verilere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 10 ) 10 ) 10 ) ÖSS bir üçgen L P [] H [PH] [L] m( a ) = 10 m( a PH) = 7 m( a P) = α 10 α 7 P Yukarıdaki verilere göre m( a P) = α kaç derecedir? SN YYINLRI ÖYS bir dik üçgen bir dik üçgen açıortay = 10 cm = 1 cm = cm 1 10 Yukarıdaki verilere göre = kaç cm dir? ) ) ) v ) v ) v ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) ÖSS [O [O α 1 [O [O m( a ) = 1 m( a ) = α O Yukarıdaki verilere göre m( a ) = α kaç derecedir? ) 18 ) 1 ) 18 ) 1 ) ÖSS bir üç gen [] [] [] // [] Yu ka rı da ki şe kil de () = () ol du ğu na gö re ) 1 ) 1 ora nı kaç tır? ) 1 ) 1 ) 1 1

180 Üçgenler ÖSS [H] [] [] [H] = L L = 1 cm Yan da ki şe kil de 1 H (L) = 1 cm L ol du ğu na gö re eş ke nar üç ge ni nin ala nı kaç cm dir? ÖSS = T = 10 cm = cm = cm T 10 ) 110v ) 100v ) 80v ) 70 ) 0 Yu ka rı da ki şe kil de [] // [T] ol du ğu na gö re, = kaç cm ola bi lir? ) ) ) 8 ) 10 ) ÖYS m( ) a = 90 = 7 cm 7 = cm = Şekildeki verilere göre üçgeninin alanı kaç cm dir? ) ) ) 7 ) 9 ) 11 SN YYINLRI. 199 ÖYS bir üçgen m( a ) = m( a ) = 0 0 = cm = Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir? ) v ) v ) v ) v ) v. 199 ÖSS m( a ) = a m( a ) = a 0 m( a ) = 0 = Yukarıdaki şekilde = olduğuna göre, in a türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ) a + 10 ) a + 0 ) a 0 ) a + 0 ) a ÖSS ir eşkenar üçgenin çevresi, alanı 81 cm olan bir karenin çevresine eşittir. u eşkenar üçgenin alanı kaç cm dir? ) 9v ) 18v ) v ) v ) 8v

181 Üçgenler ÖSS // M = α +10 m( a ) = α +10 m( a ) = α +10 M α +10 m( a ) = Yukarıdaki şekilde = olduğuna göre, m( a ) = kaç derecedir? ) 70 ) 0 ) 0 ) 0 ) ÖYS = m( a ) = α Yandaki şekilde α bir eşkenar üçgen olduğuna göre, m( a ) = α kaç derecedir? ) 110 ) 10 ) 100 ) 9 ) ÖSS bir eşkenar üçgen [] [] Şekildeki eşkenar üçgeninde = olduğuna göre, oranı kaçtır? SN YYINLRI ÖYS bir üçgen m( a ) = = cm = c1 cm 1 = cm Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 7 ) ) ) ÖSS 10 m( a ) = 10 = = m( a ) = Yukarıdaki şekilde = olduğuna göre, m( a ) = kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) ÖYS m( H) a = 90 m( L) a = 90 L = L = 8 cm L = cm H Yukarıdaki verilere göre, HL H 8 L 8 oranı kaçtır? 1 8 ) ) ) ) )

182 Üçgenler ÖSS α ÖSS m( % ) = 90 % 1 m( ) = 90 = cm = 1 cm = 1 cm = 1 = = = =, m( a ) = α Yu ka rı da ki ve ri le re gö re = kaç cm dir? Yukarıdaki verilere göre, m( a ) = α kaç derecedir? ) 1 ) 1 ) ) ) ) 90 ) 0 ) ) 0 ) ÖSS m( a ) = 1 m( a ) = α Şekilde = ve α = 1 olduğuna göre m( a ) = α kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ) SN YYINLRI ÖYS % m( ) = 90 % m ( ) = 90 = cm = cm = 9 cm Yu ka rı da ki ve ri le re gö re, kaç cm dir? ) ) 9 ) v ) 9v ) 10v ÖSS m( ) a = 90 1 [N] açıortay N = 1 cm = 9 cm 9 Yukarıdaki verilere göre N üçgeninin alanı kaç cm dir? ÖYS bir üçgen = cm = cm Yandaki şekilde 8 = 9 olduğuna göre L oranı kaçtır? L ) 81 ) 1 81 ) ) 1 ) ) 7 ) 7 ) 1 1 ) 1 ) 8 1

183 Üçgenler ÖYS bir dik üçgen m( ) a = 90 [], [], [] üçgeninin G kenarortayları, M G kenarortayların kesim noktası Yukarıdaki şekilde [M] // [] ve = 1 cm olduğuna göre, M = kaç cm dir? ÖSS m( a ) = 0 m( a ) = α Yandaki şekilde ve birer ikizkenar üçgendir. α = ve = olduğuna göre, m( a ) = α kaç derecedir? 0 ) 9 ) 100 ) 10 ) 110 ) 11 ) ) ) ) ) ÖYS bir üçgen = cm = 8 cm 8 Yukarıdaki şekilde üçgeninin alanı cm olduğuna göre üçgeninin alanı kaç cm dir? ) ) ) 8 ) 0 ) SN YYINLRI ÖSS m( a ) = 90 m( a ) = 90 m( a ) = 0 m( a ) = 0 m( a ) = α 0 0 Yukarıdaki şekilde, dik üçgeninin köşeleri dik üçgeninin kenarları üzerindedir. üçgeni üçgenine benzer olduğuna göre, m( a ) = α kaç derecedir? ) 0 ) 70 ) 7 ) 80 ) 8 α ÖYS a, b, c gerçel sayıları bir üçgenin kenarlarının uzunlukları olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) a + b > c ) a + c > b ) b c > a ) b + c > a ) a > 0, b > 0, c > ÖSS Yandaki üçgeninde = ve = dir. una göre taralı dörtgeninin alanının üçgeninin alanına oranı kaçtır? ) ) ) ) )

184 Üçgenler ÖSS bir üçgen G bir kare [H] [] G = H G karesinin köşeleri, şekildeki gibi üçgeninin kenarları üzerindedir. H = 8 cm ve = 1 cm olduğuna göre, = kaç cm dir? ÖSS bir üçgen m( a ) > 90 [] iç açıortay [] dış açıortay = Yukarıdaki verilere göre, // m( a ) + m( a ) toplamı kaç derecedir? ) 0 ) 7 ) 90 ) 1 ) 10 // ), ), ), ), ), ÖSS // // = cm = cm = Yukarıdaki verilere göre, = kaç cm dir? SN YYINLRI ÖSS bir üçgen m( a ) = m( a ) = 0 0 m( a ) = Yukarıdaki taslak çizimde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) > ) > ) > ) > ),1 ), ), ), ), ) > ÖSS = cm 1 = 1 cm Şekildeki üçgeninde m( a ) > 90 olduğuna göre, nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) ÖSS = m( a ) = 90 m( ) a = 90,, doğrusal,, doğrusal = olduğuna göre, ) ) ) oranı kaçtır? ) 7 ) 7

185 Üçgenler ÖSS ÖSS bir ikiz ke nar üç gen K H L [] [] = 8 cm = cm = 10 cm 8 10 L = LH = HK = K, L // H // K // K = cm, = Yu ka rı da ki ve ri le re gö re, kaç cm dir? ) 1 ) 18 ) ) ) Yu ka rı da ki şe kil de = ol du ğu na gö re üç ge ni nin ala nı kaç cm dir? ) 1 ) 0 ) ) ) ÖSS [] [] = 1 cm = 8 cm 8 1 Yu ka rı da ki şe kil de bir eş ke nar üç gen ol duğu na gö re ora nı kaç tır? lan( ) lan( ) SN YYINLRI ÖSS bir üç gen açı or tay 1 nok ta sı [] üze rin de = cm = 1 cm = Yu ka rı da ki şe kil de = ol du ğu na gö re kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) ) ) ) 7 ) ) ) ÖSS bir eş ke nar üç gen = =. 00 ÖSS 9 G P 9 Yu ka rı da ki şe kil de = ol du ğu na gö re eş ke nar üç ge ni nin çev re si nin uzun lu ğu nun üç ge ni nin çev re si nin uzun lu ğu na ora nı kaç tır? bir dik üçgen, m( ) a = 90, = = = 9 cm, = G, GP = Yukarıdaki verilere göre kaç cm dir? ) v ) v ) v ) v ) v ) 1 ) ) ) ) 7

186 Üçgenler ÖSS bir üçgen [] açıortay = 8 cm = 1 cm = m cm = n cm 8 n 1 Yukarıdaki şekilde m ve n birer tam sayı olduğuna göre üçgeninin çevre uzunluğu en çok kaç cm olabilir? ) 8 ) ) ) 8 ) 0 m ÖSS G = G = G K Şe kil de ki üç ge ni nin [] ke na rı üze rin de = cm ola cak bi çim de ve nok ta la rı alı nı yor. [] ve [G] doğ ru par ça la rı bir K nok ta sın da K = K ola cak bi çim de ke sişti ği ne gö re, uzun lu ğu kaç cm dir? ) 9 ) 1 ) 1 ) 18 ) ÖSS ÖSS bir üçgen P = PR P = PQ m( a ) = m( a RPQ) = R P Yukarıdaki verilere göre kaç derecedir? Q SN YYINLRI 8 1 bir üç gen // = 8 cm = 1 cm Şe kil de ki dört ge ni nin ala nı 0 cm ol du ğuna gö re, üç ge ni nin ala nı kaç cm dir? ) 10 ) 1 ) 10 ) 10 ) 108 ) ) ) ) 8 ) ÖSS bir üçgen = m( a ) = 0 m( a ) = 70 m( a ) = m( a ) = Yukarıdaki verilere göre, kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 0 ) ) ÖSS bir üçgen T = = G TG = cm T = Yukarıdaki verilere göre, kaç cm dir? ) ) ) 7 ) 8 ) 9

187 Üçgenler ÖSS ir üçgeninin iç açılarının ölçüleri a, b, c ve c b a olduğuna göre, c en çok kaçtır? ) ) 0 ) ) ) LYS = olan herhangi bir ikizkenar üçgeni için [] üzerinde ve den farklı bir noktası alınıyor. una göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) > ) > ) > ) > ) > ÖSS bir üçgen ve açıortay m( a ) = m( a ) = Yukarıdaki verilere göre, kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) ) 0 SN YYINLRI LYS 80 bir üçgen = m ( % ) = m( % ) % m( ) = 80 % m( ) = Yukarıdaki verilere göre, kaç derecedir? ) 0 ) ) 0 ) 0 ) YGS c a b LYS 9 bir ikizkenar üçgen = % m ( ) = 9 bir üçgen, m( ) a = 0, m( ) a = 100 Yukarıdaki verilere göre, a b + b c + c a ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) a c ) a b ) b c ) b a ) c b % m ( ) = Yukarıdaki şekilde = olduğuna göre, kaç derecedir? ) ) 9 ) 8 ) 1 ) 9

188 Üçgenler LYS K L h 1 h bir üçgen // K = h 1 KL = h Yu ka rı da ki şe kil de üç ge ni nin ala nı nın ( ) dört ge ni nin ala nı na ora nı = ol duğu na gö re, 1 ora nı kaçtır? ( ) 1 h h YGS bir ikizkenar üçgen [] açıortay m( ) a = 0 m( ) a = 0 Yukarıdaki ikizkenar üçgeninde, = olduğuna göre, kaç derecedir? ) 10 ) 110 ) 11 ) 10 ) 1 1 ) ) ) ) ) LYS 1 bir üçgen m( a ) = 90 = cm = 1 cm Yukarıdaki şekilde bir eşkenar üçgen oldu- ğuna göre, oranı kaçtır? SN YYINLRI LYS ir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu c10 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu cm olduğuna göre, alanı kaç cm dir? ) 8 ) 9 ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) ) 7 1 ) 11 ) YGS bir üçgen = = Yukarıdaki verilere göre, ) 7 ) 8 ) ) oranı kaçtır? ) LYS bir üçgen [K] açıortay = 1 cm K = cm K = 1 K Şekildeki üçgeninin çevresi cm olduğuna göre, kaç cm dir? ) ) 7 ) 8 ) 11 ) 1 0

189 Üçgenler LYS ir üçgeninde [] kenarı üzerinde = olacak biçimde bir noktası ve [] kenarı üzerinde = olacak biçimde bir noktası işaretlenmiştir. üçgeninin alanı 7 cm olduğuna göre, üçgeninin alanı kaç cm dir? ) 8 ) 10 ) 1 ) 1 ) LYS bir dik üçgen = = cm = 9 cm = Yukarıdaki verilenlere göre, kaç cm dir? ) 7 ) 10 9 ) ) ) LYS bir ikizkenar üçgen = [] ve [] kenarortay = cm Şekildeki ikizkenar üçgeninin ve kenarortayları noktasında dik kesişmektedir. una göre, ikizkenar üçgeninin alanı kaç cm dir? ) ) ) 8 ) 0 ) SN YYINLRI LYS = 0 cm = 1 cm = 0 1 Yukarıdaki verilere göre, kaç cm dir? ) 1 ) ) ) 7 ) LYS m( ) a = 0 m( ) a = m( ) a = 0 d 0 0 a e c b Yukarıdaki şekilde // dir. una göre a, b, c, d ve e ile belirtilen kenarlardan en uzunu hangisidir? ) a ) b ) c ) d ) e LYS G // [] kenarortay = 1 cm = 18 cm G = 8 cm 8 G 18 Şekildeki G noktası üçgeninin ağırlık merkezidir. una göre, G üçgeninin çevresi kaç cm dir? ) 11 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1

190 Üçgenler LYS G 1 bir dik üçgen G bir dikdörtgen G = G = 1 cm = cm Yukarıdaki verilere göre, G dikdörtgeninin çevresi kaç cm dir? ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 ) LYS bir dik yamuk m( ) a = m( ) a = cm 7 = cm = 7 cm = Yukarıdaki verilere göre, kaç cm dir? ) ) 8 ) 9 ) ) LYS G bir eşkenar üçgen bir ikizkenar üçgen = = cm SN YYINLRI 10 H m( a ) = 10 Şekildeki eşkenar üçgeninin ve ikizkenar üçgeninin ağırlık merkezleri sırasıyla G ve H noktalarıdır. una göre, GH uzunluğu kaç cm dir? 9 ) v + 1 ) v + ) ) )