DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ
|
|
- Irmak Ocak
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Koordinatlar DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELEMESİ Bilindiği gibi, düzlemdeki her bir noktaya bir (a,b) sıralı ikilisi, her bir (a,b) sıralı ikilisine bir nokta karşılık gelir. Eğer bir A noktasına karşılık gelen sıralı ikili (a,b) ise a reel sayısına A nın apsisi, b ye de ordinatı denir. Düzlemde A ve B noktalan verildiğinde, bunlar arasındaki uzaklık AB sembolü ile gösterilir. Bu uzaklığın nasıl hesaplanacağını aşağıdaki teorem göstermektedir. TEOREM (Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık) uzaklık A(x. y ) noktaları arasındaki birimdir. AB = ( x x )² + ( y y )² Bu teoremin ispatı, yanda verilen ABC dik üçgenine Pisagor bağıntısını uygulamaktan ibarettir. Bir Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi Bir doğrunun Ox ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya doğrunun eğim açısı, eğim açısının tanjantına da doğrunun eğimi denir. Buna göre, d doğrusunun eğimi m ise m = tanθ olacaktır. d doğrusunun eğim açısı dar açı ise eğim pozitif, geniş açı ise eğim negatif olacaktır. Yanda çeşitli eğim açısı ve eğime sahip doğrular çizilmiştir. tan90 tanımsız olduğundan, düşey doğruların eğimleri tanımsızdır.
2 Şimdi bir doğru üzerinde P(x, y L ), Q(x, y ) noktalarını seçelim. PQT dik üçgeninde tan θ = QT PT olacağından m = y y x x olur. Buna göre, y ve x deki değişimler y = y y, x = x x ile gösterilirse y m = yazılabilir. x Buna göre bir doğrunun eğimi, kabaca "yükselen" kısmın "yatan" kısma oranı biçiminde tanımlanabilir. Bir doğrunun eğimi, doğru üzerinde seçilen noktalardan bağımsızdır. Yani noktalar değişse de eğim değişmez. Örneğin doğru üzerinde P = (x y ), Q (x y ), S (x 3 y 3 ), R (x 4 y 4 ) noktaları alındığında, P QT ve S QR üçgenlerinin benzerliğinden, m = y y y 4 y 3 = x x x x 4 3 bulunur. Yani noktalar değiştikçe oran değişmemektedir. Bir doğru Qx eksenine paralel olduğunda v = 0, x 0 olacağından m = 0 olur. Doğru Oy eksenine paralel olduğunda x = 0, y 0 olacağından m tanımsız olur.
3 Paralel ve Dik Doğrular d ve d doğruları paralel ise onların eğim açıları eşit ölçülü, dolayısıyla eğimleri eşittir. Buna göre, d // d m = m Düşey olmayan d ve d dik doğrularının eğimleri, sırasıyla m ve m olsun. m = tanθ = HB HC HC m = tanθ = olacağından HB HB HC m. m = tan θ =. = HC HB olur. Buna göre d d m. m = Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi Bir doğrunun denklemini bulmak demek, onun üzerinde alınan değişken bir P(x,y) noktasının x, y koordinatları arasında bir bağıntı bulmak demektir. A(X O, y 0 ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru üzerinde bir P(x,y) noktası alınırsa, y y 0 m = x x 0 bulunur. Buna göre doğrunun denklemi y = y 0 = m (x x 0 ) olur. y = y 0 = m (x x 0 ) denklemi y = mx + (y 0 mx 0 ) y = mx + n biçiminde de yazılabilir. Şu halde x in katsayısı olan sayı doğrunun eğimidir. 3
4 İki noktası Verilen Doğrunun Denklemi A(x, y ve B(x,y ) noktalarından geçen doğrunun üzerinde bir P(x,y) noktası alalım. m y y x x = ve olacağından y y y y = y y x x yazılabilir. Orantı özelliklerinden yararlanarak, bu bağıntı y y y y = x y x x biçiminde de yazılabilir. m = y y x x Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı Bir A(x 0, y 0 ) noktasının denklemi ax + by + c = 0 olan doğruya olan uzaklığı A dan doğruya indirilen [AH] dikmesinin uzunluğudur. AH doğrusunun eğimi a / b dır. Dolayısıyla denklemi y y 0 = b / a (x x 0 ) dır. Bu doğru ile ax + by + c = 0 doğrusunun kesim noktası H noktasıdır. A ve H arasındaki uzaklık hesaplanarak ι bulunur. Yukarıdakiler yapıldığında l = ax + c 0 a ² + b ² bulunur. Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık Denklemleri ax + by + c l = 0, ax + by + c = 0 olan doğrular arasındaki uzaklık l = c + c a ² + b ² birimidir. 4
5 ANALİTİK GEOMETRİ DOĞRU ANALİTİĞİ Soru :Dik koordinat sisteminde A(m+3,n ) noktası,iv. Bölgede ise B(m,n) noktası nedir? A(m+3,n ) noktası IV. Bölgede ise m+3>0 m > 3 n <0 n< =(, ) Soru : A( 3,7) ve b(5,) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? AB = ( 3 5) +(7 ) = = 00 =0 BİRİMDİR. Soru 3: A(,3) noktasını orjine göre uzaklığı kaç birimdir? OA = ( ) +(3) = +9 = 0 Soru 4: Analitik düzlemde A(,) ve b(4,5) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Orta dikme doğrusu (x+) (y ) = (x 4) +(y 5) x +4x+4+y y+=x 8x+6+y 0y+5 4x y+5= 8x 0y+4 3x+y 9=0 A(,) C(x,y) B(4,5) 5
6 Soru 5: A(,4) ve B(3, 0) noktaları veriliyor. AB nin orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir? AB nin orta noktası C(x 0, y 0 ) olsun. x 0 = + 3 = y 0 = 4 0 = 3 olup. C(, 3)noktasının orjine uzaklığı; OC = +( 3) = 3 BİRİMDİR. Soru 6: Köşelerinin koordinatları; A(6,7), B(,) C(7,4) olan üçgenin V a kenarortay uzunluğu kaçtır? BC nin orta noktası D(x 0,y 0 ) ise; x 0= +7 = 3 y 0= +4 = 3 olur. Buna göre, V a = AD = (6 3) +(7 3) = 9+6 =5 olur. 6
7 Soru 7: Köşe noktalarının koordinatları,a( 4,5), B(,7), C(6,0), D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 4+6 = + a a = = 7+b b = 8 a + b=4+8 = olur. Soru 8: A(5, ) ve B( 3,4) noktaları veriliyor. AC = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal BC C(x 0,y 0 ) noktasının koordinatları nedir? A(5, ),B 3,4) ve k = 3 olduğundan: 5 3( 3) 3.4 x 0 = = 7 ve y 0 = = bulunur ve böylece C(x 0,y 0 ) = C( 7,7) elde edilir. Soru 9: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4),B(,) ve C(a,b) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(4,3) ise a+b kaçtır? 4 = 5 +a a = 8, 3 = 4++b 3 3 b = 3 buradan a+b = 8+3 = olur. 7
8 Soru 0: Köşe noktalarının koordinatları A(,6) B(3, ve C(4,5) olan ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? Cevap 0: 6 3 A(ABC)= = ( 4) ( 0) = 37 Soru : A(, ) ve B(p,3) noktalarından geçen doğru Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yaptığına göre p kaçtır? a = 45 m = tan 45 = 3 ( ) 5 = = 5=p p = 6 olur. p p Soru : A(,3), B(, 3), C(5,) ve D(,k) noktaları veriliyor.ab // CD ise k sayısı kaçtır? AB // CD olduğundan bu doğruların Ox ekseni ile yaptığı açılar ve dolayısıyla bu doğruların eğimleri birbirine eşittir. 3 3 k 8
9 m AB = m CD = k=9 olur. ( ) 5 Soru 3: A(p,4) ve B(p+3,) noktalarından geçen doğru Ox eksenine dik ise P kaçtır? a = 90 4 m = = p+3 (p ) = p+4 = 0 p=4 olur. p+4 Soru 4: Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (,) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? a = 45 m = tan45 = Eğimi, m = olan A(,) noktasından geçen doğru denklemi; y = (x+) y x 3 = 0 olur. Soru 4: Eğimi 3 olan ve A(,) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? Çözüm Doğrunun eğimi 3 olduğundan denklem y = 3x+n şeklindedir.ve doğru A(, ) noktasından geçtiği için A(, ) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.buna göre, = 3.+n n = elde edilir.ve doğru denklemi y = 3x+ şeklinde bulunmuş olur. Soru 5: A( 3,) ve b(, 6) noktalarında geçen doğrunun denklemi nedir? 9
10 Cevap: A(x,y ) = A( 3,) ve B(x,y ) = B(,6) olsun y ( 6) 6 y+6 = = y+6= (x ) y+x+4 = 0 dır. x ( 3) x Soru 5: Dik koordinat düzlemindeki d doğrusunun denklemi nedir? A(,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğru denklemi; x y + = 3 3x y+6 = 0 dır. Soru 6: y = 3x 6 denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çiziniz. x=;b(,0) birleştirilirse grafiği çizilmiş olur y y = 3x 6 denkleminde y = 3x 6 x = 0 y = 6;A(0, 6) y = 0 3x 6 = 0 (,0) x A(0, 6)ve B(,0) noktaları y = 3x 6 doğrusunun (0, 6) Soru 7: x y+4 = 0 ve x+y+=0 doğrularının kesiştikleri nokta nedir? x y+4 = 0 0
11 x+y+ = 0 taraf tarafa toplama yapılırsa 3x+6 = 0 x = elde edilir. Denklemlerden herhangi birinde x = yazılırsa y = 0 bulunur.buna göre,bu iki doğru (,0) noktasında kesişirler. Soru 8: Dik koordinat düzleminde x 5y 4 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? 4 x 5y 4 = 0 y = x olup,bu doğrunun eğimi m = tir Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olacağından m = olmalıdır. 5 Buna göre,eğimi m = olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi; 5 y 4 = (x 3) x 5y+4 = 0 olur. 5 Soru 9: Analitik düzlemde; d : (a 3)x+y = 0 d : (a+)x y+5 = 0 doğruları veriliyor. d ile d doğruları birbirine paralel ise a kaçtır? Burada a = a 3, b =, a = a+ a b Ve b = dir.paralel doğrularda = olacağından.
12 a b a 3 = a 6 = a 3a = 4 a+ 4 a = 3 Soru 0: Denklemleri (m+)x+4y = 0 ve 3x (n+)y+ = 0 olan doğrular çakışık ise m + n kaçtır? Doğruların çakışık olması için, m+ 4 = = olmalıdır.buna göre; 3 (n+) m+ = 6 m = 8 5 4n+ = 4 n = m+n = 8 + = olur. Soru : x+y = 0 ve 3x+y 6 = 0 doğruların kesiştiği noktadan geçen doğru demetinin denklemi nedir? x+y +k(3x+y 6) = 0 (3k+)x+(k+)y 6k = 0 dır. Soru : (k )x+(k+3)y+k+ = 0 denklemi ile verilen doğruların kesiştiği noktanın koordinatları nedir? (k )x+(k+3)y+k+ = 0
13 x+3y++k(x+y+) = 0 0+k.0 = 0 olduğundan, x+3y+ = denkleminin sisteminin çözüm kümesi (, ) dir. x+y = = Soru 3: A(,3) noktasından geçen ve d : x y+ = 0 doğrusuna dik olan d doğrusunun denklemi nedir? d : x y+ = 0 m = m.m =.m = m = Buna göre eğimi m = olan ve A(,3) noktasından geçen doğru denklemi; y 3 = (x+) y+x 4 = 0 bulunur. Soru 4: d : (m+)x y+ = 0 ve d : 3x+(m )y+ = 0 denklemleri ile verilen doğrular birbirine dik ise m kaçtır? a a +b b = 0 (m+).3+( ).(m ) = 0 m+8 = 0 m = 8 Soru 5: Koordinat düzleminde d : y = x ve d : x+y+ = 0 doğruları arasındaki dar 3 açı kaç dercedir? 3
14 d : y = x m = 3 3 d : x+y+ = 0 m = bu iki doğru arasındaki açı v olsun. m m tanv = = tanv = v = 45 derecedir. +m Soru 6: Analitik düzlemde d : 3 x y + = 0 ve d : x+y = 0 doğruları arasındaki açı kaç derecedir? B = 35 d : 3 x y+ = 0 m = 3 a = 60, m = Bu takdirde bu iki doğru arasındaki geniş 05 açı 05 derecedir d : x+y = 0 Soru 7: Analitik düzlemde A(3, ) noktasının 4x+3y+3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? 4.3+3( )+3 5 = = 3 birimdir. 4
15 ( 4) +3 5 Soru 8: d : 3x+y+ = 0 ve d : 6x+y 6 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? Verilen her iki denklemde de x in ve y nin katsayıları eşitlenmelidir.bunun için ya d in denklemi ile çarpılmalı veya d nin denklemi ile sadeleştirilmelidir. d : 3x+y+ = 0 c = d : 6x+y 6 = 0 3x+y 8 = 0 c : 8 d d doğruları arasındaki uzaklık; ( 8) 0 = = 0 birim Soru 9: x+y = 0 ve x y+7 = 0 denklemleri ile verilen doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açıortay doğrularıdır. x+y x y+7 = + +( ) x+y = x y+7 x+3y 8 = 0 x+y = (x y+7) 3x y+6 = 0 olur. Soru 30: Analitik düzlemde A(,4) noktasının B(x,y) noktasına göre simetriği C(,6) noktası ise x+y değeri kaçtır? AB = BC olduğundan 4+6 5
16 x = = 0 y = = 0 olup x+y = 5 olur. Soru 3: Koordinat düzleminde A(4, ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,orjine göre simetriği C noktası ise ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir? A(4, ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B(4,), orjine göre simetriği C( 4,) noktası olduğundan AB =br., BC = 8 br olup.8 A(ABC) = = 8 birim kare olur. Soru 3: A(3, )noktasının y = x doğrusuna göre simetriği y = ax+3 doğrusu üzerinde bulunuyor ise a kaçtır? A(3, ) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(, 3) olup, bu nokta y = ax+3 doğrusu üzerinde olduğundan ; 3 = a+3 a = 3 olur. Soru 33: A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B noktası,b noktasının Oy eksenine göre simetriği C(a, 3) noktası ise a+b kaçtır? A(a.b) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a);B(b,a) noktasının Oy eksenine göre simetriği C( b,a) olur. C( b,a) = C(a, 3) a= 3 ve b = a olur. b = 6 olup a+b = 3+6 = 3 bulunur. 6
17 Soru 34: Dik koordinat sisteminde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B,B noktasının x = doğrusuna göre simetriği C(,) ise,a noktasının koordinatları nedir? A(a.b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a), B(b,a) noktasının x = doğrusuna göre simetriği C(4 b,a) = C(,) b = 6 ve a = bulunur. Buna göre,a(a,b) = A(,6) olur. Soru 35: A( 4,3) noktasının d doğrusuna göre simetriği B(, 5) noktası ise A noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir? AB = ( 4 5) +(3+5) = 0 birim. AB 0 Buna göre,a noktasının d doğrusuna uzaklığı, = = 5 birimdir. Soru 36: A(4, ) noktasının d: x y+ = 0 doğrusuna göre simetriği nedir? A(4, )noktasının d: x y+ = 0 doğrusuna göre simetriği B(x,y ) olsun. y + * = x 4 y +x = 0 () 4+x +y y * + = 0 x = 6 () 4 () ve () denkleminden x =, y = olarak bulnur
18 Soru 37: d : x y+7 = 0 doğrusunun eksenlere ve orjine göre simetrilerini bulunuz. d : x y+7 = 0 doğrusu için (x,y) Ox (x, y) d : x y+7 = 0 d : x+y+7 = 0 (x,y) Oy ( x,y) d :x y+7 = 0 Oy d 3 : x y+7 = o (x,y) ORJİN(0.0) ( x, y) d : x y+7 = 0 d 4 : x+y+7 = 0 olur. a b a Soru 38: Analitik düzlemde A( a, ) noktası IV. Bölgede ise B( b, ) hangi b b bölgededir? a a A( a, ) noktası IV: bölgede olduğundan a > 0, < 0 olup buradan b < 0 olur. b b b a a > 0, b < 0 b < 0, b a < 0 ve > 0 olur. b Bundan dolayı B noktasının apsisi negatif ordinatı pozitif olduğundan bu nokta II. bölgededir. Soru 39: Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları A(0, ), 8
19 B(3,6) ve C(5, ) olan ABC üçgeninde BC kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir? B(3,6) BC nin orta noktası D(x 0,y 0 ) olsun.buna göre olur. uzunluğu x 0 = = 4 y 0 = = D(x 0,y 0 ) Buna göre BC ye ait kenarortayın A(0, ) C(5, ) AD = (4 0) + (+) = 5 birim olur. Soru 40: Dik koordinat düzleminde A(a, ), B(a+3,8) ve C( 3,a ) noktalarının doğrusal olabilmesi için a kaç olmalıdır? ABC doğrusal ise eğimler eşit olur. m AB = m BC = m AC Bunlardan m AB = m BC yi kullanırsak. 8+ a 9 9 m AB = m BC = a = a+3 a a 6 4 Soru 4: Analitik düzlemde A(,) ve B(,5) noktalarının y = x doğrusu üzerindeki bir K noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre,k noktasının koordinatları nedir? y = x doğrusu üzerinde A(,) ve B(,5) noktalarına 5 B eşit uzaklıktaki nokta K(a,a) olsun. y = x A (a,) + (a ) = (a ) + (5a 5) K(a,a) 9
20 x (a ) + (a ) = (a ) + (a 5) a a+ = a 0a+5 a+0a = 5 8a = 4 a = 3 K(3,3) olur. Soru 4: Dik koordinat düzleminde A( 4,) ve B(4,3) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? = = AB doğrusunun eğimi m AB = 4+4 A( 4,) C(0,) B(4,3) AB d olduğunda m AB.m d = olduğundan noktasının olduğundan; 4x+y = 0 elde edilir.. m d = m d = 4 4 AB doğru parçasının orta 4+4 koordinatları X c = = 0 +3 Y c = = C(0,) Soru 43: Analitik düzlemde A(,7) ve B(7,5) noktaları veriliyor.buna 0
21 göre,o ekseni üzerinde, AK + KB en küçük olabilecek şekilde K(x 0,0) noktasının apsisi kaçtır? B noktasının Ox eksenine göre simetriği B ı noktası olsun. Bu durumda KB = KB ı ve dolayısıyla AK + KB = AK + KB ı olur. AK + KB nin en küçük olması demek AK + KB ı toplamının en küçük olması demektir.bunun için ise A.K ve B ı noktalarının doğrusal olması gerekir.buna göre; m AK = m KB ı = x 0 = = 4,5 olur. x 0 7 x 0 Soru 44: Analitik düzlemde A( 3,4) ve B(,8) noktaları ve Ox ekseni üzerinde değişken bir C(a,0) noktası veriliyor. AC BC en küçük değeri aldığında C noktasının apsisi a kaçtır? AC BC nin en küçük olması AC = BC olmasıyla mümkündür.buna göre; (a+3) + (0 4) = (a ) + (0 8) a +6a+5 = a a+65 8a = 40 a = 5 olur.
22 Soru 45: Dik koordinat düzleminde 3x+y 6 = 0, y x+6 = 0 ve y = 0 doğruları arasındaki alan kaç birim karedir? Bu doğruların kesiştiği noktayı bulmak için ortak çözüm aranır. 8 y x = 6 denklem sistemi çözülürse x = ve y = bulunur. 3x+y = Buna göre ; Alan(ABC) = = birim karedir. 7 Soru 46: Analitik düzlemde 4y 3x = 0 ve y+x 6 = 0 doğruları ile eksenler arasında kalan alan kaç birim karedir? 4y 3x = 0 y+x 6 = 0 4 denklem sistemi çözülürse x = ve y = bulunur ve Alan(ABC) + Alan(ACD) = =
23 Soru 47: Dik koordinat sisteminde m(cao) = 45 derece ise y AC doğrusunun denklemi nedir? A(3,5) B 45 C O x OA doğrusu O(0,0) (orijin) ve A(3,5) noktalarından geçen doğru olduğundan bu doğrunun 5 eğimi m AO = olur. OA doğrusun Ox ekseniyle pozitif yönde yaptığı açı F olsun. 3 AC doğrusunun Ox ekseniyle pozitif yönde yaptığı V olsun. Buna göre F V = 45 V = F 45 olup. tanf tan45 Tan V = tan(f 45= = +tanf.tan tan45 = tan F = m OA = tan V = = = bulunur
24 AC doğrusu eğimi m AC = olan ve A(3,5) noktasından geçen doğru denklemi; 4 y 5 = (x 3) 4y x 7 = 0elde edilir. 4 Soru 48: Dik koordinat düzleminde, A(,k) noktasından geçen ve d : x+3y+6 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi d : ax+y+7 = 0 ise k kaçtır? d : x+3y+6 = 0 doğrusunun eğimi m : 3 a d d verildiğinden d doğrusunun eğimi m : a ve m.m =. = a = 3 olu r. 3 d : 3x+y+7 = 0 olup A(,k) noktası bu doğru üzerinde bulunduğundan bu noktanın koordinatları doğru denklemini sağlayacaktır. Buradan; 3.+k+7 = 0 k = elde edilir. Soru 49: Analitik düzlemde d : (k+)x+(m )y 6 = 0 ve d : x y+3 = 0 doğruları çakışık m ise kaçtır? k d ve d çakışık ise k+ m 6 m 4
25 = = olup buradan k = 3 ve m = 6 bulunur.buna göre; = olur. 3 k Soru 50: Analitik düzlemde A(3,5) ve B(,6) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? AB = (3 ( ) + (5 6) = 5 + = 6 olarak bulunur. 5
1. Analitik düzlemde P(-4,3) noktasının eksenlerden ve O başlangıç noktasından uzaklığı kaç birimdir?
HAZİNE- HAZİNE-2 O başlangıç noktasında dik kesişen iki sayı ekseninin oluşturduğu sisteme koordinat sistemi denir. Bir noktanın x-eksenindeki dik izdüşümüne karşılık gelen x sayısına noktanın apsis i
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da
1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)
HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.
Örnek...1 : mx+3y+12=0 ve 2x 5y+3=0 doğruları para - lelse m kaçtır?
İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMU DURUM 1 PARALEL DOĞRULAR ve doğruları paralel doğrular ise eğimleri eşittir. Yani / / m 1 =m 2 Ayr ıca : a 1 x+b 1 y+c 1 =0 =0} / / a 1 a 2 = b 1 c 1 c 2 Örnek...1 :
4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. Geometrik yer üzerindeki noktalar
4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta. 5. O(0,0) başlangıç noktasından 3 birim. 6. A(1,2) ve B(5,8) noktalarından eşit. 7. x=-2 doğrusundan ve A(2,0)
GEOMETRİK YER HAZİNE-1 Analitik düzlemde, verilen bir ortak özelliği sağlayan P(x,y) noktalarının apsis ve ordinatı arasındaki bağıntıya Geometrik yer denklemi denir. 4. y=-2 doğrusundan 5 birim uzaklıkta
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NOKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ
NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ NKTANIN ANALİTİK İNCELEMESİ Başlangıç noktasında birbirine dik olan iki saı doğrusunun oluşturduğu sisteme "Dik Koordinat Sistemi" denir. Dik Koordinat Sisteminin belirttiği
Parametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.
Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak
= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,
DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ
DOĞRUSAL DENKLEMLER VE KOORDİNAT SİSTEMİ Örnek : Taksi ile yapılan yolculukların ücreti taksimetre ile belirlenir Bir taksimetrenin açılış ücreti 2 TL, sonraki her kilometre başına 1 TL ücret ödendiğine
ÖRNEK: Öteleme ile oluşturulmuş bir süsleme. ÖRNEK: 2)GEOMETRİK HAREKETLER
ÖTELEME: Bir şeklin duruşunun, biçiminin, boyutlarının bozulmadan yer değiştirmesine o şekli öteleme denir. Ötelemede biçim, boyut, yön değişmez. Yer değişir. Bir şekil ötelendiği zaman şekil üzerindeki
- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a
İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi
AB yönlü doğru parçası belirtilmiş olur. Doğrultusu, uzunluğu ve yönünden söz edilebilir.
HAZİNE-1 HAZİNE-2 Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR
7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters
Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği
1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)
.DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
KUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?
Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.
2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri
Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç
TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi
TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35
13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
İç bükey Dış bükey çokgen
Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden
NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+
Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674
kapak safası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE FNKSİYNLARDA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI Fonksionların Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri... 4 Tek ve Çift Fonksionlar... 4 Fonksionlarda İşlemler... 6 Konu Testleri -...
MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
eğim Doğrunun eğimi Eğim konusunu koordinat sistemine ve doğrunun eğimine taşımadan önce kareli zemindeki doğru parçalarının eğimini bulmaya çalışalım. Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.
Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde
TEST. Doğrusal Denklemler kg domates ile 2 kg salça yapılmaktadır. 2. Aşağıda verilen, 5. Cebinde 50 si bulunan Nehir babasından her
Doğrusal Denklemler 7. Sınıf Matematik Soru Bankası TEST. t Zaman (sn) 0 0 0 0 Yol (m) 0 00 0 00 Yukarıdaki tabloda bir koşucunun metre cinsinden aldığı ol ile sanie cinsinden harcadığı zaman verilmiştir.
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
GEOMETRİ. Tüm geometrik şekiller, elemanları noktalar olan kümeler olduğundan, biz de noktadan başlayarak gezimize çıkalım.
GEOMETRİ Geometriyi seven veya sevmeyenler için farklı bir bakış açısı. Gerçeğin kilidini açacak anahtarın Aritmetik ve Geometri olduğunu söyleyen ve Tanrının da bir Matematikçi olduğuna inanan ünlü düşünür
DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2
. lt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 dik açı B) 4 dik açı C) 8 dik açı D) dik açı E ) dik açı Bir konveks çokgenin iç açıları toplamını veren bağıntı
VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.
VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.
1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?
99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için
POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.
POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?
EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ.
DERS : GEOMETRİ KONU : ÜÇGEN EVVET ARKADAŞLAR HOŞGELDİNİZ BU DERSİMİZDE ÜÇGENLER VE ÖZELLİKLERİNE GÖZ ATACAĞIZ. AMAN SIKILMAYIN NOT BİRAZ UZUN DA :-) Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri
Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :
Cebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Trigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
Ö.S.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 10
Ö.S.S. 99 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 Çözüm. 0, 0, 0,44. 00 0, 0 0,44 00.( )..( )..( ) 0, 00 0 00 00 44.. 0 00 0 0,4 0. + 4 + + 6 işleminin
Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu
Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
alalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay
1 DİK (KARTEZYEN) KOORDİNAT SİSTEMİ: Bir O noktasında dik olarak kesişen ata ve düşe doğrultudaki iki saı eksenini ele alalım. O noktasına, u eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif saılar,
UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM
UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri = 10
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 Çözüm. 0, 0, 0,44. 00 0, 0 0,44 00.( )..( )..( ) 0, 00 0 00 00 44..
Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 19 Haziran 2010. Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD. m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80.
Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 9 Haziran 00 Geometri Soruları ve Çözümleri. ABC bir üçgen CA = CD m(acd) = m(dcb) m(bac) = 80 m(abc) = x Yukarıdaki verilere göre x kaç derecedir? A) 40 B) 45 C) 50
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 5 Nisan 990 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,0703.(0,3 0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00703 B) 0,0703 C) 0,703 D) 0,0703 E) 0,00703 Çözüm 0,0703.(0,3 0,) 0,0703.0, 0,00703.
4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.
LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM DÜZLEM GEOMETRİNİN TEMEL KAVRAMLARI İÇİNDEKİLER 1. TANIMSIZ KAVRAM, AKSİYOM, TEOREM VE İSPAT NE DEMEKTİR? 2. NOKTA, DOĞRU, DÜZLEM VE UZAY KAVRAMLARI * Nokta, Doğru ve Düzlem * Doğru Parçası *
10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ
2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 15.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 5.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI. (a n ) bir geometrik dizidir. a5+a 6 a+a 8 olduğuna göre, kaçtır? a. Bir ABC dik üçgeninde [AB] [BC] dir. [AB] kenarı üzerinde
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos
1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25
İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF TEST SORULARI
. 3007 (30 305) (3006 300) işleminin sonucu kaçtır? A) 304 B) 305 C) 306 D) 307 3. 8 kesri tanımsızdır. a b 5a 2b = 8 ise, a kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 4. a değeri değiştikçe b değerinin de a ya bağlı
Örnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3
KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm
ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
Örnek: Eş doğru parçalarının uzunlukları eşittir. Örnek:
ĐFL GEOMETRĐK KAVRAMLAR VE ÇALIŞMA SORULARI (Eylül-011) Terim, Geometrik Terim, Tanımsız Terim, Önerme, Aksiyom (Postülat), Teorem (Hipotez ve Hüküm), Đspat: Bir bilim dalında özel anlamı olana kelimelere
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
Saat Yönünde 90 Derecelik Dönme Hareketi. Saatin Tersi Yönünde 90 Derecelik Dönme Hareketi
Saat Yönünde 9 Derecelik Dönme Hareketi Saatin Tersi Yönünde 9 Derecelik Dönme Hareketi çizilmiş olan üçgenin orjin etrafında saat yönünde 9 lik dönme hareketine ait görüntüsünü çizip bu üçgenin köşe koordinatlarını
1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2
8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin
ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR
ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >
ÜÇGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir.
ÜÇGENDE AÇILAR Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir. AB] [AC] [BC] = ABC dir. Burada; A, B, C noktaları üçgenin köşeleri, [AB], [AC], [BC] doğru parçaları
Cahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ
LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;
1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)
ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin
11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ
2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]
LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal