2 TEK BOYUTTA HAREKET 2.1 Konum, hız ve sürat 2.2 Anlık hız ve sürat 2.3 İvme 2.4 Hareket diyagramları 2.5 Tek boyutta sabit ivmeli hareket 2.6 Serbest düşen cisimler 2.7 Kinematik denklemlerin türetilmesi Kayakçı tepeden aşağı düz bir çizgi üzerinden inerken 100 km/saat hıza ulaşabilir.
Tek boyutta hareket Klasik mekaniğe girişte cisimlerin hareketinin uzaya ve zamana bağlı olarak incelenir. Klasik mekaniğin bu kısmına kinematik denir (kinematik sinema ile aynı kökenli kelimelerdir?). Bu bölümde sadece tek boyutta yani doğru bir çizgi üzerindeki hareketle ilgilenilecektir. Önce konum, yerdeğiştirme, hız ve ivme kavramları tanımlanacaktır. Daha sonra bu kavramlar kullanılarak l k nesnelerin sabit ivme ile hareketleri incelenecektir.
Kitaptaki renklerin kullanımı
Tek boyutta hareket Günlük hayattan bir nesnenin hareketini sürekli yer değiştirmesi şeklinde anlarız.fizikte bu hareketler öteleme, dönme ve titreşim i hareketleri şeklinde sınıflandırabilir.
1.11 Konum, hız ve sürat Bir parçacığın konumu seçilen koordinat sistemi referansına yerinin belirlenmesidir. (a) Şekilde arabaların konumu x-ekseni boyunca bir başlangıç veya orijine göre belirlenmektedir.
Konum, hız ve sürat (b) Parçacığın konum-zaman grafiği Parçacığın yerdeğiştirmesi ğ ş x = x f x i - yerdeğiştirme x f - son konum x i - ilk konum
Ortalama hız Parçacığın yerdeğiştirmesinin bu yerdeğiştirme için geçen süreye oranını ortalama hız olarak tanımlayabiliriz. Birimi metre / zaman şeklindedir. Önceki şekildeki ilk konum A- noktasındaki konum 30 m, son konumu 52 m dir. Yerdeğiştirme 52 30 = 22 m dir. Bu yerdeğiştirme için geçen süre ise 10 saniyedir. Bu durumda ortalama hız 22/10 = 2.2 m/s dir.
Ortalama sürat Alınan yolların toplamının toplam süreye oranıdır. Toplam yol Ortalama sürat = -------------------- Toplam süre
A-F noktaları arasındaki ortalama hız ve sürat yerdeğiştirme x = x F -x A = 53 30 = -83 m -83 m Ortalama hız = ---------- 50 s = -1.7 m/s 127 m Ortalama sürat = ----------- 50 s = 2.5 m/s
22Anlık 2.2 hız ve sürat Bazen ortalama hız veya sürat yerine daha küçük zaman dilimlerindeki anlık hız ve sürat değerlerinin bilinmesi daha yararlı olur. Yani A noktasında, B noktasında vb.
Anlık hız ve sürat (a) Arabanın hareketi (b) B noktasındaki konum daha ayrıntılı olarak verilmiştir.
Örnek 1.1 1 Ortalama ve anlık hız Bir cismin konum-zaman grafiği x(t) = -4t+2t 2 fonksiyonu ile verilmektedir. T-saniye cinsindendir. a) 0 t 1 ve 1 t 3 zaman aralıklarındaki yerdeğiştirmeyi hesaplayınız. b) 0 t 1 ve 1 t 3 zaman aralıklarındaki ortalama hızı hesaplayınız.
Örnek 1.1 1 Ortalama ve anlık hız t = 2.5 saniyedeki anlık hız ise v x =+6m/sdir dir.
13İvme 1.3 Eğer cismin hızı da zamana bağlı olarak değişiyorsa bu yeni duruma ivme ismi verilir. Aşağıdaki gibi gösterilebilir. Birimi metre / s 2 dir
Anlık ivme Daha küçük zaman aralıklarındaki hız değişimlerini bilmek önemli ise bu aşağıdaki gibi formül ile elde edilebilir:
Anlık ivme Bir nesne bir çizgi boyunca hareket ediyorsa bu cismin hızının ve ivmesinin yönleri hakkında şunlar söylenebilir: Eğer hız ile ivme aynı yönlerde ise cismin sürati artıyordur, Cismin hızı ile ivmesi farklı yönlerde ise sürati azalıyordur.
Anlık ivme Ani ivme hız-zaman zaman grafiğinden elde edilebilir. (a) Her anlık değer a x ivmesinin t zamanına göre grafiğinden bulur. (b) v x in t ye göre grafiğinin eğiminden yani (a) daki iki noktayı birleştiren ş çizginin tanjant değerinden hesaplanır.
x, v x, ve a x Anlık hız x -t grafiğinin tanjant değerlerinden hesaplanır. t = 0 ve t = t A, aralığında x -t grafiğinin eğimi artmaktadır. Yani hız da artmaktadır. t A ve t B, aralığında x -t grafiğinin eğimi sabittir ve hız sabit kalmaktadır. t D D,, noktasında grafiğin ğ eğimi ğ x -t grafiğinden sıfırdır, yani anlık hız sıfırdır. t D ve t E,aralığında x -tt grafiğinin eğimi azalmaktadır yani hız negatiftir. t E ile t F, aralığında x-t grafiğinin eğimi negatiftir ve t F de bu değer sıfırdır. t F, değerinden sonra ise x -t t grafiğinin eğimi sıfırdır ve cisim duruyordur.
Örnek 1.2 Ortalama ve anlık ivme x-ekseni boyunca hareket eden bir cismin hızı v x = (40-5t 2 ) m/s olarak verilmektedir. Denklemdeki t zamanı göstermektedir. (a)0 t 2 s aralığında ortalama ivmeyi hesaplayınız. v = - A2 )m/s= - 2 xa (40 5t [40 5(0) ]m/s=+40 m/s v xb = (40-5t B2 ) m/s = [40-5(2) 2 ]m/s=+20 m/s
Örnek 1.2 Ortalama ve anlık ivme (b) t = 2 s deki anlık ivmeyi hesaplayınız.
1.4 Hareket diyagramları
1.5 Tek boyutta sabit ivmeli hareket Bir parçacığa ait a) konum-zaman, b) hız-zaman ve c) ivme-zaman grafikleri
Sabit ivmeli hareket
Sabit ivmeli hareket
Kinematik denklemler
Örnek 1.3 Otoyol trafiğine ğ egirmek (A) yokuş-yukarı otoyola girerken ivmenizin ne olacağını tahmin ediniz. Bu problemi çözerken a x için yaklaşık değerler alabiliriz. Diğer değişkenler ise konum, hız ve zamandır. Son hızımızı yaklaşık olarak 100 km/h alarak akan trafiğe girebileceğimizi kabul edelim., bu değerin MKS birim sistemine çevrilmesi gerekmektedir: (1 000 m/1 km) ile kilometreyi metreye ve (1 saat/3 600 saniye) ile saati saniyeye çevrilir. Son hızı yaklaşık olarak 3 e bölündüğünü yani v xf = 30 m/s alalım. Başlangıç hızımızıda son hızın 1/3 olarak alırsak v xi = 10 m/s. Son olarak 10 saniyelik süre içinde trafiğe karıştığımız düşünelim. Bunu günlük hayatınızda da tecrübe edebilirsiniz. Aşağıda ortalama ivme verilmektedir:
Örnek 1.3 Otoyol trafiğine girmek (B) Bu ivme ve zamanın yarısında ne kadar yol alırız? İvmemizin sabit kaldığını kabul ederek bu soruya cevap bulabiliriz.
Örnek 1.4 Bir uçağın ğ uçak gemisine inişiş Bir jet uçak gemisine 140 mi/saat (63 m/s) ilk hızı ile inmek ve 2 s içinde durmak istemektedir. Durma esnasındaki ivmesi ne olur? Uçak bu süre zarfında ne kadar yol alır?
Örnek 1.5 Hız limitini geçince Bir reklam panosunun arkasında gizlenen polis motosikleti hız limitini geçen bir aracı (45 m/s) yakalamak için durgun halden 3 m/s 2 ivme ile harekete başlamıştır. Aracı yakalayabilmesi için ne kadar süre geçer?
1.6 Serbest düşen cisimler Bütün cisimler eğer hava direnci ihmal edilirse İtalyan fizikçi ve astronom (1564-1642) dünyaya doğru yerçekim ivmesi ile hızlanarak düşerler. Bu görüş 1600 lü yıllara kadar kabul edilmedi. Büyük filozof Aristotle (384 322 B.C.) ağır cisimlerin hafif cisimlerden daha hızlı düştüğünü söylemişti. Italyan Galileo Galilei (1564 1642) bunun doğru olmadığını Pisa Kulesi nden farklı ağırlıktaki cisimleri yere bırakarak aynı anda yere yere vardıklarını gösterdi. Ayrıca eğik düzlemler üzerinde deneyler yaparak cisimlerin ivmelerindeki değişmeyi gözlemlemiştir. Yerçekim ivmesi deniz seviyesine yakın yerlerde 9.80 m/s 2 olarak alınmaktadır.
Örnek 1.6 Zıplayan top Şekildeki gibi zıplayan bir topun konumunu, hızını ve ivmesini zamana göre değişim ğ ş grafiğini ğ çiziniz.
Örnek 2.6. Zıplayan top
Örnek 1.7 Yukarı doğru atılan taş 50 m yüksekliğindeki bir binanın tepesinden 20.0 m/s ilk hızla bir taş yukarı doğru atılmaktadır. ta = 0 s kabul ederek (A) Topun maksimum yüksekliğe ulaşması için geçen süreyi, (B) Maksimum yüksekliğini, (C) Taş yere düşerken atıldığı noktadan ne kadar süre sonra geçer? (D) Bu anda topun anlık hızı nedir? (E) Taşın t =5 s deki konumu ve hızını belirleyiniz. l i i
Örnek 1.8 Konum, hız ve sürat Bir ralli aracının konumu değişik zamanlarda aşağıdaki çizelgedeki gibi elde edilmiştir. ş Arabanın ortalama hızını (a) Birinci saniyede, (b) Son 3 s aralığında ve t(s) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 (c) Toplam zaman içinde. x(m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5 2.3 0.0 a) v ort = ---------- =23m/s 2.3 1 0.0 57.55 92 9.2 b) v ort = ------------- = 16.1 m/s 5 2.0 57.5 0.0 c) v ort = ---------- = 11.5 m/s 5 0.0
Örnek 1.9 Konum, hız ve sürat Bir parçacık x ekseni boyunca yandaki grafikteki gibi hareket etmektedir. Parçacığın ortalama hızını aşağıdaki zaman aralıkları için belirleyiniz. (a) 0-2 s, (b) 0-4 s, (c) 2 s - 4 s, (d) 4 s - 7 s, (e) 0-8 s.
Örnek 1.1010 Ani hız Bir parçacık x-ekseni boyunca zamana bağlı olarak x(t) = 3t 2 şeklinde hareket etmektedir. Denklemde x-metre ve t-saniyedir. Aşağıdakileri elde ediniz. (a) t = 3.00 s deki konumunu, (b) 3.00 s+ t deki konumunu, (c) t ->0 limit durumu için x / t hızını t=3 saniye için hesaplayınız. (a) x(t=3) = 3t 2 =3 3 2 = 27 metre (b) x(t=3 + t) = 3(t + t) 2 =3 (t 2 + 2t t + t 2 ). (c) v = Limit ( t ->0) = x / t = 6t ve t=3 s için v = 18 m/s dir.
Örnek 1.11 Ani hız, sürat Bir cismin durgun halden harekete geçmesi şekildeki grafikteki gibi verilmektedir. (a) t = 10 s ve t =20 s lerinde parçacığın ğ süratini hesaplayınız, (b) İlk 20 s içinde parçacığın aldığı yolu hesaplayınız.
Acela (ah-sell-ah Washington-New York- Boston arasında çalışan bir servis adı) Amerikan trenlerinin Porsche sidir. İki lokomotif ve 6 yönetmeni vardır. 304 yolcuyu 170 mi/saat hızla taşır. Yolcuların sarsıntıları az hissetmesi için vagonlar birbirine neredeyse yapışıktır. Fren sistemi hareketten elde edilen elektrik enerjisi ile çalışır. Bu trenin hız-zaman grafiği yanda verilmektedir. (a) Her zaman aralığı için trenin hareketini anlatınız. (b) Grafikten trenin ivmesinin en büyük olduğu ğ yeri belirleyiniz. (c) t = 0 ve t = 200 s aralığında trenin yerdeğiştirmesini hesaplayınız. Örnek 1.1212 Hız veivme