ÇOK ÖLÇÜTLÜ KARAR VERME PROF. DR. İBRAHİM ÇİL

ÇOK ÖLÇÜTLÜ KARAR VERME PROF. DR. İBRAHİM ÇİL 1

Bu bölümde; Çok ölçütlü karar verme yöntemlerini tanıyacağız. Özellikle anlatılacaktır. SMART ve ELECTRE yöntemleri üzerinde durulacaktır.

Çok ölçütlü karar verme Birden fazla amacın aynı anda eniyilenmesini gerektiren ölçütlerin gözönüne alındığı durumlar. KISIT (constraint): Uygun çözüm alanını belirleyen eşitsizlikler HEDEF (goal) : Kendisine ulaşmakla yetinebileceğimiz göstergeler AMAÇ (objective) : Son noktasına kadar eniyilemek istediğimiz çokluk Günde en az 6 saat çalışılsın Hedef Kar en az %10 olsun Hedef Kar olabildiğince çok olsun Amaç NİTELİK (attribute ) : Seçeneklerin belli özelliklerini gösteren sayısal veya sayısal olmayan değerler ÖLÇÜT (criterion) : Etkinliğin ölçüsüdür. Bazen amaç bazen nitelik anlamına gelir. Değerlendirme esası nitelik veya amaç şeklinde olabilir. Eğer nitelikler ölçütse Çok Nitelikli Karar Verme (ÇNKV) Eğer amaçlar ölçütse Çok Amaçlı Karar Verme (ÇAKV) Çoğu kaynakta ortak ad ÇÖKV

Çok Nitelikli Karar Verme (ÇNKV) Seçenekler belli ve az sayıda Kısıt yok Çok Amaçlı Karar Verme (ÇAKV) Seçenekler sonsuz (uygun çözüm içerisinde eniyisini bulma problemi) Kısıtlar açıkça belli Nitelikler belli değil ÖRNEK: Otomobili ele alalım. modelin belirlenmesi imalatçı açısından ÇAKV problemidir (bir tasarım problemi). satın alınması tüketici açısından ÇNKV problemidir (bir seçme problemi).

Çok ölçütlü karar verme (ÇÖKV) ve matematiksel programlama (MP) ÇÖKV Seçenek sayısı sınırlıdır ve bunlar önceden bellidir. MP Uygun çözüm alanı içerisinde sonsuz sayıdaki çözümden hangilerinin ele alınacağı önceden belli değildir. ÇÖKV Kısıt söz konusu değildir. Eldeki seçenekler zaten kısıtları sağlamış oldukları için seçenek olma niteliğini kazanmışlardır. MP Kısıtlar açıkça bellidir ve UÇA onlar sayesinde belirlenir. ÇÖKV Seçeneklerin niteliklerini sınayan birden fazla ölçüt vardır. MP Eniyilenecek tek amaç vardır.

İki çeşit seçeneğin değerlendirilmesi KOLAY Her yönüyle diğerlerinden daha kötü (hemen elenir, değerlendirmeye alınmaz) Her yönüyle diğerlerinden üstün (hemen benimsenir zaten problem YOK) Problem? Değerlendirilecek seçenekler hangileridir? Bu seçeneklerin değerlendirilmesi hangi ölçütlere dayanmalıdır? Ölçütlerin birbirlerine göre önem dereceleri nedir? Seçeneklerin nitelikleri nelerdir?

m: seçenek sayısı n: ölçüt sayısı PROBLEMİN YAPISI Ölçütler ve bunların önem derecelerini veren bir ağırlıklar vektörü: W (nx1) Wj: j. ölçütün ağırlığı (j = 1, 2,...n) Seçeneklerin niteliklerini gösteren bir karar matrisi: A (mxn) aij : i. seçeneğin j. ölçüte göre değeri (i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n)

Çok Kriterli Karar Verme Nedir? Çok kriterli karar verme, Karar Bilimlerinin bir alt dalıdır. Karar sürecini kriterlere göre modelleme ve analiz etme sürecine dayanır. İnsanların çeşitli kaynaklardan gelen farklı ve çeşitli bilgileri yeterli bir şekilde değerlendirmediği gözlenmiş olduğu için geliştirilmiştir. Kullanılacak Örnekler Araba alımı: Amaç Kriterler Alternatifler Bir kurumun özelleştirmesi: Amaç Kriterler Alternatifler

Çok Ölçütlü Karar Analizi Seçimlerimizi tek bir kritere göre yapmamız hemen hemen imkansızdır. Kısıtlar hayli çoktur ve tüm alternatifleri tam anlamıyla değerlendirmemizi ve çok sayıda kriteri göz önüne almamızı zorunlu kılar. Bu şekilde verilen kararlar çok ölçütlü karar verme olarak ifade edilir. Bu yaklaşım karar vericiye seçenekleri kriterlere göre değerlendirip problemine en arzu ettiği çözümü ararken yardım eder ve yol gösterir. Çok sayıda kriter kullanılarak bir seçenek kümesinin değerlendirilmesi için genel tercih ilişkisi oluşturur. Çok Ölçütlü karar problemleri çok sayıda kriteri göz önüne almamızı gerektirir. Örneğin maliyet, güvenilirlik, emniyet, çevresel etkiler vb gibi.

Çok Ölçütlü Karar Verme Problemi Bu tür problemler çok sayıda kriteri göz önüne almamızı gerektirir. Örneğin maliyet, güvenilirlik, emniyet, çevresel etkiler vb gibi. Karar vericinin tercihleri formülasyonun önemli bir kısmını teşkil eder. Burada karar verici için uygun kabul edilebilir bir çözüm bulmaya çalışılır. Belirsizlik içerir, olasılıklar sözkonusudur, aralık değerleri ve bulanık durumlar vardır. Risk içermeleri de her zaman sözkonusudur. Çok ölçütlü karar verme problemi genellikle aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi karar matrisi formunda formüle edilirler. Kriterler Seçenekler C 1 C 2... C m a 1 a 11 a 12... a 1m a 2 a 21 a 22... a 2m a 3 a 31 a 32... a 3m...... a n a n1 a n2... a nm Satırlarda seçenekler ve sütunlarda kriterler temsil edilir yada tam tersi satırlarda kriterler ve sütunlarda seçenekler yer alır. Tablodaki a ij değerleri nitelikleri temsil eder ve karar vericinin tercihlerini yansıtan puanlardır.

Çok Ölçütlü Karar Verme Metodları Çeşitli çok kriterli karar verme metodları vardır: Analitik Hiyerarşi Süreci Çok kriterli yarar metodları Çok amaçlı optimizasyon metodları Üstünlük şağlama metodları Fuzzy (bulanık, belirsiz) değerlendirmeler

Çok Ölçütlü Karar Verme Teknikleri Günümüzde uzmanlar tarafından önerilen çok kriterli metotlar üç kategoride gruplanabilir: Amerikan okulu tarafından önerilen Çok nitelikli Fayda Teorisi (Multi Attribute Utility Theory MAUT) (Keeney and Raiffo, 1976) Fransız okulu tarafından önerilen Sıralama Teknikleri-(Outranking Relations) Etkileşimli Metodlar (Interactive Methods), Vincke, 1992) Amerikalılar Çok ölçütlü karar problemlerini çözmede en fazla fayda fonksiyonları esas alırlar. Önceliklerin belirlenmesine önem verirler. Avrupalılar araştırmacı bir yaklaşımla daha önce iyi sonuç veren veya eksik sonuç veren çözümleri gözden geçirirler. Avrupa veya Fransız Ekolü, Önceliklerin karar verici için önemli olmadığını, karar destek mekanizmasının kararları yapılandırmak ve farklı ağırlıktaki karar problemlerinin sonucunu anlamak için gerekli olduğunu savunur. Önemli olan nokta hedef limitlerinin farkında olmaktır. Bunun için araştırmacılar değer yargı modellerini oluşturmaya iş hipotezlerini araştırarak yardım etmelidir. ELECTRE, TOPSIS, PROMETHEE Metotları bu felsefeye uygun olarak en belirgin örneklerin arasındadır.

Çok ölçütlü problem çözüme yöntemleri dört ana grupta toplanır (Şekil 2). Birinci gruptaki yöntemler, Temel yöntemler olarak ifade edilen yöntemlerdir. Bunlar; Çoğunluk, Özelliklerine Göre Eleme, İyimserlik, Kötümserlik, Birleştiren, Ayıran, bilinen yöntemleridir. İkinci gruptaki yöntemler, değer/fayda temelli yöntemlerdir. Örnek olarak şu metodlar verilebilir; SMART, Ağırlıklı Ortalama, Ağırlıklı Çarpım, TOPSIS ve Analitik Hiyerarşi Süreci Üçüncü gruptaki yöntemler üstünlüğe dayanan yöntemlerdir. Bunaların yaygın örnekleri ELECTRE ve PROMETHEE ailesi içerisindeki metodlardır. Dördüncü gruptaki yöntemler Etkileşimli yöntemlerdir. Bunlara örnek olarak PRIAM, STEM ve Değişen Hedef Yöntemi verilebilir[evren Ülengin]. Bu yöntemlerden bazıları aşağıda uygulamalarıyla açıklanacaktır.

SMART Yöntemi (Simple Multi-Attribute Rating Technique) SMART, en yaygın çok ölçütlü karar analiz metodudur. Türkçede, Temel Çok ölçütlü Değerlendirme Tekniği olarak ifade edilebilir. Bu metodla çok sayıda seçenek birden çok performans kriterine göre değerlendirilir. Burada amaç, seçenekleri öznel olarak tercih sırasına göre sıralamaktır. Word Edwards ve diğer psikologlar, faydanın pratik ölçümü ve davranışsal karar verme teorisi ile ilgilendiler. Word Edwards problemlerin basitleştirilmesini savundu ve 1980 lerde SMART ı geliştirdi. Bu, insanların öncelikli kriterlere odaklanmasını sağlamakta ve seçeneklerin çok ölçütlü değerlendirilmesini içermektedir. Bu metod temel alınarak, metodun değişik türevleri geliştirilmektedir.

Puanlama Yöntemi : Puanlama yöntemi ağırlıklı puan sistemine dayanarak projeleri yada alternatifleri karşılaştırmak için kullanılır. Puanlama modelleri birçok ölçüt kullanan farklı seçenekleri yada görünmeyen kazançları sayısallaştırmak olanağı da sağlar. Toplam puanı bulmak için her bir ölçütün ağırlığı puanıyla çarpılır ve projedeki bütün ölçütlerin bulunan değerleri toplanır. Formül şu şekildedir : Wi = kriter ağırlığı Ci =kriter puanı 0 <= Wi <= 1

Seçenekleri Değerlendirme Kriterin Ağırlığı Seçenek A Seçenek B Seçenek C Beklentileri Uygulama Toplam karşılama Maliyet zorluğu %50 % 20 %30 5 2 4 4.1 3 4 5 3.8 5 4 1 3.3 1 = Kriteri karşılamıyor 5 = Kriteri çok etkili olarak karşılıyor

Aşağıdaki tabloda yukarıdaki sistem kullanılarak karşılaştırılan değişik proje seçenekleri gösterilmektedir : Proje Seçeneklerinin Karşılaştırılması

Puanlama modeli birçok önemli fikri vurgular: Puanlama modeli sayısal olan ve olmayan öğelerin birleştirilmesini sağlar. Kullanılan ağırlıklar ve puanlar özneldir. Parasal modeller kısa dönemde ön yargılı davranabilirler. Bazı ölçütler ters puanlanabilirler. Geçmiş deneyimler daha gerçekçi bir olurluk incelemesi yapılmasına yardımcı olurlar.

SMART Puanlama Yöntemi Aşağıda bir üretim firması için mevcut durumu ve yeni bir projesi için iki duruma ait bilgiler verilmektedir. Burada iki seçenek için parasal değer yanında diğer faktörlerde değerlendirme kriteri olarak göz önüne alınmaktadır. Değerlendirme Kriterleri Eski Makine Yeni Makina İş güvenliği şartları Riskli Çok güvenli Pazar payı üzerindeki etkisi Orta Çok yüksek Teçhizatın durumu Her an bozulabilir İyi durumda Maliyetlerin net şimdiki değeri 0 9662 TL 19

1.Adımda her bir seçenek değerlendirme kriteri için belirlenen bir ölçek üzerinden puan verilir. İfadelerin bir ölçek kullanılarak sayısal puanlara dönüştürülmesi Değerlendirme Kriterleri Eski Makina Yeni Makina İş güvenliği şartları 0,3 1,0 Pazar payı üzerindeki etkisi 0,5 1,0 Teçhizatın durumu 0,4 1,0 Maliyetlerin net şimdiki değeri 1,0 0,6 Burada en iyi puan için 1 ve en az istenen durum içinde 0 puanı gözönüne alınmıştır.

2.Adımda kriterin ağırlıkları belirlenir. 21 I. Karar Verici Puanlar Normalize Değerler Ortalama Kriter II. Karar Verici I. II. Ağırlıkları Pazar payı üzerindeki etkisi 40 100 40/90 = 0.44 100/200 = 0.5 0.47 Maliyetlerin net şimdiki değeri 25 50 25/90 = 0.28 50/200 = 0.25 0.26 İş güvenliği şartları 15 30 15/90 = 0.17 30/200 = 0.15 0.16 Teçhizatın durumu 10 20 19/90 = 0.11 20/200 = 0.10 0.11 İki farklı karar verici her bir kritere bir puan vererek bu puanlar normalize edilip daha sonrada ortalaması alınabilir.

3.Adımda seçeneklerin final puanları belirlenir. 22 Eski Makina Yeni Makina Ağırlıklar Puan X Ağırlık Puan X Ağırlık İş güvenliği şartları 0.16 0,3*0.16=0.048 1,0*0.16=0.160 Pazar payı üzerindeki etkisi 0.47 0,5*0.47=0.235 0.470 Teçhizatın durumu 0.11 0.044 0.110 Maliyetlerin net şimdiki değeri 0.26 0.260 0.156 Toplam Puan 0.587 0.896 Kriter ağırlıkları ile her bir seçenek için verilen puanlar çarpıldıktan sonra ilgili seçenek için tüm çarpım değerlerinin toplanmasından oluşan final puanlar belirlenir. Bu sonuca göre Yeni Makine Alımı Projesi yüksek puana sahip olduğu için bu seçenek seçilmelidir.

SMART (Simple Multi-Attribute Rating Technique) SMART (Simple Multi-Attribute Rating Technique), en yaygın Çok ölçütlü karar analiz metodudur. Türkçede, Temel Çok ölçütlü Değerlendirme Tekniği [Von Winterfeldt and Edwards ] olarak ifade edilebilir. Bu metodla çok sayıda seçenek birden çok performans kriterine göre değerlendirilir. Burada amaç, seçenekleri öznel olarak tercih sırasına göre sıralamaktır. SMART tekniğinin uygulaması ile ilgili bir değerlendirme tablosu verilmektedir (Tablo 1). Tablodaki puanlar 10 üzerinden verilmiş değerlerdir. Hesaplama biçimi, her bir kriterin ağırlık değeri ile ilgili seçeneğin puanının çarpıldıktan sonra ilgili seçenek için tüm çarpım değerlerinin toplanmasından oluşan final puanlar belirlenir. Bu en son elde edilen ağırlıklı puanlara göre seçenekler sıralanır.

Örnek Herhangi bir yerleşim birimi ile şehir merkezi arasında bir ulaşım sistemi kurulacak. Bunun için en iyi seçeneğin hangisi olacağı belirlenmek isteniyor. Büyük değerler ilgili kriter açısından o seçeneğin oldukça verimli olduğunu ifade eder. Sonuçta ağırlıklı puan değerlerine göre seçenekler Raylı Sistem, Metrobüs ve Otobüs Hattı şeklinde sıralanır. Seçenekler Kriterler Ağırlık Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem Maliyetler 0,190 10 8,0 5,5 Ulaşım zamanından sağlanan tasarruf 0,135 8,5 6,5 4,0 Kapasite 0,270 7,0 8,0 8,5 Çevre kirliliği 0,270 5,0 5,5 8,5 Yola ayrılan arazi kaybı 0,135 5,0 5,0 10 Ağırlıklar Toplamı 1,000 Final Skorlar 7,0 6,7 7,5

Basit Toplamlı Ağırlıklandırma Her seçeneğin, tek boyutlu değer fonksiyonu değerlerinin kullanılması yerine, farklı ölçütlere göre elde ettiği performans değerlerinin doğrudan kullanılıp ölçüt göreli önlemlerine göre ağırlıklandırılıp, toplam global puanın elde edilmesine dayanan bu yönteme Basit Toplamlı Ağırlıklandırma (Simple Additive Weighting) veya Ağırlıklı Ortalama Yöntemi adı verilir. Böylece karar matrisindeki nicel performans değerleri kullanılarak seçeneklerin puanını temsil eden bir vektör oluşturulur. Söz konusu vektördeki seçenek değerleri; w j, j ölçütün göreceli önemini (normalize edilmiş ağırlık) göstermek üzere aşağıdaki denklemle hesaplanır: V(a) = Vi = j 1 Değerlendirme Tablosu n w j r ij Kriterler Ağırlık Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem İdeal Puanlar Maliyetler 0,190 10 8,0 5,5 10 Ulaşım zamanından sağlanan tasarruf 0,135 8,5 6,5 4,0 8,5 Kapasite 0,270 7,0 8,0 8,5 8,5 Çevre kirliliği 0,270 5,0 5,5 8,5 8,5 Yola ayrılan arazi kaybı 0,135 5,0 5,0 10 10

Normalize edilmiş değerler Önce kriterlerin ideal puanları belirlenir. Değerlendirme tablosundaki değerler ideal değerlere bölünerek normalize edilmiş değerler elde edilir. Daha sonra normalize edilmiş değerler ağırlıklarla çarpılıp toplandıktan sonra her bir seçenek için ağırlıklandırılmış toplam değerler bulunur. Bunların içerisinde en büyük 0,843029 olduğu için Raylı Sistem seçilir. Kriterler Ağırlık Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem Maliyetler 0,19 1 0,8 0,55 Ulaşım zamanından sağlanan tasarruf 0,135 1 0,764706 0,470588 Kapasite 0,27 0,823529 0,941176 1 Çevre kirliliği 0,27 0,588235 0,647059 1 Yola ayrılan arazi kaybı 0,135 0,5 0,5 1 Ağırlıklandırılmış değerler 0,773676 0,751559 0,843029

Ağırlıklı Çarpım Her ne kadar normalizasyon işlemi olmasa da üssel işlem yapıldığından bütün x ij değerlerinin birden büyük olması gerekir. Eğer herhangi bir ölçüt için birden küçük değerler varsa tüm değerler bu ihtiyacı karşılayacak şekilde 10m ile çarpılmalıdır. Göreli önemler; kar ölçütü için pozitif ve maliyet ölçütü için negatif işaretli üs olarak kullanılırlar. Aşağıdaki förmül kullanılarak işlemler yapılır. Vi = j (x ) ij w Tablo 6. Değerlendirme Tablosu j Kriterler Ağırlık Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem Maliyetler 0,190 10,0 8,0 5,5 Ulaşım zamanından sağlanan tasarruf 0,135 8,5 6,5 4,0 Kapasite 0,270 7,0 8,0 8,5 Çevre kirliliği 0,270 5,0 5,5 8,5 Yola ayrılan arazi kaybı 0,135 5,0 5,0 10,0 Ağırlıklar Toplamı 1,000 Final Skorlar 7,0 6,7 7,5 Tablodaki değerlerin ağırlık değerlerine göre üs leri alınarak aşağıdaki tablo oluşturulur.

Tablo 7 Üs alınmış değerlendirme tablosu Kriterler Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem İdeal l Maliyetler 1,548817 1,484524 1,382512 1,548817 Ulaşım zamanından sağlanan tasarruf 1,33497 1,287488 1,205808 1,33497 Kapasite 1,691128 1,753211 1,782145 1,782145 Çevre kirliliği 1,544265 1,584521 1,782145 1,782145 Yola ayrılan arazi kaybı 1,242685 1,242685 1,364583 1,364583 Her bir seçenek için tüm değerler çarpılarak vi değerleri elde edilir. V i değerleri de ideal değere bölünerek r değerleri elde edilir. Buna göre en büyük değer 0,806261 olduğu için Ağırlıklı Çarpım yöntemine göre Raylı Sistem seçilmelidir. Metrobüs Otobüs hattı Raylı Sistem İdeal Vi 6,710129 6,598171 7,224923 8,961027 r 0,748813 0,736319 0,806261 1

ELECTRE Bu yöntem ilk olarak Benayoun, Roy ve arkadaşları tarafından 1966 yılında geliştirilmiştir. Metot var olan karar verme metotlarına bir cevap olarak geliştirilmiştir. ELECTRE metodunun ana konsepti; her bir kriter için ayrı ayrı olmak üzere alternatiflerin aralarındaki ikili karşılaştırmaları kullanmaktır. İki alternatifin (A i ve A j ) tercih edilebilirliğinin üstünlük ilişkisi A i A j şeklinde gösterilir ve eğer i.nci alternatif j.inci alternatife niceliksel baskınlık kuramazsa karar verici A i nin A j ye göre daha iyi olduğunu riskini alabilmelidir. Alternatifler, eğer başka bir alternatif bir veya daha fazla kriterde üstün ve kalan diğer kriterlerde eşit olursa baskın olarak adlandırılabilirler.

ELECTRE ELECTRE metodu alternatiflerin tercih edilebilme üstünlük ilişkisinin ardışık yargıları arasından, A j alternatifi Ak alternatifine üstünlük sağlar veya daha önemlidir sonucunu destekleyen kanıt sayısı şeklinde tanımlanan uyumluluk indeksini ve uyumluluk indeksinin karşı tarafı olan uyumsuzluk indeksini çıkartmaktadır. ELECTRE metodu alternatifler arasından ikili tercih edilebilirliğinin üstünlük ilişkisi sistemini getirmektedir. Bunun nedeni, bu sistemin tamamlanması gerekmemektedir, ELECTRE metodu bazen pek çok tercih edilmiş alternatifi tanımlayamamaktadır. Metot sadece lider alternatiflerin merkezini üretmektedir. Bu metot alternatiflerin daha açık birer görüntüsünü daha az favori olanları eleyerek sağlamaktadır. Metot özellikle birçok kriter fakat çok sayıda alternatif içeren problemleri için uygundur.

ELECTRE Yöntemi Bu yöntem seçenekler arasından en iyi olanı seçmeyi amaçlar sıralamadan çok seçim üzerine odaklanır. ELECTRE yönteminde, her bir kriter için bir tane verimlilik, bir tane de önem ölçüsü tespit edilir. Verimlilik ölçüsü esas alınarak her bir seçeneğin verimliliği hesaplanır, diğer bir deyimle tayin edilen verimlilik ölçüleri üzerinden her bir seçeneğe puan verilir. Bu puanlar, verimlilik ölçüleri ve önem ölçüleri birlikte göz önüne alınarak verilir. İkili karşılaştırma esasına dayalı olarak önce uyum göstergeleri sonrada uyumsuzluk göstergeleri hesaplanır. Çizge teorisinden yararlanarak belirlenen eşik değerleri aşan uyum ve uyumsuzluk göstergelerinden çizge haritası çıkarılır. Daha sonra seçeneklerden en uygun olanı seçilir. Bu yöntemin uygulama adımları aşağıda sıralanmıştır; Adım 1: Seçeneklerin Oluşturulması Adım 2: Amaçların Belirlenmesi (veya ölçütlerin belirlenmesi) Adım 3: Amaçların Ağırlıklandırılması Adını 4: Verimlilik ölçüsünün belirlenmesi Adım 5: Seçeneklerin amaçlara göre değerlendirilmesi Adım 6: Uyum matrisinin oluşturulması Adım 7: Uyumsuzluk matrisinin oluşturulması Adım 8: Uygun seçeneklerin belirlenmesi

ELECTRE Yöntemi Yukarıda ilk beş adımdaki işlemler değerlendirme tablosu üzerinde görülmektedir. Tabloda f i,j, hi ölçeği üzerinden seçeneklere verilen puanları, ai kriterlerin önem derecesini göstermektedir. Burada hi için değişik ölçek değerleri kullanılabilir. Bunlar ( kötü, iyi, orta düşük) şeklinde olabilir, yada 10 üzerinden verilen puanlar olabilir. Tablo 23. Değerlendirme Tablosu Seçenekler Ölçütler 1 2 m Verimlilik ölçüsü Önem ölçüsü 1 p 1,1 p 1,2 p 1,m h 1 a 1 2 p i,1 p i,2 p i,m h i a i...... n p n,1 p n,2 p n,m h n a n Tablodaki değerlerden hareketle uygun seçeneği bulma işleminde yararlanılacak olan uyum ve uyumsuzluk göstergeleri hesaplanır.

Uyum Matrisi S 1 ve S 2 iki seçenek olsun. S 2 en azından S 1 kadar iyidir, varsayımı ölçütleri iki ayrık kümede toplama imkanı vermektedir. Bu C(S 1, S 2 ) kümesidir. Yukarıda gösterilen uyum göstergesi tüm seçeneklerin ikili ilişkileri için hesaplanarak uyum matrisi olarak isimlendirilen bir matriste toplanır. Her bir uyum göstergesi şöyle hesaplanır. C(1,2) = S2 seçeneği en azından S1 seçeneği kadar iyidir varsayımını gerçekleyen ölçütlerin önem ölçüleri toplamı Tüm ölçütlerin önem ölçütleri toplam

Uyumsuzluk Matrisi Uyum göstergesinde bire yakın olması istenir. Temel vurgu önem ölçüsü üzerinedir. Bunun yanında p i,j puanlarının da göz önüne alınması gerekir. Zira, p i, S1j> p i, S2 ifadesi gerçeklenirken bu değerler birbirlerine çok yakın olabilirler veya aksine her biri puanlandırmada esas alınan ölçeğin iki ayrı ucunda bulunabilirler. Bu durumda p i,s1 ve p i,s2 çiftlerinin uyumsuzluğun büyüklüğünü veya küçüklüğünü belirlemek için, bir h j ölçeğinden alınan rastgele bir puan çifti ile karşılaştırılmasını sağlayan bir ilişkinin varlığını aramak gerekir. Bu amaçla şöyle bir uyumsuzluk göstergesi kurulur. 0 D( S1, S2) 1 d( S1, S2) max pi, S 2 pi, S1 D( S1, S2) h i D( S1, S2) Burada h, ölçütler için tespit edilen verimlilik ölçülerinden en büyüğünü göstermektedir. Ancak değişik şekillerde de kullanılabilir. Örneğin kriterin en büyük ve en küçük puanı arasındaki farklarda h değerleri olarak kullanılabilir. Bu derste aksi belirtilmedikçe en büyük değer ile işlem yapılacaktır.

Uygun Seçeneklerin Belirlenmesi Uyum ve uyumsuzluk matrisleri oluşturulduktan sonra bunların elemanları belirli bir şekilde denetlenerek uygun olmayan seçenekler elenecektir. 0 ile 1 arasında kalan iki sayı p ve q olan bir eşik değer belirlenir. Bunlardan p daha çok 1 e, q ise 0 a yakın olsun. (n) tane ölçüt olması ve p, q nün göz önüne alınması durumunda S2 nin S1 i geçmesi için (S1, S2) çiftinin aşağıdaki özellikleri sağlaması gerekir: 1) Uyum göstergesi en azından p ye eşit olmalıdır. 2) Uyumsuzluk göstergesi en çok q ye eşit olmalıdır. Böyle tanımlanan ilişkiler bir P(p, q) çizgesiyle gösterilir. Bu çizgide okun yönü daha iyi puan alan seçenekten daha az puan alan seçeneğe doğrudur. Seçeneklerin eşit puanlı olması durumunda her iki seçeneğe karşılıklı ok gelişi ile gösterilir. Electre yönteminde KV nın subjektif (kişisel) tercihleri her zaman hatalara yol açabilir. Bu yöntem de verimlilik ölçütlerini belirlemek zordur. Amaç sayısının fazla olması durumunda tüm bunlar daha da güçleşecektir. Uyum ve uyumsuzluk matrislerinden uygun seçeneklerin belirlenmesi uzun hesaplamalar gerektirmektedir. Electre her şeyden önce bir seçim metodudur. Diğer ifadeyle seçenekler arasından en iyi olanı belirlemeyi amaçlar. Bunun yanında Electre II sıralama problemleri için kullanılır. Bu sıralama en iyiden en kötüye doğru tamamlanır. Electre II, birbirine yakın alternatifleri ve ilgisiz yani karşılaştırma yapılamayan alternatifleri ele alır.

ÖLÇÜTLER Değişik helikopterlerin 7 ayrı kritere göre etkinlikleri aşağıda verilmektedir Ölçüt 1 1,9 Ölçüt 2 2,4 Ölçüt 3 1,2 Ölçüt 4 6,4 Ölçüt 5 5,3 Ölçüt 6 3,2 Ölçüt 7 5,1 SEÇENEKLER System A System B System C Ölçek Ağırlığı 2,6 1,8 3 1 2,6 3,4 5 1 1,2 1,7 2 2 7,1 7,3 10 2 5,2 6,1 10 3 4,2 6,1 10 0,5 6,1 8,5 10 0,5 Uyum Göstergeleri C(A,B)= (1+1+2+2+0,5+0,5)/10=7/10=0,7 C(A,C)= (1+2+2+3+0,5+0,5)/10=9/10=0,9 C(B,A)= (2+3)=5/10=0,5 C(B,C)= (1+2+2+3+0,5+0,5)=9/10=0,9 C(C,A)= (1)=1/10=0,1 C(C,B)= (1)=1/10=0,1 UYUM A B C A 0,7 0,9 B 0,5 0,9 C 0,1 0,1

Uyumsuzluk Göstergeleri: D(A,B)= 1/10max( 5,2-5,3 )=1/10(0,1)=0,01 D(A,C)= 1/10max( 1,8-1,9 )=1/10(0,1)=0,01 D(B,A)= 1/10max ( 1,9-2,6, 2,4-2,6, 6,4-7,1, 5,3-5,2, 3,2-4,2, 5,1-6,1 )=1/10=0,1 D(B,C)= 0,08 D(C,A)= 0,34 D(C,B)= 0,24 UYUMSUZLUK A B C A 0,01 0,01 B 0,1 0,08 C 0,34 0,24 UYUM A B C A 0,7 0,9 B 0,5 0,9 C 0,1 0,1 UYUMSUZLUK A B C A 0,01 0,01 B 0,1 0,08 C 0,34 0,24 Eşik değerler p>=0,7 q<=0,1 C(A,B) D(A,B) C(A,C) D(A,C) C(B,C) D(B,A) D(B,C) A.. C. B

Elektrik Güç İstasyonu Yerleşimi Problemi Bu problemde mümkün yerleşim merkezleri olarak 6 alternatif bulunmaktadır;: İtalya (A1), Belçika (A2), Almanya (A3), İsviçre (A4), Avusturya (A5), Fransa (A6). Bunların belirlenmesinde 6 kriter vardır ve bu kriterler eşit ağırlıktadır; F1(.): İşgücü (alanı oluşturmak için), F2(.):Güç, F3(.):Yapılandırma Maliyeti, F4(.):Bakım Maliyeti, F5(.):Boşaltılacak Köyler ve F6(.):Güvenlik Seviyesi Tablo 24 ELECTRE Yöntemi İle Çözüm için Performans Tablosu Kriterler Min/Max A1 A2 A3 A4 A5 A6 Ağırlık ölçüt f1(.) Min 80 65 85 40 52 94 1 1-100 f2(.) Max 90 58 60 80 72 96 1 1-100 f3(.) Min 600 200 400 1000 600 700 1 0-1000 f4(.) Min 5,4 9,7 7,2 7,5 2 3,6 1 0-10 f5(.) Min 8 1 4 7 3 5 1 0-8 f6(.) Max 5 1 7 10 8 6 1 0-10

Tablo 25 Uyum Matrisi Uyum matrisindeki hesaplamalar aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. 2.ci Seçenek 1.ci Seçenek Kadar iyidir varsayımını gerçekleyen ölçütlerin önem ölçüleri toplamı C(1,2)= A1 A2 A3 A4 A5 A6 A1-0,5 0,5 0,5 0,833 0,666 A2 0,5-0,5 0,666 0,666 0,5 A3 0,5 0,5-0,5 0,833 0,833 A4 0,5 0,333 0,5-0,5 0,666 A5 0,333 0,333 0,166 0,5-0,166 A6 0,333 0,5 0,666 0,333 0,833 - Tüm ölçütlerin önem ölçütleri toplam Tabloda bulunan değerlerden bazıları aşağıdaki gibi hesaplanır. Kriterlerim maks ve min olmasına bağlı olarak seçenekler ikili olarak tüm kriterlere göre karşılaştırılarak aşağıdaki sonuçlar elde edilir. A 12 = ( 1+0+1+0+1+0 ) / 6 = 0,5 A 16 = ( 0+1+0+1+1+1 ) / 6 = 0,666 A 26 = ( 0+1+0+1+0+1 ) / 6 = 0,5 A 35 = (1+1+0+1+1+1 ) / 6 = 0,833 A 65 = ( 1+0+1+1+1+1 ) / 6 = 0,833

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A1-0,032 0,03 0,4 0,018 0,1 A2 0,4-0,2 0,8 0,4 0,2 A3 0,2 0,006-0,6 0,2 0,3 A4 0,04 0,025 0,045-0,012 0,054 A5 0,028 0,014 0,033 0,4-0,1 A6 0,006 0,038 0,036 0,3 0,024 - Uyumsuzluk matrisindeki hesaplamalar yukarıda verilen formülasyon kullanılarak hesaplanmaktadır. Tabloda bulunan bazı değerler aşağıdaki gibi hesaplanır. A 12 = 32 / 1000 = 0,032 A 13 = 30 / 1000 = 0,03 A 21 = 400 / 1000 = 0,4 A 26 = 500 / 1000 = 0,2 A 34 = 600 / 1000 = 0,6 A 42 = 25 / 1000 = 0,025 Uyum ve uyumsuzluk matrisleri hazırlandıktan sonra belirlenen p ve q eşik değerlerine göre çizgi oluşturulacak seçenek çiftleri aşağıdaki tablodaki gibi belirlenir. p ve q değerlerinin her iki listesinde de olan seçenekler aşağıdaki şekilde belirlenir. Okların yönüde puanı iyi seçenekten daha aza olana doğrudur. A 12, A 13, A 15, A 32, A 41, A 43, A 45, A 62, A 63, A 65

Bu seçenekler için oluşturulan çizge aşağıdaki şekilde olacaktır. Kendisine hiç ok gelmeyen A2 ve A5 seçeneklerinden biri seçilebilir (Şekil 8). Bunların içerisinde de A2 daha iyi bir seçenektir. Tablo 27 Eşik değerleri sağlayan seçenekler p 0,5 değerini sağlayan A 12 A 12 A 13 A 13 A 14 A 15 A 15 A 32 A 16 A 41 A 21 A 43 A 23 A 45 A 24 A 51 A 25 A 52 A 26 A 53 A 31 A 61 A 32 A 62 A 34 A 63 A 35 A 65 A 41 A 43 A 45 A 46 A 54 A 62 A 63 A 65 q 0,05 değerini sağlayan

Lexicographic (Ardışık Sırasal) Yöntem Bu yöntemde, amaçlar karar verici tarafından önem derecelerine göre sıralanır. Tercih edilen çözüm, amaçların en önemli olanlarından başlayarak, önem sırasına göre sırayla tümünü en büyükleyen çözümdür. Bu yöntemin uygulama adımları aşağıda sıralanmıştır. Adım 1: Önce en önemli amaç fonksiyonu en büyükleyen çözüm bulunur. Adım 2: İkinci önemli amaç fonksiyonu göz önüne alınarak ikinci alt problem çözülür. Adım 3:Benzer alt problemler, gözönüne alınan m amaçtan geriye kalanlar için çözülür Bu yöntemin gerçekçi tarafı, genellikle fertlerin bu şekilde karar vermeye meyilli olmalarıdır. Çözüm karar verici tarafından amaçların önem derecelerine göre sıralanması şekline karşı çok hassastır. Bu nedenle birbirine yakın öneme sahip iki amaçlı karar verme problemlerinde bu yöntem kullanılırken dikkatli olunmalıdır. En önemli ölçüte göre seçenekler sıralanır. Eğer bu ölçüte göre bazı seçeneklerin performans değerleri eşitse, kayıtsız kalınan bu seçenekler için ikinci önemli ölçüte göre sırlama yapılır. Aşağıda otomobil satın alma ile ilgili bir örnek göz önüne alınmaktadır. Bu örnekle ilgili değerlendirme tablosu şu şekildedir.

Aşağıda otomobil satın alma ile ilgili bir örnek göz önüne alınmaktadır. Bu örnekle ilgili değerlendirme tablosu şu şekildedir. Fiyat Konfor Hız Tasarım Ağırlık 5 4 3 3 a 1 300 M H Ü a 2 250 M O Ü a 3 250 O H Ü a 4 200 O H O a 5 200 O O Ü a 6 200 Z H Ü a 7 100 Z O O M: mükemmel; O: orta; Z: zayıf; H: hızlı; Ü: üstün Fiyat: a 7 (a 4, a 5, a 6 ) (a 2, a 3 ) a 1 Konfor: (a 4, a 5) a 6 ; a 2 a 3 Hız: a 4 a 5 Tasarım: a 5 a 4 Sonuç a 7 a 4, a 5 a 6 a 2 a 3 a 1

Nitelikler(Xj) F/M a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Ağırlıklar(wj) Fiyat M 300 260 250 210 200 190 120 5/15 Konfor F 3 3 2 2 2 1 1 4/15 Hız F 210 150 200 190 140 200 160 3/15 Görünüş F 2 2 2 1 2 2 0 3/15