Çoklu Kordinat Sistemi Uçak pistte durduğu zaman burnunun kuleye göre kordinatı: (50, 5, 0), buna karşın uçağın kordinatlarına göre pozisyonu ise:(0,0,0). Benzer bir biçimde, kulenin tabanı kule kordinat sistemine göre (0,0,0) iken uçak kordinatlarına göre ise (0, -5, 50) dır. 1
Çoklu Kordinat Sistemi Uçak havalansa bile uçak burnunun poziyonu uçak kordinat sistemine göre hala (0,0,0) iken, hareketten dolayı kuleye göre değişen konumlara gelir.yukarıda ki örneğe göre uçak burnunun pozisyonu kuleye göre konumu: (30, 15, 10). 2
Çoklu Kordinat Sistemi Robotun orjini dünya (w) kordinatlarına göre (0,3,0) noktasıdır x,y ve z eksenleri her iki koordinat sistemi içinde paraleldir. 3
Örnek Dünya kordinatlarını robot kordinatlarına çevirmenin en basit yolu dünya kordinatlarına göre y den 3 çıkarmaktır. Alternatif olarak dünya kordinatlarına göre bir noktanın robot kordinatlarına dönüştürmenin yolu o noktayı donüşüm matrisi ile önden çarpmaktır (to pre-multiply). 4 BLM-417 (2 ve 3)
Örnek 2 Öteleme ile birbirinden ayrılan iki çerçeve. Araba (c) çerçevesinden dağ (m) çerçevesini elde etmek için, arabanın X ekseninde 5 birim, Y ekseninde -4 birim ve Z sinde -1 birim öteleme yapmak gerekir. 5
Örnek 3 Örnek noktaların dağ kordinatlarından araba kordinatlarına çevirilmesi. Notasyon 6
erçeveler arası dönüş (Rotation between frames) K kordinat çerçevesinin J ye çevirmek için Z ekseninde dönüş matrisi ile, J de bulunan bir noktayı önden çarpılır(pre-multiply). Sonuçta ilgili noktanın K kordinat sistemindeki yeri bulunur. K kordinat çerçevesini J kordinat çerçevesine dönüştürmek için K nın z ekseninde (-90) derece dönüş yapılır. 7
K kordinat çerçevesini J ye dönüştür. J de bulunan bir noktayı K kordinat çerçevesine çevirmek için, bu nokta matris ile çarpılır : 8
Örnek 3 Hareketli eksenleri kullanarak dönüşüm yapma Dünya kordinatlarını (w) tutaç (g) kordinatlarına çevirmek için x w de -90 o dönüş. Çerçeve 1 oluştu. Yeni eksenler (x 1, y 1,z 1 ) z 1 de -90 o derece dön. Çerçeve 2 oluştu. (x 2, y 2,z 2 ) ötele (0,0,5) 9
Örnek 3 Hareketli eksenleri kullanarak dönüşüm yapma Oluşan matrisler: Örnek olarak (1, 2, 3) noktası tutaç (g) kordinatlarından dünya (w) kordinatlarına dönüşüm matrisinin önden çarptırılması ile elde edilir: 10
Örnek 4 Sabit Eksen Kordinatları Rot x(-90) then Rot y (-90), then Trans(0,5,0) dünya kordinatlarına göre: Sabit eksene göre tersten hareket edilir: :Trans (0,5,0) * Rot y (- 90) * Rot x(-90). 11
Özet olarak!!!! 12
Örnek 4 13
Örnek 4 14
Örnek 4 15
Örnek 5 16
Kinematik Analiz ve Pozisyon belirleme Düz Kinematik ( Forward Kinematics) 17
Düz Kinematikler Soru : Düz kinematik problemi nedir? Cevap : Verilen eklem değişken değerleri için sonlandırıcının konumunu ve yönelimini belirlemek.
Düz Kinematikler Soru : Eklem değişkeni nedir? Cevap : 1.Döner eklemler için uzuvlar arasındaki açı 2.Kayar eklemler için uzvun uzanma miktarı q i i d i döner kayar eklem eklem için için
Düz Kinematikler n+1 uzva sahip kinematik zincir oluşturan bir manipülatörümüz olduğunu düşünelim. Uzuv i-1 Eklem i Uzuv i Eklem i+1 Eklem i-1 Eklem 2 Uzuv 1 Eklem n Uzuv n Eklem 1 Uzuv 0
Düz Kinematikler Bu kinematik zincire bağlı olarak sonlandırıcının konumunu ve yönelimini temel(base) koordinat çerçevesinde şu şekilde ifade edebiliriz. H T n T 1. T 2... T n 0 0 1 n 1 21
Örnek 6 22
Örnek 6 Let s begin by just looking at Figure again and considering the case where the joint is not rotated at all. In this case, to convert a point from gripper coordinates to world coordinates all we do is add L1+L2 to whatever the x value is. e.g., suppose the * is located at (4, 3, 0) in gripper coordinates. Then it s obviously located at (4+L1+L2, 3, 0) in world coordinates. But wait! To convert from gripper to world coordinates isn t as simple as that. Because if the joint is rotated as shown in Figure 27, then it s no longer a simple addition of L1+L2. 23
Örnek 6 But of course, this only moves us from world coordinates to joint coordinates. We wanted to move our frame from world coordinates to gripper coordinates. Once we have a frame in joint coordinates, moving it to gripper coordinates is simply a translation of [L2, 0, 0]. So we need to multiply the two matrices above by Trans[L2, 0, 0]. 24
Örnek 6 Remember that we computed how to move a frame from world coordinates to gripper coordinates. Which turns points in gripper coordinates into points in world coordinates. Wow! Figure 30 is actually exactly what we predicted it would be. Look at it. It s the matrix Trans(L1+L2, 0, 0). 25
Düz Kinematik (a) Cartesian (gantry, rectangular) coordinates. (b) Cylindrical coordinates. (c) Spherical coordinates. (d) Articulated (anthropomorphic, or all-revolute) coordinates. 26
Kartezyan Bütün eklemler doğrusal R T P T cart 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 P P x P y z 1 27
Silindirik Kordinatlar 2 Doğrusal 1 Döner Eklem 28 BLM-417 (2 ve 3),0,0) )Trans(, )Rot( Trans(0,0, ),, ( r z l l r T T cyl P R 1 0 0 0 1 0 0 0 0 l rs C S rc S C T T cyl P R
Yönelme tabanlı Düz Kinematik Roll, Pitch, Yaw (RPY) angles Euler angles Articulated joints 29