Euler Bilekli Scara Robot Kolu Ġçin Kinematik Analiz Yazılımı GeliĢtirilmesi

Transkript

1 6 th International Advanced Technologies Symposium (IATS 11), May 2011, Elazığ, Turkey Euler Bilekli Scara Robot Kolu Ġçin Kinematik Analiz Yazılımı GeliĢtirilmesi C. Közkurt 1, M. Soyaslan 2 GaziosmanpaĢa Üniversitesi, Mekatronik Mühendisliği Bölümü, Tokat/Türkiye 1 cemil@gop.edu.tr, 2 msoyaslan@gop.edu.tr Software Development For Kinematic Analysis of Scara Robot Arm With Euler Wrist Abstract Kinematic calculations of the joints is very important in the automatic control operations of robots. A serial robot consists of bonds that attached to each other with rotary or prismatic joints. Here, the relationship between two joints is expressed by the transformation matrix. To get forward kinematics matrix, transformation matrices between each joint respectively multiplied with each other and this matrix refers the tool frame orientation and position according to main frame. Inverse kinematics of the robot can be defined as the presence of joint variables with the help of end effector' s orientation and position data. In this presented study, a software interface developed in MATLAB GUI environment that calculates the robot forward and inverse kinematics using Denavit-Hartenberg method and analytical solution approach according to entered joint variables. In the study, joint variables of the SCARA robot with Euler wrist were entered and the desired results were calculated as an example. Keywords Robot arm, forward kinematics, inverse kinematics, D-H method. I. GĠRĠġ Robot kolları eklem ve hareketleri arasındaki iliģkiyi kinematik ile ifade edebiliriz. Kinematik ileri ve ters yönlü olmak üzere iki çeģittir. Robot sistemlerinde bu kinematik hesaplamalar büyük önem taģımaktadır. Robot kinematiği ile robotun hız, kuvvet ve ivme analizleri yapılmaktadır [1]. Bir robot, öteleme ve dönmeyi gerçekleģtiren eklemlerden ve bu eklemleri birbirine birleģtiren bağlardan oluģmaktadır. Her bir robot ekleminin konumu, bir önceki veya bir sonraki ekleme göre ifade edilir. Arka arkaya oluģturulan bu iliģkiye açık kinematik zincir denir [2]. Maxwell [3] 4x4 homojen dönüģüm matrislerini tanımlamıģtır. Denavit- Hartenberg [4] ise bu dönüģüm matrislerini kullanarak herhangi bir koordinat sisteminin oryantasyon ve konum bilgilerini baģka bir koordinat sisteminin durumuna göre belirtmiģtir. Vida yer değiģtirmesinin, dönüģüm operatörleri (quaternion) ve doğrusal vektörler kullanılarak tanımlanabileceğini Funda ve Paul [5] göstermiģtir. Elde edilen doğrusal vektörleri ve dönüģüm operatörlerini robot kinematiğine Kim ve Kumar [6] uygulamıģtır. Küçük ve Bingül farklı robotlar için MATLAB ve GUI ile benzer bir yazılımı geliģtirmiģlerdir [7]. Koyuncu ve Güzel ise Lynx-6 robot kolu üzerinde geliģtirdikleri yazılım ile kinematik hesaplamaları bulan bir çalıģmayı MATLAB ve GUI ortamında yapmıģlardır [8]. Bu çalıģmada, Euler bilekli SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm) robot için ileri ve ters kinematik hesaplamalarını arayüz üzerinden girilen değerlere göre yapan bir yazılım geliģtirilmiģtir. Ġleri kinematik için Denavit- Hartenberg yöntemi [4], ters kinematik için ise analitik çözüm yaklaģımı [9] kullanılmıģtır. II. ĠLERĠ KĠNEMATĠK Bir sistemin belirli durumlarını göze alarak nasıl hareket ettiğini anlamak için bu sistemin kuvvet, atalet ve enerji gibi dinamik büyüklüklerini bilmemiz gerekir. Robotun ileri yön kinematiği (forward kinematics); robot bağlarının konumları, hızları ve ivmeleri arasındaki iliģkiyle ilgilenir [2]. Bir seri robot, ana çerçevesinden araç çerçevesine doğru birbirine prizmatik veya dönel eklemlerle tutturulmuģ bağlardan oluģur. Her bir ekleme koordinat sistemi yerleģtirilerek komģu eklemler arasındaki iliģkiyi veren dönüģüm matrisleri bulunur. Ġki komģu arasındaki iliģkiyi veren dönüģüm matrisi ile gösterilir. Burada örneğin birinci, ikinci ve üçüncü eklemler için dönüģüm matrisleri sırasıyla olarak ifade edilir. Arka arkaya sıralanan eklem dönüģüm matrisleri ile ana çerçeve ve araç çerçevesi arasında bir iliģki tanımlanır. Bu iliģkiye ileri kinematik denir. Ġleri kinematik, araç çerçevesinin yönelimini ve konumunu ana çerçeveye göre ifade eder ve EĢ.1 deki gibi gösterilir [2]. Ġleri kinematik, verilen eklem değiģkenlerine göre uç iģlevcisinin kartezyen uzayda nerede olduğunu belirleme iģlemi olarak da tanımlanabilir. dönüģüm matrisi N tane eklemi olan bir robotun ileri kinematik matrisi olarak tanımlanır [2]. III. DENAVIT-HARTENBERG YÖNTEMĠ Denavit-Hartenberg yönteminde robot ileri kinematiğini bulmak için dört değiģken kullanılmaktadır. Bu değiģkenler sırasıyla; a i-1 ; Ġki eksen arasındaki bağ uzunluğu α i-1 ; (i-1) ile i eksenleri arasındaki bağ açısı d i ; ÇakıĢan bağlar arasındaki eklem kaçıklığı θ i ; Ġki bağ arasındaki eklem açısı (1) 27

2 C. Közkurt, M. Soyaslan olarak ifade edilir. Bu değiģkenlere Denavit-Hartenberg değiģkenleri (D-H değiģkenleri) denilmektedir ve bunlar sıralanan yöntemlere göre belirlenir [4]. Bu değiģkenleri bulmak için ilk önce robotun dönme eksenleri belirlenir ve dönme eksenleri bağlardan bir fazla olacak Ģekilde numaralandırılır. Ardından eksenlerin tümüne koordinat sistemi yerleģtirilir ve z ekseni döner eklemler için bağın dönme ekseni, prizmatik eklemler için ise kayma yönü olarak kabul edilir. Z eksenine dik ve kol boyunca olan bağ uzunluğu x ekseni olarak kabul edilir. Ardından da sağ el kuralına göre y eksenleri belirlenir. Sıfır ve birinci eksenler üst üste kabul edilir. Eklemlere koordinat sistemini yerleģtirme iģleminden sonra D-H değiģkenleri Tablo 1 deki gibi her eklem için ayrı ayrı belirlenir. Bu tablodaki eklemler için bulunan D-H değiģkenleri kullanılarak her bir eklem için farklı dönüģüm matrisleri elde edilir. Tablo 1: Eklemler için belirlenen D-H değiģkenleri EKSEN D-H DEĞİŞKENLERİ i α i-1 a i-1 d i θ i 1 α 0 a 0 d 1 θ 1 2 α 1 a 1 d 2 θ 2 3 α 2 a 2 d 3 θ 3 Eklemler için dönüģüm matrislerini bulurken EĢ.2 deki genel eklem dönüģüm matrisi formatı kullanılır. DönüĢüm matrislerinde kullanacağımız c ve s kısaltmaları cosinus ve sinus fonksiyonlarını ifade etmektedir. Bu formata uygun olarak her eklemin dönüģüm matrisi bulunduktan sonra dönüģüm matrislerinin birbiri ile çarpılması sonucu ileri kinematik matrisi bulunur. Bu matris 3x3 lük dönme matrisi ve 3x1 lik konum vektöründen oluģur. Yani 9 adet dönme ve 3 adet de konum elemanı olmak üzere EĢ.3 teki 12 eleman bulunur. (2) kinematik çözümü aktüatörlerin eklem torklarının hesaplanması, gerçek zamanlı kontrol ve yörünge planlaması gibi iģlemlerde ön plana çıkmaktadır [10-13]. A. Ters kinematik Problem Yapısı Ters kinematik problemlerin çözümünde doğrusal olmayan denklemler vardır. Eklem yapılarının prizmatik veya dönel olması problemin çözümü açısından önemlidir. Prizmatik eklem yapısı çözümü kolaylaģtırırken dönel eklemler çözümü zorlaģtırmaktadır. Bulunan her matematiksel ifade fiziksel olarak çözüm olmayabilir. Ayrıca uç iģlevcisinin istenen konuma gitmesi için birden fazla çözüm olabilir. Yani istenen noktaya bulunan farklı çözümler ile farklı Ģekillerde ulaģılabilir. Bu çözümler a i-1 ve d i değiģkenlerinin bulunması durumuna göre artabilir [2]. Ters kinematik iģlemlerin çözümü analitik yöntem ile çözülebilirken sayısal yöntemler kullanılarak da çözülebilir. Bizim çalıģmamızda kullanılan Scara Robotta olduğu gibi arka arkaya gelen üç eklem paralel ise analitik yöntem kullanılması daha avantajlıdır [14]. Euler bilekli robotların analitik çözümüne bakılacak olursa aģağıdaki dört sonuca varılır [15]. i. Bu tip eklemler bir noktada kesiģtiğinden ters kinematik problem tamamıyla analitik olarak çözülebilir. ii. Euler bilekli robotun ters kinematiğinde en fazla üç bilinmeyenli üç denklem olduğundan analitik olarak rahatlıkla çözülebilir. iii. Euler bilekli robotlarda konum ve yönelim birbirinden ayrı gerçekleģtiği için analitik çözüm her zaman vardır. iv. Euler bilekli robotta ilk üç eklem uç iģlevcisinin konumunu, son üç eklem de yönelimini belirler. V. ANALĠTĠK ÇÖZÜM YAKLAġIMI Ters kinematik problem çözümü dönüģüm matrislerinin çarpımı olan ileri kinematik matrisinin bulunması iģleminden sonra baģlar. Bulunacak ileri yön kinematik matrisi bizim yapacağımız Euler Bilekli Scara Robot örneğindeki gibi altı eklemli olduğunda ileri kinematik matris, dönüģüm matrislerinin art arda çarpılması sonucu EĢ. 4 ile bulunur [9]. (3) Bu matrisin iki tarafı ile çarpıldığında olduğundan dolayı sonuç EĢ. 5 teki gibi bulunur. (4) IV. TERS KĠNEMATĠK Ters kinematik (inverse kinematics) hesaplamaları robot kontrol iģlemlerinde çok önemli bir yere sahiptir. Ters kinematik, uç iģlevcisinin verilen konum ve yönelim verilerine göre eklem değiģkenlerinin değerlerinin bulunması iģlemidir. Yani robot uç iģlevcisinin istenilen konuma gitmesi için eklemlerin dönme, kayma miktarları gibi değerlerini belirlemek için ters kinematik sonuçlarını bulmamız gerekir. Ġleri kinematik iģlemlerinde her zaman çözüm bulunabilirken ters kinematik için her zaman çözüm bulunmayabilir. Ters Ters kinematik problemin çözümü için bu eģitliğin iki tarafı bulunup birbirine eģitlenir. Burada ileri kinematik matrisini temsilen EĢ. 3 matrisi kullanılır. Çözüm için kullanılan diğer denklemler EĢ. 5 teki denklemin benzerleri olan aģağıdaki 6, 7, 8, 9 ve 10 eģitlikleridir: (5) (6) 28

3 Euler Bilekli Scara Robot Kolu İçin Kinematik Analiz Yazılımı Geliştirilmesi Bu denklemler eģitliğin iki tarafındaki matris elemanlarının birbirine eģitlenmesi ile ters kinematik problem için çözüm üretirler. Ayrıca ters kinematik problemin analitik olarak çözümünde aģağıda verilen bazı trigonometrik eģitliklerden yararlanılır. I. ise II. ise III. ve ise IV. veya ise V. ise Bahsedilen teorik altyapının Euler bilekli Scara robot için uygulaması VI ve VII baģlıklarında anlatılmıģtır. VI. EULER BĠLEKLĠ SCARA ROBOT A. D-H Değişkenlerinin ve İleri Kinematik Matrisinin Bulunması Euler Bilekli Scara Robotta beģ tane dönel ve bir tane de prizmatik olmak üzere toplam altı eklem bulunmaktadır. Robotun katı gövde yapısı ġekil 1 de gösterildiği gibidir. (7) (8) (9) Kinematik hesaplamalara robotun her eklemi için ayrı ayrı D-H değiģkenlerinin bulunması ile baģlanır. Bu iģlem için ilk önce robotun eklemlerine koordinat sistemleri yerleģtirilir ve bilinen kurallara göre D-H değiģken tablosu oluģturulur. Eklem sayısı altı olduğu için Tablo. 2 altı satırdan oluģacaktır. Prizmatik eklem hariç diğer eksenlerde değiģken dönme açısıdır. Prizmatik eksende ise değiģken uzama miktarıdır. D- H tablosuna eklemlerin değiģkenleri Tablo 2 üzerinde yerleģtirilmiģtir. Tablo 2: Euler Bilekli Scara Robot D-H değiģkenleri EKSEN D-H DEĞİŞKENLERİ i α i-1 a i-1 d i θ i h 1 θ θ d d 4 θ θ θ 6 Saat dönme yönünün tersi pozitif (+) kabul edilerek α değerleri oluģturulur. Sadece 3 nolu eklemde değiģken prizmatiktir ve d 3 tür. Diğer eklemlerde değiģkenler eklemlerin dönme açıları olan θ 1, θ 2, θ 4, θ 5, θ 6 dır. Genel dönüģüm matrisi formatına göre her eklem için dönüģüm matrisleri Tablo 3 te verilmiģtir. Tablo 3: Euler Bilekli Scara Robot için dönüģüm matrisleri ġekil 1: Euler Bilekli Scara Robot katı modeli 29

4 C. Közkurt, M. Soyaslan Yazılan bu dönüģüm matrislerinin sırasıyla birbiri ile çarpılması sonucu ileri kinematik matrisi EĢ. 10 daki gibi elde edilir. (10) Burada gösterilen matris elemanlarının değerleri Tablo 4 üzerinde gösterilmiģtir. Tablo 4: Ġleri kinematik matrisinin elemanları (13) Bulunan N matrisinin dördüncü sütunu ile sağ taraftaki matrisin dördüncü sütunu çözüm için yeterli olduğundan N matrisinin dördüncü sütun elemanları 14, 15, 16 ve 17 nolu eģitliklerdeki gibi bulunur. (14) (15) (16) (17) EĢ. 5 in sağ tarafı dönüģüm matrislerinin çarpımından EĢ. 18 deki matris olarak elde edilir. (18) EĢ. 5 in sağ tarafının dördüncü sütun elemanları 19, 20, 21 ve 22 nolu eģitliklerdeki gibi bulunur. (19) (20) (21) (22) B. Analitik Yaklaşım ile Robotun Ters Kinematik Çözümü Euler Bilekli Scara Robotun ters kinematik çözümü için gerekli olan dönüģüm matrisleri ve ileri kinematik matrisi A bölümünde bulundu. Ters kinematik problemde eklem değiģkenlerinin bulunması için EĢ. 5 teki değerlerin sırasıyla yazılması gerekmektedir. EĢ. 5 in sol tarafında bulunan ve birinci dönüģüm matrisinin tersi olan EĢ. 11 ile bulunur. (11) EĢ. 5 teki ileri kinematik matrisini temsilen EĢ.3 teki denklem yazılırsa matrisi EĢ.12 deki gibi kabul edilebilir. (12) EĢ. 5 denkleminin sol tarafı EĢ. 11 ve EĢ. 12 matrislerinin çarpılması ile EĢ. 13 deki gibi bulunur. KarĢılıklı matris elemanları olan ve, ve, ve 23, 25, 27 nolu eģitlikler ile birbirine eģitlenir. Bu ifadeler EĢ. 24 te yerine yazıldığında, Bu ifadeler EĢ. 26 da yerine yazıldığında, Bu ifadeler EĢ. 28 de yerine yazıldığında, olarak elde edilir. (23) (24) (25) (26) (27) (28) EĢ. 24 denklemindeki sağ tarafa atılıp iki denklemin de karesi alındığında denklemler alt alta toplanırsa ve sadeleģtirme yapılırsa EĢ. 29 bulunur. (29) olarak kabul edildiğinde EĢ. 29 trigonometrik eģitliklerden V ye benzemektedir. Bu durumda EĢ. 29 denkleminden çekilirse ifadesi aģağıdaki gibi elde edilir. 30

5 Euler Bilekli Scara Robot Kolu İçin Kinematik Analiz Yazılımı Geliştirilmesi EĢ. 6 nın sağ tarafı ise matris çarpımından EĢ. 42 deki gibi bulunur. EĢ. 24 ve EĢ. 26 dan ve ifadeleri çekilirse bu ifadeler EĢ. 31 ve EĢ. 32 deki gibi bulunur. (42) Buradan gibi yazılır. trigometrik eģitliklerden III e göre EĢ. 33 teki EĢ. 6 nın sol tarafındaki matris elemanlarına karģılık gelen sağ taraftaki,,,, elemanları EĢ. 43, 44, 45, 46 ve 47 deki gibi bulunur. (43) (44) (45) (46) (47) Bu eģitliğikten çekilirse EĢ.34 teki gibi elde edilir. (34) KarĢılıklı matris elemanları ve, ve, ve, ve, ve birbirine eģitlendikten sonra trigonometrik ifadelerden I ve III kullanılarak,, değerleri 48, 49 ve 50 deki eģitliklerden elde edilir. Ters kinematik problemde eklem değiģkenlerini bulmak için ikinci eģitlik olan EĢ. 6 daki değerler sırasıyla yazıldığında ve bilinen trigonometrik eģitliklere bakıldığında eklem değiģkenleri olan,, bulunur. EĢ. 6 nın sol tarafında bulunan ve birinci ve ikinci dönüģüm matrislerinin çarpımının tersi olan EĢ. 35 teki gibi bulunur. (35) EĢ. 6 nın sol tarafı EĢ.35 ve EĢ.12 matrislerinin çarpılması sonucu EĢ.36 daki gibi bulunur. (36) Bulunan B matrisinin,,, elemanları ve bu elemanlara karģılık gelen (6) eģitliğinin sağ tarafındaki matris elemanlarının eģitlenmesi,, eklem değiģkenlerinin bulunması için yeterli olduğundan B matrisinin bu elemanları EĢ. 37, 38, 39, 40 ve 41 deki gibi elde edilir. (37) (38) (39) (40) (41) VII. GELĠġTĠRĠLEN YAZILIM ÖRNEĞĠ Ġleri kinematik için,,,,,,,,, değerleri yazılım arayüzünde girildiğinde ileri kinematik matrisinin çıktısını ġekil 2 deki gibi elde edilir. Ters kinematik için Euler bilekli scara robotun uç iģlevcisinin konumunun,, ve yöneliminin X-Y-Z açı sistemine göre γ = 45, β = -20, α = 25 ve,,, değerleri yazılım arayüzünde girildiğinde dönel eklem değiģkenleri,,,, ve prizmatik eklem değiģkeni değerlerinin çıktısı ġekil 2 deki gibi elde edilir. VIII. SONUÇ Yapılan bu çalıģmada ileri ve ters kinematik problemler teorik olarak incelenmiģ, Euler bilekli scara robot için MATLAB GUI ortamında geliģtirilen yazılımsal arayüz ile istenen değerler bulunmuģtur. Verilen iki örneğin birinde dönüģüm matrisleri ve ileri kinematik matrisi, diğerinde ters kinematik ile bilinmeyen eklem değiģkenleri elde edilmiģtir. Ġleri kinematik probleminde Denavit-Hartanberg yöntemi kullanılmıģ ve dönüģüm matrisleri her eklem için ayrı ayrı elde edilmiģtir. 31

6 C. Közkurt, M. Soyaslan Buna bağlı olarak ileri kinematik matrisi de arayüzde bulunmuģtur. Analitik yöntem ile ters kinematik değiģkenleri de arayüzde elde edilmiģtir. Sonuç olarak yapılan bu çalıģma öğrenci ve mühendisler için eğitim amaçlı kullanılabileceği gibi geliģtirilerek çeģitli robot çözümleri için de kullanılabilir. [14] D.L. Pieper, B. Roth, The Kinematics of Manipulators Under Comp. Cont., Int. Cong. for The Theory of Machine and Mechanism., Vol.2, pp , Zakopane, Poland [15] S. Küçük, Endüstriyel robotların modellenmesi ve çevrimdıģı programlanması, Doktora Tezi, Kocaeli Üni. Fen Bil. Enst., ġekil 2: Yazılım Arayüzü KAYNAKLAR [1] Krishna ve Gupta, Mechanics and Control of Robotics, Mechanical Engineering Series, University of Illinois, Chicago, [2] Z. Bingül, S. Küçük, Robot Tekniği I, Birsen Yayınevi, pp , [3] E.A. Maxwell, General homogeneous coordinates in space of three dimensions, Cambridge. U. K.: Cambridge Unv. Press, [4] J. Denavit and R.S. Hartenberg, A kinematic notation for Lower-pair mechanisms based on matrices, ASME Jappl. Mechan. pp , June [5] J. Funda and R.P. Paul, Manipulator kinematics and epsilon algebra, IEEE J. Robot. Automat., vol. 4, April [6] J.-H. Kim and V.R.Kumar, Kinematics of robot manipulator via line transformations, Journal of Robotic Systems, vol. 7. no. 4, pp , [7] S. Küçük, Z. Bingül, An Off-Line Robot Simulation Toolbox, Wiley Periodicals Inc., pp , [8] B. Koyuncu, M. Güzel, Software Development for the Kinematic Analysis of a Lynx 6 Robot Arm, World Academy of Science, Engineering and Technology, pp , [9] J.J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, USA, [10] H. Asada and J.J.E. Slotine, Robot Analysis and Control, Wiley- Interscience Publication, USA, [11] W.A. Wolovich, Robotics:Basic Analysis and Design, CBS college Publishing, USA, [12] R.J. Schiling, Fundamentals of Robotics, Prentice Hall, USA, [13] F.J.M. Kerrow, Introduction to Robotics, Addison-Wesley Publishing, USA,