10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

Transkript

1 . HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi

2 2 2- İTERATİF YÖNTEMLER Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan yinelemeli yöntemlerden Jacobi ve Gauss Seidel sık kullanılan ardışık tekrar yöntemlerindendir. Ardışık tekrar yöntemleri iterasyon işlemleri olarakta adlandırılır. Daha önceki derslerimizde yazdığımız doğrusal denklem sisteminden a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2... a n x + a n2 x a nn x n b n Matris notasyonu, Ax b ile verilmiş bir denklem sisteminde her bir x i bilinmeyeni için x b (a 2 x 2 + a 3 x a n x n ) a x 2 b 2 (a 2 x + a 23 x a 2n x n ) a x n b n (a n x + a n2 x a n(n ) x n ) a nn yazılabilir.

3 3 a. Jacobi İterasyon Yöntemi Jacobi iterasyon yönteminde bilinmeyenlere tahmini bir başlangıç değeri verilir. Örneğin bu başlangıç değerleri sıfır olsun. x, x 2,., x n Yeni x, x 2,, x n değerleri bu başlangıç değerlerine göre hesaplanır.x değeri.iterasyon sonunda x değişkeninin yeni aldığı değerdir. x b (a 2 x 2 + a 3 x a n x n ) a x 2 b 2 (a 2 x + a 23 x a 2n x n ) a x n b n (a n x + a n2 x a n(n ) x n ) a nn Bu şekilde ardışık olarak bilinmeyenler hesaplanır. Her iterasyon sonunda aşağıdaki gibi istenen hata toleransına ulaşılıp ulaşılmadığı kontrol edilir. Eğer bütün bilinmeyenler bu hata seviyesinin altına inmişse iterasyon durdurulur. Her x i için x i k+ x i k < ε ref i,2,., n olmak üzere

4 4 Bu yöntemde dikkat edilmesi gereken nokta bulunan her bir x i değeri yeni bir iterasyona geçildiğinde kullanılır. ÖRNEK: Referans hatasını ε ref. olarak alınız ve altaki lineer denklem sistemini çözünüz. 8x + 2x 2 + 3x 3 3 x 9x 2 + 2x 3 2x + 3x 2 + 6x 3 3 ÇÖZÜM: Başlangıç değerlerini x, x 2, x 3 alırsak; x 3 (2x 2 + 3x 3 ) 8 x 2 (x + 2x 3 ) 9 x 3 3 (2x + 3x 2 ) 6 3 (2 + 3 ) ( + 2 ). 9 3 (2 + 3 )

5 5 Algoritması INPUT te number of equations and unknowns n; te entries ai j, i, j n of te matrix A; te entries bi, i n of b; te entries XOi, i < n of XO x ; tolerance TOL; maximum number of iterations N max. OUTPUT te approximate solution x,..., xn or a message tat te number of iterations was exceeded. Step Set iterasyon_no. Step 2 Wile (iterasyon_no N max ) do Steps 3 6. Step 3 For i,..., n n set xi b a i (a ij XO j ) ii j j i Step 4 If all x i XO i < TOL ten OUTPUT (x,..., xn); (Te procedure was successful. ) STOP. Step 5 Set iterasyon_no iterasyon_no + Step 6 For i,..., n set XOi xi. Step 7 OUTPUT ( Maximum number of iterations exceeded ); (Te procedure was unsuccessful. ) STOP.

6 6 b.gauss-sidel-yineleme Metodu Bu yöntem Jocabi iterasyon yöntemine çok benzer bir yöntemdir. Gauss Sidel yönteminde de bilinmeyenlere tahmini bir başlangıç değeri verilir. Örneğin bu başlangıç değerleri sıfır olsun. x, x 2,., x n Yeni x, x 2,, x n değerleri bu başlangıç değerlerine göre hesaplanır.x değeri.iterasyon sonunda x değişkenin yeni aldığı değerdir. x b (a 2 x 2 +a 3 x a n x n ) a x 2 b 2 (a 2 x + a 23 x a 2n x n ) a x n b n (a n x + a n2 x a n(n ) x n ) a nn Bu şekilde ardışık olarak bilinmeyenler hesaplanır. Her iterasyon sonunda aşağıdaki gibi istenen hata toleransına ulaşılıp ulaşılmadığı kontrol edilir. Eğer bütün bilinmeyenler bu hata seviyesinin altına inmişse iterasyon durdurulur. Her x i için x i k+ x i k < ε ref i,2,., n olmak üzere

7 7 Eğer yukarıdaki denklemler dikkatlice incelenirse Gauss Sidel yönteminin Jacabi İterasyon yönteminden farkı rahatlıkla görülebilir. Gauss Sidel yönteminde bilinmeyen x i değerlerinin kullanımı konusunda farklılık vardır. Her bilinmeyen bulunurken diğer bilinmeyenlerin en yeni değeri kullanılır. Böylece yakınsamanın daha hızlı olması sağlanır. ÖRNEK: Aşağıdaki lineer denklem sistemini Gauss Siedel methodu ile ε ref. alarak çözünüz. Çözüm: 5x + 2x 2 + x 3 2 x + 2x 2 + x 3 8 2x + x 2 + 4x 3 6 Başlangıç değerlerini ; x, x 2, x 3 alırsak Iterasyon x 2 (2 x 2 + x 3 ) 5 2 (2 + ) x 2 8 ( x + x 3 ) 2 8 (2.4 + ) x 3 6 (2 x + x 2 ) 4 6 ( ) 4 2. Iterasyon 2 x 2 ( ) 5.86 x 2 8 ( )

8 8 x 3 6 ( ) Aşağıdaki tablo istenen toleransta sonuç bulunana kadarki iterasyon sonuçlarını göstermektedir.

9 9 Algoritması INPUT te number of equations and unknowns n; te entries ai j, i, j n of te matrix A; te entries bi, i n of b; te entries XOi, i < n of XO x ; tolerance TOL; maximum number of iterations N max. OUTPUT te approximate solution x,..., xn or a message tat te number of iterations was exceeded. Step Set iterasyon_no. Step 2 Wile (iterasyon_no N max ) do Steps 3 6. Step 3 For i,..., n i set xi b a i (a ij x j ) + (a ij XO j ) ii j n j i+ Step 4 If all x i XO i < TOL ten OUTPUT (x,..., xn); (Te procedure was successful. ) STOP. Step 5 Set iterasyon_no iterasyon_no + Step 6 For i,..., n set XOi xi. Step 7 OUTPUT ( Maximum number of iterations exceeded ); (Te procedure was unsuccessful. ) STOP. Kaynakça Ders Notları",Yrd. Doç. Dr. Mustafa Sönmez Doç. Dr. İbrahim UZUN, (24), "Numarik Analiz Beta Yayıncılık.