HATALI VERĐLER ĐLE EN UYGUN YÜKSEKLĐK DÖNÜŞÜM YÖNTEMĐNĐN SEÇĐMĐ O. KURT Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli, orhnkrt@gmail.com Özet Elipsoit yükseklerinin ortometrik yüksekliklere (yada tersi) dönüştürülmesinde iki ana teknik vardır. Bunlar enterpolasyon ve kestirim teknikleridir. Đkinci grup tekniklerde ortak noktaların belirsizlikleri dikkate alınırken, birinci grup tekniklerde bu belirsizlikler dikkate alınmaz. Genellikle, enterpolasyon yöntemlerinin kullanıldığı çalışmalarda dönüşüm sonuçlarının test edilmesi kullanıcının deneyimine bağlıdır, kestirim yöntemlerinde bu durum söz konusu değildir. Kestirim yöntemlerini kullanan uygulayıcılar istatistiksel çıkarımlardan yararlandığından, deneyimsiz kullanıcılar için en iyi yükseklik dönüşüm yöntemi kestirim yöntemlerinden seçilmelidir. Polinomsal ve trigonometrik fonksiyonlar lokal Jeoit belirlemede sıklıkla kullanılırlar. Harita mühendisleri lokal Jeoit belirlerken, genellikle polinomsal fonksiyonları tercih ederler. Bu çalışmada, polinomsal fonksiyonları kullanan C++ ortamında bir yazılım geliştirilmiştir. Bu yazılım, kullanıcı tarafından verilen herhangi bir polinom derecesine göre bir matematik modeli otomatik olarak oluşturmakta ve çözmektedir. Yazılım, kullanıcı tarafından belirlenen yada şartnamede istenen bir öncül varyansa bağlı olarak (bir dengelemede sadece bir uyuşumsuz ortak nokta atarak) tekrarlamalı klasik uyuşumsuz ölçüler testi uygulamaktadır. Uyuşumsuz ölçüler testinden sonra, kestirilen polinomsal yükseklik dönüşüm fonksiyonunun (lokal Jeoit) katsayılarını, parametre anlamlılık testi ile test eder. Uyuşumsuz ölçüler ve parametre anlamlılık testleri, seçtiğimiz polinomun derecesinin hatalı verilerimize uygun olup olmadığını ortaya çıkarır. Bu çalışmada, geliştirilen yazılımın çalışma adımları şematik olarak gösterilmiş ve ortak noktaları yaklaşık olarak 50*50 kilometre kare alana dağılmış olan gerçek bir sayısal uygulama ile (Kocaeli Büyük Şehir Belediyesi Lokal Jeoidi) çalıştırılmıştır. Sonuç olarak, hatalı veriler üzerinden en uygun yükseklik dönüşüm yöntemini belirlemeye yönelik bazı önerilerde bulunulmuştur. Anahtar kelimeler: Yükseklik dönüşümü, GNSS nivelmanı, yüzey enterpolasyonu, yüzey kestirimi. Abstract SELECTION OF BEST FIT HEIGHT TRANSFORMATION METHOD WITH UNCERTAINTY DATA There are two main techniques for height transformations from ellipsoid heights to orthometric heights or vise versa. These are the interpolation and estimation techniques. While the latter techniques do consider the uncertainties of the common points, the former techniques do not. Generally, to test the transformation results in the interpolation techniques is up to the user expertness in previous papers, not in the estimation techniques. Since the applicants using the estimation techniques benefit from the statically inferences, the best fitting height transformation technique should be chosen from the estimation techniques for inexperienced practitioners definitely. Polynomial and trigonometric functions are frequently used in determination of local geoids. Geomatics engineers generally prefer the polynomial functions rather then the trigonometric ones because of its flexible usage.
2 In this study, height transformation software also based on the polynomial functions is developed in C++. The software can create a mathematical model according to any polynomial degree given by users and solve it automatically. Firstly, the software performs the classical iterative outlier test (only an outlined common point in an adjustment) via a priory variance determined by the user or wanted by National Specifications. After the outlier test, the coefficients of the estimated polynomial height transformation (the local geoid) are tested by using the parameter significant test. The results of the outlier and parameter significant tests in the software can detect whether the polynomial degree is the best for our uncertainty data or not. In this paper, the running steps of the software have given schematically and the software has driven with a real numerical data (Local Geoid of Kocaeli Metropolitan Municipality) in which the common points are distributed in an approximately 50*50 kilo meters square area. As a result, some suggestions are given for the best fit height transformation method by focusing on uncertainty data. Keywords: Height transformations, GNSS leveling, surface interpolation, surface estimation. 1. Giriş Yükseklik dönüşümü ile ilgili pek çok yayına internetten kolayca ulaşılabilir. Bu çalışmaların bir çoğunda enterpolasyon (ara değer hesaplama) ve yüzey kestirim yöntemleri ayrıştırılmamıştır (Yalanak ve Baykal, 2001; Başçifçi ve Đnal, 2008; Şentürk ve Đnce 2015). Eterpolasyon ve kestirim birbirinden farklı kavramlardır. Enterpolasyonda; verilen ortak (eşlenik) noktalar (Jeoit yükseklikleri) hatasızmış gibi kabul edilirler. Kestirim yöntemlerinde; ortak nokta koordinatlarının hataları dikkate alınır. Enterpolasyon yöntemlerinde; eşlenik noktaların Jeoit yükseklikleri herhangi bir enterpolasyon yöntemi ile tekrar hesaplanırsa, hesaplanan değer verilen değere eşit olur. Kestirim yöntemlerinde hesaplanan düzeltme değerleri, hesaplananla verilen arasındaki farktır. Kestirim yöntemleri denetlenebilir ve yorumlanabilir olduğundan daha güvenilirdir. Sözgelimi; ters uzaklıklı ağırlık yöntemi, multikuadratik polinom yöntemi, krinking yöntemi, Lagrange enterpolasyonu vb. yöntemler enterpolasyon yöntemleridir. Bu yöntemler ile kestirilen değerler ile bir yüzey oluşturulduğunda, bu yüzey fonksiyonu kontrol noktalarından geçer. Jeoit yüksekliklerine, herhangi bir yüzey fonksiyonu (polinomsal, trigonometri, vb.) uyduruluyorsa, bu tür yöntemler kestirim yöntemleridir. Uygulamada dikkat edilmeyen durumlardan biriside, verilen ortak nokta kümesini kontrol ve test noktaları şeklinde iki gruba ayırmaktır (Yalanak ve Baykal, 2001; Erol ve Çelik, 2004; Aslan vd. 2007; Erman ve Đnce, 2015). Genellikle YSA ve enterpolayon yöntemlerinde kullanılan bu durum, deneyimsiz uygulayıcıların yanlış sonuçlara ulaşmasına neden olabilir. Kestirim yöntemlerinin her aşamasında istatistik testlerden yararlanıldığı için deneyimsiz uygulayıcıların hata yapma olasılığı oldukça azaltılmış olur (Kurt vd., 2007a; 2007b). Yüzey tanımlayan polinomsal fonksiyonlar, lokal Jeoit belirlemede yaygın olarak kullanılan kestirim yöntemleridir (Ollikainen, 1997;
3 Yanalak ve Baykal, 2001; Erol ve Çelik, 2004; Kurt vd., 2007a; 2007b; Başçiftçi ve Đnal, 2008; Kurt, 2010a; 2010b; Şentürk ve Đnce, 2015). Polinomsal yüzey fonksiyonu jeodezik koordinatlar (B,L,h) yada projeksiyon (x,y,h) koordinatlarına göre oluşturulabilir. Her ikisi de benzer sonuçlar üretmektedir (Kurt, 2007; Kurt, 2010a; 2010b). Çalışma alanı büyümeye başlayınca, kestirilen polinomsal yüzey, trend yüzeyi olarak kullanılır ve sonuçları iyileştirmek için ek düzeltme terimleri modele eklenir (Ollikainen, 1997; Kurt vd., 2007a; 2007b; Şentürk ve Đnce, 2015). Bu çalışmada, hatalı verilere en iyi uyan polinomsal dönüşüm modelini belirlemeye yarayan bir algoritma verilmiştir (Şekil 1). Şekil 1 de verilen bu algoritma için C++ ortamında bir yazılım geliştirilmiştir. Bu algoritmayı ve yazılımı test etmek için, Kocaeli Büyükşehir Belediyesi (KBB) tarafından yaptırılan Kocaeli Đli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi projesindeki jeodezik çalışmaların denetimi için hazırlanan iki teknik rapordaki veriler kullanılmıştır (Kurt, 2010a; 2010b). Bu veriler üzerinden irdelen teorik yaklaşım ile ilgili olarak genellemelere gidilmiştir. 2. Hatalı Veriler Đle En Uygun Yüzey Fonksiyonunun Belirlenmesi En uygun yüzey fonksiyonunun belirlenmesi iki şekilde gerçekleştirilir; 1) Öngörülen Yüzey Polinomunun Katsayılarının Anlamlık testleri yapılır (Şekil 1a) yada 2) En Đyi Uyumlu Yüzey Belirleme Yöntemi kullanılır (Kurt vd., 2007a) (Şekil 1b). Her iki yol eşdeğer sonuçlar üretmektedir. Bu çalışmada; hatalı veriler için uygulaması kolay olan 1. yöntemin algoritması Şekil 1a de verilmiştir. Đkinci yöntem (Şekil 1b) için Kurt vd. (2007a) kaynağından yararlanabilir. 3. Sayısal Uygulama Kocaeli Büyükşehir Belediyesi (KBB) Kocaeli Đli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi işi için ihaleye çıkmış ve ihale Kutubey Harita (Kutlubey Harita Đnşaat Mühendislik Sanayi Ticaret Limitet Şirketi ve Çetinkaya Đmar Đnşaat Mühendislik Müşavirlik Ticaret Limitet Şirketi) tarafından kazanılmıştır. Đdare yapılan jeodezik çalışmalar için bu şirketten iki adet Teknik Rapor istemiştir. Teknik Rapor 1; KBB-TGA nın (KBB - Temel GNSS Ağı) kontrolü, ağ nokta koordinatlarının TUTGA ya (Türkiye Ulusal Temel GNSS Ağı) bağlanması ve nokta hızlarının hesaplanmasının denetlenmesini içermektedir (Kurt, 2010a) (Tablo 1).
4 (a) (b) Şekil 1. Hatalı veriler ile en uygun yüzey fonksiyonu belirleme algoritmaları.
5 Teknik Rapor 2; KBB-DKA nın (KBB Düşey Kontrol Ağı) kontrolü, ağ nokta koordinatlarının TUDKA ya (Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı) bağlanması ve KBB-LJ (KBB Lokal Jeoidi yada GNSS nivelmanı yüzeyi) belirlenmesinin denetlenmesini kapsamaktadır (Kurt, 2010b) (Tablo 1). Tablo 1. GNSS ve Nivelman ağları ile yükseklik dönüşüm sonuçlarının özeti (Kurt, 2010a; 2010b). Açıklama GNSS Ağı Nivelman Ağı GNSS Nivelmanı (4.,5.,6.,7. Derece) Sabit ( / Toplam) Nokta Sayısı 8 (/8) 52 (/81) 1662 (/2467) Çözümün Boyutu 3 1 1 Bilinmeyen Sayısı 3*1780 1*2467 15, 21, 28, 36 Uyumlu ve (/Toplam ) Ölçü Sayısı 3*{6038 (/6294)} 1*{3077 (/3078)} 1*{1553 (/1662)} Çözümün Defekt Sayısı 3 1 0 Öncül Duyarlık ± σ0 [m] 0.0100 0.0100 0.0500 Soncul Serbest ± σˆ 0 [m] 0.0085 0.0080 - Soncul Dayalı ± σˆ 0 [m] 0.0091 0.0112 0.0499 GNSS nivelmanı KBB-DKA ile KBB-TGA yer alan XYZH koordinatları güvenilir olan 1662 noktaya dayalı olarak gerçekleştirilmiştir. Sadece yükseklik bilgisi güvenilir olan 805 adet nokta vardır ve bu noktalar elde edilen polinomsal dönüşüm parametrelerinin güvenirliğini test etmek için kullanılmıştır (Kurt, 2010a; 2010b). Şekil 2. KBB-DKA ile KBB-TGA nda yer alan XYZH koordinatları güvenilir noktalar (Pembe) (p=1662) ve sadece H yükseklik bilgisi güvenilir noktalar (Yeşil) (w=805)
6 Polinomsal yükseklik dönüşümünün en önemli aşaması, Yerel Jeoidi oluşturan en uygun polinomsal yüzeyi bulmaktır. Teknik Rapor 2 de, en uygun polinomsal fonksiyon araştırması, ön görülen polinomsal fonksiyonun katsayılarının anlamlık testlerine göre belirlenmiştir (Şekil 1, 3). d=4 c=1387 o=275 u=15 m 0 =±4.99cm d=5 c=1516 o=146 u=21 m 0 =±4.99cm -10.62cm v k +10.65cm -11.11cm v k +11.10cm (a) (b) d=6 c=1553 o=109 u=28 m 0 =±4.99cm d=7 c=1580 o=82 u=36 m 0 =±4.98cm -11.76cm v k +11.75cm -12.51cm v k +12.16cm (c) (d) Şekil 3. En uygun yüzey araştırması; uyuşumlu ortak noktalar (pembe), uyuşumsuz noktalar (kırmızı) ve sadece ortometrik yüksekliği güvenilir noktalar (yeşil). (a) 4. derece polinomsal yüzey, (b) 5. derece polinomsal yüzey, (c) 6. derece polinomsal yüzey, (d) 7. derece polinomsal yüzey, fonksiyonları (n=c+o, k=1,..,c). En uygun polinomsal yüzeyin belirlenmesi sırasında, uyuşumsuz ortak noktaların belirlenmesinde ve polinomsal yüzeyin katsayılarının anlamlık testlerinde; BÖHHBÜY, Madde-42/g de KOH için önerilen
7 σ=±5cm üst sınırı esas alınmıştır. Bu üst sınır, KBBĐŞDB-TŞ (KBB Đmar Şehircilik Daire Başkanlığı Teknik Şartname), Madde-57/g de aynen korunmaktadır. En uygun yüzey fonksiyonun, p=1662 noktanın 2005 epoğuna göre üretilmiş jeodezik koordinatları (Kurt, 2010a) ile nivelman ölçülerinin s=52 sabit noktaya göre hesaplanan dengeli ortometrik yükseklikleri (Kurt, 2010b) kullanılarak yapılmıştır (Şekil 2). Ortometrik yükseklikleri bilinmeyen noktaların, GNSS nivelmanı tekniği ile ortometrik yüksekliklerinin bulunması sırasında kullanacak olan jeodezik koordinatların 2005 epoğunda olmasına dikkat edilmelidir. GNSS nivelmanı yaparken elipsoit yüksekliklerinin bu datumda ve bu epokta belirlenmesine önem verilmelidir. Kurt vd., (2007) deki çalışmalarında Kocaeli bölgesi için en uygun polinomsal yüzeyin derecesinin d=4-8 arasında seçilebileceğini göstermişlerdir. Bu nedenle d=4-7 arasında yüzeyler seçilmiş her bir polinomsal yüzeyin soncul KOH değeri ±5cm den küçük kalana kadar uyuşumsuz ortak noktalar atılmış (Şekil 1 ve 3) ve en son kalan ortak noktalar ile elde edilen polinomsal yüzeyin katsayılarının anlamlılıkları test edilmiştir (Kurt, 2010b). Şekil 3 de verilen her bir yüzeyin anlamlılık testlerinde d=4-7 aralığında sadece 6. derece yüzeyin bütün katsayılarının anlamlı olduğu görülmüş ve KBB DKA ile KBB GNS ağlarının çakışan noktalarına en uygun yüzeyin 6. derece polinomsal yüzey olduğuna karar verilmiştir (Şekil 3). Şekil 3 ve Kurt (2010b) den yararlanılarak en uygun polinomsal yüzey belirleme aşamaları Tablo 2 de özetlenmiştir (Tablo 2). Tablo 2. Ey uygun polinomsal yüzeyin belirlenmesi (Kurt, 2010b). d u c o σ 0 v min v max Anlamlı [cm] [cm] [cm] Bil.Sayısı 4 15 1387 275 ±5.00 ±4.99 10.62 10.65 14 1 5 21 1516 146 ±5.00 ±4.99 11.11 11.10 20 1 6 28 1553 109 ±5.00 ±4.99 11.76 11.76 28 0 7 36 1580 36 ±5.00 ±4.98 12.51 12.16 35 1 σˆ 0 [cm] Anlamsız Bil.Sayısı Yukarıdaki tabloda özetlenen en uygun yüzey araştırması BÖHHBÜY/Madde-42g de önerilen soncul karesel ortalama hata σ 0 =±5cm değerine göre, adım adım uyuşum testi uygulayarak gerçekleştirilmiştir. 4. Sonuç ve Öneriler Hatalı veriler ile lokal Jeoit modelleme (GNSS nivelmanı) yapılacak ise aşağıdaki önerilere dikkat edilmelidir. Hatalı veriler ile en uygun yüzey belirleme yöntemi için, öngörülen tekniğe uygun bir değerlendirme algoritması tercih edilmelidir (Şekil 1). Herhangi bir yüzey belirleme (enterpolasyon, YSA yada
8 kestirim) yöntemi kullanılıyorsa Şekil 1b deki algoritma, kestirim yöntemleri (polinomsal yada trigonometrik vb.) kullanılıyorsa Şekil 1a daki algoritma tercih edilmelidir. Her tür (enterpolasyon yada kestirim) yöntem için, yüzey uydurmadan beklenilen doğruluğa ulaşıncaya kadar uyuşumsuz ortak noktalar ayıklanmalıdır. Bu işlem her değerlendirme sonunda sadece bir nokta atacak şekilde yapılmalıdır. Seçilen herhangi bir yöntem için uyuşumsuz ortak noktalar değişim gösterdiğinden, kullanıcılar en çok bu aşamada yanılgıya düşmektedir. Ortak noktaların kontrol (YSA da öğrenme) ve test noktaları şeklinde ayrıştırılması, uyuşumsuz ölçüler testinden sonra yapılmalı ve kontrol noktaları yüzeyi temsil edecek şekilde seçilmelidir. Yüzeye uygun dağılmış kontrol noktalarının seçiminde EGMXX den (XX=96, 08) yada arazinin topografik yapısından yararlanılabilir. Çalışmada tercih edildiği gibi bir kestirim yöntemi kullanılacak ise; Şekil 1b algoritmasına göre daha hızlı sonuç üreten Şekil 1a algoritması tercih edilmelidir. Yukarıda kısaca özetlenmeye çalışılan öneriler doğrultusunda güvenilir ve uygulanabilir en uygun yükseklik dönüşümü (polinomsal yüzey yada lokal Jeoit veya GNSS nivelman yüzeyi) belirleme algoritması sunulmuş ve bu algoritmanın başarısı gerçek bir uygulama üzerinde test edilmiştir. Kaynaklar B., Erol ve R.N., Çelik, (2004). Modeling local GPS/leveling geoid with the assessment of inverse distance weighting and geostatistical Kriging methods, SPRS Archives Volume XXXV Part B4, 2004, XXth ISPRS Congress, Technical Commission IV, July 12-23, 2004, Istanbul, Turkey, http://www.isprs.org/proceedings/xxxv/congress/comm4/papers/319.pdf E. Şentürk ve C.D., Đnce (2015), Kocaeli Đlinde Yerel Jeoidin Enterpolasyon Yaklaşımıyla Belirlenmesi, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 15. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 25-28 Mart 2015, Ankara. F. Başçiftçi ve C. Đnal, (2008). A Calculation Program for Geoid Ondulations Using Orthogonal Plynominals, FIG working Week 2008, Stockholm, Sweden, 14-19 June 2008. M. Ollikainen, (1997). Determination of Ortometric Heigts Using GPS Leveling, Publications of The Finish Geodetic Institute, No:123, Kirkkonummi. O., Kurt, (2007). Temel Koordinat Sistemleri, Ders Notları, Kocaeli Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü, Kocaeli. O., Kurt, (2010a). Kocaeli Đli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi, Jeodezi Çalışmaları, Teknik Rapor 1, Haziran 2010, Kocaeli. O., Kurt, (2010b). Kocaeli Đli 1/1000 Ölçekli Sayısal Fotogrametrik Halihazır Harita ve Renkli Ortofoto Harita Üretimi, Jeodezi Çalışmaları, Teknik Rapor 2, Haziran 2010, Kocaeli. O., Kurt, O., Aslan ve H., Konak (2007a). Polinomsal yükseklik dönüşümü, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 11. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 2-6 Nisan 2007, Ankara.
9 O., Kurt, O., Aslan ve H., Konak (2007b). Double stage semi dynamic Polynomial Surface Fitting For Modelling The Local Geoid, International Earthquake Symposium Kocaeli 2007, s265-274, 22-26 October 2007, Kocaeli. O., Arslan, O., Kurt ve H., Konak (2007c). Yapay Sinir Ağlarının Jeodezide Uygulamaları Üzerine Öneriler, TMMOB Harita ve Kadastro Mühendisleri Odası, 11. Türkiye Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, 2-6 Nisan 2007, Ankara. Yanalak, M. and Baykal, O, (2001). Transformation of Ellipsoid Heights to Local Leveling Heights, Journal of Surveying Engineering, August. Code::Blocks, (2016). The open source, cross platform, free C, C++ and Fortran IDE, http://www.codeblocks.org/, 05 Ağustos 2016. W.H. Press, S.A., Teukolsky, W.T., Vetterling, and B.P. Flannery, (2002). Numerical Recipes in C, http://www.cambridge.org/tr/academic/subjects/mathematics/numerical-recipes/, 05 Ağustos 2016.