İLETKEN v YARIİLETKENLERDE HALL OLAYI
1. HALL OLAYI Mtallrdk ltknlk, srst haldk lktronların uygulanan lktrk alan doğrultusundak harktlr ntcsnd ld dlr. Yarıltknlrd s, lktronların harcnd oşluklarda lktrksl yük taşıyıcısı olarak görv yapar. İltknlr l yarıltknlrn ltknlk mkanzmasında önml r fark vardır. Br ltknd, lktrk yük taşıyıcısı şlvn yrn gtrn lktronların ortam çndk yoğunluğu sıcaklıktan hmn hmn ağımsızdır. Yarıltknlrd s, lktrk yük taşıyıcıları olan lktron v oşlukların ortam çndk yoğunlukları, sıcaklıkla hızlı r artış göstrr. Elktrksl yük taşıyıcılarının rm lktrk alanı aşına tk altında kaldıkları ortalalama sürüklnm hızı, molt olarak tanımlanan µ= E ν (1 l fad dlr. Ayrıca σ (σ = ρ 1 lktrksl ltknlk, µ molts v ν lktronların ortalama srst yolları l orantılı olarak artar. İltkn vya yarı ltkn r ortamın lktrksl ltknlğn hsaplamak µ v ν nn tayn dlmsndk güçlüklr ndnyl yapılamaz. Hall olayı, u güçlüklr azı çözüm yolları gtrmnn yanısıra, lktrksl ltm mkanzmasının daha y kavranmasına yardımcı olur. Örnğn, hrhang r ortam çndk lktrk ltmnn lktronların mı yoksa oşlukların mı harktlr sonucu oluştuğunu kolayca lrlmmz mümkün olur. 1879 yılında E.H. HALL, altın örnkt lktrk akımı gçrrkn, aynı anda r magntk alan uygulandığında, örnğn k zıt knar yüzy arasında r grlm oluştuğunu kşftmştr. Bu olay, Hall olayı olarak tanımlanır v magntk alanda harkt dn lktrk yüklrn Lorntz kuvvtnn tks l tanımlanır(şkl-1. Şkl-1 ngatf yüklü srst parçacığın magntk alanda harkt snasında, parçacığın harktn tk göstrn Lorntz kuvvtnn (F L yönünü göstrmktdr. Lorntz kuvvtnn dğr v yönü, parçacığın hızı (ν v magntk ndüksyonun (B vktör çarpımı l lrlnr. Ngatf yüklü parçacığa tk dn Lorntz kuvvt, şklnddr. F =q (ν B (
1.1. İltknlrd Hall Olayı Gnşlğ a, kalınlığı olan düzgün kslmş dkdörtgn çmndk r ltkn parçası üzrn Şkl- d görüldüğü g x ksn yönünd r E lktrk alan uygulandığını kaul dlm. İltkndn gçn akımı v lktronların harkt yönlr rrn zıt, C v D arasındak potansyl farkı sıfırdır. Bu durumda ltkn parçası üzrn, doğrultusu akım doğrultusuna dk, yönü y ksnn parall olacak çmd B şddtnd r magntk alan uygulanırsa C v D yüzlr arasında E H =R H B j (3 ağıntısı l ll r lktrk alanının oluştuğu gözlnr. Bu Hall olayıdır. E H y Hall alanı, maddy gör dğşn R H dğrnd Hall Katsayısı dnr. Burada E H lktrk alanının oluşma ndnn şöyl açıklayalrz. E alanının tksyl x ksn yönünd v hızı l harkt tmkt olan lktronlar, B magntk alanına grdklrnd, şddt ( numaralı dnklm l lrlnn F L = -vb y şt r Lorntz kuvvtn üzrlrn tk tms sonucunda şkl- d görüldüğü g ltknn üst yüzyn doğru tlrlr. Elktronların gdrk üst yüzyd (C d toplanmaya aşlaması l C v D arasında zıt yönd (yönü aşağıdan yukarı doğru r F lktrk alanı doğar. Elktronlar üzrn tkyn kuvvt F = -E H olduğundan, F v F L kuvvtlrnn rrlrn dnglms durumunda, lvha yüzylrn doğru sürüklnmlrn durdururlar. Bu durumda v uradanda F L =F (4 vb=e H (5 yazılalr. Hall alanı (E H v Hall potansyl (V H aşağıdak fad l rrlrn ağlıdır
E H = VH (6 Burada örnğn Hall alanı yönündk oyutudur. Akım yoğunluğu, j = S = a = - nv (7 l fad dlr. Burada n lktronların yoğunluğu, S ltknn akım doğrultusuna dk kstdr. (7 dnklmndn lktronların hızı v = - an (8 v (7 fads l vrln Hall alanının, (5 dnklmnd yrn konmasıyla, örnğn C v D yüzylr arasındak Hall potansyl çn 1 V H = - n B a (9 fads ulunur. Burada a örnğn magntk alan yönündk oyutudur (örnğn kalınlığıdır. (9 dnklmnd görüldüğü g Hall grlm lktronların konsantrasyonu (n v örnğn kalınlığı (a l trs orantılıdır. (9 dnklm aşka şkld V H = R H a B (10 l vrllr. (10 dnklmnd R H Hall sat 1 R H = - n (11 l vrlr. Hrhang r ltkn çn, R H y dnysl olarak ölçrk, o ltkn çndk yük taşıyıcılarının yoğunluğunu lrlylrz. Yn σ lktrsl ltknlk katsayısı v R H Hall katsayısı dnysl olarak ölçüllrs ν σ µ= = = σrh (1 E n ştlğndn yararlanarak yük taşıyıcılarının moltlrn tayn dlrz. Yapılan çştl dnylr, ltknlrn Hall katsayılarının gnş r sıcaklık aralığında sat kaldığını göstrmştr. Yarıltknlrd s, sıcaklığın artması l konsantrasyonda arttığından Hall katsayısı hızla artar.
1.. Yarıltknlrd Hall Olayı Mtallrd R H Hall katsayısının (3 numaralı dnklm l ulunduğunu gördük. Yarıltknlrd k tp taşıyıcı (lktronlar v oşluklar ulunması ndn l durum daha karmaşıktır. Ancak, r tp taşıyıcının dğrndn daha fazla olması durumunda daha önc gördüğümüz mtallrdk ast durum uygulanalr. Böylc R H nn şartndn çoğunluk taşıyıcılarının cns ulunalr. Tk cns taşıyıcının hakm olduğu durum çn σ da ulunarak µ = R H σ (13 ağıntısı yardımıyla taşıyıcı molts ld dlr. Yarltknlrd taşıyıcı yoğunlukları mtallrl kıyaslandığında daha düşük olduklarından R H daha üyük çıkar. Dolayısı l Hall olayı daha y duyarlılıkla v kolayca ölçüllr. R H sı lnn yarıltkn kullanılarak magntk alan ölçmk çn Hall snsörlr yan magntk alan ölçln snsörlr yapılalr. 1..1. N Tp Yarıltknd Hall Olayı N tp yarıltknd, lktronların yoğunluğu oşluklardan daha fazla olduğu çn Hall olayı mtallrdk g olur. C v D yüzylr oluşan Hall potansyl dnklm (9 l vya dnklm (10 l ulunur. Bu dnklmlrd mtallrd olduğu g n lktron yoğunluğudur. 1.. P Tp Yarıltknd Hall Olayı Yarıltkn, şkl-4 d göstrldğ g r magntk alan uygulandığında, poztf yüklü oşluklara Lorntz kuvvtnn tks aşağıdak gdr. F L =vb (14
Magntk alanda, oşluklar Lorntz kuvvtnn tksyl örnğn D yüzy yönünd harktlnrlr. Bu yüzy karşı, C yüzynd s ngatf yüklü parçacıklar toplanırlar. Böylc, yarıltknn C v D yüzylrnd yük dngs ozulur v u yüzylr arası Hall potansyl (V H vya Hall lktrk alanı (E H oluşur. Poztf yüklü oşluklara tk dn Hall alanının kuvvt F l Lorntz kuvvt F L rrn zıt yönddr (şkl-4. Bu kuvvtlr ştlndğnd aşka yük taşıyıcıları toplanması C v D yüzylrnd son ulur vmagntk alan aşka yük taşıyıcıların harktn tk göstrmz. Dng durumunda (4 ştlğndn vb = E H (15 olur. Burada (v oşlukların hızıdır. Hall alanı l Hall potansyl arasında E H = a VH (16 ağıntısı vardır. Akım yoğunluğu, j = S = a = pv (17 l vrlr. Burada p oşlukların konsantrasyonudur. Bu dklmdn ulunan oşlukların hızının, v = ap (18 v (16 fads l vrln Hall alanının (15 dnklmnd yrn konmasıyla, örnğn C v D yüzylr arasındak Hall potansyl çn 1 V H = p B (19 İfads ulunur. Burada örnğn magntk alan yönündk oyutudur. (19 dnklmnd görüldüğü g Hall potansyl oşlukların konsantrasyonu (p v örnğn kalınlığı ( l trs orantılıdır. (19 dnklm V H = R H B (0 olarak yazılalr. Hall sat R H 1 R H = p (1 l vrlr.
Görüldüğü g yarıltknd Hall satnn şart çoğunluk yük taşıyıcılarının şart l lrlnr: (- şart n tp yarıltknlğ v (+ şart p tp yarıltknlğ göstrmktdr. Hall grlmnn çıkarılışında yük taşıyıcılarının hızı, ortalama hız olarak kaul dlmştr. Grçkt, lktron v oşlukların hızla ağlı olan dağılım fonksyonunu hsaa katmak lazımdır. Bundan aşka, Hall grlm v Hall sat fadlrnd yük taşıyıcılarının yansıma mkanzmalarıda göz önün alınmamıştır. Bu faktörlr hsaa katıldığında Hall satnn daha doğru fads R H = p A ( R H = - n A (3 şklnd vrlr. Burada A Hall faktörüdür. A nın dğrlr yük taşıyıcılarının yansıma mkanzması l ağlıdır, 1 v arasında dğşmktdr: yük taşıyıcılarının katkı yonları l yansımasında (düşük sıcaklıklarda A = 1.93; örgü atomlarının ısısal ttrşm l yansımasında (yüksk sıcaklıklarda A = 1.18; yozlaşmış yarıltknlrd v mtallrd A = 1 dr. 1..3. Asal Davranışta Hall Olayı
Asal davranışta (yan hm n tp hm d p tp ltknlk çn hm lktron hm d oşlukların özllklr şn çn grr. Elktrk v magntk alan altında yarıltknd lktron v oşluklar çn harkt dnklmlr: m ( m ( dv dt dv dt + = - E - v τ v v B (4 + = E + v B (5 τ şklnddr. Bu dnklmlrd τ rlaksasyon zamanıdır (çarpışmalar arası ortalama zaman. Dng durumunda harkt dnklmlrnn çözümü: v = - τ ( E v B m + = - µ ( E + v B (6 v = v m ( E + v B = µ ( E + v B (7 şklnddr. Akım yoğunlukları, j = - n v + p v (8 olarak ulunur. Bu dnklmd hız dğrlrn yrn koyarsak; j = n µ ( E + v B + p µ B ( E + v B (9 olur. Sınır şartlarından j y = 0 (oşluk v lktron akımları şt v zıt yönlü olur. Akım taşıyıcılarının hız vktörlrnn y lşnnn B y lnr ağımlı olduğunu varsayalmmz çn B nn yüksk dğrlr çıkmaması grkr. Eğr B yüksk dğls akım yoğunluğu fadsndn, j = E ( x x nµ (30 j y = E Y ( nµ - B Z ( n µ vx vx (31 = E Y ( nµ + B z E ( nµ x pµ = 0 (dng durumunda Buradan (30 dnklmnd E x çkp (31 numaralı dnklmd yrn koyarsak;
jxbz ( nµ pµ E y = - ( nµ (3 Yukarıdak ştlkt, nµ pµ - ( nµ (33 fads R H Hall katsayısına karşılık glr. Buradan, E y = R H j B (34 x z fads (3 dnklmn nzr şkld ortaya çıkar. (33 dnklm n >> p durumunda (11 nolu dnklm, p >> n durumunda (1 nolu dnklm dönüşür. n = p = n durumunda s dnklm R H = µ µ P ( p n n µ + µ (35 haln alır. Burada önml r sonuç ortaya çıkar. Hall katsayısının şartn moltlr ytr kadar yüksk s azınlık taşıyıcıları lrlr. 1.3. Ettnghausn Olayı y doğrultusundak lktron v oşluk akımlarını (şt üyüklükt v zıt yönlü göz önün alalım. j y = - j y = n µ ( E y + µ Ex Bz (36 pµ nµ = n µ E xbz ( + µ pµ + nµ j y σ. σ = jxbz ( µ + µ (37 ( σ + σ Burada σ = nµ v σ = pµ dr. Son dnklm lktronların v oşlukların (- y doğrultusunda kararlı aktığını göstrr. σ σ s akım n yüksk dğrlr ulaşır. Bu durum numunnn r yüzynd (y doğrultusuna dk yüzylr lktron-oşluk çftlrnn oluştuğunu, dolayısı l u yüzyd nrj asorlandığını v dğr yüzyd s lktron-oşluk çftlrnn yok olduğunu yan rlştklrn, dolayısı l u yüzylrd d nrj açığa çıktığını anlatır.
Bu olayın sonucu olarak, u k yüzy arasında r sıcaklık gradynt ortaya çıkar. Bu olay Ettnghausn olayı olarak lnr. Böyl r olayın gözlnms z hr k tp akım taşıyıcısınında şn çnd olduğunu göstrr. 1.4. Magntorsstant Olayı Yüksk magntk alan dğrlrnd, akım doğrultusunda gözlnn drnç magntk alanın üyüklüğün ağlı olarak dğşr. Bu olay Magntorsstans olayı olarak aadlandırılır v çok yüksk olmayan dğrlr çn magntk alanla kuadratk olarak dğşr.