İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen örnek verileri üzerinde ista?s?ksel yöntemler uygulanarak elde edilen sonuçlar anakütleye genelleş?rilir. ü Bu kapsamda uygulanan yöntemler karar teorisi içinde incelenir. Karar teorisi: 1. (örnek verilerinden hareketle parametre değerlerini tahmin etme) 2. Testler (örnek verilerinden hareketle tahmin edilen parametre değerleri hakkında karar verme) Bu kısmın konusunu oluşturan tahminler ise nokta tahmini ve aralık tahmini olmak üzere iki başlık al7nda incelenmektedir.
Nokta Tahmini Örneklerden hesaplanan ortalama ve varyans gibi değerler anakütle parametrelerinin nokta tahminleridir. ü Nokta tahminlerinin anakütle parametrelerine eşit olmaları beklenemez. ü Belirli bir hata veya sapma her zaman için söz konusudur. Örneğin: Bir şeker fabrikasında torbalanan şekerlerin ortalama ağırlığı µ=50 kg olduğu halde rastgele çekilen 4 örneğin (çuvalın) ağırlıkları X 1 =48 kg, X 2 =52 kg, X 3 =51 kg ve X 4 =49 kg olabilir Nokta tahminlerinin tutarlılığını ortaya koyan bazı özellikler: ü yansızlık, ü kararlılık, ü etkinlik ü yeterlilik
Nokta Tahmini Yansızlık (sapmasızlık- unbiased): Örnek verilerinden elde edilen bir tahminin beklenen değeri anakütle değerine eşit ise bu nokta tahmini yansızdır denir. Örneğin: E(X)=µ olduğu için aritme?k ortalama yansız bir tahmindir Kararlılık: Örnekteki birim sayısının artmasıyla nokta tahmini anakütle değerine (yani parametreye) daha da yakınsıyorsa ilgili tahmin kararlıdır. Örneğin: Örnekteki birim sayısı artkça aritme?k ortalama anakütle ortalamasına daha da yaklaş7ğı için mod ve medyana göre daha kararlıdır.
Nokta Tahmini Etkinlik: ü Nokta tahminlerinin en önemli özelliğidir ü Varyansı en küçük olan nokta tahmini en etkin tahmindir Örneğin: 2 2 σ aritme?k ortalamanın varyansı: σ = x n medyanın varyansı: V = σ 2 π med 2n daha küçük olduğundan, aritme?k ortalama daha etkin bir nokta tahminidir. Yeterlilik: ü Nokta tahmininin örnekteki bilgileri kullanma özelliğidir. ü Örnekteki bilgileri en fazla kullanan nokta tahmini en yeterli nokta tahminidir. Örneğin: mod ve medyan (bölünme asimetrik ise) örnekteki bütün bilgiler dikkate alınarak hesaplanmadıklarından, ortalamaya göre daha kötü nokta tahminleridir.
Aralık Tahmini (Güven Aralığı) ü Nokta tahmininin belirli bir hata payı ile anakütle parametresine yakınsama derecesinin tespit edilmesi oldukça önemlidir. ü Nokta tahminini kullanarak anakütle parametresini belirli bir olasılıkla (doğruluk payı ile) içinde bulunduracağı alt ve üst sınırları gösteren güven sınırları veya güven aralığı tahminleri yapılmaktadır. ü Tahminde yapılabilecek hata seviyesi α ile gösterilirse, 1- α tahminin doğruluk seviyesini (güven düzeyini) gösterilebilir. ü 1- α ile gösterilen güven düzeyi için genellikle %99 veya %95, nadiren de %90 değerleri (bu durumda hata payları, seçilen güven düzeyine bağlı olarak, sırasıyla %1, %5 ve %10 olacak7r) esas alınmaktadır.
Aralık Tahmini (Güven Aralığı) ü Hata terimi normal dağılım eğrisinin her iki ucunda eşit (α/2) olarak yer alır. α/2 lik hata seviyesine karşı gelen tablo değeri (Z α/2 ), ilgili dağılımın standart hatası ile çarpılarak aralığın alt ve üst sınırlarını belirlemede kullanılacak olan hata terimi belirlenmiş olur. ü Belirlenen hata terimi örnek ista?s?ğine eklendiğinde üst güven sınırı, çıkarıldığında ise alt güven sınırları oluşturulur.
Aralık Tahmini (Güven Aralığı) Gerek tahminlerde, gerekse hipotez testlerinde işlemler parametre (anakütleye ait gösterge) ve tahminin (örneğe ait gösterge) dağılım biçimine göre yürütülür. Özellikle normal dağılım gösteren verilerden elde edilen tahminlerde: ü Z (standart normal) dağılım, ü t dağılımı ü χ 2 (ki- kare) dağılımı yaygın olarak kullanılmaktadır.
Aralık Tahmini (Güven Aralığı) Güven aralıkları ve hipotez testlerinde kullanılacak dağılım: ü ilgilenilen parametreye ait anakütle varyansının bilinip bilinmemesine ü örnek büyüklüğüne bağlı olarak belirlenmektedir. Kullanılacak dağılım aşağıdaki ilkelere göre belirlenir: ü Anakütle varyansı (σ 2 ) biliniyorsa Z dağılımı ü Anakütle varyansı (σ 2 ) bilinmiyorsa ü n 30 ise Z dağılımı ü n<30 ise t dağılımı
Aralık Tahmini (Güven Aralığı) ü Hesaplamalarda t dağılımı veya Z dağılımı kullanmanın gerekliliği küçük ve büyük örnek teorilerine dayanmaktadır. ü Genellikle, büyük örneklere (n 30) ait örnek dağılımlarının yaklaşık olarak normal (daha gerçekçi) dağılım gösterdiği ve n büyüdükçe normale daha fazla yakınsadığı bilinmektedir. ü Küçük örneklere (n<30) ait örnek dağılımları normal dağılımdan uzaklaşmaktadır. Bu uzaklaşma n küçüldükçe daha da fazlalaşmaktadır. Bu nedenle, büyük örnekler için Z dağılımı kullanılırken, küçük örnekler için Z dağılımı yerine t (student) dağılımını kullanmak gerekmektedir.
t- Dağılımı ü Küçük örnek ista?s?klerinin gösterdiği dağılım normal dağılım eğrisi gibi simetrik bir görünümde olmakla birlikte, normal dağılım eğrisine göre daha basık ve yayvan biçimdedir. ü Yayvanlıktan dolayı t dağılımı eğrisinin kuyrukları al7nda kalan alan Z dağılımına göre daha büyüktür.
t- Dağılımı ü Küçük örnekler için Z tablosu yerine farklı örnek büyüklükleri ve önem (güven) seviyeleri esas alınarak hesaplanan t tabloları kullanılır. ü n 30 için t tablosu değeri Z tablosu değerine çok yaklaşır. ü Bu sebeple n 30 olan örneklerde t tablosu yerine Z tablosu kullanılmalıdır.
Ortalamanın Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa ü Bir örnekten elde edilen X ista?s?ği anakütle ortalaması µ nün nokta tahminidir. ü Nokta tahmininin anakütle değerine eşit olması beklenemez. Bunun için anakütle ortalaması µ yü içinde bulunduracak 1- α güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdaki gibi yapılır:
Ortalamanın Güven Aralığı ifadesi elde edilir ve ortalamanın güven aralığı olarak adlandırılır.
Ortalamanın Güven Aralığı Örnek: Bir tezgahta üre?len parçaların dış çaplarının standart sapması σ=2.4 cm dir. Tezgahın üre?minden rastgele seçilen 16 parçanın dış çap ortalaması 3.2 cm olarak bulunmuştur. %5 hata (%95 güven) seviyesinde anakütle ortalamasının güven aralığını tahmin ediniz.
Ortalamanın Güven Aralığı Örnek Çözüm: σ=2.4 cm n=16 parça X = 3 2 cm 1-α=0.95à α=0.05 α/2=0.025 Z tablosundan Z α/2 =Z 0.05/2 =Z 0.025 =1.96 değeri alınır... Alınan örneklere göre sözü edilen tezgahta üre?len parçaların dış çapları ortalamasının %5 hata (%95 doğruluk) payı ile 2.024 cm ile 4.376 cm arasında olacağı söylenebilir.
Ortalamanın Güven Aralığı Nokta tahminini içine alan güven aralığının dar veya geniş olmasını etkileyen başlıca iki faktör vardır: ü Seçilen hata düzeyi (hata düzeyi küçüldükçe aralık genişler) -> az etkin ü İlgili varyansın değeri (varyans küçüldükçe aralık daralır) -> çok etkin
Örnek Büyüklüğü ü Az sayıda örneğin incelenmesi ile ulaşılan nokta tahmininin anakütle parametresine eşit olması beklenemez. ü Belirli bir sapma her zaman için söz konusu olabilir. ü Sapmanın büyüklüğü anakütle parametresi (örneğin µ) ile nokta tahmini (örneğin X ) arasındaki fark kadar olacak7r. ü Sözü edilen fark büyük ise (örneğin µ nün değeri X a dayalı olarak oluşturulan güven aralığının sınırlarına yakın ise) hata miktarı maksimum düzeyde olacak7r.
Örnek Büyüklüğü ü Örnek hacmi (n) ar7rılarak µ nün tahmininde yapılan hata miktarı azal7labilir. ü Bu amaçla ortalamanın güven aralığı oluşturulurken yapılabilecek hatanın belirlenen bir değerden az olması için alınması gereken örnek sayısı aşağıdaki formülü yardımıyla belirlenebilir
Ortalamanın Güven Aralığı Örnek: Bir tezgahta üre?len parçaların dış çaplarının standart sapması σ=2.4 cm dir. Tezgahın üre?minden rastgele seçilen 16 parçanın dış çap ortalaması 3.2 cm olarak bulunmuştur. %5 hata (%95 güven) seviyesinde örnek ortalaması (tahmin edilen değer) ile anakütle ortalaması (gerçek değer) arasındaki farkın (yani hatanın) 1 cm veya daha az olması için alınması gereken örnek hacmi ne olmalıdır? Örnek Çözüm: d=1 cm σ=2.4 cm ve Z α/2 =1.96 değerleri formülde yerine koyulursa n = 1.96 * 2.4 22. 12 23 1 2 parça örnek alınması gerek?ği görülür
Ortalamanın Güven Aralığı Anakütle Varyansı Bilinmiyorsa ü Anakütle varyansının bilinmediği, fakat örnek hacminin 30 veya daha büyük olduğu (n 30) durumlarda örnek varyansı (S 2 ) kullanılarak Z dağılımı yardımıyla güven aralığı oluşturulur. ü Anakütle varyansının bilinmediği durumlarda örnek hacmi 30 dan küçük (n<30) ise küçük örnek teorisine göre geliş?rilen t dağılımı yardımıyla güven aralığı oluşturulur.
Ortalamanın Güven Aralığı Anakütle varyansının bilinmediği ve n<30 olduğu durumlarda anakütle ortalaması µ yü içinde bulunduracak 1- α güven düzeyindeki aralık tahmini aşağıdaki gibi yapılır:
Ortalamanın Güven Aralığı Not: Güven aralığı formülünde verilen n- 1 ifadesi serbestlik derecesini göstermektedir. t tabloları tek veya çic yönlü olarak hazırlanmaktadır. Bu özellik tabloda belir?lir. Tek veya çic yönlü ayrımı; istenen bölge dağılımın her iki kuyruğunu kapsıyorsa çi< yönlü, sadece tek kuyruğunu kapsıyorsa tek yönlü olarak yapılmaktadır. Testlerin çic yönlü ve tek yönlü görünümleri aşağıdaki dağılım diyagramları üzerinde gösterilmiş?r.
Ortalamanın Güven Aralığı Örnek: Bir işyerinde çalışan işçilerin boylarına göre tezgah yüksekliklerinin ayarlanması amacıyla bir araş7rma yürütülmüştür. Farklı bölümlerden rasgele 25 işçi seçilmiş ve boyları ölçülmüştür. İşçilerin boyları ortalaması 1.72 m ve varyansı 0.18 olarak belirlendiğine göre %99 güven (%1 hata) seviyesinde anakütle ortalamasının güven sınırlarını tahmin ediniz. Örnek Çözüm: Anakütle varyansı (σ 2 ) bilinmediği ve örnek hacmi (n=25) 30 dan küçük olduğu için güven aralığının oluşturulmasında t dağılımından yararlanılacak7r %99 güven düzeyinde sözü edilen işyerindeki işçilerin boyları ortalamasının 1.48m ile 1.96m arasında olacağı söylenebilir(veya olması beklenir)
t- tablosunun okunuşu ü İstenen hata (yani α veya α/2) düzeyinin değeri tablonun yatay eksenindeki Pr kısmına işaretlenir. Serbestlik derecesi (yani SD=n- 1) değeri düşey sütundaki SD kısmına işaretlenir. ü Yatay ve düşey eksenlerde işaretlenen değerlerin kesiş?ği hücrede bulunan değer aranan t tablosu olasılık değeridir Bu probleme ait α/2=0.005 değeri yatay eksene, SD=24 değeri düşey eksene işaretlenir ve tablodan ilgili olasılık: t α/2,n-1 = t 0.005;24 =2.797
Gelecek Dersin Konusu e devam edilecek.