VE ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER VE KATI CİSİMLER

EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYLER VE KI İSİMLER Sf No tek ve çok üeli kplı üele ve ktı cisimle..................................

KVRMSL IM EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYLER VE KI İSİMLER Üç boutlu nesnelee ktı cisim deni. i ktı cisim engi bi ölçüe ve şekle sip olbili. nck çokülüle; küele, silindile ve konile gibi biçok ktı cismin kendisine s öelliklei vdı. Çokülülein genel öelliklei şğıd veilmişti. çokülü He bii ü dını ln dülemsel çokgenlele sınılnn ktı cisimlee çokülüle deni. Yülein bibiile kesiştiği doğul ıt olk dlndıılı. Üç ve d fl üün kesiştiği nokt ise köşe deni. Küp bi çokülüdü. Köfle Yü ışbüke çokülü ütün iki dülemli çılı 0 den küçük oln çokülüe dışbüke çokülü deni; ön: küp. içbüke çokülü iki dülemli çıldn en bii 0 den büük oln çokülüe içbüke çokülü deni. u d en bi köşe noktsının ktının içine doğu olduğu nlmın geli. çbüke çokülü ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle i çokülünün dı sip olduğu ülein sısın bğlıdı: ügün çokülü Çokülünün dı öt ülü efl ülü ltı ülü Yedi ülü Seki ülü oku ülü n ülü n iki ülü Yimi ülü Yülein sısı 5 7 9 0 0 ütün ülei ödeş dügün çokgenleden oluşn çokülüe dügün çokülü deni. Köşeledeki çıl eşitti. eş tne dügün çokülü vdı. unl, Yunn filoof Plton un dıl nılı ve Pltonik i dügün dötülü ebii eşken üçgensel cisimle olk dlndıılı. bölge oln döt tne üe sipti. iki dülemli çı i çokülüde, iki üün kesiştiği ede oluşn çı iki dülemli çı deni. ki dülemli ç i küpün ltı tne kesel bölge üü vdı. i dügün sekiülü, e bii eşken üçgensel bölge oln seki tne üe sipti. 5

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM i dügün on iki ülü, e bii dügün beşgensel bölge oln on iki tne üe sipti. ı ügün çokülü ülei çeşitli dügün çokgensel bölgeleden oluşn çokülüe ı dügün çokülü deni. i otu iki ülü, 0 üçgensel bölge ve beşgensel bölge olmk üee toplm üden oluşn bi ı dügün çokülüdü. eule teoemi Çokülülele ilgili teoeme göe; v e + F = i dügün imi ülü, e bii eşken üçgensel bölge oln imi tne üe sipti. tu iki ülü V = köşelein sısı E = ıtlın sısı F = ülein sısı u teoem küp öneği üeinde gösteilebili. i küpün köşesi, ıtı ve üü vdı. ( + = ). eoem, İsveçli mtemtikçi Leond Eule in dıl nılı. (707 7). EK NL K Ud iki nokt, iki doğu, iki dülem ve doğu dülem sınd şğıdki şemd veilen ilişkile vdı. tk nokt tek (kesiflile) NK () NK () tk nokt sip = RU RU nı dülemde tk nokt tek de il (çkıflıktıl) tk do u sip tk do u tek (kesiflile) otk nokt sip de ildi. (pleldile) nı dülemde de ildi. (kııdıl). ÜZLEM ÜZLEM tk do u tek de il (çkıflıkl) tk nokt sip tk nokt tek (kesiflile) RU ÜZLEM tk nokt tek de il (do u dülemdedi) tk do u sip de il (pleldi) tk nokt sip de il (do u düleme pleldi) Side üç nokt, üç doğu, üç dülem sındki ilişkilei ştıını.

KVRMSL IM ktı cisimlein ve kplı üelein sınıflnıılmsı Yüe pçlı ile sınılnn kplı u pçsın çok üeli ktı cisim, çok üeli ktı cismin sınıın d çoküeli deni. i çoküelii oluştun e bi üe pçsın bu çoküelinin üü, engi iki üün kesitine bu çoküelinin ıtı, ikiden fl üün kesitine bu çoküelinin tepe noktsı deni. EK NL K Çokülü Ktı isimle Çoküeli Ktı isimle KI S MLER Çokülü lmn Ktı isimle eküeli Ktı isimle Veilen ktı cisimlei ukıdki şem ile eşleştiini ve geekçeleini çıklını. Çoküelile, ülei dülemsel bölge olnl ve olmnl olk sınıflndıılıl. Çoküeli ktı cisimin bütün üelei dülemsel ve çokgensel bölge ise çokülü ktı cisim; eğe çoküelinin bütün üe pçlı dülemsel ve çokgensel bölge ise çokülü He çokülü nı mnd çok üelidi. EK NL K şğıdki şemı inceleeni. Çokülüle Çoküelile KPLI YÜZEYLER Çokülü olmnl eküelile Veilen kplı üelei ukıdki şem ile eşleştiini ve geekçeleini çıklını. ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle 7

ünite KVRMSL IM tek ve çok üeli ktı cisimlein ve çok ülülein temel elemnlı. pim tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle NIM ülemsel bi çokgene dnn ve bu çokgenin dülemini bi tek noktd keseek, sbit bi doğu plel olk kn bi doğunun oluştuduğu üee pimtik üe deni. Çokgene, pimnın dnk eğisi, eketli doğu d pimnın n doğusu deni. P d P d Pimtik Yüe nk e isi i pimtik üein n doğulını kesen iki plel dülemle, pimtik üe sınd kln kplı cisme pim deni. u dülem pçlın d pimnın tbnlı deni. Pimnın tbn köşeleinden geçen doğu pçlın pimnın nl ıtlı, tbn kenlın tbn ıtlı, dışık iki nl ıt sınd kln dülem pçlın d pimnın nl ülei deni. n do u Pim lt tbn Üst tbn Ynl ü u tnım göe, bu pimd: ) Ynl ıtl bibiine pleldi. EREM i pimnın tbn plel kesitlei, bibiine eşti. ) Ynl ıtlın uunluklı eşitti. ) lt ve üst tbn bibiine eşitti. İspt Çünkü, bud, eş plelkenl medn gelmektedi. i pimnın lt ve üst tbnlı sındki uklığ, pimnın üksekliği deni. Ynil ıtlı dik kesen bi dülemde, pimnın kesitine de dik kesit deni. ve dötgenlei, tbnl plel iki dülemle elde edilen kesitle olsun. i pimnın nl ıtlı bibiine plel olduğundn;,,, dötgenlei bie plelkendı. olısıl, i pimnın tbn plel dülemlele kesitleine, tbn plel kesitlei deni. =, =, =, = ve W, Wl, W, Wl, W, Wl, W, Wl bulunu. un göe, dötgeni, dötgenine eş

KVRMSL IM i pimnın n ülei, bie plelkendı. Şekildeki pimd, nl ıtl bibiine plel olduğundn, [ // [ ] // [ ] // [ ] dü. lt ve üst tbn bibiine plel olduğundn, [] // [ ], [] // [ ], [] // [ ], [] // [ ] dü. lde,,,, dötgenlei bie plelkendı. pim çeşitlei Piml, tbnlın göe ve n ıtlın tbn dik olup olmmsın göe, iki şekilde dlndıılıl. NIM EREM İspt. bnı n gen oln pim, n gen pim deni. (üçgen pim, dötgen pim, beşgen pim, dügün ltıgen pim gibi).. Yn ıtlı tbn dik oln pim, dik pim deni.. Yn ıtlı tbn dülemine eğik oln pim d eğik pim deni. ı öel pimlı tıllım. unl; dikdötgenle pimsı, plel ü, küp, dügün pim olk dlndıılıl. ügün pim NIM bnı dügün çokgen oln dik pim, dügün pim deni. i dügün pimnın n ülei bibiine eş dikdötgenledi. Yndki şekilde, n ülein eş dikdötgen olduğu kolc göülebili. plel ü NIM bnı plelken oln pim plel ü deni. i plel üde, bi köşe ile bu köşeden geçen ülede bulunmn bi köşei bileştien doğu pçsın, cisim köşegeni deni. Şekilde, [ ] doğu pçsı, bi cisim köşegenidi. i plel üün ltı üü, oniki ıtı, seki köşesi, döt cisim köşegeni vdı. Yn ıtlı, tbnın dik oln plelüe de dik plel ü deni. E E ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle ikötgenle pimsı NIM bnlı dikdötgen oln dik pim, dikdötgenle pimsı deni. u tnım göe, bi dikdötgenle pimsının bütün ülei, bie dikdötgendi. 9

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM. pimit NIM i dülemsel çokgene dnn ve bu çokgenin dülemi dışındki sbit bi noktdn geçen doğulın oluştuduğu üee, pimidl üe deni. Sbit nokt tepe noktsı, çokgene doğultmn ve dnk eğisi, üein tepeden geçen engi bi doğusun d n doğu deni. NIM Pimidl üe epe n do u o ultmn i pimidl üein bütün n doğulını kesen bi dülemle, tepesi sınd kln cisme, pimit deni. epesi, doğultmnı dötgeni oln bi pimit, (, ) ile gösteili. Çokgenle sınılı dülem pçsın tbn, tbn köşelei ile tepei bileştien doğu pçlın d nl ıt, nl ıtl sınd kln üçgensel bölgelee, nl ü deni. Ynl ü pimit çeşitlei Pimitle, tbnlındki çokgenlein çeşitleine göe dlndıılıl. (Üçgen pimit, ke pimit, beşgen pimit, ltıgen pimit gibi.) H Üçgen pimit lt gen e ik pimit Pimidin üksekli i Eşken üçgenin mekei, kenotlın kesim noktsıdı. Kenin mekei, köşegenlein kesim noktsıdı. ügün ltıgenin mekei, çevel çembein mekeidi. eflgen dik pimit Ynl üksekli i NIM bnı dügün çokgen ve ükseklik ğı tbn mekeinde oln pimide, dügün pimit deni. Yükseklik bn ügün üçgen dik pimit ügün ke pimit (, ) Pimidi i pimitte, tepeden tbn inilen dik doğu pçsın, pimidin üksekliği, bi nl üdeki üçgenin tbnın it üksekliğine de o nl üe it nl üksekliği deni. Yüksekliği tbn mekeinden geçen pimide, dik pimit geçmeen pimide de eğik pimit deni. ügün ltıgen pimit 0

KVRMSL IM i dügün pimitte,. Ynl ıtlın uunluklı eşitti.. Ynl üle, bibiine eş ikiken üçgenledi.. Ynl üksekliklein uunluklı eşitti. (nl üksekliğe dügün pimidin potemi deni.. bnı dügün oln bi pimit e mn dügün pimit olmbili. Öneğin, tbnı dügün beşgen oln ndki pimit bi dügün pimit değildi. EREM i pimit, tbnın plel bi dülemle kesilise,. Kesit, tbn bene bi çokgendi.. Ynl ıtl, ontılı pçl ılıl. H Ynl ülede bene üçgenle oluştuğundn, l l l l l l l l = = = = k, di. (k R + ) olısıl ve çokgenlei benedi.... benelik teoemine göe, & & & & & & & & ll+, l l+, l l+, l l+ olduğundn, l l l = = = k, k! R+ bulunu. ügün Ötülü NIM ütün ıtlı bibiine eşit oln dügün pimide, dügün dötülü deni. lde, bi dügün dötülüde bibiine eş oln döt tne, eşken üçgen vdı. kesik pimit NIM ügün dötülü ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle İspt i pimidin tbnın plel kesiti ile tbnı sınd kln pçsın, kesik pimit deni. Pimidin tbnı oln çokgensel bölgee, kesik pimidin lt tbnı; plel kesite, kesik pimidin üst tbnı deni. P G P G Yukıdki şekilde, P dülemi tbn plel olsun ve oluşn kesite dötgeni dielim.. ile dötgeninin kenlı kşılıklı olk plel olduğundn m ^W = m ^Zl, m ^W = m ^Xl, m ^W = m ^Yl, m ^W = m ^Yl Pimit Kesik pimit Yukıdki şekilde; dötgensel bölgesi, kesik pimidinin lt tbnı; dötgensel bölgesi de kesik pimidin üst tbnıdı. Kesik pimidin,,... n ülei bie muktu. (, ) pimidinin [] üksekliğinin, kesik pimidin tbnlı sınd kln pçsın (kesik pimidin tbnlın dik oln [ ], kesik pimidin üksekliğidi.

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM ügün kesik pimit NIM i dügün pimidin tbnın plel kesiti ile tbnı sınd kln pçsın, dügün kesik pimit deni. i üçgen dügün kesik pimit ve çınımı şğıd çiilmişti. NIM nk eğisi kplı bi eği oln bi silindi üeinin n doğulını kesen ve bibiine plel oln iki dülemle silindi üei sınd kln cisme, silindi deni. ülemlele kesitlee silindiin tbnlı, tbnl sındki dik doğu pçsın, silindiin üksekliği deni. n doğulı tbn dik oln silindie dik silindi, eğik oln silindie eğik silindi deni. ik diesel silindi Çembe E ik diesel silindi ükseklik üçgen dügün kesik pimidinin ve tbnlı eşken üçgensel bölgeledi., ve dötgenlei bibiine eş ikiken muktu. Elips Eliptik silindi. silini Silindile, dnk eğisine göe de dlndıılıl. iesel silindi, eliptik silindi, ipebolik silindi gibi. NIM i α eğisine dnn ve sbit bi d doğusun plel olk kn doğulın oluştuduğu üee, silindiik üe deni. α, silindiik üein dnk eğisi ve doğultmnı, plel doğul d n doğulı deni. d d bnı die oln dik silindie, dik diesel silindi, tbnı die oln eğik silindie, eğik diesel silindi deni. ik silindilee, dönel silindile de deni. Öneğin, bi dikdötgen, bi kenı etfın 0 döndüüldüğünde elde edilen dik silindi bi dönel silindidi. şğıdki şekilde bi dönel silindi ile bi dönel cisim göülmektedi. n do u n do u α e isi α dnk e isi Silindiik üele α dnk e isi Simeti ekseni önel silindi önel cisim

KVRMSL IM i diesel silindi, tbn plel dülemlele kesildiğinde kesitle, lt ve üst tbn eş diele bn dik bi dülemle kesildiğinde ise ekesitlein kşılıklı kenlı, bibiine plel doğu pçsı çiftleidi. α, α, α d // d siliniin Öelliklei. i dik silindiin üksekliği ile n doğusu eşitti.. i eğik silindiin tbnını, dik olk en iki noktd kesen bi dülemle kesiti, bi plelkendı. Silindi, dik silindi ise, kesit bi dikdötgendi.. Hengi bi silindiin tbnın plel dülemlele kesitlei bibiine eşti.. i silindi, tbn kenlı sonsu miktd çoğltılmış (limit li) bi pim gibi düşünülebili. 5. i silindiin tbn ve tbn plel olmn dülemle sınılndıılmış pçsın kesik silindi, kıs üksekliği sıfı oln eğik silindie silindiik tko deni.. koni NIM Sbit bi noktsındn geçen ve sbit bi α eğisine dnn doğulın oluştuduğu üee, koni üei deni. noktsın, koninin tepe noktsı, α eğisine, dnk eğisi ve doğultmnı, tepeden geçen doğul d n doğulı deni. NIM n do u epe noktsı nk e isi Koni Yüei nk eğisi, kplı bi eği oln koni üeinin tüm n doğulını kesen bi dülemle, tepe sınd kln cisme koni deni. ülemsel kesite koninin tbnı, tepenin tbn oln uklığın d koninin üksekliği deni. ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle EK NL K i ıtının uunluğu cm oln küp biçimindeki tt ontulk en büük cimli silindi pılıo. u silindii çiini. Yükseklik α bn Konile iki biçimde dlndıılı.. nk eğisine göe (iesel koni, eliptik koni, ipebolik koni gibi...). Yüksekliğin duumun göe. (ik koni, eğik koni gibi.)

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM NIM Yükseklik ğı tbn mekeinde oln konie, dik koni deni. bnı die oln dik konie, dik diesel koni deni. Yükseklik ğı tbn mekeinde olmn konie, eğik koni, tbnı die oln eğik konie de eğik diesel koni deni. H ik diesel koni n do u E ik diesel koni H ükseklik İspt Kesit tbn plel olduğundn,... benelik teoemine göe, & & l l l ll & = = & & l l l H l H & = olu. olısıl, l l = bulunu. i dik üçgenin, bi dik kenı etfınd dönmesinden elde edilen dik konie, dönel koni deni. ik iesel koninin Öelliklei. ik diesel koninin üksekliği simeti eksenidi.. ik diesel koninin n doğulının uunluklı bibiine eşitti.. ik diesel konide eksenden geçen e dülemle kesit, bi ikiken üçgensel bölgedi.. bn plel e kesit, ine bi diedi. kesik koni NIM i koni tbnın plel bi dülemle kesildiğinde, kesit ile tbn sınd kln pçsın, kesik koni deni. Kesite üst tbn, iki tbn sındki üksekliğe de kesik koninin üksekliği deni. bnı die oln kesik konie, diesel kesik koni deni. EREM i diesel koninin, tbnın plel bi dülemle kesiti, ine bi diedi. u dielein ıçplının onı, tepenin bu kesitlee oln uklıklının onın eşitti. Üst tbn Yükseklik α lt tbn

KVRMSL IM ik iesel kesik koni Yükseklik klı, lt ve üst tbnın mekeleinden geçen konie, dik diesel kesik koni deni. E ik diesel kesik koni i dik diesel kesik konii, n doğusu bounc kesip, nl üeini düleme çlım. ik diesel kesik koni EREM bn ıçpı, tbn pelel kesitinin ıçpı ve n doğusunun uunluğu oln dik kesik koninin nl lnı S = π ( + ) dü. İspt ik koni ik kesik koni Y ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle ik diesel kesik koni ik diesel kesik koninin düleme ç l m iesel bi koninin tbnın pelel bi dülemle kesiti de diedi. P Şekilde tepesi, n doğusu [] üksekliği [] oln koni tbnın plel oln P dülemi ile kesildiğinde mekeli tbn plel bi kesit diesi oluşu. K K ik kesik koninin çınımı ik kesik koninin nl lnı, tepesi noktsı ve n doğusu [] oln dik koninin nl lnı ile tepesi noktsı ve n doğusu [ ] oln dik koninin nl lnının fkın eşitti. un göe, S Y = π. π. () les teoemi ve ontı öelikleine göe, l l l l = & = = = l l l ( = ) l & = ve l = () l l () ve () e göe, l S Y = π. π. = π. πl. l l π. = _ ^l i l π =. l + l = π + l b. l ^ ^ ^ 5

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM önel kesik koninin nl lnını, tbnlının çeveleinin uunluklı ve n doğusunun uunluğu cinsinden lım. önel kesik koninin tbnlının çeveleinin uunluklı, Ç = π biim ve Ç = π biimdi. Ç Çl Ç = π & π = ve Çl = πl& πl = olduğundn; dönel kesik koninin nl lnı, Ç Çl S Y = π( + ) = (π + π ) =. Ç + Ç l b + l= b. bnlının çeveleinin uunluklı Ç biim ve Ç biim, n doğusunun uunluğu biim oln dönel kesik koninin nl lnı;. Ç + S Ç l Y = b. lt tbnının lnı S, üst tbnının lnı S ve nl lnı S Y oln dik kesik koninin tüm lnı, S = S + S + S Y = π + π( ) + π( + ) biim ke kiifl i çpı [] oln ım çembei, [] çpı etfınd 0 döndüülüse ( d çpı [] oln çembe, [] etfınd 0 döndüülüse) bi küe üei oluşu. u küe üeinin mekei, [] nin ot noktsı oln noktsıdı. çp çp 5. küe Yıçp uunluklı eşit oln küelee eş küele deni. Eş küelein, iç içe konduğu düşünülüse, bütün noktlı çkışı. NIM Ud, sbit bi noktdn eşit uklıkt bulunn noktlın kümesine küe üei ve küe deni. (u tnım göe, küenin içi boştu.) Sbit nokt, küenin mekei, sbit uklığ d küenin ıçp uunluğu deni. çp meke Küenin iki noktsını bileştien Küe doğu pçsın, küenin kiişi, mekeden geçen kiişe, küenin çpı, meke ile küe üeindeki bi noktı bileştien doğu pçsın d küenin ıçpı deni. i ülemle i küenin kesiti de me nokts te et dülem i dülemle bi küenin kesiti, bi tek nokt ise bu düleme, küee teğetti deni. nck, bi dülem bi küei, biden çok noktd kesese, kesit, bi eği u eğinin bi çembe olduğu şğıdki teoemle gösteili. EREM i dülemle bi küenin kesiti, bi çembedi.

KVRMSL IM İspt P d N Mekei, ıçpı oln bi küe llım ve bunu bi P dülemi ile kestielim. kesit üeindeki engi bi nokt M, mekein düleme oln uklığın d d dielim. noktsındn P dülemine inilen dikme [N] olsun. N = d N ile M i bileştiisek, [N] P olduğundn, [N] [NM] di. lde, NM bi dik üçgendi. NM = denise, Pisgo teoemine göe, l = d (sbit) lde, kesit üeindeki M noktlı, sbit N noktsındn, sbit uklıkt bulunmktdıl. un göe, kesit kümesi bi çembedi. i küe ile i ülemin iiine GÖe UUmlı i küe ile bi dülem, bibiine göe üç fklı konumd bulunul. Küenin ıçpı, mekein düleme uklığı d olmk üee,. d > ise dülem küei kesme, kesit boş kümedi.. d = ise dülem küee teğetti. u duumd, küe ile dülemin kesiti tek bi noktdı.. d < ise dülem küei bi çembe bounc kese. M Mekein düleme uklığı d = ise dülem, küenin mekeinden geçe. u duumd, elde edilen kesit çembeine, küenin büük çembei deni. üük çembelein ıçplı, küenin ıçpın eşitti. Öneğin, ekvto çembei, kutuplın e ikisinden biden geçen çembele, bie büük çembedi. küenin elitilmesi Mekei ve ıçp uunluğu veilen bi küe, tek olk belitilmiş un göe, bi küenin belli olmsı için, dülemsel olmn en döt noktsının veilmesi ve bilinmesi geeki. Çünkü, geometik e konusund, dülemsel olmn döt noktdn, eşit uklıkt bulunn bi tek nokt olduğunu gömüştük. EREM ülemsel olmn döt nokt, bi küe beliti. İspt üük çembele ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle P d d = P d > d = d P d < i dülemle bi küenin duuml Şekilde dülemsel olmn,,, noktlı veilmişti. Üç nokt dülemsel olduğundn,,, noktlı d dülemseldi. u üç noktdn eşit uklıkt bulunn noktl, üçgeninin ken ot dikmeleinin kesim noktsındn, üçgen dülemine çıkıln dikme üeinde bulunu. ve noktlındn eşit uklıkt bulunn noktl ise, doğu pçsının ot dikme dülemi üeindedi. u dülemin, dik doğuu kestiği nokt desek, 7

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM = = = olısıl, veilen,,, noktlı bu noktsındn nı uklıkt bulunul. lde, bu noktl, mekeli = ıçplı küe üeindedile ve bu küei belitile. lde, dülemsel olmn döt nokt, bi ve lnı bi küe beliti. sonuçl. i çembe ile bu çembe dülemi dışındki bi nokt, bi tek küe beliti.. i noktdn sonsu çoklukt küe geçe.. İki noktdn sonsu çoklukt küe geçe.. Üç noktdn sonsu çoklukt küe geçe. nck, bu küelein mekelei; bu üç noktnın belittiği üçgenin ken ot dikmeleinin kesim noktsındn üçgen dülemine çıkıln dikme üeinde bulunu. EREM Ud, bi doğu pçsını dik çı ltınd göen noktlın kümesi, bu doğu pçsını çp kbul eden bi küedi. İspt K Ud sbit bi doğu pçsı llım. [] nin ot noktsı olsun. u doğu pçsını dik çı ltınd göen noktldn engi & biine K dielim. üçgeninde m^% K K= 90 olduğundn, K = = =. (sbit) K; noktsındn, =. (sbit) uklığınd olduğundn, mekeli, =. ıçplı küe üeinde bulunu. un göe, K konumundki uın diğe tüm noktlının oluştuduğu küme, [] çplı küe küesel do u pçs ı küesel do u küesel üçgen i küe üei üeinde ki engi üç fklı noktdn bi ve lnı bi çembe geçe. unun sebebi, küe üei üeindeki engi üç nokt doğusl olmcğındn bu noktl bi üçgen oluştuu. He üçgenin bi çevel çembee sip olmsıdı. Y d doğusl olmn üç nokt çembeseldi. i küe üei üeindeki engi bi çembein mekeinden geçen ıçp doğultusunun çembein dülemine dik olduğu, tesine çembein dülemine dik oln doğultunun çembein mekeinden geçen ıçp doğultusudu. i küe üei ile küenin mekeinden geçen dülemin kesitine küe üeinin doğulı, küenin mekeinden geçmeen ve küe ile biden fl noktd, kesişen dülem ile kesitine küe üeinin çembelei, küe üei üeine çiilen şekillee küesel şekille, küe üei üeindeki bi çembein mekeinden çıkıln dikmee çembein ekseni, küe üei üeindeki bi çembein ekseni ile küe üeinin kesit noktlı bu çembein kutup noktlı dı.

KVRMSL IM pltonik (pltonic) çokülüle ve çokülü ktı cisimle keple çokülüle ve çokülü ktı cisimle ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle Şime (chımees) çokülüle ve çokülü ktı cisimle 9

ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle KVRMSL IM. veilen çokülülein çınımlını pm ve çınımlı veilen çoküülei oluştum çınımlı veilen çokülülein bi üü işetleneek ve tnk belileni. nn kısım tbn olck şekilde ugun mtelle kullnk çok ülü oluştuulu. luştuuln çokülünün göünümü iometik kğıd çiili.. çoküeli ktı cisimlein üe lnlı pimnın lnı ik kesit KLMNS beşgenidi. Şekildeki nl üün çınımınd göüldüğü gibi, plelkenının üksekliği, [KL] di. plelkenının üksekliği, [LM] di. plelkenının üksekliği, [NS] di. EE plelkenın üksekliği, [SK ] di. E E plelkenının üksekliği, [SK ] di. un göe, bu eğik pimnın nl üünün lnı, S Y =. ( KL + LM + MN + NS + SK ) S Y = l. ik kesit çevesi = l.ç olk bulunu. EK NL K ) Ynl ıtının uunluğu cm ve dik kesit çevesi cm oln bi eğik pimnın nl lnı kç cm di? EREM i eğik pimnın nl üünün lnı, dik kesit çevesi ile nl ıt uunluğunun çpımın eşitti. İspt b) Ynl lnı cm oln eğik pimnın nl ıtının uunluğu cm ise dik kesitinin çevesi kç cm di? Şekildeki eğik pimı ve bi dik kesitini gö önüne llım. l E ı ı ı ı K ı ı ı E ı S L K ı ı E N e M L d M N S c d E K b e c b ı l E ik pim E ik pimnın nl üünün çınımı 0

KVRMSL IM SNUÇ i dik pimnın nl lnı, tbn çevesi ile üksek uunluğunun çpımın eşitti. İspt ik pim SNUÇ Hengi bi pimnın lnı, (toplm lnı) nl lnı ile lt ve üst tbnın lnlının toplmın eşitti. Yni, tüm ln S ise S = S Y +.S di. Çünkü, nl ln, lt ve üst tbn lnı eklenmişti. bnl eş olduğundn, lnlı d eşitti. SNUÇ ıt uunluklı, b, c oln bi dikdötgenle pimsının lnı: S =. (. b + b. c +. c) di. c b Öneğin, boutlı =, b =, c = oln bi dik dötgenle pimsının lnı: S =.(. +. +.) = 0 b ünite tek ve çok üeli kplı üeel ve ktı cisimle ik pimn n ç n m Yukıdki şekilde bi dik pimnın nl üünün, düleme çınımı göülmektedi. Ynl üde dikdötgenle bulunu. unlın üksekliklei, pimnın üksekliği ile nıdı. olısıl, dik pimnın nl lnı, bu dikdötgenlein lnlının toplmın eşitti. Yni, S Y =. + b. + c. + d. + e. S Y =. ( + b + c + d + e) S Y =. bn çevesi, S Y =.Ç SNUÇ Ken uunluğu oln bi küpün lnı; S =. di. Çünkü, küpte bibiine eş ltı tne ke vdı. Öneğin, bi kenının uunluğu = b oln bi küpün lnı: S =. =. = = b

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Şekildeki muk tbnlı dik pimnın üksekliği biim, tbn ıtlının uunluklı = biim, = biim, = biim = 5 biim olduğun göe, pimnın nl lnını esplını. Çöüm: ik pimnın nl ülei bie dikdötgen olduğundn nl ln: S Y = Ç. = (ll + ll + ll + ll). S = ( + + + 5). =. = biimke. bnı dügün beşgen oln dik pimnın, tbn ıtlının uunluğu biim ve üksekliği 9 biim olduğun göe, nl lnı kç biimkedi? Çöüm: ik pimnın nl lnı: S Y = Ç. = (5. ). 9 = 0 biimke. Ynl lnı 0 cm, tbn çevesi 5 cm oln bi dik pimnın üksekliğini bulunu. Çöüm: ik pimnın nl lnı: S Y = Ç. 0 = 5. = cm. i dikdötgenle pimsının cm, cm, cm oln üç ıtı sınd + + = bğıntısı vdı. u pimnın cmi cm ise lnı kç cm di? Çöüm: + + = ^ ^ ^ ( + + ) = Hcim.. = cm olduğundn, ( + + ) = olu ve budn ln: ( + + ) = dı. 5 UYGULM IMI 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde [ ] ken ekseninin üeinde oln küpün (0,5, 7) koodintlı veilmişti. un göe, küpün üe lnı kç b di? Çöüm: Şekilde noktsının eksenine dik idüşümü (0, 5, 0) işetlendiğinde = 5 b olduğu göülüo. un göe, küpün üe lnı. =.5 = 50 b bulunu.. Şekildeki üç boutlu kteen koodint siste- minde kesinin ğılık mekei oijin ve (,, 0) koodintı veilmişti. un göe, küpün nl lnı kç b olu? 0 (,, 0) Çöüm: Şekilde noktsının eksenine göe simetiği oln (,, 0) ve eksenine göe simetiği oln (,, 0) noktlı (,, 0) göülmektedi. 0 un göe küpün (,, 0) bi kenı b (,, 0) olup nl ln döt tne keden oluşu.. =. = b di. 0 0 (0, 0, ) 5 (0, 0, 7) (0, 5,0) (0, 5, 7) (0, 5, ) 5 (0, 5, 7)

7. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde dikdötgenle pimsının (0, 7 ) ve (, 0, 5) koodintlı veilmişti. un göe, pimnın üe lnı kç b olu? Çöüm: (,0,5) (, 0, 5) (, 0, ) 0 0 (0, 0, ) 7 (, 7, ) UYGULM IMI (0, 7,-) (0, 7, ). (0, 0, ) 0 (5, 0, 0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde veilen üçgen pimnın (5, 0, 0) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, pimnın üe lnı kç b di? Çöüm: (0, 0, ) 0 E 7 0 0 (0, 0, 0) 5 (5, 0, 0) (5, 0, 0) Şekilde (5, 0, 0) noktsının eksenine dik idüşümü (5, 0, 0) ve eksenine dik idüşümü (0, 0, 0) dı. un göe, üçgeninde pisgo pılk = + 5 = 7 b olup pimnın üe lnı:.^& + () + (E) + (E). =. + 5. + 7. +. = 50 b di. E ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 9. (, 9, ) Şekilde noktsının eksenine dik idüşümü (0, 0, ), ile noktlının kesişimi oln (, 0, ), ile noktlının kesişimi oln (, 7, ) noktlı gösteilmişti. un göe, = 7 b, = b ve = b di. Pimnın üe lnı:.() +.( ) +.( ) =. 7. +.. +. 7. = b bulunu. 0 (, 5, 0) Şekilde üç boutlu kteen koodint sisteminde veilen eşken üçgen dik pimnın (, 5, 0) ve (, 9, ) koodintlı veilmişti. un göe, pimnın üe lnı kç b di?

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Çöüm: (, 0, 0) Şekilde (, 9, ) noktsının dülemine dik idüşümü (, 9, 0) olup di. = ^ + ^9 5 + ^0 0 = b eşken üçgen olduğundn ^& = = = b ve cismin kodu =, nı mnd üksekliği olduğundn pimnın üe lnı:. bn lnı + Ynl ln =. +.. = + b 0 (, 5, 0) di. UYGULM IMI (, 9, ) (, 9, 0). bnının köşelei 0(0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0), (0,, 0) ve üksekliği biim oln pimnın nl lnı kç biimkedi? Çöüm: Veilenlee göe, pim çiili. Şekil bi ke dik pimdı. bn ıtı biim üksekliği biim olduğundn pimnın nl lnı: S Y = Ç. = (. ). = 7 b. Köşe noktlının koodintlı (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (,, 0) (0, 0, 5), (, 0, 5), (0,, 5), (,, 5) oln pimnın ) lt ve üst tbn lnlını, b) Ynl lnını, c) üm lnını esplını. 0 0. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde (0, 0, ) =, =, = ve koodint dülemleile sınılı cismin nl lnı 0 kç b di? (, 0, 0) Çöüm: Şekilde dülemlein kesiştiklei (,, 0), (0, 0, ) (, 0, ) noktlının koodintlı gösteilmişti. un göe, oluşn dikdötgenle (, 0, ) 0 pimsının üksekliği b, tbn düleminin uun kenı b ve kıs kenı b olup nl ln: (, 0, 0).. +.. = + 9 = b di. (0,, 0) (0,, 0) (,, 0) Çöüm: Pim şekildeki gibi çiili. lt ve üst tbn kenı biim oln kedi. ) bn lnı = Üst tbn lnı = = b) Ynl lnı = S Y = Ç. = (.).5 = 0 b c) üm lnı = =.G + S Y =. + 0 = b 5

. UYGULM IMI. ÜNİE 0 Şekildeki dik üçgen dik pimd [] [], = cm, = 0 cm ve pimnın cmi cm olduğun göe, pimnın üe lnı kç cm di? Çöüm: = Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde kesi bounc dülemine pışık iken tbn dülemi dülemine klştıılk 0 poitif önde eket ettiilen küpten eğik pim elde edilio. noktsının koodintlı (0, 9, ) ise cismin üe lnı kç b di? Çöüm: 0 (0,9,- ) EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Şekildeki dik üçgeninde Pisgodn + = 0 = cm di. ismin cmi V = bn lnı Yükseklik = cm bulunu. un göe, pimnın üe lnı: ( ) + ( ) + ( ) +. ^& =. +.0 +. +. = 9 cm di. 0. = =. Şekilde noktsının eksenine dik idüşümü H(0, 9, 0) ve H üçgenindeki çıl ile uunlukl gösteilmişti. un göe döt ke ile iki eşken dötgenin lnını bulmk etelidi..() +.( ) =. +...sin0 0 =. +.. = + b 0 0 H(0,9,0) 0 (0,9, ) 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde veilen plelüde, (, 0, ), (,, 0), (0,, 0) ve (0,, ) koodintlı veilmişti. un göe, plelüün üe lnı kç b di? Çöüm: (, 0, ) (, 0, ) 0 (0,, ) (0,, ) (0,, 0) (0,, 0) (,, 0) UYGULM IMI. l ^0,, 0 0. ^, 0, 0 cos θ = =. 0. 0 l ^ + + + ^ + olup sin θ = ti. un göe, ( ) =..sinθ = plelüün lnı;.() +.( ) +.( ) =. +. +. = 0 + b bulunu. b olup. bnı eşken üçgen oln bi dik pimd tbnın bi kenının uunluğu b ve pimnın üksekliği 7, b di. u pimnın nl lnı ile tüm lnını esplını. Çöüm: 0 0 = + ^ + =. 5 5 7 5 5.. bnının bi kenı ise tbn lnı: 7 = 5 = tü. H(, 0, 0) Ynl lnı: Y =.. di. Şeklide (, 0, ) noktsının eksenine dik idüşümü E H H(, 0, 0) ve (0,, ) noktsının eksenine dik idüşümü K(0,, 0) dı. F HK bi plelken olduğundn (,, 0) bulunu. udn = ^0 + ^ + ^0 0 = b = ^ + ^ + ^0 0 = b l = ^ + ^0 + ^ 0 = 5b ve m^% = 5 olduğundn () =..sinα =..sin5 = b ve ( ) =..sin(0 β) = 5.. = b 5 ( H üçgeninde sinβ = ) 5 plelkenınd sinθ değeini bulbilmek için iki vektö sındki çının kosinüs değei bulunu. H Y =.. 7, Y =,. b üm üeinin lnı S Y S = + & = + d. ^. & S = +,. S = 9. +,. = 50,. b

KVRMSL IM ÜZGÜN PİRMİİN LNI Hengi bi pimitte; tbn, dügün olmn bi çokgen, ln üle, değişik tipte bie üçgen olduğundn, ln için belli bi fomül oktu. nck, dügün pimit için vdı. Çünkü, dügün pimidin tbnı bi dügün çokgen, nl ülei de bibiine eş ikiken üçgenledi. i dügün pimidin nl lnı, tbn çevesi ile nl üksekliğinin çpımının ısın eşitti. şğıdki şekilde bi dügün beşgen pimit lınmış ve bunun düleme çınımı çiilmişti. di. EREM İspt H E ügün pimit H E ügün pimidin çınımı u pimitte, n ülede bibiine eş ve üksekliğinde 5 tne ikiken üçgen bulunduğundn, bu dügün pimidin nl lnı:. S Y = 5. =.... bnçevesi ^5 = ^ un göe, tbn dügün n gen de ols, nl ln. ç ü S n. bn evesi Ynl kseklik Y = =.. n. ^ = SNUÇ i dügün pimidin bütün lnı, nl lnı ile tbn lnının toplmın eşitti. Yni, S = G + S Y di. bnının bi kenı cm, üksekliği cm oln dügün ke pimidin nl lnını ve toplm lnını bulunu. ÇÖZÜM ÖRNEK Şekildeki dügün ke pimitte & [H] [] çiilise ikiken üçgen olduğundn H = H = cm kesinin köşegenleinin kesim noktsı olup H = cm ve = cm ise H = = 0 cm ( : nl ü üksekliğidi.) lde pimidin nl lnı Ç... 0 S Y S cm di. ^ = & Y = = 0 Pimidin toplm lnı: S = S Y + G = 0 + = cm bulunu. ÖRNEK Köşeleinin koodintlı (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) oln üçgen pimidin ) Ynl lnını b) üm lnını bulunu. ÇÖZÜM Veilenlele üçgen pimit şekildeki gibi çiili. Pimidin tbnı dügün çokgen olmdığındn n 0 üleinin lnlını ı 0 ı esplı. dik üçgeninde =, ve H üçgenleinde = = 0 du. ikiken üçgeninde [H] [] çiilise H = H = & H dik üçgeninde Pisgo teoemine göe, H = 0 ^ = 00 = H = Pimidin nl lnı = ^ & + ^& + ^&... = + + = + + = + b H ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 7

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM ÜZGÜN ÖRYÜZLÜ VE ÜZGÜN SEKİZYÜZLÜNÜN LNI i ıtının uunluğu oln dügün dötülünün e üü eşken üçgen olduğundn ötülünün lnı =.^ &. = S = üm ıtlının uunluklı oln iki ke pimit, tbn tbn bileştiilise, dügün sekiülü elde edili. i dügün sekiülünün bütün ülei bibiine eş oln, bie eşken üçgendi. un göe, dügün sekiülünün toplm lnı:. S =. & S = b ÖRNEK di. P P KESİ PİRMİ NIM i pimit, tbn plel bi dülemle kesilise, kesit ile tbn sınd kln cisme, kesik pimit deni. lttki çokgene lt tbn, üsttekine ise, üst tbn deni. i kesik pimitte iki tbn sındki uklığ, kesik pimidin üksekliği, nl üledeki muklın üksekliğine de o nl üe it, nl ükseklik deni. eflgen kesik pimit üst tbn lt tbn i kesik pimit, dügün bi pimitten kesileek elde edilmiş ise, bun dügün kesik pimit deni. olısıl dügün kesik pimitte: ügün kesik pimit nl ükseklik cisim üksekli i ıt uunluğu kç biimkedi? ÇÖZÜM biim oln dügün sekiülünün toplm lnı. bnl, bie dügün çokgendi.. Ynl üle, bibiine eş bie ikiken muktu.. ismin üksekliği, tbnlın ğılık mekeleinden geçe. = ise S = ise S =. ^. = b. Ynl ü üksekliklei bibiine eşti. ÜZGÜN KESİK PİRMİİN LNI ÖRNEK lnı biim ke oln dügün dötülünün ıt uunluğu kç biimdi? ÇÖZÜM S = = & = & = EREM i dügün kesik pimidin nl lnı, lt ve üst çeveleinin toplmı ile, nl üksekliğinin çpımının ısın eşitti.

KVRMSL IM şğıdki şekilde, bi dügün üçgen kesik pimitle, onun nl üünün çınımı lınmıştı. İspt ügün kesik pimit u pimidin nl üleinde bibiine eş üç tne ikiken muk vdı. olısıl, bu pimidin nl lnı, bu muklın lnlının toplmın eşitti. lt tbnının bi kenı, üst tbnının bi kenı ve nl ükseklik ise pimidin nl lnı: ^+ l. S Y =. = ^+ l. Ynl ükseklik SY = (lt tbn çevesi + Üst tbn Çevesi). olk bulunu. un göe, tbn bi dügün n gen ise, nl ln: ^+ l. n. SY = ^n. + n. l. = olcktı. ügün kesik pimidin nl üünün ç n m i dügün kesik ke pimidin nl üksekliği = cm di. lt tbn ıtı = 5 cm, üst tbn ıtı = cm ise, bu kesik pimidin toplm lnını bulunu. ÇÖZÜM ÖRNEK G = = 5 = 5 cm G = ( ) = = cm + l S Y =. b l. = ( + 5). S Y = 0 cm olduğundn S = G + G + S Y = 5 + + 0 = 9 cm bulunu. EK NL K = = 5 = i dügün kesik üçgen pimidin nl üksekliği = cm, lt tbn ıtı = cm ve üst tbn ıtı = cm ise, bu kesik pimidin toplm lnını bulunu. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER SNUÇ i dügün kesik pimidin tüm lnı, nl lnı ile lt ve üst tbnlının lnlı toplmın eşitti. Yni, toplm ln: di. S = G + G + S Y 9

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Şekilde [], dülem pçsın dikti. [] [], = = 0 cm, = cm olduğun göe, pimidin üe lnı kç cm di? Çöüm: 0 0 0 0 = 7 UYGULM IMI. Şekilde üç boutlu kteen koodint düleminde ke dik pimidin (,, 0) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. noktsı nin ğılık mekeidi. un göe, pimidin = dülemi ile kesilmesile ltt kln cismin üe lnı kç b di? Çöüm: (0,0,) (,,0) K (,,0) Şekilde dik üçgeninde Pisgodn + = 0 (,,0) L H (,,0) = cm nı şekilde dik üçgeninde Pisgodn + = 0 = cm di. un göe, dik üçgeninde Pisgodn = + = cm bulunu. ikiken üçgeninin üksekliği + ^ = 0 & = 7 cm di. udn üe lnı: ^ & + ^ & + ^& + ^&... 7. = + + + = 0 + cm di. Şekil = dülemi ile kesildiğinde oluşn k = benelik onı ve kesinin = b ken uunluğu göülmektedi. KLH üçgeninde Pisgodn KH = + KH = muğunun lnı: di. un göe, ltt kln cismin üe lnı: () + ( ) +.( ) = + +. = 0 + b di. b olup ikiken _ + ll i. KH ^+. ^ l l = = = b 0

. Şekilde üç boutlu kteen koodint sisteminde veilen üçgen pimidin koodintlı 9 b, 00, l, (0,, 0) ve (0, 0, ) tü. Çöüm: ( 9 0,0) (0,0,) (0,0,) (0,,0) u pimit = dülemi ile kesildiğinde oluşn üçgen pimidin üe lnı kç b di? UYGULM IMI. Şekilde üç boutlu kteen koodint düleminde veilen üçgen pimidin (0,, 0) ve (, 0, 0) koodintlı ile = 5 b nl ıt uunluğu veilmişti. un göe, pimidin nl lnı kç b di? Çöüm: (0,,0) 5 (0,,0) K 5 5 (,0,0) (,0,0) ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER ( 9,0,0) (0,,0) Şekilde [], dülemine dik olduğundn = + = biim ^5 = + & = biim bulunu. Şekilde pimit = dülemi ile kesildiğinde k = benelik onı göülmektedi. un göe, = olup Pisgodn, l = + = b ve = + = b bulunu. ikiken üçgeninde dn [ ] e inilen ükseklik = + & = olduğundn pimidin üe lnı:.( ) + ( ) + ( )... =. + + = + b di. ikiken üçgeninde Pisgodn ^ 5 = K + ^ & K = b olup pimidin nl lnı:.^ & + ^ &. =. + = + b di.

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde dikdötgen pimidin (,, 0), (,, 0) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, pimidin üe lnı kç b di? Çöüm: (,,0) H (,,0) Şekilde cismin ken uunluklı ve H ile dik üçgenleinin ipotenüs uunluklı gösteilmişti. un göe,. ^ & = = b 0. ^ & = = 0 b. 0 ^ & = = 0 b ve () =. = 7 b olduğundn üe lnı: =. 0 + + 0 + 7 = 0 b bulunu. 0 (0,0,) 0 (,,0).^& + ^& + ^ & + ^ (0,0,) (,,0) UYGULM IMI. Şekildeki (, ) ke dik pimit tbn plel bi dülemle kesilio. [H], H = cm, = cm, K = K olduğun göe, kesik pimidin nl lnı kç cm olu? Çöüm: k K K N H k = N H=5 H L H olup = = & = cm di. H H = cm LM nı benelik onındn = = & = cm olup n ü üksekliği Pisgodn H = 5 cm bulunu. = Ynl ln.(ml) =.50 = 00 cm olcktı. L M M 5 K Şekilde benelik onı k = = H H ML ^ = ^ & LM ^ &. 0 5 =. = 50 cm

7. Hcmi 5 cm oln bi dügün sekiülünün lnı kç cm di? Çöüm: Şekilde dügün sekiülünün bi ıtı cm olup kesinin köşegeni cm olduğundn H = cm di. H H dik üçgeninde Pisgodn + b l = & = cm bulunu. un göe, cismin cmi: bn lnı Yükseklik.. 5 =. = & = 5 & = 5 cm di. Yüe lnı seki tne eşken üçgenden oluşup 5. =. = 50 cm di. UYGULM IMI Çöüm: (,-,0) (0,0,) (,,0) Şekilde kesinin diğe koodintlı veilmişti. Ynl lnı bulmk için üçgeninin döt ktını bulmk eteli olcktı. ikiken üçgeninin [E] üksekliği, E = + & E = 0b olup. ^& 0 = = 0 b ve nl ln. ^& =. 0 0 (-,-,0) E = 90 b bulunu. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 9.. (0,0,) (0,0,) (,-,0) (0,, 0) (0,, 0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde (0, 0, 0) noktsı, ke dik pimidin tbnının ğılık mekei ve (0, 0, ) noktsı tepe noktsıdı. (,, 0) koodintlı veildiğine göe, cismin nl lnı kç b di? Şekilde üç boutlu kteen koodint düleminde ke dik pimidin ğılık mekei (0, 0, 0), (0,, 0) ve (0,, 0) ise tepe noktsı (0, 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, cismin üe lnı kç b di?

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Çöüm: (0, -, 0) (,0, 0) Şekilde oijin kenin ğılık mekei olduğundn ^, 0, 0 koodintlı, = = b ve = b olduğu göülü. Ynl lnı bulmk için ikiken üçgeninde inilen dikme E = + & E = 5 b un göe, cismin üe lnı, ^ +. ^ & E (0,0,) 5 (0,, 0) UYGULM IMI Çöüm: 5 E K oplm nl ln =. = b oplm ln = bn + Ynl lnl = + = b EK = 5 = b. E ^& = = b. i dügün ltıgen pimidin nl lnı 5 b ve bi n üksekliği cm di. u pimidin tbn lnını esplını. Çöüm: Y = l.ç 5 =..Ç Ç = cm. = 5 +. = + 5 = ^ + 5 b di. 0. bn ıtı b, nl ıtı 5 b uunluğund oln dügün ke pimidin toplm lnı kç b di? E 5 bn lnı = S =. = b nl lnlı eş olduğundn E üçgeni dımıl nl lnı esplbilii. K bnın çevesi cm olus bi kenı Ç = = = b i kenı oln dügün ltıgenin lnı = di. =. ^ =. = 7 cm

KVRMSL IM SİLİNİRİN LNI EREM i dik silindiin nl lnı, tbn çevesi ile, üksekliğinin çpımın eşitti. İspt şğıdki şekilde, bi dik diesel silindi ile onun bi n doğusu bounc kesilip düleme çınımı göülmektedi. Şekilde de göüldüğü gibi, dik diesel silindiin nl üünün çınımı, bi kenı die çevesine, diğe kenı üksekliğe eş oln bi dötgendi. (Eğik silindide, nl üün çınımı, bi dikdötgen ve plelken değildi. Kğıttn eğik silindi pıp, kesip çk göünü.) olısıl, nl ln: S Y = bn çevesi Yükseklik = π. Ç = π ik diesel silindi Ç = π Ç = π ik diesel silindiin çınımı SNUÇ i eğik silindiin nl lnı, dik kesit çevesi ile n doğusunun uunluğunun çpımın eşitti. Çünkü, eğik silindii dik kesip, şekildeki gibi, üst pçı lt lısk, ilk silindie ln ve cimce eşit, bi dik silindi elde edei. Yni, bud, dik kesit çembeinin ıçpı, silindiin n doğusu (nl ıt) uunluğu l ise, nl ln: S Y = π.l di. üm ln ise, S = π + π. l Eğik diesel silindiin düleme çınımı: E ik diesel silindi EĞİK SİLİNİRİN YNL LNI bn ıçpı biim, n doğusunun uunluğu biim ve ndoğusunun tbn dülemi ile belittiği çının ölçüsü α ise eğik silindiin nl lnı S Y = π...sinα biim kedi. E ik diesel silindiin çınımı ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER SNUÇ u dik diesel silindiin tüm lnı, nl ln ile tbn lnlının toplmın eşitti. Yni, toplm ln: bulunu. S = S Y +. G S = π. +. π. S = π. ( + ) Eğik silindiin tüm lnı S =.G + S Y =.(π ) + π.sinα = π + π.sinα = π ( +.sinα) 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. bn ıçpı = cm ve üksekliği = 0 cm oln dik silindiin üe lnını bulunu. Çöüm: ik silindiin nl lnı = Ç. = (π.). = (π.).0 = 0π cm. bnının mekei (,, 0) oln dik silindiin tbn diesi (0, 9, 0) noktsındn geçen dik silindiin üksekliği biim olduğun göe, tüm lnı kç biimkedi? Çöüm: Veilee göe çiim ukıdki gibidi. Pisgo teoemine göe = = + 5 = 0 5 UYGULM IMI. i eğik silindiin tbn ıçpı cm ve bi n doğusunun uunluğu cm di. u eğik silindiin n doğusunun tbn dülemi ile ptığı çının ölçüsü 0 ise bu silindiin ) Ynl lnını b) üm lnını bulunu. Çöüm: ) Eğik silindiin nl lnı S Y = π.sinα = π...sin0 = π cm b) Eğik silindiin tüm lnı. Kenlı cm ve cm oln dikdötgen biçimindeki kton, büküleek dik silindi biçiminde bou line getiilecekti. ükme işlemi uun ken ve kıs ken üeine pıldığınd elde edilecek iki fklı bou silindiin lnlı onı kçtı? Çöüm: = π. S =. G+ SY =. ^π+ π... sin α =. π. +. π... sin 0 = π+ π = π cm Kıs ken üeine büküldüğünde π = & = π Yüe lnı = π. = biimdi. ik silindiin nl lnı: S Y = Ç. = π = π. cm π = = (π) = π.. S Y = π b di. İç ve dış üe bilikte. = 7 cm Uun ken üeine büküldüğünde ik silindiin tüm lnı: S =.G + S Y S =.π + S Y = π^ + π = π+ π b π = & = π Yüe lnı = π. = π. cm π = = π İç ve dış üe bilikte. = 7 cm Yüe lnlı eşit olduğundn on di.

5. ıtı cm oln içi dolu bi küp, kşılıklı iki üeinin tm otsındn tbn ıçpı cm oln bi dik silindi ile delinio. un göe, delinen küpün lnı kç cm di? Çöüm: Şekilde küp kşılıklı iki üeinin tm otsındn tbn ıçpı cm oln bi dik silindi ile delinmişti. un göe, iç kısımd silindiin nl lnın itiç olcktı. π. = π.. = π Üst ve lt delikli tbnl için keden diei çıkmk geekecekti. bn lnı = π = π = π cm olup budn üe lnı: Ynl ln + lt ve üst tbn + silindi. Yni =. + ( π) + π = + 7 π + π = + π cm di.. Şekildeki cm ıçplı silindiin dış üei mvi ile bonıo. İçi boş oln silindide = 0 cm olup şekil [] bounc kesilio. un göe, bu ıd oluşn mvi bolı üelein lnlı kç cm di? Çöüm: π π UYGULM IMI 0 7. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde muğunun (0, 0, ) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. [] // [] olduğun göe, muğun ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin üe lnı kç b di? Çöüm: (0,0,) (0,0,) 0 5 (0,0,) (0,0,) 0 (0,0,0) Şekilde muğun ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn üstten koni boşluklu bi silindi göülmektedi. ismin üe lnını bulmk için tbn lnı, nl ln ve üstten göülen konunun nl lnını bulmk eteli olcktı. bn lnı π = π0 = 00π b Ynl lnı π. = π.0. = 90π b Koninin nl lnı πl = π.0.5 = 500π b olup 00π + 90π + 500π = 0π b bulunu. 5 (0,0,) ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Şekilde [] bounc kesilip çılmış oln bi ı göülmektedi. un göe, () + π π. + 9 π = πcm bulunu. 7

ÜNİE. UYGULM IMI 9. EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Şekilde üç boutlu kteen koodint sisteminde π biimke tbn lnlı, düleminden bşlıp ekseninin poitif önünde ileleen silindi, = 5 dülemi ile kesilio. un göe, cismin üe lnı kç b di? Çöüm: = E (0,5,0) (0,5,0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde tbn diesi düleminde ve eksenlee teğet oln, = doğusun noktsınd teğet bi silindi veilmişti. M = Çöüm: M b ise, silindiin üe lnı kç b di? = = Şekilde dülemindeki dienin lnı π olduğundn = b di. Silindi = 0 dülemi ile = 5 dülemi sınd kldığındn üksekliği 5 b olup üe lnı, π + π = π +.π.5 = π b bulunu. 5 5 =5 =5 M Şekilde [M] çiileek Pisgodn M = 5 b bulunu. udn M üçgeninin ikiken dik üçgen olduğu göüleek tbn ıçpı 5 b olup, üe lnı:. π + π. =. π5 + π5. = 50π+ 0 π = ^50 + 0 π b bulunu.

KVRMSL IM İK KNİNİN LNI ik koninin şğıdki çınımını inceleini. EREM bn ıçpı biim, n doğusu biim oln dik koninin nl lnı, S Y = π biim kedi. İspt ik koni bnının ıçpı biim oln koninin tbnının çevesi π biimdi. ik koninin n üünün çınımı oln die kesmesinin ının uunluğu, koninin tbnının çevesinin uunluğun eşit olduğundn, π biimdi. (u duumu, dik koninin ukıdki çınımınd göünü.) Yıçpı biim (koninin n doğusunun uunluğu) ve ının uunluğu π biim oln die kesmesinin (koninin n üünün) lnını bullım. Yıçpı biim oln dienin lnı π biim kedi. Yıçpı biim oln dienin, çevesinin uunluğu π biimdi. Yıçpı biim oln diede, ının uunluğu biim π oln die kesmesinin lnı biim kedi. π Yıçpı biim oln diede, ının uunluğu π biim oln die kesmesinin lnı (koninin nl lnı), π S Y =. π = π biimkedi. π EREM ik koninin n üünün çınımı π tbn ik koninin ik koninin çınımı Koninin tbn lnı S = π biim ke, nl lnı SY = π biim ke olduğundn tüm lnı, S = S + SY = π + π = π^+ biim ke ) çınımı ukıdki gibi oln dik koninin tbn diesinin ıçpı kç biimdi? b) İspt EK NL K km 0 km Koni şeklinde idelleştiilmiş bi dğ ve koninin çınımı veilio. noktsındn eket eden ve dğ üeini bi tu dolşk tek noktsın dönen bi eketlinin ldığı ol en kç km di? 0 ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER bn ıçpı biim, n doğusu biim oln dik koninin tüm lnı; S = π( + ) biim kedi. 9

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. bn uunluğu cm oln bi ikiken üçgenin simeti ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin cmi π cm ise, nl lnı kç cm di? Çöüm: Şekilde ikiken üçgeninin d simeti ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn dik koni göülmektedi. bn lnı Yükseklik V = π. π.. = = = π & = cm di. H üçgeninde Pisgodn = + = 5 cm olup Ynl ln = πl = π..5 = 5π cm bulunu.. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde üçgeninin (5, 0, 0) ve (0,, 0) koodintlı veilmişti. (0,,0) un göe, üçgeninin (5,0,0) ekseni et- fınd 0 döndüülmesile oluşn cismin üe lnı kç b di? Çöüm: (5,0,0) (0,0,5) ( 5,0,0) (0,,0) Şekilde üçgeninin ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cisim göülmektedi. un göe oluşn koninin nl lnının ısı geekmektedi. UYGULM IMI d = H. πl π. 5. 5 π = = b π π5 5π mekeli dienin ısı = = b di.. ^ & 0 = = 0 b olup cisim üe lnı: 5π 5π + + 0 = 5π + 0 b bulunu. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde üçgeninin (0,, 0), (0,, 0) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. üçgeninin ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin üe lnı kç b di? Çöüm: (0,,0) (0,,0) (0,0,) (0,,0) (0,,0) Şekildeki üçgeninin dönmesile oluşn cisim ve koodintlı göülmektedi. ismin tbn lnı bi die lksı olup, πr π = π π = πb di. ismin dış üe lnı: πrl = π.. 5 = 5πb (0,0,) (,0,0) (,0,0) L=5 l= 7 (0,,0) (0,,0) ismin iç üe lnı: πl = π.. 7 = 7 πb un göe cismin üe lnı = ^+ 7π b bulunu. 50

. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde me- keli tbnı ve E b 0,, 0l tepe noktsı veilen koninin, ek- senini kestiği (0, 0, ) ile nın kodu oln (0, 0, 5) koodintlı gösteilmişti. u koni dülemi ile kesildiğinde oluşn kesik koninin üe lnı kç b di? Çöüm: 5 & & Şekildeki kesik koninin üksekliğini bulmk için E + E olduğu kullnılı. 5 E E = & = & = b di. 5 + Pisgodn = 5 b bulunu. Kesik koninin nl lnını bulmk için, büük koninin nl lnındn küçük koninin nl lnını çıktmk eteli olcktı. Ynl ln = π.r.l πl 5 0 = π. 5. π.. = 5πb lt tbn ve üst tbn d ekleneek üe lnı: π5 + π + 5π = πb bulunu. (0,0,5) (0,0, ) (0,0, ) 0 E(0,,0) E(0,,0) UYGULM IMI 5. Şekilde dik muk, [] // [], = 0 cm, = cm, = 5 cm di. u muk [] kenı etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin üe lnı kç cm di? Çöüm: Şekilde [] etfınd döndüüleek oluştuulmuş kesik koni göülmektedi. H üçgeninde Pisgodn = 5 cm olup = l benelik onı k = = & l = cm l + Ynl lnı bulmk için büük koninin nl lnındn küçük koninin nl lnı çıkılı. π. RL. π.l = π0. π. 5. = 95πcm lt tbn lnı = πr = 00πcm 5 Üst tbn lnı = π = 5πcm ekleneek 0 L Yüe lnı = 95π+ 00π+ 5π = 0πcm elde edili. 5 =5 = R=0 = l 5 H 5 ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM KÜRENİN LNI Küe üeinin lnın, küenin lnı d deni. EREM Yıçpı biim oln küenin lnı = π biim kedi. İspt P M S E H E L N K R Z L F kesik koni F π K + π. EL S Y =. E π^ K + EL =. E K + EL = π. E. = π. E. MN biim kedi. ^ K + EL c = MN m iinci şekildeki EH dik üçgeni ile MN dik üçgeninde, meh ^% = mmn ^ % di. (kenlı dik çıl). un göe, & & EH + M N (... beneliği). u benelikten, E M EH = & E. MN = M. EH MN () ve () e göe, eşliği elde edili. () S Y = π. E. MN = π. M. EH = π. M. LK olu ( EH = LK ). M = biim ise S Y = π.. LK biim kedi. biim ke ZSPEL çokgeninin [ ] etfınd 0 döndüülmesi ile oluşn kesik koninin nl lnlının toplmı, S = π.. LK + π.. K + π.. R + π.. RZ S = π..( LK + K + R + RZ ) = π.. LZ () M lel E N K π.lell LZ Ken sısı n oln dügün çokgenin ken sısı n, n,... olck biçimde tıılıs dügün çokgen çembee, değei e, LZ değei = e, kesik konilein nl lnlının toplmı d küenin lnın klşı. n için =, LZ = = olduğundn; () eşitliğine göe küenin lnı, S = π.. = π biim ke Y π.lkl Küenin bi büük çembeinin belittiği dienin lnı = π biim kedi. Yukıdki şekilde; mekei noktsı, ıçpı biim oln çembein içine dügün çokgen (dügün ongen) çiilmişti. [] ve [EF] kiişlei, çembein [] çpın pleldi. [MN], KLE dik muğunun ot tbnıdı. u çembe [] çpın dik oln [ ] çpı etfınd döndüüldüğünde küe üei oluşu. KLE dik muğunun dönmesinden oluşn dönel kesik koninin nl lnı, Küenin lnı, S = π = (π ) = biim kedi. Küenin lnı, küenin bi büük çembeinin belittiği dienin lnının döt ktıdı. 5

KVRMSL IM Yıçpı oln küenin lnı cm ise, kçtı? ÇÖZÜM ÖRNEK S = π = & π = 9 9 & = π & = cm bulunu. π KÜRE KPĞI NIM i küenin bi dülemle kesilmesinden elde edilen pçlın e biine, küe kpğı deni. P küe kp küe kp n için küe kpğının nl lnı, π.. KL + π.. LP +... = π. ^ KL + LP +... K = π. K biimke Küe kpğının üksekliği K = ile gösteilise küe kpğının nl lnı S Y = π. biim ke Yıçpı biim oln bi küede; üksekliği = biim oln küe kpğının nl lnı, S Y = π. biim kedi. =l l Yıçpı biim oln bi küede; kesit dienin ıçpı biim, küe kpğının üksekliği biim ise küe kpğının lnı, S = S Y + π = π. + π biim kedi. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER [ ] kesit dienin ıçpı, [ ] küe kpğının üksekliğidi. Küe Kpğının lnı i çpı [ ], mekei noktsı ve ıçpı biim oln çembe [ ] çpı etfınd döndüüldüğünde bi küe elde E edili. u döndümede KLE dik M muğunun dönmesinden elde edilen dönel kesik koninin nl lnının, S Y = π. M. KL = π.. KL küe kp olduğunu, küenin lnını esplken göstemiştik. ^ = M. Ken sısı n oln dügün çokgenin ken sısı n, n,... olck şekilde ttıılıs M = değei e, noktsındn geçen ve [ ] n dik oln dülemin üst tfınd kln kesik konilein nl lnlının toplmı d küe kpğının nl lnın klşı. P L N K KÜRE KUŞĞI VE KÜRE KSI NIM i küe bibiine plel iki dülemle ke- sildiğinde, plel =l l kesitle sınd kln küe üeine küe kuşğı deni. i küe bibiine plel iki dülemle kesildiğinde, küenin plel kesitle sınd kln kısmın, küe tbksı deni. Yıçpının uunluğu biim oln küede, üksekliği biim oln küe kuşğının lnı, S = π. biim kedi. un göe bu küede, ükseklikleinin uunluklı eşit oln küe kuşklının lnlı eşitti. 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM ülemlei sındki çı (meke çı) θ oln bi küe diliminin, KÜRE İLİMİ NIM i küenin, bi çpındn geçen iki ı dülemle küe sınd kln cisme, küe dilimi deni. i kpu dilimi, küe dilimi gibi düşünülebili. EREM π.. θ lnı : S = + π 90 Küe dilimi Mekeinin (,, ) oln ve P(,, ) noktsındn geçen küenin üe lnını bulunu. ÇÖZÜM ÖRNEK P = = ^+ + ^ + ^ = + 0+ = Küenin üe lnı S = π = π. ^ = π b bulunu. P(,, ) (,,) EK NL K İspt Meke çısı 0 oln cm ıçplı küe diliminin lnı kç cm di? Yukıdki şekilde, küe diliminin dülemlei sındki çı çısıdı. m^% = θ olk veilmişti. Küenin tüm lnı S = π olduğundn, bu dilimin lnı, iki ım büük dienin lnı ile küenin lnının ktının toplmın eşit olcğındn, π.. S π θ = θ+ π = +π b 0 90 θ 0 5

. i küe mekeinden cm uklıktki bi dülemle kesilio. Kesit lnı 5π cm ise, bu küenin üe lnı kç cm di?. Çöüm: Şekilde, mekeinden cm uklıktki bi dülemle kesilen küe göülmektedi. Kesit lnı 5π cm olduğundn π = 5 π = 5 cm di. un göe küenin ıçpı Pisgodn R = 5 + R = 9 R = cm bulunu. udn küenin üe lnı: πr = π = 7π cm di. (,9,0) d Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde bi küe dülemindeki bi doğu (, 9, 0) noktsınd teğetti. Küenin mekeinin oijine uklığı 7 b ise, üe lnı kç b di? Çöüm: (,0,0) 9 7 5 Şekilde (, 9, 0) noktsının eksenine dik idüşümü (, 0, 0) ve oluşn dik üçgeninin ipotenüsü 5 b bulunu. M dik üçgeninde Pisgodn M + 5 = 7 olup, M = b bulunu. u küenin ıçpı olup üe lnı = πr M M (,9,0) =R π = 5 b di. UYGULM IMI =5 R= d. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde dülemindeki die diliminin (0, 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, die diliminin ekseni etfınd 90 döndüülmesile oluşn cismin üe lnı kç b di? Çöüm: (,0,0) Şekilde die dilimi ekseni etfınd 90 döndüüldüğünde bi küenin lik kısmının oluştuğu göülü. u cismin üe lnı için üç tne çeek die dilimi ve küe üeinin lnı geekmektedi. π udn. + π. (0,,0) π =. + π.. = 5πb bulunu.. cm ıçplı küe mekeinden ve küe üeinden cm uklıkt iki plel dülem ile kesilio. İki plel dülem ile belilenen küe kuşğının lnı kç π cm di? Çöüm: İki plel dülem sındki uklık = 5 b di. lde = 5 ve = olup küe kuşğının lnı S = π.. = π..5 = 0π cm (0,0,) (0,0,) lik ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. ölüm? 55

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Şekildeki bi silindiin içine üst üste üç eş küe eleştiilmişti. Küele silindiin üeine ve bibiine teğetti. i küenin cmi p cm ise, silindiin üe lnı kç cm di? ) 00p ) 0p ) 0p ) p E) p SINM IMI. i küenin ıçpı ile bi dik silindiin tbn ıçpı eşit uklıktdı. Hcimlei eşit oln bu cisimleden silindiin nl lnı p cm ise, küenin lnı kç cm di? ) p ) p ) p ) p E) p 5. Şekildeki dik pimnın tbn ıtı 5 cm, üksekliği ise cm di. [E] ve [H] doğu pçlı ile oluştuuln tlı ln kç cm di? ) 0 5 ) ) 5 ) 0 E) 5. ikdötgenle pimsınd HK = E = cm, = cm di. E un göe, HK ^& kç cm di? ) 0 ) 0 ) 5 ) 0 E) 0 H E H k K F F G G. bnının köşegeni cm ve n ü üksekliği 5 cm oln dik ke pimidin üe lnı kç cm di? ) ) 0 ) 00 ) 0 E). ıtı cm oln küp şeklindeki bi cisim üst üeinden köşelee eşit uklıkt ve çpı cm oln bi silindile delinio. luşn bu delikli cismin üe lnı kç cm di? ) p ) p ) + 0p ) + p E) + p 7. K noktsı cmi cm oln küpün cisim köşegenleinin kesim noktsıdı. epe noktsı K oln dik koninin tbnı, kesinin kenlın teğetti. un göe, koninin üe lnı kç p cm di? ) + ) + ) ) + E) E H + K F + G 5 ) E ) ) E ) 5) ) 7) E

SINM IMI. + = doğusunun ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin üe lnı kç cm di? ) + p ) + p ) p ) p E) + p 9. Şekilde, [] [] ve [] // [] di. l = cm, = cm, 5 = 5 cm olmk üee, dik muk [] etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin üe lnı kc cm di? ) 0p ) 00p ) 0p ) 0p E) 0p. ıtlı,, 5 ile ontılı oln dikdötgenle pimsının cmi 0 cm olduğun göe, lnı kç cm di? ) 0 ) ) ) 7 E) 0. Yıçpı cm oln küe seki eşit pç ılmk üee dilimlenio. un göe, e bi dilimin lnı kç cm di? (p = lını.) ) ) ) ) E) 5 ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 0. Kenlı cm ve 0 cm oln dikdötgen biçimindeki kton büküleek dik silindi biçiminde bou line getiilecekti. ükme işlemi uun ken üeine pıldığınd elde edilen bounun üe lnı kç cm di? ) 05p ) 5p ) 0p ) 5p E) 0p. i ke dik pimnın içine eleştiilen en büük cimli silindiin üksekliği tbn ıçpının ktıdı. Silindiin cmi 0p cm ise, ke dik pimnın lnı kç cm di? ) 0 ) ) 0 ) E). bnı dügün ltıgen bi dik pimnın bi tbn ıtının uunluğu cm ve üksekliği 5 cm di. u pimnın tüm lnı kç cm di? ) 0 ) ) ) E) 5. Şekildeki küpün bi kenı cm di. Küpten bi kenı cm oln bi küp şekildeki gibi çıktılıo. Kln cismin lnı kç cm di? ) 90 ) 9 ) 9 ) 9 E) 9 ) 9) 0) ) E ) ) ) 5) E 57

ÜNİE. SINM IMI. EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. (0,, ) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde veilen üçgen pimnın (0,,) ve (, 0, 0) koodintlı göülmektedi. un göe, pimnın üe lnı kç b di? ) ) + 5 ) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde veilen üçgen pimidin koodintlı (0, 0, ), (0,, 0) ve (, 0, 0) dı. u pimit = dülemi ile kesildiğinde oluşn üçgen pimidin üe lnı kç b di? ) + 5 E) + 5 ) ) + ) + (0,0,) (, 0, 0) 0 (0, 0, ) 0 (-,0,0) (0,,0) ) + E) +. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde kü- enin üe lnı p b di. M, ve dülemleine teğet oln şekildeki 0 küenin meke koodintlı şğıdkileden ngisidi? ) (,, ) ) (,, ) ) (,, ) ) (,, ) E) (,, ) 0 (,, 0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde oijin, ke dik pmidin tbnının ğılık mekei ve (0, 0, ) noktsı tepe noktsıdı. (,, 0) koodintlı veildiğine göe, üe lnı kç b di? ) ) 0 ) ) 0 E) 0 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde diktötgeninin (, 0, ) koodintlı veilmişti. u dikdötgen ekseni etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin üe lnı kç b di? (, 0, ) ) p ) 57p ) p ) 0p E) 7p 0 5 ) ) E ) E ) 5) Sou

. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde M(0, 0, ) mekeli ve çpının bi ucu (0, 0, ) koodintlı küe veilmişti. u küe, dülemi ile kesildiğinde oluşn kesit lnı kç b di? SINM IMI ) p ) p ) 9p ) p E) 5p 7. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde (,, 0) ve G(0,, 0) koodintlı pim veilmişti. u pim HF dülemi ile kesildiğinde oluşn iki cismin biinin üe lnı kç b di? ) ) ) ) E) E H (0, 0, ) F M(0, 0, ) G(0,, 0) (,, 0) 9. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde dik muğu ekseni etfınd 0 döndüülüo. [] // [] (0,, ), (0, 5, ), (0,, ) ve (0,, ) koodintlı veildiğine göe, oluşn cismin üe lnı kç b di? ) 0p ) p ) 9p 0. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde dikdötgeninin (0, 5, 0) ve (, 0, 5) koodintlı veilmişti. (0,,) (0,,) ) p E) 7p u dikdötgen ekseni etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin üe lnı kç b di? (0,,) (0,5,) (, 0, 5) (0,5,0) ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER ) 5p + 0 ) p + 0 ) 5p. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde (,, ) koodintlı bi pim ve k [ ] veilmişti. un göe, ( K) kç b di? (,, ) K ) p E) p + 0. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde dik muk veilmişti. ekseni etfınd 90 döndüüldüğünde oluşn cismin üe lnı kç b di? (0, 0, ) (0,,) ) ) ) ) E) ) ) p + ) p + ) p + E) p + ) 7) ) 9) 0) ) 59

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER.. SINM IMI Şekildeki 5 p cm tbn lnı, p cm üksekliğindeki silindi üei üeinden eket edeek E [] noktsın uğn kıncnın ldığı ol en kıs kç cm di? ) p ) p ) p ) p E) 0p K E Yıçpı cm oln döt eş silindi n n bitişik konuluo. K ve M ot noktlındn sıln gegin ipin uunluğu kç cm di? M 5. Şekildeki dikdötgenle pimsınd S ile ot noktldı. = 7 cm, K = cm ve KN = cm ise, S kç cm di? ) 5 ) ) 7 ) E) 9. Şekildeki küpün bi kenı cm di. noktsındn üe üeinde eket etmek koşulul E noktsın gidecek ise, en kıs ol kç cm di? ) + ) + ) ) 0 E) 5 K N S L M ) ) ) p + ) p + E) p + 7.. i ıt uunluğu cm oln küpün içine üelee teğet bi küe eleştiilio. 5 Küenin mekeinin küpün bi köşesine oln uklığı kç cm di? ) ) ) ) E). Meke çısı 90 oln bi die diliminin bükülmesile oluşn koninin n doğusu cm olduğun göe, koninin tbn ıçpı kç cm di? ) ) ) 5 ) E) (,0,0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde ikiken dik üçgen pimidin (, 0, 0) koodintlı ve = 5 b veilmişti. un göe, cismin nl lnı kç b di? ) 0 + ) 0 + 9 7 ) ) 5 + E) 5 + 5 + 7 0 ) ) E ) E ) 5) E ) 7) Sou

. 9. (,, p) SINM IMI Şek i l - deki üç boutlu kteen koodint düleminde noktsı silindiin ğılık mekei ve b,, pl koodintlınd bi kınc vdı. Kınc noktsın üe üeinden iki tud ulşcğın göe lçğı ol en kıs kç b di? ) 0p ) p ) 5p ) p E) 0p. Şeklideki dik silindide m_ \ i= 0, & _ i= 9 cm ise, silindiin nl lnı kç b di? ) p ) p ) p ) 5 p E) p. Şekildeki küpte (GH) = 0 b di. un göe, bu küpün üe lnı kç b di? ) 0 ) 0 ) 5 ) 50 E) 0 H G 0 E F ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER (0,,) (0,, ). Şekildeki dik ke kesik pimidin lt tbn ıtı b ve n ıtı b olduğun göe, üe lnı kç b di? ) 0 ) 70 ) 70 ) 00 E) 0 Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde ve mekeli ve üeindeki (0,, ) ile (0,, ) noktlının koodintlı veilmiş ım dielein ekseni etfınd 0 döndüülmesi ile oluşn şeklin üe lnı kç b di? ) p ) p ) p ) 9p E) 5p. lt tbn ıçpı b ve üst tbn ıçpı b oln kesik dik koninin içine bütün üelei teğet oln bi küe eleştiilio. M 0. Yıçpı cm ve meke çısı 0 oln die dilimi kıvılk koni line getiilio. Elde edilen koninin nl lnı kç b di? ) p ) 5p ) 0p ) 7p E) 7p un göe, küenin lnı kç b di? ) p ) 7p ) 9p ) 0p E) p 7) ) E 9) 0) ) ) E ) E )

ÜNİE KVRMSL IM 5. ÇK YÜZEYLİ KI İSİMLERİN HİMLERİ İspt EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER PRİZMNIN HMİ i cismin, ud kpldığı ee o cismin cmi deni. i cismin cmini ölçmek için, önce bi cim ölçme biimi belilemek, son d, cismin ud kpldığı ede, bu biimden kç det bulunduğunu esplmk geeki. u biim, kefi olk seçilebili. nck seçilen bu biim, cim esplmlınd bie kollık sğlmlıdı. unldn en ugunu, biim küp denilen biimdi. NIM ıt uunluğu biim oln küpe, biim küp deni ve b ile gösteili. Eğe, biim; cm olk seçilmişse, b = cm olu, m olk seçilmişse, b = m biim küp cm c şğıdki şekillei dikktle inceleini. b ikdötgenle pimsının tbn kenlının uunluklı biim ve b biim olduğundn; tbn, b leden.b tne eleştiili. Pimnın üksekliği c biim olduğundn; içinin b lele dolduulbilmesi için, tbn eleştiilen b lein c ktı kd kullnmk geeki. un göe, bu pimnın içi; c.(.b) tne b ile tm olk dolduulbili. lde, pimnın cmi: V =. b. c b SNUÇ b c i dikdötgenle pimsının cmi, tbn lnı ile üksekliğinin çpımın eşitti. Yni, V = S. di. b c b un göe, boutlı cm biimi ile veilen bi cismin cmi, bu cismin içine eleştiilebilen cm lük küp küplein sısın (miktın, dedine) eşit cm cm cm SNUÇ ıt uunluğu biim oln küpün cmi: V = Çünkü, küpte = b = c di. İKÖRGENLER PRİZMSININ HMİ EREM İK PRİZMNIN HMİ ıt uunluklı, b, c biim oln bi dikdötgenle pimsının cmi: V =. b. c b tü. EREM i dik pimnın cmi, tbn lnı ile üksekliğinin çpımın eşitti.

KVRMSL IM İspt ÖRNEK ÜNİE. uum: bn bi dik üçgen olsun. bnı dik üçgeni oln dik pimı llım. u üçgeni dikdötgenine tmmlsk, & &, olduğundn, tbnı dik üçgeni oln pim, ilk pim eş ıc, tbnı dikdötgeni oln pim, bi dikdötgenle pimsıdı ve bunun cmi, bi köşeden geçen ıtlının çpımın eşitti. Veilen pim; bu pimnın ısı olduğundn, tbnı dik üçgeni oln pimnın cmi: V =... l & V = S. olk bulunu.. uum: bn engi bi & üçgen olsun. Şekilde, engi bi üçgen olsun. [H] ve [ H ] ükseklikleini lısk, veilen pim, tbnlı bie dik üçgen oln iki pim bölünmüş. le göe, veilen pimnın cmi: V= ln^ & H. + ln^ & H. = ln^ &. = S. olk bulunu.. uum: bn bi çokgen olsun. Yndki şekilde tbnı bi beşgen oln dik pim veilmişti. ve köşesinden geçen köşegenlei, şekildeki gibi lısk, veilen pim, tbnlı bie üçgen oln döt tne pim bölünmüş. duum göe, veilen pimnın cmi, bu döt üçgen pimnın cimlei toplmın eşit olcktı. un göe, çokgen pimnın cmi: V = ln^&. + ln^&. + ln^& E. + ln^& EF. V = ln^ & + ln^ & + ln^e & + ln^ef & @. olk bulunu. V = S. Yüksekliği biim, tbn ıtının uunluğu = biim oln eşken üçgen dik pimnın cmini esplını. ÇÖZÜM. G = = = ve = olduğundn V = G. =. = b EĞİK PRİZMNIN HMİ i eğik pimnın cmi, dik kesit lnı ile nl ıtının uunluğunun çpımın eşitti. bnı dötgeni oln bi eğik pim llım. unun bi dik kesiti KLMN dötgeni olsun. Pimnın bu kesitin üeinde kln pçsını lıp lt tbn şekildeki gibi pıştık, ilk eğik pimı, cmini değiştimeden, tbnı K L M N dötgeni oln bi dik pim çevimiş oluu. u eni pimnın üksekliği, ilk eğik pimnın nl ıtıdı. un göe eğik pimnın cmi: V = (KLMN).l olk bulunu. ik kesit lnı cm ve nl ıtının uunluğu 5 cm oln eğik pimnın cmini bulunu. ÇÖZÜM V = (ik kesit lnı).(ynl ıt uunluğu) =.5 EREM İspt ÖRNEK EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER = 90 cm

ÜNİE KVRMSL IM EREM ÖRNEK EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER i eğik pimnın cmi, tbn lnı ile ükseklik uunluğunun çpımın eşitti. İspt Yukıdki şekilde, tbnı dötgeni oln bi eğik pim göülmektedi. unun bi dik kesiti KLMN dötgeni olsun. u dik kesit dülemi ile tbn dülemi sındki çının ölçüsüne θ desek, mn ^% = θ Ynl ıtının uunluğu biim, bu ıtını tbn dülemi ile ptığı çı 0 oln bi plelüün tbn lnı biim ke olduğun göe, plelüün cmini bulunu. ÇÖZÜM Şekilde göüldüğü gibi, noktsındn tbn dülemine [ H] dikmesi çiilise, plelüün üksekliği, H = H dik üçgeninde, = b, m^ % H l = 0 olduğundn, H = = dü. (i d çısının ölçüsü 0 oln bi dik üçgende, 0 nin kşısındki ken, ipotenüsün ısın eşitti.) un göe, plel üün cmi: olk bulunu. = V = G. V =. = 9 b 0 H Pimnın üksekliği [ H] olsun. N H çısı ile N çısı, kenlı bibiine dik d çıl olduklındn, ölçülei eşitti. olısıl, mnh ^ l = θ bulunu. Ud, KLMN dötgenine, dötgeninin dik kesit dülemi üeindeki dik idüşümü olk bkbilii. un göe, ln() = G, ln(klmn) = G desek, α = (,, ) β = (b, b, b ) γ = (c, c, c ) G = G.cosθ cos θ = l olduğundn, pimnın cmi: V = G. l = G. cosθ. l = G. olk bulunu. vektöleinin oluştuduğu şekildeki pimnın cmi V = det^αβγ,, ve R V S W = Sb b b W olmk üee, V = S W Sc c c W X det b tü.

KVRMSL IM α = (,, ), β = (, 5, 7), γ = (,, ) vektölei üeine kuuln pimnın cmini bulunu. ÇÖZÜM ÖRNEK V = det^αβγ,, det^αβγ,, = 5 5 7 7 det^α, βγ=, = ^ 0 + 7 7 0 = 5 5 7 olup V = det ^αβγ,, = 5 = 5b bulunu. Ud α, β, γ R vektölei üeine kuuln plelülünün cmi V = det (α, β, γ) b tü. VLİERİ (KVLİYE) İLKESİ Kvlie ilkesi, cim esplmlınd bie kollık sğln, doğuluğu segisel olk çıkç göülen bi pensipti. Kvlie İlkesi bn lnlı ile üksekliklei eşit oln iki cismin, tbndn nı ükseklikteki dülemsel kesitleinin lnlı d eşitse, bu iki cismin cmi bibiine eşitti. u ilkenin doğuluğu şöle çıklnbili: i top kğıt lını. u, ilk duumd bi dikdötgenle pimsıdı. u topu sğ doğu dü olk eğini. i eğik pim elde edesini. u kğıtlı sğ doğu kvis olck biçimde eğini. Son ısını sğ, ısını d sol kvisli biçimde eğini. Şekildeki gibi, nı cimli, m, bibiinden çok fklı cisimle elde edesini. nck, epsinin de cimlei nıdı. Çünkü, nı top kğıttn elde edildile. u cisimlein, tbndn nı ükseklikteki kesitlein nı lnlı olduğu d çıktı. Şimdi, nı lnlı, üçgen, beşgen ve die biçiminde kğıtlı kesip şekildeki gibi üst üste kosk, elde ettiğimi fklı üç cismin cimlei de nı Çünkü, kğıtlın klınlıklı nıdı. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Ud α = (,, ), β = (, 5, ), γ = (7,, 9) vektölei üeine kuuln plelülünün cmini bulunu. ÇÖZÜM ÖRNEK V = det^αβγ,, = 5 7 9 Q P S G S G olısıl, bu pensibe göe de bi eğik pimnın cmi, tbn lnı ile üksekliğinin çpımın eşitti, diebilii. Çünkü, şğıdki şekildeki gibi tbn lnlı ve tbndn nı ükseklikteki kesitlei nı lnlı oln bi eğik ve bi dik pim lındığınd, Kvlie pensibine göe, cimlei eşit olcktı. S G 5 = 7 9 5 V = 5 + 9 + 05 ( ) ( 7) V = 0 b R Q P G E ik Pim ik pimnın cmi V = G. olduğundn, bununl nı cimli eğik pimnın cmi: V = G. G ik Pim 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. isim köşegeninin uunluğu 5 cm oln küpün cmi kç cm tü? Çöüm: i ıtının uunluğu oln küpün cisim köşegeninin uunluğu olup = 5 & = 5 ve küpün cmi V = = 5 = 5 cm. lnı sısl olk cmine eşit oln küpün bi ıtı kç biimdi? Çöüm: S =. = & = bulunu. V =. Ud köşe noktlı (0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0) ve (0,, 0) oln ke veilio. u kenin sınıldığı bölgei lt tbn kbul eden ve üksekliği 7 biim oln ke pimnın cmini bulunu. Çöüm: Ke pimı şekildeki gibi çielim. Kenin ken uunluğu biim ve pimnın üksekliği = 7 biim olduğundn pimnın cmi V = G. =.7 = b. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde [] kenı ekseni üeinde oln küpün ğılık mekeinin K(,, ) koodintlı veilmişti. un göe, küpün cmi kç b tü? UYGULM IMI 7 K(,, ) Çöüm: Şekilde oijin ile K(,, ) sındki uklık, göülmektedi. K = K = b olup cismin köşegeni = & = b bulunu. un göe, küpün cmi, V = = = b tü. 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde dikdötgenle pimsının (,, 0) ve (,, 0) koodintlı veilmişti. [] kenı eksenine pleldi. un göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde nün dülemine dik idüşümü oln (,, 0) ile nin kesişimi oln (,, 0) noktlı göülmektedi. un göe, ken uunluklı = b ve = b olup cismin cmi; V = bn lnı Yükseklik =..0 = 0 b tü. K(,, ) K = ^ 0 + ^ 0 + ^ 0 = b (,,0) (,,0) (,,0) 0 (,,0) (,,0) (,,0)

. Şekildeki üç boutlu kteen koodint dülemde düleminden ükselen üçgen pimnın (7, 0, ) koodintlı veilmişti. = 5 b olduğun göe, pimnın cmi kç b dü? Çöüm: Şekilde noktsının eksenine dik idüşümü (7, 0, 0) ve üçgeninde Pisgodn = b olduğu göülmektedi. un göe cim; V = bn lnı Yükseklik. = 7. = 00 b bulunu. 7. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde, ve dülemleinin sınıldığı küpün köşesinin oijine en kın uklığı b olk veilmişti. un göe, küpün cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde küpün üe köşegeni ve üksekliği ile oluştuuln dik üçgeninde Pisgo bğıntısı ugulnk = + ^ & = & = b bulunu. un göe, küpün cmi; V = = ^ =. = 9 b bulunu. 5 (7,0,) 5 (7,0,) 5 7 (7,0,0) UYGULM IMI. Şekildeki dikdötgenle pimsının ü su ile doludu. = cm, = cm, = cm di. u pim üei üeine tıılıs, suun üksekliği kç cm olu? Çöüm: Şekilde H =. = cm v e suun cmi, bn lnı Yükseklik =.. = 5 cm olup cisim üei üeine tııldığınd suun cmi nı klk 5 = ( ). 5 = 9. = cm eni ükseklik olcktı. 9. Şekildeki dikdötgen lev, noktlı eleden ktlnk dik pim elde edilio. = 0 cm, 0 K L E = 9 cm, 9 E F 7 EF = cm, F = 7 cm ise, oluşn dik pimnın cmi kç cm tü? Çöüm: Şekilde levnın ktlnmış li bi üçgen dik pim oluştuk cim: bn lnı Yükseklik olcktı. bn çevesi = 7 + + 9 u = Yı çeve = cm bn lnı = Hcim = u. ^u ^u b^u c =. 5.. = 5cm di. 5. 0 = 0 5 cm tü. F 7 0 9 L K ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 7

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 0. Şekildeki küpte K, L, M ve N nok- N tlı bulunduklı üelein ğılık mekeleidi. (KLMN) = b olduğun göe, küpün cmi K M kç b tü? L Çöüm: Şekilde KLMN ke olduğundn = & = b un göe, HK = HL = b olup küpün bi kenı b ve cmi = 5 b tü.. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düle- minde (,, 5) ve (,, 0) (,,0) koodintlı veilen dikdötgenle pimsı (,,5) 5 onınd su ile doludu. u pim üei üeine kldııldığınd su seviesinin kodu kç olmlıdı? Çöüm: Şekilde nün dülemi üeinde dik idü- şümü (,, 0) ve = b, = b ile = 5 b olduğu göülüo. (,, 5) (,,0) un göe, suun cmi 5 (,, 0) V =.. = 9 b olup şekli üeine kldııldığınd tbn lnı.5 = 0 b buluncğındn suun cmi V =.5. = 9 = 5 ti. K H 5 L UYGULM IMI N M =. Şekilde üç boutlu kteen koodint düleminde üçgen dik pimnın (0, 5, ) ve (9, 5, 0) koodintlı ile = 7 b veilmişti. un göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde nün eksenine dik idüşümü (0, 5, 0); nin eksenine dik idüşümü (0, 5, 0) ile eksenine dik idüşümü (0, 0, ) noktlı göülüo. un göe, = 9 b, = b olup tbn lnı: = u. ^u ^u b^u c =. 5.. = 5b di. udn cim: V = bn lnı Yükseklik (9, 5,0) 7 (0, 5, ) (0, 5,0) (0, 5,0) 9 (9, 5,0) 0 5 7 (0, 5, ) (0,0, ) = 5. 0 5 = 00b tü. Yeni ükseklik (kod) = 5 bulunu.

KVRMSL IM PİRMİİN HMİ EREM bn lnlı nı ve ükseklik uunluklı eşit oln iki pimidin, cimlei de eşitti. İspt bn lnlı G, ükseklik uunluklı oln; bii dötgen, diğei beşgen iki pimit şğıdki şekilde veilmişti. u pimidin tbnın plel dülemlele kesitlei, tbn bene çokgenle olduğundn, bu pmitlein tbndn nı ükseklikteki plel dülemlele kesitlei de lnc bibiine eşit olmk ounddı. Çünkü, tbn lnlı eşitti. Yüksekliklei de eşit veilmişti. Q R G G P // Q Kvlie ilkesine göe, bu pimitlein tiplei fklı olmsın ğmen, tbn lnlı eşit, üksekliklei nı ve tbndn nı uklıktki ksitlei lnc eşit olduğundn, bu iki pimidin, cimlei de eşit olcktı. G G İspt. i üçgen pimit llım ve onu nı tbnlı bi pim tmmllım. üçgen pimit pimn n üç pimide ılmıfl biçimi u pimı, ukıdki şekilde göüldüğü gibi, üç pimide & & ılım. ile pimidinde;, ll ve üksekliklei nı & & olduğundn, cimle eşitti. ve pimidin de; l, l l ve üksekliklei nı olduğundn cimlei eşitti. olısıl, ve pimitlei de nı cimli olul. lde, pimidin cmi, bu pimnın cminin ne eşitti. Yni, üçgen pimidin cmi:. V = G. Şimdi, tbnı engi bi çokgen oln, öneğin, bi beşgen oln pimit llım. unu, tbnın bi köşesinden geçen köşegenleden ve tepeden geçen dülemlele keselim. u beşgen pimit, üçgen pimitlee ılı. olısıl, bunlın cimleinin toplmı, ilk pimidin cmini vei. üçgen pim ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER EREM i pimidin cmi, tbn lnı ile ükseklik uunluğunun çpımının üçte biine eşitti. E G eflgen pimit eflgen pimidin üçgen pimitlee ılmıfl li un göe, ine engi bi pimidin cmi, tbn lnı G, üksekliği olmk üee,. V = G bn bşk bi çokgen de ols, bene düşüncele, nı sonuc ulşılı. E 9

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM i eşken dötgen pimidin tbn köşegenlei b, b, üksekliği b ise cmi kçtı? ÇÖZÜM G = = ve = olduğundn.. V G = = = 9 biimküptü. Ud köşe noktlı (0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0), (0,, 0) oln ke veilio. u kenin sınıldığı bölgei tbn kbul eden ve üksekliği 0 biim oln pimidin cmi kç biimküptü? ÇÖZÜM Pimidi şekildeki gibi düşünebilii. = 0 biim veildiğinden üksekliği bu şekilde lmkt bi skınc oktu. bn ke olduğundn G = = 9 70 ÖRNEK ÖRNEK ve = 0 biim ise.. V G 90 = = = 0 biim küp ÜZGÜN ÖRYÜZLÜ VE ÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ- NÜN HMİ. ügün ötülünün Hcmi EREM i ıtının uunluğu oln dügün dötülüde. Ynl üksekliği =. isim üksekliği =. Hcim V = di. 0 ügün dötülü. İspt. ütün üle bi kenı oln eşken üçgen olduğundn K = = = K KH = K =. = dı. KH üçgeninde Pisgo bğıntısı ılıs α = (,, ), β = (,, ), γ = (, 5, ) vektölei üeine kuuln dötülünün cmini bulunu. ÇÖZÜM V = det αβγ,, ^ H K.. = KH = b l b l = =. 9 bulunu. lde dügün dötülünün cisim üksekliği =. ügün dötülü bi pimit olduğundn.. V G b l b l = = = bulunu. V = Ud α, β, γ vektölei üeine kuulbilen dötülünün cmi V = det (α, β, γ) b tü. ÖRNEK 5 = 5 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^.. + 5. +... + 5.. + = 5 + 0 = 7 V = = b

KVRMSL IM b. ügün Sekiülünün Hcmi EREM i ıtının uunluğu oln dügün sekiülünün cmi V = İspt tü. kesinde = = = P dik üçgeninde di. P = P & P = = lde dügün sekiülünün cmi G.. V =. b l=. V = KESİK PİRMİİN HMİ EREM lt ve üst tbn lnlı G ve G, üksekliği oln bi kesik pimidin cmi, V =.. ^G+ Gl + G. Gl dü. İspt P P Kesik pimidin cmi, büük pimit ile küçük pimidin cimlei fkın eşit olduğundn, V = G. ^+ l. Gl. lg^ dü. udki nü tüünden esplıp eine kosk, nn fomülü bulmuş oluu. unun için, benelikten lncğı. & & ll+ & & & lhl+ H & l l l = l Hl l = = dı. olı sı l H l + l k, k! R + = l l = + l ln^llll l l + lll & = b l olduğundn, ln ^ Gl k l = = b l di. udn, G l + l G G & & + = l l + = l G l Gl G G Gl + = & = & l Gl l Gl. Gl l = G Gl bulunu. nün bu değei () de eine ılıs. Gl. Gl V = G. G. d + n l G G d n l G Gl G.. Gl G. l. Gl = G. +. G Gl G Gl Gl^G Gl = G. +.. = G bulunu. G Gl G Gl = ^ G Gl. ^ G + Gl olduğundn, V = G. +. Gl. G+ Gl@ = G. + G. l +.. Gl. G =.. ^G+ Gl + G. Gl bulunu. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Yndki şekilde kesik pimit, (, ) pimidinin tbnın plel kesiti ile elde edilmiş olsun. (, ) pimidinin cminin H, üksekliği ve tbn lnını G ile gösteelim. Kesik pimidin cmi V, üksekliği H H = ve lt tbn lnı G olsun. H H ÖRNEK Üst tbn lnı 9 b, lt tbn lnı b ve üksekliği b oln kesik pimidin cmi kç biimküptü? ÇÖZÜM V =. ^G+ Gl + G. Gl =.. ^ 9 + + 9. =. ^5+ = 7b 7

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Yüksekliği biim, tbnının bi kenı biim oln bi ke pimit, tepeden biim uklıktki tbn plel bi dülemle kesilio. Elde edilen kesik pimidin cmi kç biimküptü? Çöüm: Şekilde PH = b, P PH = b, = = = M H = b = HH = = (M) // () olduğundn H kesit, tbndki kee benedi. enelik onı k = PHl = = PH ene şekillein lnlının onı benelik onının kesine eşit olduğundn ^ l l l l k ^ l l l l = & = b l ^ & ^ l l l l = b 9 G =, Gl = 9 ve = olduğundn kesik pimidin cmi V =. ^G+ Gl + G. Gl =.. b + +. l 9 9 0 =. b + l = b 9 9 UYGULM IMI. Yüksekliği, tbn lnı G, cmi V oln bi pimit, tbnın plel bi dülemle kesildiğinde elde edilen küçük pimidin Vl l üksekliği, tbn lnı G, cmi V ise = b l olduğunu V gösteini. Çöüm: Küçük pimidin cmi: Vl =. Gl. l üük pimidin cmi: V = G. di. Vl Gl. l Gl l = =. dı. V G. G ıc olduğundn, Gl l = b l G Vl l = b l V P G G. Yüksekliği oln bi pimit tbndn b uklıkt, tbn plel bi dülemle kesilio. Kesit lnı 9 b olduğun göe, kesik pimidin cmini bulunu. Çöüm: i pimitte tbn plel oln kesit lnının tbn lnın onı, tepe noktsının bu dülemlee oln uklıklının onının kesine eşit olduğundn 9 = b l & G = b G Kesik pimidin üksekliği = = b olduğundn kesik pimidin cmi V =. ^G+ Gl + G. Gl& V =.. ^ + 9 +. 9 & V =. ^5+ = b bulunu.. Köşeleinin koodintlı (0, 0, 0), (0,, 0), (, 0, 0), (0, 0, ) oln pimidin cmini bulunu. Çöüm:... V G = = b = 7

5. Şekilde eşken üçgen pimidin tepe noktsı, dülem pçsın dikti. =9 ^& cm ve = ise pimidin cmi kç cm tü? Çöüm: Şekilde tbn lnı = 9 & = cm ve = = cm uunluklı göülmektedi. un göe, bn lnı Yükseklik Hcim V =. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde ve köşelei ve eksenlei üeinde oln üçgen pimit veilmişti. (0, 0, ) ve = = 0 b olduğun göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm:. 9. = = = cm 0 tü. UYGULM IMI = (0,0,) 0 = 7. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde tbn dülemi düleminde oln, (9,, 0) koodintlı eğik pimitin [] kenı 5 b uunluğunddı. un göe, cismin cmi kç b tü?. Çöüm: 5 = (0,,0) (9,0,0) 9 9 (9,,0) Şekilde nin eksenine ve eksenine dik idüşümlei gösteileek dik üçgeninde Pisgodn 5 = + 9 = b bulunu. un göe cismin cmi: bn lnı Yükseklik V = 9.. = = 57 b bulunu. 5 (9,,0) ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Şekilde = b ve = 0 b olduğundn üçgeninde Pisgodn = b bulunu. un göe, üçgeninde Pisgodn = b olup cismin cmi: bn lnı Yükseklik V =.. = = b tü. (0,0,) 0 (0,,0) 0 (,0,0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde tepe noktsı ekseni üeinde oln ke dik pimit veilmişti. ^ = ve (,, 0), (0, 0, ) olduğun göe, ^ l l l l kesik pimidin cmi kç b tü? (0,0, ) (,,0) 7

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Çöüm: Şekilde ln onlı olduğundn kenlın benelik onlın göe uunluklı gösteilmişti. Hcimlein onlı olcğındn küçük pimidin cmi V ise kesik pimidin 7V olcktı. un göe, bn lnı Yü kseklik. V = = = b olup budn kesik pimidin cmi, 7V = 7. = b tü. 9. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde dügün dötülünün [] kenı eksenine plel ve tbnın ğılık mekei oijindi. ismin cmi 9 b ise, noktsının koodintlı nedi? Çöüm: (,,0) (0,0, ) UYGULM IMI 0. bn lnı Yükseklik Hcim = ^. = = olup budn 9 olduğundn nokt- un göe, =. = sının koodintlı ^, 0, 0 dı. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde tbn düleminin ğılık mekei oijin oln ke dik pimidin (0, 0, ) ve (0, 9 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm: & = b bulunu. (0, 9,0) (0,0, ) 0 Şekildeki dügün dötülünün bi kenı lındığınd 0 H =, H =, H = ve = olduğu göülmektedi. 0 (,0,0) Şekilde, (0, 9,0) 9 9 5 5 = (0,0, ) b olduğundn (0, 9,0) kesinin kenlı b olup cismin cmi: bn lnı Yükseklik V =. = = 9 b tü. 7

. Şeklideki üç boutlu kteen koodint düleminde üçgen pimidin (, 0, 0), (0,, 0) ve (0, 0, ) koodintlı veilmişti. un göe, cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde ll = b, ll = b ve ll = b olduğu göülmektedi. un göe cim, V = bn lnı Yükseklik. =. = 9 b tü.. Şekildeki üç boutlu kteen koodint (0,0,) düleminde dik pimidin (0, 0, ) noktsı, (,, 0) ve (,,0) ( 9, 9, ) koodintlı veilmişti. ijin, ( 9,9, ) nin ğılık mekeidi. u pimit dülemi ile kesildiğinde oluşn kesik pimidin cmi kç b tü? Kesik pimidin cmi V =. = b tü. (,0,0) (0,0,) (0,0,) (,0,0) UYGULM IMI (0,,0) (0,,0). Yüksekliği 0 b oln bi ke pimit tepeden b uklıktki tbn plel bi dülemle kesilio. Kesit lnı 9 b olduğun göe, pimidin ilk cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde tepeden b uklıkt kesilmiş pimidin kesik lnı 9 b olduğundn bi ıtı b bulunu. H enelik onı = = H 0 5 olup pimidin tbn ıtı = & = 5 b di. 5 Kesilmeden önceki cim: bn lnı Yükseklik 5 75. 0 5. 0 = = = 750 b tü.. Yüksekliği tbn kenlın eşit oln ke dik pimidin nl lnı 5 b di. un göe bu pimidin cmi kç b tü? Çöüm: Çöüm: Şekilde Şekilde üksekliği ve tbn kenlı b oln ke dik pi- midin n ü üksekliği Pisgodn = olduğundn l benelik onı (0,0,) = + () = 5 H (,,0) = b di. = b, k 5 = (,,0) ( 9,9, ) = b ve kesik pimidin üksekliği. 5 un göe nl ln. = 5 olup H H = b di. = k = olup k = b bulunu. Hcimle onı k = olup küçük pimidin cmi: 7 bn lnı Yükseklik udn, Hcim = bn lnı Yükseklik Hcmi: V =. = = b tü.. = = b =5 H H = 5 5 ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 75

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM SİLİNİRİN HMİ EREM i silindiin cmi, tbn lnı ile ükseklik uunluğunun çpımın eşitti. İspt Yndki şekilde tbn ıçpı E oln bi eğik diesel silindi içine, köşelei tbn çembelei üeinde bulunn bi beşgen eğik pim eleştiilmişti. u pimnın cmi, si- E lindiin cmine kındı. Eğe, bu pim beşgen pim olcğı ede, ltıgen pim olsdı, cmi, silindiin cmine d d klşcktı. Yni, köşelei tbn çembeleinde bulunn n kenlı bi çokgeni, tbn kbul eden bi n gen pimı bu silindiin içine eleştiip, ken sısı (köşe sısı) nı çoğltk, sonsu doğu çıktısk (limit duumu), elde edilen pimnın ken uunluklı küçüleek sıfı doğu klşck, dolısıl cmi, silindiin cmine iice klşıp eşit olcktı. Pimnın cmi: V p = G. olduğundn, G p ve V p V s için, eğik diesel silindiin cmi: V s = p. ene düşünüşle, engi bi eğik silindiin cmi de V = bn lnı ükseklik = G. ÖRNEK bn ıçpı b ve üksekliği cm oln silindiin cmini bulunu. ÇÖZÜM V = p.. = p.. = p cm bulunu. ÖRNEK Eni cm, bou cm oln bi dikdötgen kton uunluğu bounc kıvılk bi silindi pılıo. u silindiin cmini bulunu. ÇÖZÜM Uunluğu bounc kıvıldığınd tbn çevesi cm ve üksekliği cm p = & = p cm di. Silindiin cmi ise V = p.. = p. p k. 9 = p.. = cm p p ÖRNEK I cm fiekil I 0 cm fiekil II I. şekil tbn çpı b üksekliği 0 cm oln bi silindidi. u silindideki suun üksekliği di. u kp II. şekilde göüldüğü gibi tl 5 lik çı pck biçimde eğildiğinde su düei şekildeki gibi kbın ğın dnmktdı. un göe kç b di? ÇÖZÜM Kbın cmine V K, suun cmine V S dielim. V K = p.0 = p..0 = 0p V S = p. = p.. = p Kp, 5 eğildiğinde su üei kbın kenıl 5 lik çı p. Şu lde, üstteki boş kısmın kesiti, dik kenlı e b oln ikiken dik üçgendi. oşluğun cmi ise V = p.. = p di. (bn çpı, üksekliği oln ım silindi.) Fk: 0p p = p = 0 = = b bulunu. 5 II 7

. İç çpı b, dış çpı b ve üksekliği b oln dik diesel silindi biçimindeki bounun dolgu kısmının cmini esplını. Çöüm: Yndki şekilde dış çpı = 7 b, iç ıçpı = b di. Hcim: V = p p = p_ i V = p.. ^7 =. p. 0 V = 90 p b. Ynl lnı 0 p b ve üksekliği 0 b oln dik diesel silindiin cmini esplını. Çöüm: Ynl ln S Y = p = 0p ve = 0 p..0 = 0p = b di. Hcim: V = p. = p..0 = 0p b UYGULM IMI b ikkt edilise, bi dikdötgenin kenlı etfınd, ı ı döndüülmesinden oluşn cisimlein cimleinin onı ve lnlının onı, dikdötgenin ken uunluklının onın eşitti.. Şekildeki eğik silindiin tbn dülemi ile ptığı çı 5 di. = cm, = cm di. Veilenlee göe silindiin cmi kç cm tü? Çöüm: Şekilde tbn ıçpı = cm ve H üksekliği Pisgodn + = = = = cm olup cim V = bn lnı Yükseklik = p. = p. = pcm tü. = 5 H 5 = H = ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Ken uunluklı ve b oln bi dikdötgen, kenlı etfınd ı ı 0 döndüülüo. luşn silindilein cimleinin onını ve lnlının onını bulunu. 5. Şekildeki silindiin tbn mekei ve cmi 0p cm tü. Koninin tbn mekei, E = cm, E Çöüm: şğıdki şekillei inceleini. = cm ise, koninin cmi kç cm tü? Çöüm: b I b II Şekilde mekeli dienin tbn ıçpı = cm, mekeli dienin tbn ıçpı = cm di. E I. şekilde oluşn cismin cmi: V = p = p b b ve toplm lnı: S = p( + ) = p( + b)b di. II. şekilde oluşn cismin cmi: V = p = pb b ve toplm lnı: S = p( + ) = pb( + b) b di. un göe, V pb S p ^ + b =, V b = = = p b S pb ^ + b b bulunu. Silindiin cmi = bn lnı Yükseklik 0 p = p.. ^ + 0 = + = cm bn lnı Yükseklik un göe koninin cmi = p. = p. = = 9p cm tü. 77

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde oijin mekeli tbn dülemi oln silindi kesildiğinde oluşn cisim veilmişti. K(0, 0, 7) ve (0,, ) olduğun göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm: (0,,) = H= k(0,0,7) = (0,,) (0,,0) Şekilde, noktsının K noktsın göe simetiği oln (0,, ), eksenine dik idüşümü oln (0,, 0) göülmektedi. isim = b olck biçimde kesileek iki pçnın cimlei bulunu. UYGULM IMI K(0,0,7) (0,,) Çöüm: (,0,) = (,0,0) (0,,0) (,,0) Şekilde silindiin tbnı dikdötgenine eleştiileek üksekliğinin b olmsı sğlnmıştı. dikdötgenine eleştiilise = b, = b olup cim, p. = p b ; dikdötgenine eleştiilise = b, = b olup cim, p = p b olcktı. u şekilde = b, = b olup cim; V = p. = p.. = p b bulunu. p. p. üst pçnın cmi: V = = = p b lttki silindiin cmi: V = p. H = p. = 9pb olup cismin cmi: p + 9p = p b tü.. 7. (,0,) (,,0) Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde bi dikdötgenle pimsı ve (,, 0), (,, 0) koodintlı veilmişti. u pimnın içine çiilebilecek en büük cimli silindi şeklindeki tnk kç b su lı? Şeklideki üç boutlu kteen koodint düleminde + + = dülemi ile kesilmiş, tbnı düleminde oln dik silindi veilmişti. [] çpının (,, 0) ve (,, 0) koodintlı veildiğine göe, cismin cmi kç b tü? 7

Çöüm: UYGULM IMI Çöüm: ÜNİE Şekilde dülem üeinde =, = oln noktnın kodunu bulmk için dülem denkleminde ılk. +. + = & = bulunu. ülem üeinde =, = oln noktnın kodu ise 9. +. +. = & = tü. un göe cisim noktsının isındn dülemine plel olk kesilip iki pç- 9 7 nın cimlei bulunu. = = b üst pçnın üksekliğidi. bn ıçpı için olup = di. (,, ) 9 = 7 (,, ) H= (,,0) = ^ + ^ + ^0 0 = 7 p. p.. Üst pçnın cmi V b 7p = = = lt pçnın cmi V p = p. H = p.. = bdi. lde 7p p p cis min cmi = + = b tü. Şekilde V = S. için p = p. & = b ve budn nl ıtın l = b olduğu göülüo. V = S k.l olduğundn p = S k. S k = p b bulunu. un göe dik kesit lnındn p = p = olup (0, 0, ) bulunu. 0. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde tbn dülemi ve çpı ekseni üeinde oln eğik silindi veilmişti. noktsı ekseni üeindedi. ismin tbn çevesi 0p b ve nl ıtı b ise, cmi kç b tü? Çöüm: Silindiin tbn çevesi 0p b olduğundn p = 0 p & = 5 cm di. 0 = S k (0,0, ) 0 S = π 0 olduğu EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 9. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde ekseni bounc unn eğik silindi veilmişti. bn lnı p b oln cismin cmi p b ise, noktsının koodintlı nedi? 0 ismin üksekliğini bulmk = için inilen dikme ile oluşn H dik üçgeninde Pisgodn + 0 = = 57 = b H 0 un göe cim: V = bn lnı Yükseklik = p. = p5. = 00p b tü. 5 =5 79

ÜNİE KVRMSL IM KNİNİN HMİ İRESEL KESİK KNİNİN HMİ EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER EREM bn ıçpı biim, üksekliği biim oln koninin cmi, p. V = biim küptü. Hipote: Koninin tbn ıçpı biim, üksekliği biimdi. Hüküm: p. Koninin cmi V = biim küptü. İspt Yndki şekilde tepesi noktsı, tbn ıçpı = biim ve üksekliği K = biim oln diesel koninin içine (, EF) dügün ltıgen pimidi eleştimilmişti. ügün ltıgenin köşelei, koninin tbnının çevesinin üeindedi. Pimidin tbnı oln F E dügün çokgensel bölgenin ken sısı K iki ktın çıkılk elde edilen dügün çokgensel bölgenin lnı, koninin tbnının lnın klşı. Pimidin cmi de koninin cmine klşı. ügün çokgenin ken sısı n ise n için pimidin tbnının lnı ( ), koninin tbnının lnın; pimidin cmi de koninin cmine eşit n için, pimidin tbn lnı = koninin tbn lnı = p di. u duumd,. p. koninin cmi = pimidin cmi = = biim küp lt tbn ıçpı, üst tbn tbn ıçpı ve üksekliği oln bi diesel kesik koninin cmi: di. EREM V = p... _ + + i İspt Kesik koninin tbn ıçplı ve biim üksekliği biimdi. Yndki şekli inceleini. Kesik koninin üksekliği = K K = K K epesi noktsı ve üksekliği [K] oln koninin cmi V, tepesi noktsı ve üksekliği [K ] oln koninin cmi V ise kesik koninin cmi V = V V di. V= p.. K, V.. K = p l V = p. K. K p l g^ les teoemi ve ontı öellikleine göe, Kl K l = = di. olduğundn K l K K K K = K & = l = l = K ve K & = l = g^ () ve () den V = p. K. K p l.. = p p = p.. ^. _ + + i = p. V = p. bulunu. _ + + i K K 0

. K Yıçpı cm oln bi ım die kıvılk bi dönel koni pılıo. u koninin: ) bn ıçpını ve üksekliğini b) Yım tepe çısını; c) ütün lnını ve cmini bulunu. Çöüm: ) Ynl üeini çınımı oln die kesmesinin meke çısı α = 0 di. ud α = 0, = cm konulk = cm bulunu. emek ki bu koninin eksenden geçen kesiti bi eşken üçgen oluo. öle bi konie eşken koni deni. = den = cm elde edili. b) i dönel koninin n doğusu ile üksekliği sındki çı bu koninin ım tepe çısı deni. ud V = 0 di. c) Y = p cm, G = 9p cm olup S = 7p cm ve sonuç olk V = p. den V 9 cm bulunu. = p K UYGULM IMI. bn ıçpı cm ve ndoğusu 0 cm oln dönel koninin cmini bulunu. Çöüm: bn ıçpı cm ve ndoğusu 0 cm oln dönel konide [] üksekliği cm lde koninin cmi: p.. p.. V = = = p cm bulunu.. Meke çısı oln bi die kesmesi kıvılk koni pılıo. u koninin cmi p cm olduğun göe, tbn ıçpını bulunu. Çöüm: Elde edilecek koninin tbn ıçpı olsun. p =. p. l 0 & l = 5 = k ve l = 5k lınıs H dik üçgeninde = k 0 ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. lt tbn çpı 5 cm, üst tbn çpı 5 cm, n doğusu cm oln kesik dönel koni biçimindeki bi bjuun kğıttn bi öneğini pmk istiou. Kğıt üeine çiilecek lın ıçplı ile kesmenin meke çısını esplını. Çöüm: Çiilmesi istenilen kesme lı, bjuun tbn çeveleine eşit u lın çplını, + ile gösteileek: 5 = ılı. udn = 9 cm bulunu. Şu lde: + 5 Küçük ın ıçpı = 9 cm, üük ın ıçpı = cm di. Kesmenin meke çısı:, 75 α =. 0 =. 0 = 00 lde,. p. p. ^k. ^k V = = p & = p. k = k = & k = ölece = k =. = bulunu. H k =k 5. çısı 90 oln bi dik üçgeni [], [], [] kenlı etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cisimlein cimlei sısıl V, V b, V c olduğun göe, olduğunu gösteini. V = V + b V c

ÜNİE Çöüm: UYGULM IMI. EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Yüksekliği = oln dik üçgeninde. = b.c = b c ve eşitliklei vdı. = b + c dik üçgeni [] etfınd 0 döndüülüse [ ] çplı diei tbn kbul eden iki koni oluşu. oplm cim: p.. V = g^ di. 9 V = p.. g ^ l [] etfınd 0 döndüülüse şekildeki koni oluşu. p. c. b Hcim: Vb = g^ 9 ve V b = p. c. b g ^ l [] etfınd 0 döndüülüse şekildeki koni oluşu. p. b. c Hcim: Vc = g^ 9 ve Vc =. b c g ^ l p olup ( ) ve ( ) eşitlikleinden c c c b c b b b Şekildeki muğund m ^W = m ^X = 90 ve =, =, = di. u muğun [] kenı etfınd 0 döndüülmesi ile oluşn cismin cmini ve toplm lnını bulunu. Çöüm: luşn cisim kesik konidi. bn ıçplı =, = ve = di. Kesik koninin cmi: V = p. _ + + i = p.. ^ +. + =. p. 5. V = 7p b Kesik koninin lnını bulmk için önce n doğusunun uunluğunu bullım. [H] [] çielim. Yndki şekli inceleini. H dik üçgeninde 0 = + = 00 ll = 0 olup kesik koninin toplm lnı: H 9 9 V + V =. c b c. b + p p. b. c 9 =. bc b p c + bl S = p + + l. ^+ = p. + + 0. ^ + @ = 0p b 9 =. p. bc 9 =.. p ^ 9 V + V = b c. = p V bulunu. 7. bn ıçpı 5 biim, üksekliği biim oln koninin cmi nedi? Çöüm: = 5, = olup p.... V p 5 = = V = 50p b bulunu. P 5 H

. bn diesinin mekei (0,, 0) noktsınd oln ve tbnın bi çpı ekseni üeinde oln koninin tbn diesi P(0, 9, 0) noktsındn geçio. Koninin üksekliği tbn ıçpın eşit olduğun göe, cmi kç biimküptü? Çöüm: Veilenlee ugun çiim ndki gibidi. =, = olup Hcim: V = p =. p.. V = 7p b 9. bnlı [] ve [] oln bi muk [] tbnı etfınd 0 döndüülüo. = b, = b, = b ve = 5 b olduğun göe, oluşn cismin cmini esplını. Çöüm: Yndki şekli inceleini. + = + ^ = 5 denklemlei otk çöülüse, = b, H = = 5 b, H = = 9 b bulunu. muğu [] tbnı etfınd döndüüldüğünde, oluşn cisim; ltt göüldüğü gibi ( ) konisi, ( ) silindii ve ( ) konisinin bileşimidi. UYGULM IMI 5 H H 9 0. bn ıçpı, üksekliği oln bi dik diesel koni, tepeden itiben kd uklıkt, tbn plel bi dülemle kesilio. Kesit diesinin ıçpı olduğun göe, elde edilen küçük koni ile ess koninin cimlei sındki onı, konilein tbn ıçplı cinsinden bulunu. Çöüm: Yndki şekilde, & & olduğundn, = di. () konisinin cmi: V = p. () konisinin cmi: V= p. di. V p un göe, = = c. V m d n = c m p V = c V m. Şekildeki dik koni üksekliği eşit pçl ılck biçimde tbn plel iki dülemle kesilmişti. luşn pçlın cimlei V, V, V ile gösteilmişti. V = cm ise V kç cm tü? V V V ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 5 9 H H 5 5 Çöüm: k = = olup V k = V+ V & V= 7V lde, oluşn cismin toplm cmi: V = p.. 9 + p.. + p.. 5 = p.. + p.. + p.. 5 = pb bulunu. k = = olup V k = = 7 V+ V+ V & V= 9 V V = 9. = 5 cm tü.

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. Yüksekliklei nı tbn ıçplı cm ve cm oln iki dik koni şekildeki gibi iç içedi. Küçük koni tmmen su ile doludu. Küçük koninin tbnın kın bi eden bi delik çılıo. Sonuçt suun üksekliği konilein üksekliğinin kçt kçı kd olu? Çöüm: Şekilde önceden p.( + H) cimli suun delik çıldığındki eni üksekliği (H) göülmektedi. Suun bu şeklile cmi p.h olup cimle eşit olduğundn 9p+ 9pH = ph & 9p = 7 ph H & = H olup = + H bulunu. UYGULM IMI H. Şekildeki üç boutlu kteen koodint düleminde [] çplı eğik koninin (7,, 0), (7,, 0) ve (,, ) koodintlı veilmişti. un göe, koninin cmi kç b tü? Çöüm: (,,) (,,) H(,,0) (7,,0) 0 (0,,0) (7,,0) (0,,0) 5 M 5 (7,,0) (7,,0). Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde tbn çevesi p oln eğik koninin (0, 0, ) koodintlı veilmişti. bn dülemi düleminde olduğun göe, cismin cmi kç b tü? Çöüm: (0,0,) Şekilde tbn ıçpının 5 b olduğu, noktsının dülemine dik idüşümü ile koninin üksekliğinin b olduğu göülmektedi. un göe cim; V = bn lnı Yükseklik = p.. = p.5. = 50p b tü. m = Şekilde tbn çevesi p = p = b bn lnı Yükseklik Hcim V = p. p. = = = p b 5. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde üçgeninin ^ 00,,, ( 00,, ) koodintlı veilmişti. [] [] olduğun göe, üçgenin ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin cmi kç b tü? (,0,0) (,0,0)

Çöüm: (,0,0) Şekilde üçgen döndüüldüğünde oluşn dik koni göülmektedi. isim üksekliği = b olup cmi, V = (bn lnı Yükseklik) = p.. = p b bulunu.. Şekildeki üç boutlu kteen koodint sisteminde dik muğu ekseni etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin cmi kç b tü? Çöüm: Şekilde muğun ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn bi silindi ve üstündeki koni göülmektedi. nin dik idüşümü oln (, 0, 0), nin kodu 0 ve koninin üksekliği oln b ile cim; 5 = p^.. ( 0,,0) UYGULM IMI (0,0,) (,0,0) (,0,0) (0,0,) (,0,0) 0 (,0,0) 7. Şeklideki üç boutlu kteen koodint düleminde dik muğunun (,, 0) ve (0,, 0) koodintlı veilmişti. [] [] olup ekseni etfınd 0 döndüüldüğünde oluşn cismin cmi kç b tü? Çöüm: (,,0) 5 (,,0) (0,,0) (0,,0) Şekilde muğun ekseni etfınd 0 döndüülmesile oluşn kesik koni, nl uunluğu ve üksekliği göülmektedi. dik üçgeninde Pisgodn = 5 b olup cim esplbilmek için koninin tepe noktsı işetleneek benelik onın ulşılı. & & + & = & & b + = = enelik onı k = olup cimle onı k = olduğundn küçük koninin cmi V ise kesik konie 7V klı. p. p. V = = = p ise 7V = 7.p = p b bulunu. ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER Koninin cmi + silindiin cmi p. = + p. p.. = + p.. 0 = 7pbbulunu. 5

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER. bn ıçpı biim, üksekliği biim oln koninin cmi kç biimküptü? p. ndoğusu 5 biim ve cmi p b oln koninin üksekliği kç biimdi? PEKİŞİRME IMI. Şekilde H d = biim H = biim di. üçgeninin d doğusu etfınd 0 döndüülmesile oluşn cismin cmi kç b tü? H d p. Hcmi 70 cm oln şekildeki koni, tbn plel bi dülemde L = olck şekilde kesilio. K L 5. Şekilde = oln tes çevilmiş dik koni içindeki su miktı 0 5 b ise koninin tmmını su ile doldumk için bu konie kç b su eklenmelidi? Kesik koninin cmi kç cm tü? 0 9

KVRMSL IM KÜRENİN HMİ EREM Yıçpı biim oln küenin cmi V = p biim küptü. İspt şğıdki şekillei inceleleini. iinci şekil; tbnının ıçpı ve üksekliği = = biim oln dik silindiden, tbnının ıçpı ve üksekliği = = biim oln dönel koni çıktılk elde edilen bi cisimdi. İkinci şekil, biinci şekille nı dülemin (E düleminin) üeine konmuş ve ıçpı biim oln ım küedi. u cisimlein E düleminden biim uklıkt ve E dülemine plel oln dülemle kesitlei tlı olk belitilmişti. iinci şekilde; üçgeni ve üçgeni ikiken dik üçgendi. Silindiden koni çıktılk elde edilen cisimdeki tlı die lksının lnı, = p. P m p. m = p p = p^ b di. () Yım küedeki tlı dienin lnı, l = p. NL = p_ ML MN i = p^ b di. () () ve () e göe = dı. = olduğundn, vliei (Kvlie) pensibine göe ım küenin cmi, silindiin cmi ile koninin cminin fkın eşitti. Silindiin cmi ile koninin cminin fkı, H= p.. l p. ll. l = p.. p.. = p p= p btü. Yım küenin cmi H ise H= H= p biim küptü. Küenin cmi, H = H = b pl= p biim küp EREM i küenin cmi küe üeinin lnı ile ıçpının üçte biinin çpımın eşitti. İspt Yıçpı R oln bi küenin üeini, lnlı S, S, S,..., S n oln çok küçük pçl ılım. u pçlı tbn ve küenin mekeini de tepe olk kbul eden pimitlei düşünelim. unlın ükseklikleini küenin ıçpın eşit olk kbul edebilii. Sonsu sıldki bu pimitlein cimlei toplmı küenin cmini veeceğinden: V = S. S. S. + + + g V = S S S ^ + + + g S+ S+ S+ g = S (küenin lnı olduğundn) V = S. bulunu. udn S = p konulus V = p Küe iliminin Hcmi Küenin bi [] çpındn geçen iki ı dülem sınd kln kısmın küe dilimi denildiğini öğenmiştini. u iki ı dülem sındki çının ölçüsü mp ^% = α ise bu dilimin cmi:. V α α p = p. = 0 70 elde edili. u cim fomülü, küenin d(= ) çpı cinsinden ılıs V = p d P E ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER 7

ÜNİE EK VE ÇK YÜZEYLİ KPLI YÜZEYELR VE KI İSİMLER KVRMSL IM P çısının dn cinsinden ölçümü α olus bu küe diliminde V = R. αl, S = R. αl Küe Kesmesi i die kesmesinin kendini kesmeen bi çp etfınd dönmesi ile elde edilen cime küe kesmesi deni. Şekildeki küe kesmesinin üü bi küe kuşğı, diğe iki üü ise bie koni üeidi. ud küe kuşğının üksekliği kesmenin de üksekliğidi. Yndki şekildeki küe kesmesinin üü bi küe kpğı, diğe üü ise bi koni üei u şekildeki küe kesmesine küesel koni de deni. ud küe kpğının üksekliği, küe kesmesinin de üksekliğidi. Küe Kesmesinin Hcmi i küenin cminin küe üeinin lnı ile ıçpının üçte biinin çpımın eşit olduğunu gömüştük. nı düşünüş olu bud kullnılk küe kesmesinin cmi: V =. S. =. p. V = p.. (ud, küe kesmenin üksekliğini, ise küenin ıçpını göstemektedi.) Küe Pçsı ve Hcmi i küe kpğı ile bu kpğın tbn diesi etfınd sınılnn cisme küe pçsı deni. u küe pçsı, (K) küe kesmesile () konisinin fkı olk düşünülüse, cmi: V = p. p^ KK dik üçgeninde = ( ) olduğundn: V = p ^ olk bulunu. (ud küe pçsının üksekliği, de küenin ıçpıdı.) K H K Yıçpı 0 biim oln küenin biim üksekliğindeki pçsının cmi kç biimküptü? ÇÖZÜM ÖRNEK =, = 0 olup küe pçsının cmi V = p.. ^ = p.. ^. 0 = p. 7= p biimkü p Küe bksı ve Hcmi i küenin iki plel dülem sınd kln kısmın küe tbksı K deni. Kesit dielei bu tbknın tbnlı İki tbn sındki uk- R E lığ ükseklik deni. H i küe tbksı iki küe pçsının fkı olk düşünülüse, cmi: K V = p.. olk bulunu. (ud ve _ + + i tbnlın ıçplı, ükseklikti.) ÖRNEK. i ıtı oln dügün dötülünün: ) ış küesinin, b) İç küesinin ln ve cimleini bulunu. ÇÖZÜM dügün dötülüsünde üksekliklein kesim noktsı G olsun. u nokt, e üksekliği onınd bölündüğünden em dış küenin, em de iç küenin mekei Şu lde bu dügün dötülünün: ış küesinin ıçpı: G = ; l = İç küesinin ıçpı: l Gl = = ; unl göe:. ış küenin: lnı = p, cmi = p; p b. İç küenin: lnı =, cmi = p