VEKTÖR HESAPLAMALARI (grav,del,curl) Giriş

Transkript

1 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi EKTÖR HEPMRI (gv,el,cul) Giiş ektö hesplmlın ifensiel uunluk, ln ve hcim elemnlı önemlii. Dh önce mtemtik esleine göüğümü tüev ve integl işlemlei vektöle içine ugulnbili. Bu bölüme bu tip işlemlele ilgileneceği. Difensiel uunluk, ln ve hcim (kteen kintl) Kteen kintl uunluk l ile veili. Şekil.e kteen kintl ifensiel uunluk gösteilmişti. Difensiel ln (Şekil.) biçimine gösteili. Hcim ise v ile hesplnı. P C Q B D R Şekil. ğ-el kteen kint sistemine ifensiel elemnl. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

2 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Şekil. Kteen kint sistemine ifensiel nml lnl. Bu bğıntıln nlşılcğı üee ifensiel uunluk ve nml lnl vektö büüklüklei. Hcim ise skle bi büüklüktü. Bu uunluk, önlee göe eğişmektei. Dh önce skle lk tnımlnn uunluk biiminen fklıı. Bu hehngi bi cismin uunluğu ksteilmemektei. Buki uunluk vektöel bi lnın çigisel öelliğii ve lısıl önlee göe eğişmektei. Bu bğıntıl kullnıln, ve önlee göe ifensiel uunluktu. Difensiel uunluk, ln ve hcim (siliniik kintl) iliniik kintl uunluk l ile veili. Şekil 3.e silinik kintl ifensiel uunluk gösteilmişti. Difensiel ln (Şekil 4.) biçimine gösteili. Hcim ise v ile hesplnı. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

3 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Şekil 3. iliniik kint sistemine ifensiel elemnl. Şekil 4. iliniik kint sistemine ifensiel nml lnl. Difensiel uunluk, ln ve hcim (küesel kintl) Küesel kintl uunluk l KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 3

4 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi ile veili. Şekil 3.e siliniik kintl ifensiel uunluk gösteilmişti. Difensiel ln (Şekil 4.) biçimine gösteili. Hcim ise v ile hesplnı. Şekil. Küesel kint sistemine ifensiel elemnl. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 4

5 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Şekil 6. Küesel kint sistemine ifensiel nml lnl Önek: Şekil 7. e göe şğıki istenilenlei hesplını. F(,,) C (,,) D (,,) B (,,) (,,) Şekil 7. iliniik kintl uunluk, ln ve hcim hesbı. Nkt kintlı (,, ) biçiminei. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

6 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi ) BC sınki uklığı b) CD sınki uklığı c) BCD lnını ) BO lnını e) OFD lnını f) BDCFO hcmini hesplını. Cevp: ) BC l b)iliniik kintl (Şekil 4.) CD. l ve bölece c) BCD lnını hesplmk için Şekil 4 ten lnbilii. BCD ln elemnı ile veilmişti. Bu uum BCD nin lnı iki ktlı integl lınk şğıki şekile hesplnı. BCD ( ) ( ) ) BO şeklinin lnı için tek Şekil 4 ten lnbilii. ile veilmişti. Bu uum istenilen ln BO ( ) 6. e) OFD lnı Şekil 7 en bsitçe göülebili. OFD ikötgenin lnını bulmlıı. Yni nin iki ktlı integlini lmmı geekmektei. OFD ( ) ( ) KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 6

7 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi f) iliniik kintl hcim elemnı v üç ktlı integlinin snucu bie istenilen bölgenin hcmini vei. Bu uum BDCFO v 6. ( ) ( ) ÇİZGİ ve N İNTEGRERİ Dh önce biliğimi integl hesplını vektölee ugullım. Çigi integli bi eği bunc integlinin lınmsı essın nmktı. Öneğin gibi bi vektö lnın lu bunc integli l b csl ile veili. Bu ife vektö lnını eğisi bunc integlinin lınmsıı. Eğe eğisi kplı bi lns bu uum bu ifee nın bunc lnımı eni. e bu uum integl ile gösteili. ( ) l b. l.. c lu Şekil 8. Bi vektö lnın lu bunc çigisel integli. eilen vektöü için, süekli ügün bi üeinin ln integli ve vektöünün üeineki kısı KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 7

8 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi ve bsitçe ψ cs n şekline gösteili (Şekil 8). ψ ve ψ üei n Şekil 9. vektö lnın üei bunc üe integli ve vektöünün üei bunc kısı. DİFERNİYE EKTÖR İŞEÇERİ Del Opetöü ve Gent Del petöü ile gösteilen bi ifensiel vektö işlecii. Kteen kintl şekline ılı. Del petöü mtemtikte çk kullnışlı bi petöü. Bu este el işlecini şğıki şekillee göeceği: ) kle bi fnkun genti, ) vektöünün ivejnsı, 3) vektöünün tsnu, KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 8

9 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi 4) kle bi fnkunun plsieni. Bu işlemlee bşlmn önce el işlecini siliniik ve küesel kintl sısıl tnımllım. Bi skle vektö lnın genti, ni önlee göe eğişimi Şekil. veilmişti. Şekile skle lnın kntulnmış hli veilmişti. Bı uuml skle lnın önlee göe eğişimi, ni tüevini hesplmk geeklii. Bu uuml gent işlecini kullnıı. Gent işleminin snucu bi vektöü. Del petöü bi vektö luğunn skle bi fnkun bi vektöle çpımının snucu ine bi vektöü.. 3 Δ. Şekil. vektö lnın üei bunc üe integli ve vektöünün üei bunc kısı. kle bi fnk için gent KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 9

10 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi g ile gösteili. Bu (,,) fnku süekli bi fnku. Bu skle bi ln, hehngi bi skle lnın genti vektöü. 3 Önek : f (,, ) şekline veilen fnk için f i ve (,-,) nktsınki eğeini bulunu. Çöüm: ve 3 f (,, ) fnklın ihtiç vı. f f 3 3 ( ) ( ) f 3 lk bulunu. Bu ifenin (,-,) nktsınki eğei ise f 3 3 ()( )( ) ( )( ) 3( )( )( ) 6 8 lk bulunu. Önek : eilen fnklın gentleini hesplını. ) e csh (kteen kintl) b) U cs (siliniik kintl) c) W cs (küesel kintl) Çöüm: KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

11 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit ) e csh e csh ( ) ( ) ( ) csh csh csh e e e csh h csh cs e e e b) cs U cs U ( ) ( ) ( ) cs cs cs U cs cs U c) cs W cs W ( ) ( ) ( ) cs cs cs W cs cs W

12 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Divejns ve Divejns Teemi Bu bölüme bi vektö lnın kplı bi üeen geçen tplm kısını hesplmmıı sğln ivejns teemile ilgileneceği. Hehngi bi P nktsının ivejnsı vektö lnı için iv lim Δv Δv ile veili. Bu nı mn bi vektö lnın u nktn nkt nsıl eğiştiğinin ölçüsüü. Divejns skle bi büüklüktü. Bi vektö lnın ivejnsı sıfın fklı lmsı bu nkt bi knk ve utk luğunun göstegesii. Fklı uuml ivejnsın eğişimi Şekil. e gösteilmişti. P P.. P. () (b) (c) Şekil. Bi vektö lnın P nktsınki ivejnsının şemtik gösteimi. () Divejns pitif. (b) Divejns negtif. (c) Divejns sıfı. 3 6 P 4 Şekil. P nktsın nın teeminin ele eilmesi. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

13 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Şekil. e veilen küçük kutul ve, 3 ve 4, ve 6 tplm kıı hespllım. Bu uum üleinen geçen ψ bğıntısını kullnılı. üe lnlı, ve ile hesplnı. Bu uum limiti sıfı gien küçük küp şeklineki cisim tplm 6 üei için kı ( Net kı) ( ). ( Net kı) ( ). 3 4 ( Net kı) ( ). 6 ile hesplnbili. Bu bğıntılı tplığımı ( Net kı) Tplm ele eei. v eşitliği kullnılı ve enklem enien üenlenise ( Net kı) v Tplm ( Net kı) v Tplm () ele eili ve iv lim Δ Δv () bğıntısı şğıki şekile ılıs lim Δv Δv ( Net kı) v Tplm (3) KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 3

14 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi ele eili. (),() ve (3) bğıntılınn ivejns bğıntısı şğıki şekile iv (4) ılı. Divejns bğıntısının snucu sklei. ektö bi büüklüğün önlee göe tüevleinin lınığı enklem (4) te göülmektei. Denklem () en ivejns teemi şğıki şekile ılı. v () v Bu mtemtiksel ife; hehngi bi vektö lnının bi üe bunc tplm kısı, bu vektö lnın önsel tüevleinin tplmı, ni hcmine eşit lcğını söle. ve B iki vektö lmk üee öelliği vı. ( B) B Önek 3: eilen P vektöünün ivejnsını hesplını. Çöüm: P P P P ( ) ( ) ( ) Önek 4: eilen vektöü için ivejnsını hesp eini ve (,-,3) nktsınki eğeini bulunu. 4 Çöüm: ( ) ( 4) ( ) 4 4 KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 4

15 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Bi ektöün Rtsnu ve tkes Teemi Bi vektö lnın kplı bi eği bunc integlini ife ee. Cul ve Rt şekline e gösteili. Bu mtemtiksel ife eğe sıfın fklı ise bie vektöün ekseni etfın bi önüücü kuvveti luğunu ife ee. Bi küvet içineki su bşlm bşlığın heke biliği gibi su üeine iesel hlkl göüü. İşte bu suun bi önüme kuvveti, ni tsn sıfın fklıı. cul lim l Δ l Δ ( ) bğıntısı tkes teemi lk bilini. Şekil 3. te çigi integl ve ln integli gösteilmişti. Bu bğıntı Δ kplı eğiin çeveleiği lnı. n m kplı lu ln l Şekil 3. tkes teemi çigisel kplı ln ve ilgili üe. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

16 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi (,) 3 (,) 4 (,) (,) Şekil 4. Çk küçük bi kenin kenlı bunc çigi integli. ψ l Şekil 4 te,,3 ve 4 nlu çigilein integli ile veili. n 4 enklem tplnıs 3 4 l () l () l (3) l (4) ( () (3)) ( () (4)) l (6) ve (3) () (7) () (4) (8) KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 6

17 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 7 luğu Şekil 4 ten göülebili. Dlısıl (7) ve (8) bğıntısı (6) eine knulus l enklemi ele eili. nın bileşeni için Δ Δ l lim ele eili. Bene şekile nın ve bileşenlei için çigi integl ılıp tplnıs. ısıl ( ) cul ( ) cul ( ) cul ele eili. nuç lk nın tsneli şğıki şekile gösteili ve hesplnı. Bi vektöün tsneli bi bşk vektö lnı. Del petöü bi vektö ve vektöüle tsneli ine bi vektöü.,b vektö ve skle ln lmk üee tsnel işlemi şğıki öelliklee shipti.

18 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 8 ) ( ) B B ) ( ) 3) Önek : P vektöü için P işlemini pını. Çöüm: P P P P P [ ] [ ] [ ] P ( ) P Önek 6: 4 3 vektöü için işlemini pını ve (,-,) nktsınki eğeini bulunu. Çöüm:

19 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi [ ] [ 3 ] [ 4 ] 4 ( ) ( 3 ) ( 4) snucun (,-,) nktsınki eğei 4 ( () ( ) ( ) ) 3( ) ( ) 3 4 ( ) 4( )( )( ) ( ) Önek 3: Eğe cs ise l çigi integlini veilen şekle göe hesplını ve tkes teemini ğulını. c ο 6 ο 3 b Şekil. önek 3 te tnımlnn çigi integl. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 9

20 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi Çöüm: l b için ve l l 3 6 bc için 3 ve l b c b c l 3 ( cs) ( 3 ) 6 l c için ve l cs cs3 3 4 l ( cs) ( 3 ) ve çigi integlin sn kısmı için ni için 6 ve l 3 l cs cs6 4 sn lk hesplnn öt pç tplnıs çigi integlin eğei ( 3 ) l tkes teemini ğulbilmek için şğıki integli lıp bi önceki çigi integlin snucul eşit luğunu gömelii. Bu uum l ( ) bu işlemi pbilmek için siliniik kintl tsn petöünü bilmemi geeki. Bu ise şğıki şekilei. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit

21 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit ( ) nı mn ln elemnı ile veilmişti. ( ) ( ) ( ) cs ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dlısıl ( ) l integline buluğumu bğıntılı eleine sk ( ) ( ) ( ) 6 3 ( ) ( ) ( ) 6 3

22 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit ( ) ( ) 6 3 ( ) ( ) cs 6 3 Önek 4: vektöü için ( ) luğunu gösteini. Çöüm: ( ),,,, Öev skle lmk üee luğunu gösteini. plsien plsien işlemi bi skleinin gentinin ivejnsıı ve ile gösteili. Dh çık biçime lplsien

23 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 3 ve snuç lk lplsien kteen kintl ılı. klein lplsieni ine bi sklei. Eğe bu eğe sıfı ise enklem plce enklemi, sıfı eğilse Pissn enklemi lk bilini. Bu enklemle jefiikte sıkç kullnılıl. Dğu kım öienç mellemesi ve ptnsiel tei bu enklemlein ugulm lnlınn sece biisii. Denklemin sıfı lmsı şu nlm gelmektei: plce enkleminin tnımlı luğu ln knk ve utk nktsı k şekline umlnı. plsienin sıfın fklı lmsı uumun enklem Pissn enklemi lk bilini. Bu bölgee utğın ve knğın vlığın işetti. plsien vektölee şğıki şekile ugulnbili. bi vektö lmk üee ( ) şekline ılı. Önek : e csh için hesplını. Çöüm: ( ) ( ) ( ) csh csh csh e e e

24 Elektmnetik Tei Bh -6 Dönemi ( e cscsh ) ( e h ) ( e csh ) 4e 4e e csh e csh e csh e csh csh csh ektö lnlın ınıflnıılmsı Şekil 6 öt temel sınıflnım göülmektei. Bu sınıflnıml vektölein ivejns ve tsn uumlın göe pılmıştı. Divejns ve tsn işlemleinin snucunun sıfı eşit lup lmmsın göe vektölein uumu Şekil 6 gösteilmişti.,,,, Dh öncee bhseiliği gibi eğe bi vektö lnın ivejnsı sıfı ise bu uum vektö lnı knk ve utk nktsı eğili. Önek lk Şekil 6 () gösteilebili. Eğe ivejns sıfı eşit eğilse bu uum nktsı bi knk nktsı lk eğeleniili (Divejns pitif ise kl ışı ğu, bi knk nktsını temsil ee. Eğe ivejns negtif ise kl içe ğu, bi utk nktsını temsil ee.) Şekil 6 (b). Şekil 6 (c) e ivejnsı sıfı fkt tsnu sıfın fklı bi vektö lnın şekli gösteilmişti. Bu uum vektö lnın bi önüme kuvveti luğu şekilen nlşılmktı. Şekil 6 () e ise hem tsn hem e ivejns sıfın fklıı.. () (b) (c) () Şekil 6. ektö lnlın ivejns ve tsn işlemleinin snucun göe sınıflnıılmsı. KYNK iku, M. N. O., 99, Elements f Electmgnetics, Of Univesit Pess, 8 sf. KOÜ, Mühenislik Fkültesi, Jefiik Mühenisliği Bölümü, İmit 4