ÇIKTI ANALİZİ BENZETİM TÜRLERİ Çıktı analizi benzetimden üretilen verilerin analizidir. Çıktı analizinde amaç, bir sistemin performansını tahmin etmek ya da iki veya daha fazla alternatif sistemlerin performansını karşılamaktadır. Girdi değişkenlerinin değerlerini üretmek için rassal sayı üreteçleri kullanıldığından benzetim modelinin bir kere çalıştırılması ile elde edilen çıktı da rassal olacaktır. Bu nedenle istatistiksel çıktı analizine ihtiyaç duyulur. Benzetim deneylerinin analizi ve tasarımı benzetimin tipine bağlıdır. Benzetimler çalışma uzunluğunun belirlenip belirlenemediğine dayalı olarak sonlu ve sonsuz olmak üzere ikiye ayrılır. Sonsuz benzetimler için parametreler ya performans ölçüleri birkaç tipte olabilir. Benzetim modelinin bir kere çalıştırılması ile elde edilen çıktı prosesi; y, y,.., y m olsun Bitişli Benzetim Bitişli Olmayan Benzetim Yi: i. müşterinin kuyrukta bekleme süresi Yi ler rassal değişkenlerdir ve birbirine bağımlıdır ancak istatistiksel teknikler bağımsızlık kabulüne dayalıdır. Bu nedenle her birisi m uzunluğunda n bağımsız deneme yapılır. Denemeler arasındaki bağımsızlık farklı başlangıç değerleri kullanılarak sağlanır. Denge Durumu Parametreleri Denge Durumu Çevrim Parametreleri Diğer Parametreler. Deneme m y y,,..., i y y m y = m i = } Bağımsız. Deneme m y y,,..., i y y m y = m i= } Bağımsız. Deneme m y y,,..., i y y m y = m i= } Bağımsız n. Deneme m y y,,..., i n yn y nm y = n m i= } Bağımsız Denemeler arasındaki bağımsızlık sağlandıktan sonra çıktı analizi için istatistiksel yöntemler kullanılabilir. Bitişli (Terminating) Benzetim: İstenilen performans ölçülerinin tahmini değerlerini önceden belirtilen bir E olayı ortaya çıkıncaya kadar geçen benzetim zamanı için tahmin eder. (O, T E ) aralığı; E olayının ortaya çıktığı zaman. (T E rassal değişken olabilir) Örneğin, E= {beklemeleri tamamlanmış m müşteri } Verilen ödevde müşteri de benzetim tamamlanması bu duruma uygun bir benzetimi göstermektedir. ÖRNEK : Bir banka sistemini benzetimini ele alalım. Banka sabah 9: da açılmakta ve akşam 7: de kapanmaktadır. Bir benzetimin amacı bu periyot için müşteri servisinin kalitesinin bir ölçüsünü tahmin etmek olabilir. E={8 saatlik bir benzetim çalışması ve sistemin boş olması} Benzetim için başlangıç koşulu; anındaki müşteri sayısıdır.
ÖRNEK : bir uçak üreticisi, uçak üretmek için bir kontrat yaptığı varsayılsın. Bu uçakları 8 ay içerisinde üretmek zorundadır. Şirket istenilen teslim tarihine en düşük maliyetle üretimi yapabilecek üretim alternatifini seçebilmek için alternatiflerin benzetimini yapmak istiyor. E={ uçağın üretimi} ÖRNEK : bir günde saat ( vardiya) çalışan bir üretim sistemini dikkate alalım sat sonunda kalan işler bir sonraki gün işlenmektedir. Bu sistemin benzetimi, bir sonlu benzetim olarak dikkate alınabilir mi? E={ saatlik üretim} Alınamaz çünkü bu üretim sistemi gerçekte sürekli bir sistemdir. Bir gün için bitiş koşulları bir sonraki gün için başlangıç koşulları olacaktır. ÖRNEK : bir ürün satan bir işletme, aylık bir süre içinde stokta ne kadar ürün bulundurması gerektiğine karar vermek istiyor. Başlangıç stok düzeyi verildiğinde amaç; aylık beklenen maliyeti minimize etmek için her ay ne kadar sipariş vereceğini belirlemektedir. Bu durumda; Örnek : yeni bir üretim sitemi kuracak bir işletmeyi dikkate alalım. Bu işletme, işçiler işlerini öğreninceye kadar ve mekanik zorluklar ortadan kalkıncaya kadar çalıştıktan sonra sistemin ortalama (denge durumunda) çıktısını belirlemek istiyor. Aşağıdaki kabuller yapıldığında, a) Sistem günün saati haftanın günü çalışmakta b) Bir vardiyanın sonunda ya da bir sonraki vardiyanın başındaki üretim kaybı ihmal edilmekte c) Günü belirli zamanlarında üretimi kesen bir ara yok Sistemin hafta sonu ve her günün sonundaki boş zaman (8 saatlik boş zaman) ihmal edilerek saatlik günlerle benzetimi yapılabilir. Ni: i. saatte üretilen parçaların sayısı olsun. N, N,. Stokastik prosesi, ilgilenilen N rassal değişkeni ile denge durumu dağılımına sahipse, ortalamanın tahmini ile ilgileniriz. E={ ay için sistemi izlemek} Benzetim mevcut stok düzeyi ile başlatılır Bitişli olmayan (Nonterminating) benzetim: İstenilen performans ölçülerinin tahminini, benzetim zamanının sonsuza ulaşan durumu için tahmin eder. Benzetim çalışma süresini belirleyecek herhangi bir E olayı yoktur. Bu tür benzetim için bir performans ölçüsü, denge durumu parametresi olarak adlandırılır. Eğer bu parametre y, y,.. çıktı stokastik prosesinin bir karakteristiği ise denge durumu parametresinden söz edilir. Durum: y rassal değişkeni denge durumu dağılımına sahip ise benzetim ile ν=e( y) denge durumu ortalamasının tahmini ile ilgilenir. Birçok gerçek sistem için stokastik proses, denge durumu dağılımına sahip değildir. Çünkü sistemin karakteristikleri zaman içinde devamlı olarak değişir. Örneğin bir üretim sisteminde üretim çizelgeleme kuraları ve fabrika yerleşimi (yani makinelerin sayısı ve yerleşimi) zamanla değişebilir. Diğer taraftan gerçeğin bir özeti olan benzetim modeli denge durumu dağılımlarına sahip olabilir. Çünkü modelin karakteristiklerinin zaman içinde değişmediği kabul edilir. Örnek te işletme başlangıçtan normal duruma (yani işçiler işlerini öğrenip, mekanik problemlerin ortadan kalktığı durum ) gelinceye kadar geçen süreyi bilmek isterse benzetim sonlu bir benzetimdir. Çünkü benzetimi bitiren bir E olayı vardır. E={sistem normal duruma gelinceye kadar benzetim} * Bir sistem için benzetim; benzetim çalışmasının amaçlarına bağlı olarak sonlu yada sonsuz olabilir.
Denge durumu dağılımına sahip olmayan bir sonsuz benzetim için y, y,.. stokastik prosesini dikkate alalım. Zaman eksenini eşit uzunlukta çevrim olarak adlandırılan ardışık zaman aralıklarına böldüğümüzü kabul edelim. Örneğin bir üretim sisteminde bir çevrim 8 saatlik bir vardiyanın çalışma zamanı olabilir. y c : i. çevrimde tanımlanan bir rassal değişken olsun. yc, yc.. prosesinin karşılaştırılabilir olduğu kabul edilsin. BİR SİSTEM İÇİN ÇIKTI ANALİZİ A) Bitişli Benzetimler için: Bitişli benzetim modelinin n bağımsız denemesi yapılsın. Her denemede aynı başlangıcın koşulu kullanılmakta ve denemeler arasındaki bağımsızlık farklı başlangıç değerleri kullanılarak sağlanmaktadır. Benzetim çalışmasında bir performans ölçüsü (X) ile ilgilenildiği kabul edilsin..durum: y c, yc.. prosesinin bir denge durumu dağılımına Fc sahip olduğunu kabul edelim. c c y F Bu durumda performans ölçüsü, denge durumu çevirim parametresi olarak adlandırılır. c ( ) ν c =E y Bir denge durumu çevrim parametresi, y c, yc çevrim parametresinin bir denge durumu parametresidir. ÖRNEK : Örnek deki üretim sisteminde her iki vardiyanın. saatinin başlangıcında yarım saatlik yemek arası olduğunu kabul edelim bu durumda saatlik çıktı prosesi N, N,. Denge durumu dağılımına sahip değildir. N c : i. 8 saatlik vardiyadaki ortalama saatlik çıktı olsun. Bu durumda bir çevrim üzerinden denge durumu beklenen ortalama saatlik çıktının tahmini ile ilgilenebiliriz.. Durum: Sonsuz benzetim için y, y,.. stokastik prosesinin denge durumu dağılımına sahip olmadığını kabul edelim. Aynı zamanda uygun bir çevrim tanımlaması olmasın. Yani y c, yc prosesin bir denge durumu dağılımına sahip olduğu bir çevrim tanımlaması olmasın. ÖRNEK: M/M/ kuyruk sisteminin benzetimi ile bir gün içinde bir müşterinin beklenen ortalama beklemesi için nokta tahmini ve % 9 güvenlik düzeyinde güven aralığını elde edelim. Tekrarlama Kuyrukta Ort. Bekleme.....9 7.9 8.8 9.7. Bu durum, modelin parametrelerinin zaman içinde değiştiğinde söz konusudur. Örneğin bir telefon şirketinde telefon açışlarının varış oranı haftadan haftaya yıldan yıla değişiyorsa denge durumu parametreleri tanımlanamayacaktır. Bu durumda girdi parametrelerinin zaman içinde nasıl değiştiğini tanımlayan bir veri mevcut olacaktır. Bu durumda ise benzetimi bitirecek bir E olayı vardır ve sonlu benzetim için kullanılan analiz teknikleri bu tür sistemlerin benzetim çıktılarının analizinde kullanılabilir.
ÖRNEK: Stok sistemleri için aylık planlanan aralıkta beklenen ortalama maliyet için nokta tahminini ve % 9 güvenlik düzeyinde güven aralığı oluşturmak isteniyor bunun bağımsız tekrarlama yapılmış ve aşağıdaki maliyetler elde edilmiştir. Bu durumda yaklaşık α olasılığı ile x en fazla β kadar mutlak hataya sahip olacaktır. Yani, GA istenilen hassasiyete sahip olacaktır. İstenilen hassasiyete sahip GA nı oluşturmak için gerekli toplam deneme sayısı (n*) aşağıdaki eşitsizlik kullanılarak elde edilir. Tekrarlama 7 8 9 Ortalama maliyet 9. 7.... 8.9.7 9.77..7 BELİRLİ BİR HASSASLIĞIN ELDE EDİLMESİ n tekrarlamaya dayalı bu metodun bir dezavantajı analizcinin güven aralığının yarı uzunluğunu (yada X (n) in hassaslığını) kontrol edememesidir. s Sabit n değeri için yarı uzunluk ( t, n α ), lerin varyansına V(X) e bağlı n x j olacaktır. İstenilen yarı uzunluğa sahip güven aralığının belirlenmesinde yol vardır. - Mutlak hassasiyet: x µ =β ise, x nın mutlak hassasiyetin β kadar olduğu söylenebilir. ÖRNEK A) M/M/ kuyruk sisteminin benzetiminin benzetimi yapılarak kuyrukta ortalama bekleme zamanı tahmin edilmek isteniyor. Bu nedenle n= deneme yapılarak aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. s x =.8, =. S =. (n) %9 G.D.;..8 m.77.8. [ m ] Kuyrukta ortalama bekleme zamanı için oluşturulan G.A. nın hassasiyetinin ( β ) olması isteniyor. Bunu sağlamak için gerekli deneme sayısını bulunuz. ( α=.) α güven düzeyinde güven aralığının yarı uzunluğunun küçük oluncaya kadar tekrarlama yapılırsa; α P( x yarı uzunluk µ x + yarı uzunluk) = P( x µ yarı uzunluk) P( x µ β) β eşit yada daha Z α S Z...9*. n* n* n* n*. n* = β n* n 9 = = deneme daha yapılırsa ilgilenilen performans ölçüsü için istenilen hassasiyet GA elde edilir.
x µ. Göreli Hassasiyet : =γ ise; x nın göreli hatasının kadar olduğu söylenebilir. µ G.A. nın yarı uzunluğunun x ya bölünmesi ile elde edilen değerin γ ya eşit yada daha küçük kadar tekrarlama yapıldığı kabul edilsin. x µ yarı uzunluk α P x x x µ P γ x n deneme sayısına bağlı olarak µ için güven aralığı oluşturulsun. Deneme sayısı artarken yığın ortalaması ve yığın varyanslarının değişmediği kabulü altında γ göreli hata için gerekli deneme sayısı n* ; Başlangıç Koşullarının Seçimi Sonlu benzetimde performans ölçüleri başlangıç anındaki sistemin durumuna bağlıdır. Bu nedenle, uygun başlangıç koşullarının seçilmesi gerekir. Örneğin saat : ve : arasında bankaya gelen müşterilerin kuyrukta ortalama bekleme süresi tahmin edilmek istensin. Bu saatlerde banka genellikle kalabalık olur. Benzetime hiçbir müşterinin bulunmadığı koşulu altında başlamak kuyrukta ortalama bekleme süresinin tahmininin yanlı olmasına neden olur. Bu yanlılığı ortadan kaldırmak için yaklaşım vardır..yaklaşım: bankada saat 9: hiçbir müşterinin bulunmadığı koşulu altında benzetime başlanır.ve saatlik benzetim yapılır istenilen performans ölçüsünün tahmini ise son saatlik gözlemler dikkate alınarak yapılır. 9: ile : arasındaki benzetim öğle saatlerindeki benzetim için uygun koşulları belirler. Bu yaklaşımın dezavantajı ilk saatlik benzetimin gözlemleri tahmin için kullanılmadığı için bilgisayar zamanının kaybına sebep olmasıdır. n* > n ise n*-n adet ek deneme yapılır. ÖRNEK b) örnek a da verilen benzetim çalışmasında göreli hassasiyetin. olması için gerekli deneme sayısını bulunuz. s x (n) =.8, =. S =. dk..yaklaşım: çeşitli günlerde banka öğle saatlerinde gözlemlenerek müşteri sayıları ile ilgili veri toplanır. Öğle saatlerinde i. müşterini bulunması ile ilgili olasılık dağılımı elde edilir. ˆP i dağılımından rassal olarak seçilen müşteri sayısının saat : bulunduğu varsayımı altında saatlik benzetim gerçekleştirilir. Z α S.9*. n* n* n* 9.7 n* = x β.8*. Bir saatlik süre için birden fazla tekrarlama yapılacaksa, ˆP i den farklı örnekler seçileceğinden dolayı x j ler bağımsız özdeş dağılıma sahip olacaklardır. Çünkü her tekrarlama için başlangıç koşulları aynı dağılımdan bağımsız olarak seçilmektedir. n*-n = - = ek deneme yapılırsa istenilen göreli hassasiyete sahip G.A elde edilir
b) DENGE DURUMU PARAMETRELERİ İÇİN (Bitişli Olmayan Sistemler için) İSTATİSTİKSEL ANALİZ y, y,..; Sonsuz benzetimin bir kez çalıştırılması sonucu elde edilen çıktı stokastik prosesi olsun. P( yi y) = F i(y) F(y) = P( y y) i y: Dağılım fonksiyonu F in ilgilenilen denge durumu rassal değişkenidir. Amaç denge durumu parametresi φ tahmin etmek. φ nın tahmininde bir zorluk; i=,, için y i nin dağılım fonksiyonu F den farklı olmasıdır. Bunun nedeni denge durumu tavrı nın bir göstergesi olan başlangıç koşulunun seçiminin genellikle mümkün olmamasıdır. Bu durumda elde edilen performans ölçüsünün tahmini denge durumu parametresinin yanlı bir tahminidir. m yi y i (m) = = m ν= E(y)'nin yanlı tah min cisi Bu problem; başlangıç yanlılık problemi yada başlama problemi olarak adlandırılır. Başlangıç Yanlılığı Problemi Başlangıç Periyodunu (TB) Tahmin Etmek için Metotlar Denge durumu ortalaması ν=e(y) tahmin etmek istediğimizi kabul edelim. ν= lim E(y) i Başlangıç yanlılığı probleminin en önemli sonucu; E y (m) ν herhangi m değeri için. Başlangıç periyodunu tahmin etmek için literatürde çeşitli metotlar vardır. Bunlar;. Hareketli Ortalamalar Metodu. Korelogram Metodu. Küme Metodu. Welch Yaklaşımı Başlangıç Yanlılığının Etkisini Azaltmak İçin Metotlar; Benzetime denge durumu koşulunu gösteren bir koşul ile başlamak Benzetim modelini başlangıç yanlılığının etkisini ortadan kaldıracak kadar uzun çalıştırmak Başlangıç periyodunu tahmin etmek ve periyotta kaydedilen gözlemleri sildikten sonra denge durumu parametresini tahmin etmek. Hareketli Ortalamalar Metodu: n y i y(n) = i= n n = y() = y y+ y n = y() = y+ y + y n = y() = y+ y +... + ym n = m y(m) = m Kümülâtif ortalamanın grafiği çizilerek benzetimin dengeye girdiği TB noktası belirlenir.
Denge Durumu Parametresini Tahmin Etmek için Kullanılan Metotlar y, y,.. prosesi için denge durumu ortalaması tahmin etmek isteyelim. Literatürde metot vardır.. Tekrarlama / Silme Metodu (Replication/Deletion). Küme Ortalamaları Metodu. Regenerative Metod. Otoregressive Metod. Standartlaştırılmış zaman serileri metodu. Tekrarlama / Silme Metodu Sonlu benzetim çıktı analizinde kullanılan tekrarlama metodu ile aynıdır. Tek farklılık her tekrarlamada başlangıçyanlılığını ortadan kaldırmak için l gözlemin l silinmesidir. gözlemden sonraki gözlemler ortalamanın tahmin edilmesinde kullanılır. - Bir benzetim modelinin uzunluğu (m) kullanıcı tarafından belirlenir.(denge durumu tavrının hassas tahminlerini elde edecek uzunlukta olmalıdır) - Gerekli tekrarlama sayısı ise mutlak hassasiyet veya göreli hassasiyet yaklaşımı kullanılarak belirlenir. ÖRNEK: Varış oranı saatte müşteri ve ortalama servis zamanın.8 saat olduğu M/M/ kuyruk sisteminin benzetiminin yapılarak denge durumunda sistemdeki ortalama müşteri sayısının tahmin edilmek istendiğini kabul edelim. Sistemin benzetimi saat için yapılmaktadır. d =, µ= = =. E(S).8 d ρ= = =.8 µ. λ L= = = Müşteri / saat µ λ. Bu sistemin denge durumu benzetimi için öncelikle başlangıç periyodunun tahmin edilmesi gerekir. Yapılan çalışma sonucunda başlangıç periyodu ilk saat olarak belirlenmiştir. Tekrarlama / Silme metodu kullanılarak tekrarlama yapılmıştır. Her tekrarlamada saat için benzetim yapılarak ilk saatteki gözlemler başlangıç yanlılığını ortadan kaldırmak için dikkate alınmıştır. 7
j 7 8 9 7 8 9 Sistem Müş Sayısı 7 9 ÖRNEK: performans ölçüsü için güven aralıkları oluşturulacaktır. Tüm sistem güvenilirliğinin % 9 olması için her bir güven aralığı için hata oranı nedir? x(n) =.8 S (n) = (.7) % 9 güvenlik düzeyin de g üven aralığı S (n) G.A. = x(n) m t n, α n = [.8 m(.)(.) ] = [.8 m.9] = [.,.] k α s =.9 α +α +α +α =. s= α =α =α =α olduğu için α E =. α E =. Her bir güven aralığı %97. güvenlik düzeyinde oluşturulmalıdır. müşteriden sonra, sistemdeki müşterilerin ortalama denge durumda sistemde beklenen müşteri sayısına yakın olduğu görülmektedir. Birden Fazla Performans Ölçüsü Şimdiye kadar anlatılan metotlarda bir performans ölçüsünün tahmini için güven aralığı oluşturulmaktadır. Ancak gerçek hayatta benzetim ile aynı anda birden fazla performans ölçüsü ile ilgilenilir. Benzetim Modeli x y S Kuyruktaki ortalama bekleme zamanı GA = x m t n, α n Servis doluluk oranı S GA = y m t n, α n 8