Dr. Mehmet AKSARAYLI

Transkript

1 Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli Şans Sürekli Şans Bl. 4 Değişkenleri Değişkenleri Bl. 5 Dr. Mehmet AKSARAYLI Kesikli Şans Değişkenleri. Sayısal bir değerle ifade edilen bir olay para atımındaki tura sayısı 0, yada tura gözlenmesi. Kesikli şans değişkeni ; Tam sayılar: (0,,, 3 vb.) Sayarak elde edilmiş sayılar Kesikli Şans Değişkeni Örnekleri Deney Şans Değişkeni Mümkün Değerler 00 Satış araması yapmak Satış sayısı 0,,,..., radyoyu muayene etmek Kusurlu sayısı 0,,,..., soruya cevap vermek Doğru sayısı 0,,,..., 33 :00 ile 3:00 arasında gişedeki araba sayısı Gelen araba sayısı 0,,,..., 3 4 Kesikli Olasılık Dağılımı Tüm mümkün [ i, p( i ) ] çiftlerini içerir. i = Şans değişkeninin değeri (çıktı) p( i ) = Değerlerle ilgili olasılıklar x, D x tanım aralığına sahip kesikli bir şans değişkeni olsun. p(x) in x e ait bir olasılık fonksiyonu olabilmesi için; Her x için p(x) 0 ve p(x) = olmalıdır. Kesikli olasılık dağılımı örneği: Olay: parayı atıp turaları sayıyoruz. Olasılık Dağılımı Değerler, i Olasılıklar, p( i ) 0 /4 = 05 /4 = 0.50 /4 =

2 Kesikli Olasılık Dağılımlarının Görselleştirilmesi Kesikli Rassal Değişkenin Ortalaması ve Standart Sapması Listeleme { (0, 05), (, 0.50), (, 05) } Tablo # Tura Fr. p(i) x in beklenen değeri = = E(x) = x in varyansı = D x x. p( x) E( ) E( ) V(x) = E[ ( i ( i f( i ) = p() Grafik 0 Denklem n! p x) p ( p) x!( n x)! x n x 7 8 Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının dağılımının aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir ) 0,0 0,08 0,5 0,9 0,4 0,7 0,0 0,04 0,0 Bu dağılışa göre bayinin; a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz = 6) + P ( = 7 ) + P ( = 8 ) = 0,5 b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız. E() = x x i ) = (0)(0,0)+()(0,08)+()(0,5)+.+(8)(0,0) =3,7 Bayinin 00 günde 37 araba satışı yapması beklenir. c) Satışların varyansını bulunuz. E( ) = x x =(0 )(0,0)+( )(0,08)+.+ (8 i ) )(0,0) = 6,68 Var()= E( ) - [E()] = 6,68 - (3,7) =,84 9 Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Üniform Dağılımı Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Geometrik Dağılım Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı 0 = x ) : =x olması olasılığı n : örnek hacmi p : başarı olasılığı x : örnekteki başarı sayısı ( = 0, ) E() = p V() = p. q Bernoulli Deneyleri Sonuçlar iki kategoride toplanabilir. Aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliği vardır. Başarı olayı deneyden deneye değişmez. Bernoulli Dağılımı Tek bir Bernoulli deneyinin sonucunu ele alır. Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: P ( x) p( p) x x Binom Dağılımı n deneme (gözlem) lik bir örnekteki başarı sayısı (n adet Bernoulli denemesi) 5 birimden oluşan bir gruptaki kusurlu sayısı 33 soruluk bir sınavdaki doğru cevap sayısı Dükkana giren 00 müşteriden alışveriş yapanların sayısı

3 Binom Dağılımının Özellikleri Binom Dağılımının Olasılık Fonksiyonu İki farklı örnekleme metodu Sonsuz populasyonda yerine koymadan örnekleme Sonlu populasyonda yerine koyarak örnekleme n adet benzer deneme Her denemenin çıktısı var Başarı (İstenen çıktı) or Başarısızlık Sabit deneme olasılığı Denemeler birbirinden bağımsız n! P x np x n x p x (, ) (!( )! p ) = x n,p) : =x olması olasılığı n : örnek hacmi p : başarı olasılığı x : örnekteki başarı sayısı ( = 0,,,..., n) nx 3 4 Binom Olasılık Dağılımı Örneği Binom Dağılımının Karakteristikleri Olay: Bir parayı ardarda 4 kez atalım. Yazıların sayısıyla ilgilenelim. 3 yazı gelme olasılığı nedir? n! P x np x n x p x (, ) (!( )! p ) 4! P ( 3 4,. 5)!( )!. ( ) 5 5 nx 3 43 Aritmetik Ortalama E ( ) np Standart Sapma np ( p) ) ) 6 n = 5 p = n = 5 p = Başarı Olasılığı ve Binom Dağılımının Biçimi N adetlik bir denemede; Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 sının hatalı olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen, a) tanesinin hatalı olmasının olasılığını, b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız.. Eğer p=0.50 ise binom dağılımı simetrik. Eğer p<0.50 ise binom dağılımı sağa çarpık 3. Eğer p>0.50 ise binom dağılımı sola çarpık 7 p = 0,06 - p = 0,94 n = 5 a)p (=)=? b)p ( 4)=? 4)= =4)+=5) ). (0,06).(0,94) 0,3 4.(0,06).(0,94) 5 5.(0,06).(0,94)

4 Poisson Dağılımı Poisson Süreci. Bir zaman aralığında oluşan olayların sayısıyla ilgilenir. Birim başına olay Zaman, uzunluk, alan,vb.. Örneğin; 0 dakikada gelen müşteri sayısı Bir yıl içindeki uçak kazalarının sayısı Bir metrekare kumaştaki hata sayısı.. 3. Sabit Olay Olasılığı Her aralıkta olay Bağımsız olaylar 9 0 Poisson Olasılık Dağılım Fonksiyonu Poisson Dağılımının Karakteristikleri P ( x ) e - x! = x ) : = x olma olasılığı = Beklenen başarı sayısı e =.788 x = Birim başına başarı sayısı x Aritmetik Ortalama E ( ) N i ) Standart Sapma i i ) ) = = Poisson Dağılımı Örneği Bir dükkana saatte 7 müşteri gelmektedir. 3 dakika içinde 4 müşteri gelme olasılığı nedir? Saatte 7 müşteri = dakikada müşteri = 3 dakikada 3 müş. - e P ( x ) x! e P ( 436. ) x ! 4 BİNOM Dağılımın POİSSON Dağılıma Yaklaşımı, Binom dağılıma sahip bir şans değşikeni olsun. Deney sayısı n çok büyük ve ilgilenilen sonuçların anakütledeki oranının çok küçük olduğu durumlarda, (yani n ve p0 iken), n.p= sabit bir sayı olmak üzere Binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır. n ne kadar büyük, ve p ne kadar küçük olursa bu yaklaşım o kadar iyi olur. =

5 ÖRNEK:Türkiye de maden ocaklarında oluşan kazalar sonucunda her yıl ortalama olarak 000 maden işçisinden bir tanesi hayatını kaybetmektedir. 000 maden işçisinin çalıştığı bir maden ocağında bir yıl içinde a) Hiçbir işçinin hayatını kaybetmemesi, b) 3 işçinin hayatın kaybetmesi, c) den fazla işçinin hayatın kaybetmesi olasılıklarını bulunuz. ÇÖZÜM: n=000, p=00 olduğundan, =n.p=000x00= alarak Poisson dağılımıyla çözüm yapabiliriz. x 0 e e a) 0) 0.35 x! 0! 3 e b) 3) 0.8 3! c) ) ) 0) ) ) e 0.35! e ! 5 Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4 müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya, a) 5dakikaiçindemüşteri gelmesi olasılığını, b)yarım saate den fazla müşteri gelmesi olasılığını, 4 e 4 4 a) 4 x=)=? e 4 4 0! 0 e 4! 4 ) e 4 ÖDEV: saatte en çok müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız. 6 4!! 4e b) 5 dk da 4 müşteri gelirse, 30 dk da 4 müşteri gelir. 4 P ( x > ) =? x > ) = [x=0)+x=)+x=)] 33e 4 SORU) Bir hastanenin çocuk servisine saatte ortalama 30 hasta gelmektedir. a) Herhangi 0 dakikalık sürede; hiç hasta gelmeme, b) Herhangi 0 dakikalık sürede; den fazla hasta gelme, c) Herhangi yarım saatlik sürede 5 ten az hasta gelme olasılıklarını bulunuz. SORU) Bir fabrikada depolanan ürünlerin yüzde birinin bozuk olduğu bilinmektedir. Bu fabrikadan rassal olarak seçilen 50 birimden en az bir tanesinin bozuk olması olasılığını Binom ve Poisson dağılımları ile bulunuz. 7 8 SORU: Hilesiz bir tavla zarı atılıyor. Anlaşmaya göre A, babasından her atışta kaç gelirse o kadar bin lira alacaktır. Atış başına A nın beklediği para nedir? SORU: B üç ayrı piyangodan birer adet bilet almıştır. Bu piyangoların birincisinde 000 biletten 50 sine, ikincisinde 000 biletten 40 ına, üçüncüsünde ise 500 biletten 5 ine ikramiye vardır. Birinci piyangoda kazananlardan her biri 00 milyon, ikincisinde 50 milyon ve üçüncüsünde 00 milyon $ elde edecektir. B nin beklenen ikramiye tutarı nedir?

6 SORU: Bir işadamının yenibirişletmeden milyar lira kaybetmesi olasılığı p(x )=0,5 ve 5 milyar lira kazanması olasılığı p(x )=0,55 dir. Bu iş adamının kazancı nedir? SORU: Ali hilesiz bir madeni parayı iki defa atıyor. Her iki atışta da yazı gelirse arkadaşından 50 bin lira alacaktır. Diğer durumlarda ise 0 bin lira verecektir. Ali nin kazancı ne olur? 3 3 SORU: Bir para 4 kez atılıyor, a) İki tura, b) En az bir tura, c) Üçten az tura gelmesi olasılığı nedir? SORU: Bir futbol takımının yaptığı maçlarda kazanma olasılığının /3 olduğu biliniyor. Bu takımın yaptığı 8 maçtan, a) Beşini, b) Birden fazla fakat dört veya daha azını kazanması olasılığı nedir? SORU: İki tavla zarının 6defaatılmasında 9toplamının, a) Dört defa, b) En az üç defa elde edilmesi olasılığı nedir? SORU: Bir işletmede üretilen ampullerin %6 sının kusurluolduğu bilinmektedir. Buna göre, rassal olarak seçilen 5 ampulden, a) İki tanesinin kusurlu, b) Tamamının kusursuz, c) En az iki tanesinin kusurlu olması olasılıkları nedir?

7 Aşağıdaki soruları tabloya göre cevaplayınız. Eski verilerden yararlanılarak bir cep telefonunun yaptığı arıza sayıları verilmiştir. () Haftalık Arıza 0 3 Olasılık x) 0,5 0,30 0,0 0,35 Soru: Dağılıma göre haftada kesinlikle iki arıza olma olasılığı kaçtır? A) 0,0 B) 0,5 C) 0,30 D) 0,45 E) 0,65 Soru: Dağılıma göre haftada sıfır ile iki arasında arıza olma olasılığı 0- arıza) kaçtır? A) 0,5 B) 0,0 C) 0,35 D) 0,65 E) 0,30 Soru: Dağılıma göre haftada birden çok arıza olma olasılığı kaçtır? A) 0,35 B) 0,75 C) 0,45 D) 0,0 E) 0,30 Soru: Dağılıma göre haftada en çok iki arıza yapma olasılığı kaçtır? A) 0,5 B) 0,55 C) 0,65 D) 0,40 E) 0,0 Soru:Dayanıklı tüketim malı satan bir mağazanın son 00 iş günündeki günlük satışları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Satış sayıları Gün sayıları Yukarıdaki tabloya göre x günlük satışı göstermek üzere, x<4) olasılığı kaçtır? A) 0,04 B) 0,7 C) 0, D) 0,33 E) 0, Soru: Bir kitapevinin son 00 iş günüdeki günlük kitap satışları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Satış sayıları Gün sayıları Yukarıdaki tabloya göre x günlük satışları göstermek üzere, x>4) olasılığı kaçtır? A) 0, B) 0,8 C) 0,38 D) 0,68 E) 0,