Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi. KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu

Transkript

1 Kuyruk Sistemlerinin Benzetimi KUYRUK & BEKLEME HATTI SİSTEMLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI Genel nüfus Bekleme hattı Sunucu Genel nüfus Kuyruğa giriş ve hizmetlerin yapısı Sistemin kapasitesi Kuyruk disiplini KUYRUK; Hizmet için gelen müşteri istemlerinin anında karşılanamamasıdır. Böylece kuyruk, sınırlı bir hizmet nedeniyle geciken bir bekleme dizisi (hattı) durumudur. Hizmet için gelen müşterilerin zamanlarını boşa harcamalarının bir söz konusudur. Müşteriler gereğinden fazla beklediğinde,büyük bir olasılıkla,işletme müşterilerinin bir çoğunu kaybedecektir. Yönetici servis maliyetlerinin düşük olmasını isterken servisin niteliğini yükselmeyi ve de müşterilerin bekleme zamanını da en düşük düzeyde tutmayı amaçlamalıdır.. Kuyruk modelinde iki maliyet vardır. Müşterilerin servis için bekledikleri zaman kaybının dir. Buna bekleme zamanı adı verilir. İkincisi ise servis sağlama dir. 1)Bekleme Zamanı Maliyeti:Müşterilerin servis için bekledikleri zaman kaybının dir. 2)Müşteri Servisini Sağlama Maliyeti Bekleme zamanı Servis sağlama Şekil-1 Şekil-2 1

2 BEKLEME HATTI İLE İLGİLİ TERİMLER VE MALİYETLER Toplam beklenen servis işletim Toplam beklenen maliyet K Şekil-3 Servis sağlama Bekleme zamanı Servis sağlamanın toplam işletim Şekil-3 de görüldüğü gibi toplam servis işletim ni en düşük yapan servis düzeyi K noktasıdır. Müşteriler: İşlerinin görülmesi için servis sistemine gelen,araçlar,kişiler,gereçler,hammadde ve makinelerdir. Geliş özellikleri: Çeşitli özellikler gösterebilir.müşterilerin gelişleri bazen kontrol edilebilir bazen de kontrol edilemez.gelişler belirli bir zamanda tek kişi veya gruplar halinde olabilir.müşterilerin gelişlerinin olasılık dağılımı türlü biçimde olabilir.gelişleri açıklamak için yaygınca kullanılan dağılımlar,sabit DAĞILIM,ÜSTEL DAĞILIM,POİSSON DAĞILIMI VE ERLANG DAĞILIMI dır. Kuyruk Disiplini: Müşterilerin hizmet için seçilme düzenine kuyruk disiplini denir.kuyruk disiplininde kullanılan standart kural,ilk gelen ilk hizmet görür kuralıdır.bunun yanında rezervasyon yaptıranlar(önce sıra alanlar) kuralı,hizmetin ivedilik özelliği kuralı,son gelen servis görür kuralı,en kısa servis zamanı gerektiren işler için gelenler servis görür kuralları da kuyruk disiplininde kullanılır. Servis Olanaklarının Yapısı: Genellikle servis olanaklarının düzenlenmesinde tek kanallı ve çok kanallı şekilde bir ayrım düşünülür. Servis Oranı: Gelen müşterilerin istemlerinin karşılamak için istenen servis süresi dağılımı ile ilgilidir.gelen müşterilerin her biri aynı süreyi gerektirirse servis oranı üniform olabilir.karmaşık olan servis oranları ise Erlang veya üstel olasılık dağılımları ile gösterilir. Girdi Parametreleri Müşterilerin geliş hızı Müşterilerin hizmet talepleri Hizmet sağlayıcıların çalışma hızı Hizmet sağlayıcıların sayısı ve çalışma düzenleri Kuyruk Sistemlerinin Karakteristiği Temel elemanlar: Müşteriler: insanlar, makinalar, kamyonlar, hastalar, paletler, uçaklar, kasalar, siparişler, çamaşırlar, (bir tesise gelip hizmete gerek duyan her şey) Hizmet sağlayıcılar: resepsiyonist, tamirci, depo görevlisi, tıbbi personel, forklift, uçak pisti, bilgisayarın CPU su, çamaşır makinası, (istenen hizmeti sağlayabilecek herhangi bir kaynak) Bir Kuyruğun Tanımlanması Kuyruk Notasyonu Kaynak: Sonlu / Sonsuz Sistem kapasitesi: Sonlu / Sonsuz Geliş süreci: Rassal / Sabit Hizmet süresi: Rassal / Sabit Hizmet sağlayıcı sayısı Kuyruk disiplini: FIFO / LIFO / SIRO / SPT / PR A/B/C sıralı üçlüsü ile yapılan gösterimde birinci kod geliş dağılımını, ikinci kod servis süresi dağılımını üçüncü kod ise paralel servis kanalları sayısını vermektedir. Kendall'ın gösteriminde kullandığı simgeler şunlardır: M : Üstel dağılmış gelişler arası veya servis süresi, D : Düzgün dağılmış gelişler arası veya servis süresi, En: n. inci dereceden Erlang dağılmış gelişlerarası veya servis süresi, GI: Genel dağılmış gelişler arası süre, G : Genel dağılmış servis süresi. Örneğin M/M/2 gösterimi gelişler arası sürenin ve servis süresinin üstel dağıldığı ve 2 müşterinin aynı anda servise alınabildiği kuyruk sistemini ifade etmektedir. 2

3 Kuyruk Notasyonu KUYRUK SİSTEMLERİ M/M/1// : Tek hizmet sağlayıcılı, sonsuz kuyruk kapasiteli, sonsuz sayıda potansiyel müşteriye sahip bir sistem. Gelişler arası süre ve hizmet süresi, üstel dağılıma uyar. Kısaca: M/M/1 Sıra Bekleme Sistemlerinde Yapılan Çalışmaların Amaçları Servis birimlerinin aylak (boş) olma olasılığı veya yüzdesi, Sistemde belirli sayıda birim (müşteri) bulunma olasılığı, Sistemdeki ortalama birim sayısı, Her birimin sistemde harcadığı ortalama süre (servis süresi + bekleme süresi), Ortalama kuyruk uzunluğu, Her birimin kuyrukta harcadığı ortalama süre, Gelen bir birimin servise girmeden önce bekleme olasılığı. Yukarıdaki işletim özellikleri, servis maliyetleri, kuyrukta bekleme maliyetleri, sıra bekleme sistemlerinin sınırları ile birlikte ele alındığında servis maliyetleri ve servis düzeyleri arasındaki eniyi dengeyi sağlayacak sistemin oluşturulması temel amaç olmaktadır. 3

4 servis sistemlerinde ilgilenilen özellikler genel olarak şu şekilde sıralanabilir: Hizmet sağlayıcıların doluluk oranı (bir hizmet sunucunun meşgul olduğu zamanın oranı) - Kullanım oranı (utilization). Bekleme hatlarının uzunluğu Müşterilerin bekleme süresianalizciden beklenen: Hizmet sunucuların doluluk oranı ile kuyruk uzunluğu ve bekleme süreleriyle ters orantılı müşteri memnuniyeti arasında denge kurmak Müşteri geliş hızı (geliş debisi). Servis hızı (servis debisi). Ortalama kuyruk uzunluğu. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı. Ortalama kuyrukta bekleme süresi. Sistemde geçen süre vb. Tablo-1: Banka veznesinin öğeler, öznitelikler ve eylemleri Öğeler Öznitelikler Eylemler Müşteriler İşlem Geliş hızı Para yatırma Para çekme ATM İşlem hızı Sayma-Kayıt-Ödeme Kuyruk (Bekleme hattı) Ortalama uzunluğu Ortalama bekleme süresi KUYRUK MODELİNDE GELİŞ VE SERVİS YAPISINI AÇIKLAMADA KULLANILAN DAĞILIMLAR Müşterilerin kuyruk sistemine gelişlerinin genellikle tesadüfi olduğu kabul edilir ve gelişler ile gelişler arasındaki süreyi açıklamada olasılık dağılımlarından daha çok daha çok üstel, Poisson, Erlang ve sabit dağılımlar kullanılır. Eğer müşteriye verilen servis zamanı üstel dağılım ise servisin tamamlanma sayısı Poisson dağılımıdır. Öte yandan servis çok sayıda ayrı işleri(k),bir dizi içinde yerine getirir ve gelen işler bir tamsayı özelliğini gösterirse bu durumda Erlang dağılımı kullanılır.erlang dağımının üstel dağılımdan daha küçük bir varyansı vardır. Müşterilerin kuyruk sistemine geliş süreçleri,geliş oranları ve gelişler arasındaki süre bulunarak açıklanır. Geliş oranı(λ)zaman birimi başına müşterilerin kuyruk sistemine geliş sayısıdır. Servis oranı( μ ),zaman birimi başına servis sayısıdır. Ortalama gelişler arası süre(u)= 1/ λ,(λ =Ortalama geliş oranı). Eğer müşterilerin geliş sayıları(ortalama geliş oranı )Poisson dağılımda ise gelişler arasındaki süre(u= 1/ λ )üstel dağılımdır. Kuyruk modeli yöneticiye aşağıdaki önemli sonuçları da verir ; Geliş oranı (λ) ; zaman birimi başına müşterilerin kuyruk sistemine geliş sayısıdır. Servis oranı (µ) ; zaman birimi başına servis sayısıdır. Sistemdeki müşteri sayılarını olasılık dağılımı. Bu olasılık dağılımı ele alınacak diğer sonuçların elde edilmesinde temel olmaktadır. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı (L) : Servis görmekte ve kuyrukta bekleyen müşteri sayısıdır. Bu sayı sistemde müşterinin harcadığı ortalama zamanı bulmadı yararlı olur. Sistemde müşterinin harcadığı ortalama süre (W) : Müşterini kuyruk sisteminde harcadığı yani kuyruktaki bekleme süresi ile serviste harcadığı süre toplamıdır. Ortalama kuyruk uzunluğu (Lq) : Servis görmek üzere beklemekte olan müşteri sayısıdır. Müşterilerin kuyrukta bekleme süresi (Wq) : Müşterilerin kuyrukta bekleyerek harcadığı süredir. Sistem kullanım faktörü (ρ) : Sistemin meşgul olma olasılığını yani bir anlamda, hizmet veren kişi veya sistemin müşteriye harcadığı zaman oranıdır. ÖRNEK ; Bir mağazada saatte ortalama 12 müşteri kasaya ödeme için gelmektedir. Ödeme kişi başına ortalama 4 dakikalık zaman almaktadır. Buna göre aşağıdaki soruları yanıtlamaya çalışalım. a. Herhangi bir t zamanda kasiyerin aylak kalma olasılığı, b. herhangi bir t zamanda kuyruk oluşma olasılığı, c. herhangi bir t zamanda sistemdeki ortalama müşteri sayısı, d. kuyruktaki ortalama müşteri sayısı, e. müşterilerin ortalama bekleme süresi, f. sistemdeki müşterilerin harcadığı ortalama süre. 4

5 ÇÖZÜM ; µ=60/4=15 λ=12 Herhangi bir t zamanda kasiyerin aylak kalma olasılığı %20 dir. herhangi bir t zamanda kuyruk oluşma olasılığı P(n>1)=0,64 tür. herhangi bir t zamanda sistemdeki ortalama müşteri sayısı 4 tür. kuyruktaki ortalama müşteri sayısı 3,2 dir. müşterilerin ortalama bekleme süresi 0,2 saat 16 dakika 960 saniyedir. sistemdeki müşterilerin harcadığı ortalama süre 0,333 saat veya 20 dakika veya saniyedir. ÇÖZÜM; λ=192/8=24 geliş/saat µ=60/3=12 servis/saat c=3 ÖRNEK ; Çarşı postanesinde 3 servis penceresi bulunmakta ve 8 saatlik çalışma gününde müşterilerin postaneye ortalama geliş oranı 192 kişidir. Müşterilerin gelişleri Poisson dağılımlı fakat ortalama servis süresi üstel dağılımlı olup 5 dakikadır. Buna göre ; a. Postanede hiç müşteri bulunmama olasılığını b. Müşterilerin hizmeti bekleme olasılığını c. Postanede servis bekleyen ortalama müşteri sayısını d. Postanede bulunan ortalama müşteri sayısını e. gelen herhangi bir müşterinin ortalama bekleme süresini bulunuz. postanede hiç müşteri bulunmama olasılığı k=0 dır buda 0,1111 dir. k 3 dür buda 0,44 tür Postanede servis bekleyen ortalama müşteri sayısı 0,88 dir. Postanede bulunan ortalama müşteri sayısı 2,88 dir. gelen herhangi bir müşterinin ortalama bekleme süresi 0,03 saat 2,22 dakika 133 saniyedir. Aşağıda simülasyonla oluşturulabilecek tasarım ve yönetim kararları listelenmiştir: -Tasarım kararları- Servis ve bekleme alanlarında öngörülen kapasite ne olmalıdır? Servis sisteminin maximum kapasitesi ne olmalıdır? Servis talebini karşılamak için gerekli ekipman ne olmalıdır? Bir müşteriye verilen hizmet ne kadar zaman alır? Müşteriler servis almadan önce ne kadar beklemeliler? Servis ve bekleme noktaları nerelerde olmalı? iş akışı ve müşteri akışı nasıl aerodinamik hale getirilmeli? Bilgi teknolojileri boşa geçen zamanı nasıl etkiler? -yönetim kararları- Personel en iyi biçimde nasıl düzenlenir? Müşterilere randevu verilmesi en iyi biçimde nasıl sağlanır? Taşıma sistemlerinde taşıtlar ve taşıyıcılar en iyi biçimde nasıl düzenlenir? Önemli işler nasıl önceliklendirilmelidir? İhtiyaç duyulan bir kaynak ulaşılamaz olduğunda acil durum noktalarıyla irtibata geçmenin en iyi yolu nedir? 5