FİZ304 İSTATİSTİK FİZİK Klasik Yaklaşımda Kanonik Dağılım I Prof.Dr. Orhan ÇAKIR Ankara Üniversitesi, Fizik Bölümü 2017
Klasik Yaklaşım Klasik kavramlarla yapılan bir istajsjk teorinin hangi koşullar alnnda geçerli bir yaklaşım olduğunu, geçerli bir yaklaşımda istajsjk teorinin klasik kavramlarla nasıl tanımlanacağını inceleyelim. Mutlak sıcaklık yeterince küçük ise klasik yaklaşım geçerli olmaz o kt ΔĒ (sistemin olası enerjilerinin kuantumlu olması anlamlıdır) o kt >> ΔĒ (olasılıklar bir durumdan diğerine çok az değişir) Kuantum mekaniksel özelliklerin önemsiz olduğu yerde klasik yaklaşım geçerli olacaknr. Klasik kavramların anlamlı kullanımı üzerine kuantum mekaniğinin gejrdiği sınırlama Heisenberg belirsizlik ilkesi dir, Δq. Δp > ħ. 2
Klasik Yaklaşım Belli bir sıcaklıkta bir sistemin klasik anlanmı için anlamlı ifade, sistemin s 0 ile tanımlanan bir uzaklıkta konumlanan parçacık ve bunun momentumu p 0 arasındaki bağınn s 0. p 0 >> ħ burada s 0 ve p 0 yeterince büyük ise Heisenberg belirsizlik ilkesi önemini kaybeder ve klasik yaklaşım geçerli olur. Parçacığın boyutu s 0, de Broglie dalgaboyu λ 0 ın 2π ye bölümünden çok büyük olduğunda kuantum etkiler önemsenmeyecekjr. s 0 >> λ 0 Parçacığın olası durumlarını saymak için faz uzayı (q,p) bölgesini δq.δp = h 0 yüzeyli küçük kesikli aralıklara bölünür. 3
Maxwell Hız Dağılımı Tek atomlu molekülün kinejk enerjisi ε = (1/2)mv 2 = p 2 /2m ve molekülün durumu ise x, y, z konum koordinatları ve bunlara karşı gelen p x, p y, p z momentum bileşenleri cinsinden tanımlanır. Bu konum ve momentum değişkenleri, büyüklüğü d 3 r.d 3 p olan faz uzayını tanımlar. Molekülün konumu r ile r+dr aralığında ve momentumu da p ile p+dp aralığında olma olasılığını bulabiliriz: P(r,v) d 3 r d 3 p ~ exp(-β(p 2 /2m)) d 3 r d 3 p Bu ifadeyi momentum yerine hız cinsinden yazabiliriz. Burada tanımlanan f(v)d 3 v v ile v+dv aralığında bir hıza sahip olan belirli cinsten ve birim hacim başına ortalama molekül sayısı 4
Maxwell Hız Dağılımı Gaz içindeki bir molekülün konumu ve hızı üzerinde ayrınnlı bilgi veren ifadeyi yazmak isjyoruz. Bu ideal gazın N molekülü birbiriyle etkileşmeden, bağımsız olarak hareket erklerinden, bir istajsjk moleküller topluluğu oluşturur. Böylece hızları v ile v+dv aralığında olan moleküllerin ortalama sayısı f(v) d 3 v = C exp(-β(mv 2 /2)) d 3 v ile verilir. Bu ifade çıkarılırken P (r,v) olasılığı ve f(v) ortalama sayısı molekülün r konumundan bağımsız alınmışnr, nedeni ise dış kuvvetlerin yokluğunda molekül, uzayda tercihli bir konuma sahip değildir. Hız dağılımındaki C sabij, olası tüm hızlar üzerinden integral alıp birim hacim başına moleküllerin toplam sayısına eşitleyerek bulunur, böylece C = n(βm/2π) 3/2 dir. Maxwell hız dağılımı 5
Molekül Demetleri Bir kap içinde dengede bulunan gazı ele alalım. Kabın yan yüzlerinden biri üzerinde D çapında küçük bir delik açılsın (yeterince küçük olduğunda kap içindeki gazın dengesinin bozulması önemsizdir). Bu durumda delikten kaçan gaz molekülleri kabın içinde dengede bulunan gaz moleküllerini temsil edecekjr. Burada kaçan gaz moleküllerinden toplayıcı yarıklar yardımıyla bir demet oluşturulursa bunlar iki amaç için incelenebilir: (i) kabın içinde dengedeki moleküllerin hız dağılımlarını belirlemek, (ii) temel atomik ve nükleer özellikleri araşnrmak için yalınlmış atom veya molekülleri incelemek Örnek demet deneyleri: elektron spini ve magnejk momenj ölçümü (Stern ve Gerlach), nükleer magnejk momentlerin ölçümü (Rabi vd.), elektromagnejk etkileşmelerin kuantum teorisinin anlaşılmasına yardımcı olan deneyler (Kusch ve Lamb). D boyutu ile ilgili açıklama: D/v - << l/v - veya D << l olmalıdır. 6
Eşbölüşüm Teoremi Kanonik dağılım, koordinat ve momentum sürekli değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak alınır. Bir ortalama değeri integraller yardımıyla hesaplayabiliriz. Sistemin enerjisi genel olarak E = E(q 1,q 2,,q f, p 1,p 2,...,p f ) şeklinde bir fonksiyondur. Burada E = ε i (p i ) + E (q 1,q 2,,q f, p 1,p 2,...,p f ) tanımlanabilir. İncelenen sistem T sıcaklığında bir ısı deposu ile dengede olsun, bu durumda ε i ortalama değeri ne olacaknr? ε i = e βe(q 1,..., p f ) ε i dq 1 e βe(q 1,..., p f ) dq 1 = Burada ε i = b p i 2 aldığımızda, integraller hesaplandıktan sonra ε i - = (1/2)kT elde edilir, kuadrajk terimin ortalaması kt/2 dir. e β (ε i+e ') ε i dq 1 e β (ε i+e ') dq 1 7