ÖZDE OLMAYAN MAK NELERDE ÇOK AMAÇLI B R PROBLEME EVR MSEL YAKLA IM

ÖZDE OLMAYAN MAK NELERDE ÇOK AMAÇLI B R PROBLEME EVR MSEL YAKLA IM Sümeyye SAMUR Marmara Üniversitesi Serol BULKAN Marmara Üniversitesi ÖZET Son y llarda ara t rmac lar tek amaçl problemlerden ziyade çok amaçl problemlere daha çok ilgi göstermektedir. Çünkü; çok amaçl problemlerin tek amaçl olanlara göre gerçekçili i ve uygulanabilirli i daha fazlad r. Bu sebeple; bu alanda yap lan çal malar her geçen gün artmaktad r. Bu çal mada; var olan ço u çal man n tersine, makineler özde de ildir. Üstelik, h zlar her i e göre de farkl l k göstermektedir. ler makinelere çok amaçl bir fonksiyon gözetilerek atanmaktad r. Bu fonksiyon hem a rl kland r lm erken bitirme (earliness) hem de a rl kland r lm geç bitirme (tardiness) kriterlerini içermektedir.çözüm yöntemi olarak genetik algoritma kullan lm ve elde edilen sonuçlar umut verici olmu tur. Anahtar Kelimeler: Çizelgeleme, Çok Amaçl, Erken Bitirme, Geç Bitirme AN EVOLUTIONARY APPROACH TO A MULTIOBJECTIVE PROBLEM IN UNIDENTICAL MACHINES ABSTRACT In the last few years, researchers prefer to study on multiobjective problems rather than single objective problems. This is because multiobjective problems are more realistic and applicable when compared to single objective ones. In this research, on the contrary to most research in scheduling area, machines are not identical. Furthermore, their speeds are also different for each job. Jobs are assigned to machines considering a bicriteria objective, which is the sum of weighted earliness and weighted tardiness. As the solution method, a genetic algorithm is used and the obtained results are inspiring. Keywords: Scheduling, Multiobjective, Earliness, Tardiness 55

S. Samur, S. Bulkan 1. G R Çizelgeleme, üretim ve hizmet endüstrilerinde çok önemli bir karar verme süreci olup matematiksel teknikler ve/veya sezgisel yöntemler kullan larak, i letmenin k t kaynaklar n n gereken görevlere atanmas n sa lar ( ler vd., 2009). Çizelgeleme problemlerinin ço u NP-zor problemlerdir. Bu gibi problemlerde en iyi sonucu polinom zamanda bulmak imkans z oldu undan bir tak m sezgisel yöntemler ve evrimsel yakla mlar kullan lmaktad r. Bu sebeple çizelgeleme problemleri ara t rmac lar n oldukça ilgisini çekmektedir. Bir çizelgeleme problemi amaç probleminin içerdi i kritere göre tek amaçl ya da çok amaçl olabilmektedir. imdiye kadar ço unlukla tek amaçl problemler üzerinde çal lm olmas na kar n; gerçek hayatta çok amaçl olanlarla daha çok kar la lmaktad r. Bu sebeple bu problem tipleri tek amaçl olanlara k yasla daha gerçekçi ve uygulanabilir problemlerdir. Bununla beraber birbirine paralel çal an özde makinelerde çok amaçl bir amaç fonksiyonunun optimum sonucunun bulunmaya çal lmas en çok çal lan problem tiplerinden biridir. lk olarak Emmons erken bitirme ve geç bitirme cezalar n amaç fonksiyonundaki 2 a rl kla ifade etmi tir (Emmons, 1987). Daha sonra Federgruen ve Mosheiov, tamamlanma zaman ndan sapma miktar toplamlar n minimize etmeye çal arak ayn problemi çözmeye çal m t r (Federgruen ve Mosheiov, 1997). Yine Federgruen ve Mosheiov ortak tamamlanma süresinden her i in bitme zaman farklar n n mutlak de erlerini al p, bu toplam minimize etmeyi denemi lerdir (Federgruen ve Mosheiov, 1997). Sun ve Wang, n i in m özde makineye atanmas sonucunda a rl kland r lm sapma miktarlar n n mutlak de erlerinin toplam n minimize etme yoluna gitmi tir (Sun ve Wang, 2003). Bu çal mada imdiye kadar yap lm ço u çal man n aksine özde makineler de il özde olmayan makineler üzerinde çal lm, üstelik her makinenin h z n n da her i e göre de i ti i varsay lm t r. Bölüm 2' de problem hakk nda daha çok bilgi verilmi ve öne sürülen metot detayland r lm t r. Bölüm 3' de test çal malar ve sonuçlar ndan bahsedilerek, son olarak Bölüm 4' de sonuç ve gelecekte yap lmas planlanan çal malara de inilmi tir. 2. PROBLEM VE ÇÖZÜM METODU 2.1. Problem Tan m Verilen bir i i vaadedilen zamanda bitirmek her i letmenin ya da üretim yerinin hedefledi i bir kriterdir. Fakat ideal olan bu olmas na ra men maalesef her i letmeci ya da fabrika sahibi bunu ba aramamakta ve i lerini/üretimini geciktirmektedir ve bu da kendisine belli bir zarar olarak dönmektedir. Örnek vermek gerekirse; Üretim öncesi yap lan anla ma ile her geciken gün üzerine belli bir ceza ödenmesi konusunda üretim firmas zor durumda kalabilir ve al c ya kar belli bir yükümlülük alt na girebilir. Bu anla lmas çok da zor bir durum de ildir. Buna kar l k üretimin vaktinden önce bitirilmesi al c ya verilen sözün tutuldu u anlam na gelse de üretici aç s ndan da yine zarar etmek anlam na gelebilir. Çünkü; üretimi tamamlanm ürünlerin bir depoda tutulmas, güvenli inin sa lanmas, bozulmaya aç k bir ürünse sa l kl bir ekilde korunmas n sa layacak artlar n olu turulmas vb. gibi önlemlerin hepsi birer masraf ve üretici aç s ndan zarar demektir. Dolay s yla; ayn örnek üzerinden gidecek olursak, bir ürünün söz verilen zamandan (due date) sonra tamamlanmas nas l zarar ise, önce tamamlanmas da zarar olabilir ve ço u firma için bu iki kriterin de ayn anda gözetilmesi gerekmektedir. Yine gerçek hayatta üretimi yap lacak ürünün parçalar n n i lenece i makinelerin her biri ayn özelliklerde olamayaca gibi ço u zaman i lenecek parçan n türüne göre farkl h zlar da gösterebilirler. te bu problem özellikle üretim firmalar n n s kl kla yüzle ti i problemlerden biridir. Özellikle yukar da bahsi geçen kriterler de göz önünde bulunduruldu unda çok daha zorlu hale gelmekte ve en iyi sonucu bulmak neredeyse imkans zla maktad r. Bu problem Graham vd.' inin 3 alanl gösterimi ile u ekilde gösterilebilir (Graham vd., 1979) : Rm (EWj*Ej+TWj*Tj). Burada; R m : Özde olmayan ve her i e göre farkl h zlar gösteren paralel makineleri EW j : j i inin erken bitirme a rl n /cezas n (Earliness Weight) E j : j i inin erken bitirme miktar n (Earliness) 56

XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, 23-24 Haziran 2011 ET j : j i inin geç bitirme a rl n /cezas n (Tardiness Weight) T j : j i inin geç bitirme miktar n (Tardiness) göstermektedir. Bir i le ilgili olarak bilinmesi gereken di er parametreler de u ekildedir. Dolay s yla; P j : j i inin i lem süresi (Processing time) D j : j i inin son tarihi (Due date) C j : j i inin tamamlanma zaman (Completion time) E j = max (0, D j - C j ) T j = max (0, C j - D j ) denebilir. 2.2. Metot Bu çal mada yukar daki probleme çözüm olarak genetik algoritma yakla m kullan lm t r. Metotta kullan lan parametre de erleri a a daki gibidir. Jenerasyon say s : 1000 (En çok 1000 jenerasyon takip edilmi tir) Popülasyon büyüklü ü: 100 (Bir popülasyonda en fazla 100 üye vard r) Mutasyon olas l : 0.10 (Bir üyede %10 ihtimalle mutasyon olmaktad r) Durma kriteri: Algoritma 1000 jenerasyon sonunda ya da popülasyondaki en iyi üyede son 200 jenerasyon boyunca bir iyile me görülmez ise durmaktad r. Çaprazlama k sm nda 2 noktal çaprazlama kullan lm ve yeni popülasyon olu turulurken ebeveyn ve çocuk popülasyonlar n n en iyi %25leri al n rken geriye kalan %50l k k s m bu 2 popülasyondan rastgele seçilmi tir. Rassal seçimlerde rulet tekerle i kural kullan lm t r. 3. TEST ÇALI MALARI Test i lemlerini yapmak için metot Java 1.6. da yaz lm ve problem setleri farkl i ve makine say lar için rassal olarak yarat lm t r. say lar olarak 100, 150, 200, 250; makine say lar olarak 5,10,15 kullan lm ve bu i ve makine say lar n n tüm kombinasyonlar nda testler yap lm t r. Rassal olarak yarat lan problem kümelerinde kullan lan de er aral klar u ekildedir. P j : 120 EW = TW : 010 Makine h z : 15 S k l k miktar (tightness)= 1.10 D j = P j. (toplam i lem süresi/(makine say s *tüm makinelerin ortalama h z ))* s k l k miktar ] P ij : j i inin i makinesindeki i lem süresi = P j /V ij V ij : i makinesinin j i i için h z Test a amas nda her bir i /makine ikilisi için rassal olarak 5 farkl problem seti olu turulmu tur ve her bir problem seti üzerinde metot 5er kez çal t r lm t r. Farkl i /makine de erleri ve problem setleri üzerinde yap lan 5er deneme sonunda bulunan sonuçlardaki en iyi ve ortalama iyile tirme miktarlar na bak larak algoritman n ne kadar iyi çal t gözlemlenmi tir. yile tirme miktarlar ilk popülasyondaki en iyi üye ile algoritma durdu u andaki jenerasyonun en iyi üyeleri aras ndaki fitness de erleri baz al narak hesaplanm t r. Al nan sonuçlar a a daki tablolarda özetlenmi tir. Tablolardaki sütunlar ayn problem seti üzerindeki 5 deneme içindeki en fazla ve ortalama iyile meyi temsil etmektedir. 57

S. Samur, S. Bulkan Tablo 1. 100 çin De i ken Makinelerdeki yile me Miktarlar 100i 5makine_1 0,6007 0,5437 100i 5makine_2 0,6433 0,5724 100i 5makine_3 0,6471 0,5808 100i 5makine_4 0,6723 0,5698 100i 5makine_5 0,6584 0,5851 (a) 100 i -5 makine iyile me miktarlar 100i 10makine_1 0,5858 0,5035 100i 10makine_2 0,5707 0,5162 100i 10makine_3 0,5909 0,5095 100i 10makine_4 0,6126 0,5252 100i 10makine_5 0,5581 0,5064 (b) 100 i -10 makine iyile me miktarlar 100i 15makine_1 0,5749 0,5183 100i 15makine_2 0,5359 0,4855 100i 15makine_3 0,4926 0,4331 100i 15makine_4 0,5649 0,4459 100i 15makine_5 0,5108 0,4633 (c) 100 i -15 makine iyile me miktarlar Tablo 2. 150 i için de i ken makinelerdeki iyile me miktarlar 150i 5makine_1 0,6014 0,5283 150i 5makine_2 0,5407 0,4903 150i 5makine_3 0,5493 0,4808 150i 5makine_4 0,5675 0,5292 150i 5makine_5 0,5841 0,5337 (a) 150 i -5 makine iyile me miktarlar 150i 10makine_1 0,5314 0,4603 150i 10makine_2 0,5030 0,4388 150i 10makine_3 0,5302 0,4820 150i 10makine_4 0,5950 0,5007 150i 10makine_5 0,5302 0,4670 (b) 150 i -10 makine iyile me miktarlar 150i 15makine_1 0,5234 0,4511 150i 15makine_2 0,5015 0,4339 150i 15makine_3 0,5209 0,4461 150i 15makine_4 0,5316 0,4261 150i 15makine_5 0,4724 0,4257 (c) 150 i -15 makine iyile me miktarlar 58

XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, 23-24 Haziran 2011 Tablo 3. 200 çin De i ken Makinelerdeki yile me Miktarlar 200i 5makine_1 0,5010 0,4405 200i 5makine_2 0,4836 0,4308 200i 5makine_3 0,4796 0,3945 200i 5makine_4 0,4900 0,4288 200i 5makine_5 0,4522 0,3795 (a) 200 i -5 makine iyile me miktarlar 200i 10makine_1 0,4606 0,3945 200i 10makine_2 0,4457 0,4103 200i 10makine_3 0,4617 0,4226 200i 10makine_4 0,4300 0,4059 200i 10makine_5 0,4343 0,3866 (b) 200 i -10 makine iyile me miktarlar 200i 10makine_1 0,4606 0,3945 200i 10makine_2 0,4457 0,4103 200i 10makine_3 0,4617 0,4226 200i 10makine_4 0,4300 0,4059 200i 10makine_5 0,4343 0,3866 (c) 200 i -15 makine iyile me miktarlar Tablo 4. 250 çin De i ken Makinelerdeki yile me Miktarlar 250i 5makine_1 0,3562 0,3203 250i 5makine_2 0,4482 0,4136 250i 5makine_3 0,4392 0,3846 250i 5makine_4 0,4365 0,3286 250i 5makine_5 0,4737 0,4030 (a) 250 i -5 makine iyile me miktarlar 250i 10makine_1 0,4029 0,3780 250i 10makine_2 0,4641 0,3652 250i 10makine_3 0,4256 0,3746 250i 10makine_4 0,4240 0,3779 250i 10makine_5 0,4155 0,3502 (b) 250 i -10 makine iyile me miktarlar 250i 15makine_1 0,4148 0,3627 250i 15makine_2 0,4389 0,3622 250i 15makine_3 0,4077 0,3319 250i 15makine_4 0,4132 0,3688 250i 15makine_5 0,4015 0,3424 (c) 250 i -15 makine iyile me miktarlar 59

S. Samur, S. Bulkan Tablo1, Tablo2, Tablo3 ve Tablo4' de görüldü ü gibi; Ayn i ve makine say lar ndaki farkl problem setleri aras nda elde edilen iyile me miktarlar aras nda ciddi bir fark gözlemlenmemi tir. Ayr ca genel olarak belli bir i say s nda makine say s artt kça elde edilen iyile menin azald gözlemlenmi tir. Yine ayn makine say s ndaki i say lar de erlendirildi inde is say s artt kça iyile me miktar n n azald görülmü tür. Testin daha iyi de erlendirilmesi için sonuçlar a a daki gibi grafik üzerinde de gösterilmi tir. Genel de erlendirme için i /makine çiftlerindeki tüm problem setlerin ortalama iyile me miktarlar ayn grafik üzerinde gösterilmi tir. Grafik 1' de de görüldü ü gibi; Ayn i say s nda makine say s artt kça iyile me miktarlar azalmaktad r. Ayn makine say s nda i say s artt kça iyile me miktarlar azalmaktad r. Grafik 1. /Makine Çiftleri çin Tüm Problem Setlerinin Ortalama yile me Miktarlar 4. SONUÇ VE GELECEK ÇALI MALAR Bu ara t rmada birbirine paralel çal an ve özde olmayan, her i için de farkl çal ma h zlar olan makinelere önceden bilinen i lem süreli i ler en etkin ekilde atanmaya çal lm t r. Bu atamalar s ras nda gözetilen amaç fonksiyonu toplam a rl kland r lm erken bitirme ve a rl kland r lm geç bitirme miktar n n en küçüklemesi olarak belirlenmi tir. Her i in farkl bir i lem süresi, tamamlanma zaman, geç bitirme ve erken bitirme a rl klar, ayn zamanda her makinenin h z na göre de farkl bir i lenme süresi vard r. Probleme çözüm olarak genetik algoritma geli tirilmi ve bu metotla farkl i ve makineli problem setleri üzerinde testler yap larak genellikle %50 civar nda iyile tirmeler gözlenmi tir. Di er parametre sabit tutuldu u zaman i say s ya da makine say s artt kça iyile me miktar nda azalma görülmü tür. Gelecek çal malarda farkl k s tlarda eklenecek ve problem tipleri gerçek hayattakine daha da yak n hale getirilmeye çal lacakt r. 60

XI. Üretim Ara t rmalar Sempozyumu, 23-24 Haziran 2011 KAYNAKÇA Emmons, H., "Scheduling to a Common Due-Date on Parallel Uniform Processors." Naval Res. Logist. 34, 803-810, (1987). Federgruen, A. ve Mosheiov, G., "Heuristics for Multimachine Minmax Scheduling Problems with General Earliness and Tardiness Costs". Naval Res. Logist. 44, 287-299, (1997). Federgruen, A. ve Mosheiov, G. "Heuristics for Multimachine Scheduling Problems with Earliness and Tardiness Costs." Manage. Sci. 42, 1544-1555, (1996) (erratum 43, 735,(1997)). Graham, R.L., Lawler, E.L., Lenstra, J.K. ve Rinnooy, A.H.G. (1979) Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling: A survey, Ann Discrete Math 5, 287326 ler, M.C, Toklu, B. Ve Çelik V., "Ö renme Etkili Erken/Geç Tamamlanma Çizelgeleme Problemleri çin bir Literatür Ara t rmas ", Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 15, Say 2, 2009, Sayfa 227-252 Sun, H. ve Wang, G. "Parallel Machine Earliness and Tardiness Scheduling with Proportional Weights." Comput. Oper. Res. 30, 801-808, (2003). 61