q-hibrit TOPLAMSAL İNTEGRAL TİPLİ OPERATÖRLERİN SCHURER GENELLEŞTİRİLMESİ İlker VURAL YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KASIM 2015
İlker VURAL tarafından hazırlanan q-hibrit TOPLAMSAL İNTEGRAL TİPLİ OPERATÖRLERİN SCHURER GENELLEŞTİRİLMESİ adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. Birol ALTIN Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum... Başkan : Prof. Dr. Oktay DUMAN Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum... Üye : Prof. Dr. Ogün DOĞRU Uygulamalı Matematik, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum... Tez Savunma Tarihi: 20/11/2015 Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum... Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu, bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim. İlker VURAL 20/11/2015
iv q-hibrit TOPLAMSAL İNTEGRAL TİPLİ OPERATÖRLERİN SCHURER GENELLEŞTİRİLMESİ (Yüksek Lisans Tezi) İlker VURAL GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Kasım 2015 ÖZET Bu tezde q-hibrit toplamsal integral tipli operatörlerin bir Schurer tipinde genelleştirilmesi tanımlanacaktır. Bu operatörler için Korovkin test fonksiyonlarının değerleri hesaplanacaktır. Pozitif reel eksen üzerinde bu operatörlerin noktasal yakınsamaları incelenecektir. Bu operatörler için ağırlıklı yaklaşım teoremi ve yaklaşım hızına dair bir oran elde edilecektir. Bilim Kodu : 204.1.095 Anahtar Kelimeler : q-stancu tip operatörleri, q-hibrid tip operatörleri, ağırlıklı yaklaşım, yaklaşım oranları Sayfa Adedi : 42 Danışman : Prof. Dr. Birol ALTIN
v SCHURER GENERALIZATION OF q-hybrid SUMMATION INTEGRAL TYPE OPERATORS (M. Sc. Thesis) İlker VURAL GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES November 2015 ABSTRACT In this thesis it is defined a Schurer generalizations of q-hybrid summation integral type operators. It is calculeted the values of Korovkin test functions at these operators. It is investigated that pointwise convergence of these operators on positive real axis. Besides, it is given a approximation theorem for these operators and it is obtained that an estimate for rate of convergence of these operators. Science Code : 204.1.095 Key Words : q-stancu type operators, q-hybrid type operators, weighted approximation, rates of approximation. Page Number : 42 Supervisor : Prof. Dr. Birol ALTIN
vi TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca her daim yanımda olan destek ve önerileriyle beni yönlendiren saygıdeğer hocam, Sayın Prof. Dr. Birol ALTIN a teşekkürlerimi bildirmeyi bir borç bilirim. Ayrıca tez çalışmamız sırasında fikirleri ve önerileri ile destek veren Doç. Dr. İsmet YÜKSEL ve Doç. Dr. Ülkü DİNLEMEZ e teşekkürlerimi, manevi destekleri ile beni bu yolda yalnız bırakmayan ve cesaretlendiren Prof. Dr. Ahmet Ali ÖÇAL ve Doç. Dr. Ali Fuat ARICI ya, eşime, anneme ve babama en içten saygı ve sevgilerimi sunarım.
vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... İÇİNDEKİLER... SİMGELER VE KISALTMALAR... iv v vi vii ix 1. GİRİŞ... 1 2. TEMEL KAVRAMLAR... 3 2.1. Lineer Pozitif Operatörler... 3 2.2. C[a,b] Uzayında Lineer Pozitif Operatörler İle Yaklaşım... 5 2.3. Beta Fonksiyonu, Gamma Fonksiyonu... 6 2.4. Süreklilik Modülü... 7 2.5. Ağırlık Fonksiyonu... 8 2.6. P.P. Korovkin Teoremi... 8 2.7. q- Analiz... 10 2.8. Peetre- K Fonksiyoneli... 11 2.9. Fonksiyonların Değişme Mertebesi- Sonsuz Küçülenlerin Karşılaştırılması... 12 3. q- HİBRİT TOPLAMSAL İNTEGRAL TİPLİ OPERATÖRLERİN SCHURER GENELLEŞTİRMESİ... 13 3.1. Hibrit Operatörü... 13 3.2. q- Hibrit Operatörü... 13 3.3. q-hibrit Operatörlerin Schurer Genelleştirmesi... 14 4. SONUÇ VE ÖNERİLER... 37 KAYNAKLAR... 39
viii Sayfa ÖZGEÇMİŞ... 41
ix SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklamalar C[a,b] [a,b] aralığında tanımlı ve sürekli tüm reel fonksiyonların uzayı olan fonksiyon uzayı olmak üzere bir fonksiyon dizisi ( fonksiyonlar dizisinin fonksiyonuna düzgün yakınsaklığı fonksiyonunun Peetre - K fonksiyoneli fonksiyonunun ikinci mertebeden Peetre - K fonksiyoneli olmak üzere bir operatör dizisi operatör dizisinin fonksiyonuna düzgün yakınsaklığı Hibrit operatörü q- Hibrit Stancu tip operatörü q- Hibrit Operatörlerin Schurer Genelleştirilmesi Beta fonksiyonu Gamma fonksiyonu nin q genişlemesi nin q faktöriyeli [ ] q binom açılımı q- Beta fonksiyonu q-gamma fonksiyonu şeklinde tanımlı fonksiyon C[a,b] uzayında ile tanımlı norm ile tanımlı norm tüm sürekli bir fonksiyon ve gerçekleyen fonksiyonların uzayı deki tüm sürekli fonksiyonların uzayı
x Simgeler Açıklamalar dan olan ve fonksiyonlar uzayı şartını sağlayan ile tanımlı norm yani, olmasıdır f fonksiyonunun süreklilik modülü ( ) f fonksiyonunun ikinci mertebeden süreklilik modülü Klasik Klasik üstel fonksiyonunun q-analog ifadesi üstel fonksiyonunun q-analog ifadesi
1 1. GİRİŞ Analiz ve fonksiyonlar teorisinde yer alan araştırma alanlarından biri de lineer pozitif operatörlerle yaklaşım konusudur ve matematiğin birçok dalıyla ilişkilidir. Bohman (1952) ve Korovkin (1953) lineer pozitif operatörlerin sonlu aralıkta sürekli fonksiyona yaklaşımına ilişkin çok önemli teoremler vermişlerdir. Korovkin in kendi adıyla anılan teorem bu konudaki çalışmalara büyük katkı sağlamıştır. Korovkin teoremi yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenebilen birçok lineer pozitif operatörler (Meyer-König-Zeller operatörleri, Szasz-Mirakjan operatörleri, Bleimann-Butzer-Hahn operatörleri gibi) tanımlanmıştır. Operatörler tanımlandıktan sonra bu operatörlerin çeşitli genelleşmeleri de ele alınmıştır. Lineer pozitif operatörlerin diğer bir genelleşmesi de q teori ile ilgilidir. Yaklaşımlar teorisinde q genelleşme kavramı ilk kez Lupaş (1987) tarafından Bernstein polinomlarına uygulanmış ve Ostrovska (2006), bu operatörlerin düzgün yakınsaklığını incelemiştir. Phillips (1997) üzerinde daha sıklıkla çalışılan q Bernstein polinomlarını tanımlamış ve yaklaşım özelliklerini incelemiştir. Daha sonra q genelleşme kavramı ile birçok operatörün q genelleşmesi verilmiştir. Bu tezde, daha önceden Dinlemez Ü., Yüksel İ., ve Altın B. (2014) tarafından incelenen q-hibrit fonksiyonlarında Stancu tipi lineer pozitif operatörlerin Schurer tipli genelleştirmesini inceleyeceğiz. Yukarıda sözü edilen operatörlerin q = 1 olması durumunda klasik operatörlerin integral tipli genelleşmelerine dönüşmesi ve q yerine (q n ) dizisi alınarak bu dizinin seçimine göre yaklaşım hızının amaca uygun şekilde ayarlanabilir olması çok önemlidir. Ayrıca operatörlerin q genelleştirmesini bulmakta ki diğer amaç q nun seçimiyle daha iyi bir yaklaşım hızı elde etmektir. Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, tezde ihtiyaç duyulan temel teoremlerden ve tanımlardan bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde, q-hibrit toplamsal integral tipli operatörlerin Schurer genelleştirilmesi ve yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
2
3 2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde kullanılacak olan temel tanımlar ve teoremler verilecektir. 2.1. Lineer Pozitif Operatör 2.1.1. Tanım [20] X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. X den alınan herhangi bir f fonksiyonuna Y de bir g fonksiyonu karşılık getiren bir L kuralına X den Y ye bir operatör denir ve L(f(t); x) = g(x) ile gösterilir. 2.1.2. Tanım [20] X ve Y iki fonksiyon uzayı ve bir operatör olsun. Eğer her fonksiyon uzayının bir elemanı ve her reel sayıları için, X uzayında her hangi iki fonksiyon, ler keyfi iki reel sayı olmak üzere L operatörü; L = koşulunu gerçekliyor ise L ye bir lineer operatör denir. Örnek X, [a,b] üzerinde tanımlı tüm polinomlardan oluşan vektör uzayı olsun. (') notasyonu, t ye göre türetmeyi göstermek üzere, her x X için, Lx(t)=x ' (t) X üzerinde bir L operatörünü tanımlayalım. L bir lineer operatördür. 2.1.3. Tanım [4,20] X ve Y iki fonksiyon uzayı, bir operatör ve, fonksiyon uzayının bir elemanı olsun. Eğer iken L gerçekleniyorsa L operatörüne pozitif operatör denir. Lineerlik ve pozitiflik koşullarını sağlayan L operatörüne, lineer pozitif operatör denir.
4 Örnek için, Bernstien operatörü pozitif ve lineer bir operatördür. Lineer Pozitif Operatörlerin Özellikleri 2.1.1. Lemma [4,20] Lineer pozitif operatörler negatif değerli fonksiyonları negatif değerli fonksiyonlara dönüştürürler. 2.1.2. Lemma [4,20] Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani sağlanır. eşitsizliği 2.1.3. Lemma [4,20] L lineer pozitif bir operatör ise o takdirde eşitsizliği sağlanır. 2.1.4. Tanım [20] X=C[a,b] ve, X de bir dizi olsun. dizisine fonksiyon dizisi denir. 2.1.5. Tanım [20] X ve Y iki fonksiyon uzayı, n bir doğal sayı ve dizisine operatör dizisi denir. operatörler olsun. O halde
5 2.2. C[a,b] Uzayında Lineer Pozitif Operatörler İle Yaklaşım 2.2.1. Tanım [22], nin boştan farklı bir alt kümesi, bir fonksiyon ve olsun. Eğer her için olduğunda olacak şekilde sayısı var ise f fonksiyonu noktasında süreklidir denir. 2.2.2. Tanım [21], nin boştan farklı bir alt kümesi, f(x) fonksiyon olsun. Eğer her için kümesinin elemanı olmak üzere olduğunda olacak şekilde bulunabiliyorsa f ye, D üzerinde düzgün süreklidir denir. Tanımdan kolayca görülebilir ki D üzerinde düzgün sürekli her fonksiyon o küme üzerinde süreklidir. 2.2.3. Tanım [20] [a,b] aralığı üzerinde tanımlanmış ve aralığın tüm noktalarında sürekli fonksiyonlar uzayını C[a,b] ile göstereceğiz. nin bir elemanı olmak üzere C[a,b] üzerinde bir norm tanımlar. 2.2.4. Tanım [23], nin bir alt kümesi olmak üzere, A üzerinde tanımlı reel değerli fonksiyon dizisi olsun. Her ε > 0 sayısı ve A kümesinin her bir x noktasına karşılık öyle bir doğal sayısı var ise öyle ki her ise fonksiyon dizisi f fonksiyonuna A üzerinde noktasal yakınsak denir.
6 2.2.5. Tanım [23] Eğer her ve boştan farklı A kümesinde ki her bir x elemanı için olduğunda şekilde doğal sayısı mevcut ise dizisi C[a,b] üzerinde f fonksiyonuna A üzerinde düzgün yakınsaktır denir ve ( gösterilir. Düzgün yakınsama noktasal yakınsamayı gerektirir. Bunun tersi doğru değildir. ile 2.2.1. Lemma [23] C[a,b] uzayında normda yakınsaklık ile düzgün yakınsaklık denktir. Yani; ( olmasıdır. 2.3. Beta Fonksiyonu, Gamma Fonksiyonu 2.3.1. Tanım [15] ve x, [0,1] aralığının elemanı olmak üzere beta fonksiyonu Gamma fonksiyonu biçiminde tanımlanır. Ayrıca, t pozitif doğal sayı ise ve dir.
7 2.4. Süreklilik Modülü 2.4.1. Tanım [2,4] nin bir elemanı ve her için; Şeklinde tanımlanan fonksiyona f fonksiyonunun süreklilik modülü denir. Süreklilik Modülünün Özellikleri Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir. i.. ii., ya göre monoton artan bir fonksiyondur. iii. için. iv. için. (2.6) v. için vi.. vii. ( ) Bu özellikleri verdikten sonra in e yaklaşım hızının süreklilik modülü ile nasıl değerlendirileceğini söyleyebiliriz. Bunun için bir noktasında olacak şekilde lineer pozitif operatörü ile fonksiyonunun farkını fonksiyonunun bir katından küçük bırakmalıyız. Burada en önemli şart iken olacak şekilde bulabilmektir. Bu dizi bazen noktasına bağlı olabilir. Eğer dizi noktasından bağımsız ise düzgün yakınsamadan bahsedilebilir. Yukarıda verilen süreklilik modülünün özelliklerini kullanarak verilen eşitsizliğin sağ tarafının sıfıra gitmesiyle operatörün yaklaşım hızı hesaplanmış olacaktır. Bu sonuç bize operatörün bir fonksiyonuna noktasal yakınsaklık hızını verir.
8 2.4.2. Tanım [1] nin bir elemanı ve her için ikinci mertebeden süreklilik modülü ( ) biçiminde tanımlanacaktır. 2.5. Ağırlık Fonksiyonu 2.5.1. Tanım [1,19] Sonsuz bölgelerde sürekli ve polinomsal büyüyen fonksiyon uzayları aşağıdaki gibi tanımlanır. tüm uzayında sürekli bir fonksiyon ve olsun. Bu durumda uzayında eşitsizliğini gerçekleyen fonksiyonlar kümesi ile, uzayındaki tüm sürekli fonksiyonlar kümesi de ile gösterilir. Burada, fonksiyonuna bağlı bir sayıdır. normu ile ve lineer normlu uzaylardır. Burada fonksiyonuna ağırlık fonksiyonu,, uzaylarına da ağırlıklı uzaylar denir. Özel durumda tüm reel eksende monoton artan bir fonksiyon olmak üzere m=1 olması halinde göz önüne alınabilir. şeklinde 2.6. P.P. Korovkin Teoremi (1953) 2.6.1. Teorem [2,4,20] Her n doğal sayısı için bir lineer pozitif operatör olsun. Eğer i. ii. iii. koşulları sağlanıyorsa C[a,b] uzayındaki her olur. fonksiyonu için [a,b] üzerinde
9 İspat olsun. nin de düzgün sürekli olmasından her pozitif sayısına karşılık öyle bir bulunabilir ki, için, olur. Üçgen eşitsizliğinden her için (2.9) yazabiliriz. Buradan, olacağından (2.10) olur. (2.9) ve (2.10) den, yazabiliriz. O halde, için için olur. Dolayısıyla her x,t [a,b] için, (2.11) dir. olur. Üçgen eşitsizliği uygulanırsa; yazılabilir. Lemma 2.1.3 den; yazılabilir. monoton artan olduğundan ve (2.11) den; olur. lineer olduğundan;
10 yazılabilir. Son ifade (2.12) da kullanılırsa; (2.13) (i), (ii), (iii) koşullarının (2.13) da kullanılmasıyla, { } olup ispat tamamlanır. 2.7. q Analiz q- analiz yaklaşık olarak 200 yıl öncesine dayanmaktadır fakat ilk olarak yaklaşımlar teorisinde uygulanması Lupaş tarafından 1987 yılında olmuştur. q- analiz birçok konunun (hipergeometrik seriler, kompleks analiz, parçacık fiziği ) genelleşmesidir. q- analizin temel ifadeleri, Kac ve Cheung un (2002) Quantum Calculus adlı kitabında, detaylar ise Andrews ve Askey in (1999) Special Functions adlı kitabında yer almaktadır. 2.7.1. Tanım [15], n bir doğal sayı ve 0 olmak üzere, [ ]
11 biçiminde tanımlıdır. 2.8. Peetre - K Fonksiyoneli 2.8.1. Tanım [18] nin bir elemanı ve olmak üzere; { } şeklinde tanımlanan ifadeye Peetre - K fonksiyoneli denir. Burada dir.
12 2.8.2. Tanım [1,18] ye tanımlı sınırlı fonksiyonlar uzayını, sürekli ve sınırlı fonksiyonların uzayını ise ile göstereceğiz. ve olmak üzere, ikinci mertebeden Peetre - K fonksiyoneli aşağıdaki gibi tanımlanır. (2.28) 2.8.1. Lemma [1,18], olmak üzere, (2.7) ve (2.28) de verilen ifadeler için eşitsizliği sağlanır. ( ) (2.29) 2.9. Fonksiyonların Değişme Mertebesi-Sonsuz Küçülenlerin Karşılaştırılması 2.9.1. Tanım [21] noktası için. civarındaki her x (2.30) oluşu (2.31) şeklinde yazılmakta ve da göre o-küçüktür diye okunmaktadır. Tanımdan görüldüğü gibi, da yazılışı olduğunu, yani, noktasında in sonsuz küçülen olduğunu gösterir.
3. q-hibrit TOPLAMSAL İNTEGRAL TİPLİ OPERATÖRLERİN SCHURER GENELLEŞTİRİLMESİ 13 Bu bölümde iyi bilinen hibrit toplamsal integral tipli operatörlerin q-genelleştirmesinden faydalanarak operatörlerin Schurer tipi genelleştirmesini inceleyeceğiz. 3.1. Hibrit Operatörleri 3.1.1. Tanım [1] k bir doğal sayı, n pozitif bir doğal sayı, x, tanımlı gerçek değerli sürekli bir fonksiyon olmak üzere, aralığında dir. 3.2. q- Hibrit Operatörleri 3.2.1. Tanım [1] k bir doğal sayı, n sıfırdan farklı bir doğal sayı, A pozitif reel sayı,, un bir elemanı ve aralığında tanımlı gerçek değerli sürekli bir fonksiyon olmak üzere, durumunda q-hibrit fonksiyonlarında Stancu tipi lineer pozitif operatörü tanıtalım.
14 [ ] Eğer (3.4) ifadesinde A=q=1 ve yazılırsa ifadesinden (3.1) ifadesi elde edilir. 3.3. q- Hibrit Operatörlerin Schurer Genelleştirilmesi 3.3.1. Tanım k ve p bir doğal sayı, n sıfırdan farklı bir doğal sayı, A pozitif reel sayı,, un bir elemanı ve aralığında tanımlı gerçek değerli sürekli bir fonksiyon olmak üzere, durumunda q-hibrit fonksiyonlarında Schurer tipi lineer pozitif operatörü tanıtalım. [ ] Eğer (3.7) ifadesinde A=q=1 ve yazılırsa ifadesinden (3.1) ifadesi elde edilir. Şimdi Korovkin test fonksiyonları için aşağıdaki Lemmaları verebiliriz. 3.3.1. Lemma, m=0, 1, 2 için, (3.10)
15 { } dir. İspat q-gamma ve q-beta fonksiyonlarını kullanarak [ ] (3.13) ifadesinde m=0 yazarsak (i) şıkkı
16 k=0 için elde edildiğinden toplamı k=1 yerine k=0 dan başlatabiliriz. Buradan, = = 1 (ii) (3.13) ifadesinde m=1 yazarsak { }
17 (3.14) (iii)
18
19 { } ( ) { }
20 3.3.2. Lemma q, in bir elemanı ve n, 3 ten büyük bir sayı olmak üzere, dir. İspat operatörünü ve Lemma 3.3.1 de kanıtladığımız özellikleri kullanarak, { } { } { } { } {
21 } { } x in katsayısını q ile genişletip parantezleri düzenlersek, { } { } ve in katsayısı olan ifadelerde negatif olup ve terimleri bulunduran terimleri pay kısmından atıp pozitif olan ifadelerde ve yerine daha büyük olan ve pay kısmında bulunan diğer negatif terimlerde de ifadeyi büyütmek için yerine yazalım. Böylece, {
22 } elde edilir. Diğer taraftan, (3.14) te tanımladığımız özelliği kullanarak, ve dir. Yukarıda bulunan ifadeler yerine yazılırsa; { }
23 Buna göre, 3.3.1. Teorem olsun. Bu durumda,, olacak şekildeki diziler ve n, 3 ten büyük bir sayı dır. İspat Lemma 3.3.2 de operatörü için bulduğumuz eşitsizlikte q yerine yazalım., olacak şekildeki diziler olduğundan, =0 Ayrıca operatörü lineer pozitif operatör olduğundan, dır. Öyleyse, dır.
24 3.3.3. Lemma Operatör (3.15) in aşağıda verilen özellikleri sağladığını gösterelim. İspat 3.3.4 Lemma q, in bir elemanı ve n, 3 ten büyük bir sayı x, un bir elemanı olmak üzere dir.
25 Burada; dir. İspat Taylor açılımından dir. Gerçekten; Bulunan ifade (3.16) de yerine yazılırsa eşitliğin sağlandığı görülebilir. (3.16) ifadesine Lemma 3.3.3 uygulanıp (i), (ii) ve (iii) ifadeleri yerine yazılırsa dir. ( ) ( ) g(t) dersek g(t) eşitliğine Lemma 3.3.3 uygulandığında aşağıda verilen eşitlik elde edilir.
26 Yukarıda bulduğumuz eşitlikte g(x)=0 olduğu açıktır. Bu eşitliği yazarsak, (3.17) de yerine dir. ( ) elde edilir. Buradan aşağıda verilen özellikten faydalanarak, ( ) dir. Öyleyse ( )
27 ( ) ( ) Lemma 3.3.2 den { } { } Yukarıdaki eşitsizlikte yazıldıktan sonra tüm ifadelerin paydaları eşitlenip ifadeler düzenlenirse, { } {( ) }
28 {( ) } { } dir. 3.3.2. Teorem,, un bir elemanı ve un bir elemanı olmak üzere aşağıdaki eşitsizlik sağlanır. ( ) İspat Lemma 3.3.3. te verilen eşitliği ve g (g olmasını kullanarak ) şeklinde yazılabilir.
29 Ara çalışma Buradan, (3.18) ve Lemma 3.3.4. te verilen eşitsizlikleri kullanarak (3.18) idi. Buradan, olmak üzere, dir. (2.7), (2.28) ve (2.29) da verilen ifadeler kullanılarak ispat tamamlanır. 3.3.3. Teorem olmak üzere;, olacak şekildeki diziler ve un bir elemanı
30 dır. İspat Lemma 3.3.1. den i. olduğu açıktır. (Lemma 3.3.1-(i) den) ii. ( ) için ve dır. Buradan o(1) = max{ } dir. O halde denklemin kökleri dir. Köklere göre işaret tablosu yapıldığında ( ) için ifadenin yerel maksimum noktası olduğu kolayca görülebilir. Bu nokta Ayrıca; o(1)= max{ } olduğundan diyelim.
31 O halde, dır. iii. n>3 olmak üzere, { { } }
32 olmak üzere, { } için, ve dır. Buradan = max{ dir. O halde denklemin kökleri dir. Köklere göre işaret tablosu yapıldığında için ifadenin yerel maksimum noktası olduğu kolayca görülebilir. Bu nokta Ayrıca; = max{ } olduğundan diyelim. eşitliği ifadelerinde yerine yazılırsa,
33 dir. ( ) ( ) dir. Buradan, O halde, Öyleyse;
34 3.3.5 Lemma ve süreklilik modülü [0,b+1] aralığında tanımlı olmak üzere (b>0), her n > 3 için aşağıda verilen eşitsizliği sağlayan pozitif bir C sabiti vardır. { ( )} İspat i. ve t > b+1 olsun. Buradan dir. Buradan, dir. dir. Ayrıca, (3.19), ve Bulunan eşitsizlikler (3.19) da yerine yazılıp düzenlenirse, dir. (3.20)
35 ii., t < b+1 ve eşitliğine süreklilik modülü dendiğini biliyoruz. Eşitlikte alırsak olmak üzere, Buradan; şeklinde de yazılabilir. ( ) ( ) ( ) (3.20) ve (3.21) eşitsizliklerinden, ( ) Cauchy-Schwarz s ve Lemma 3.3.2. yi (3.22) e uygularsak, [ ] olmak üzere, [ ] [ ] dır. { } olmak üzere, { ( )} dir.
36 3.3.4. Teorem, olacak şekildeki diziler ve dır. Buradan; dır. İspat dir. Lemma 3.3.5 ve Teorem 3.3.3. den ispat tamamlanır.
4. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada Dinlemez, Yüksel, Altın tarafından [1] yapılan çalışmanın Schurer genelleştirilmesi elde edilmiştir. Bu sayede pozitif lineer operatörler ailesine yeni bir yaklaşım operatörü ailesi kazandırılmıştır. İleriki çalışmalarda bunların klasik yaklaşım operatörleri ile olan yaklaşım hızları karşılaştırılabilir ve ayrıca çok değişkenli fonksiyonlara yaklaşımlarda nasıl bir yapının ortaya çıkacağı araştırılabilir. 37
38
39 KAYNAKLAR 1. Dinlemez, Ü., Yüksel, İ., and Altın, B. (2014). A note on the Approximation by the q-hybrid summation integral type operators. Taiwanese Journal Of Mathematics, 18(3), 781-792. 2. Altomare, F. and Campiti, M. (1993). Korovkin-type Approximation Theory and its Applications. Walter de Gruyter, 627, New York. 3. Korovkin, P.P. (1953). On convergence of linear positive operators in the space of continuous functions. Doklady Akademii Nauk SSSR (N.S), 90, 961-964. 4. Korovkin, P.P. (1960). Linear Operatorsand Approximation Theory. Russian Monographs and Texts on advanced Mathematics, III, 1-63., Gordon&Breach. 5. Gupta, V., and Erkuş, E. (2006). On hybrid family of summation integral type operators. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 7(1), Article 23 6. Sinha, J., and Singh, V. K. (2006). Rate of convergence on the mixed summation integral type operators. General Mathematics, 14(4), 29-36. 7. Lupaş, A. (1987). A q-analogue of the Bernstein operator, Seminar on numerical and statistical calculus. University of Cluj-Napoca, 9, 85-92. 8. Phillips, G. M. (1997). Bernstein polynomials based on the q-integers. Annals of Numerical Mathematics, 4, 511-518. 9. Gupta, V., and Heping, W. (2008). The rate of convergence of q-durrmeyer operators for 0<q<1. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 31(16), 1946-1955. 10. Aral, A., and Gupta, V. (2010). On the Durrmeyer type modification of the q- Baskakov type operators. Nonlinear Anaysis, 72(3-4), 1171-1180. 11. Gupta, V., and Aral, A. (2010). Convergence of the q- analogue of Szász-beta operators. Applied Mathematics and Computation, 216(2), 374-380. 12. Yüksel, İ. (2013). Direct results on the q-mixed summation integral type operators. Journal of Applied Functional Analysis, 8 (2), 235-245. 13. Gupta, V., Karsli, H. (2012). Some approximation properties by q -Szász- Mirakyan-Baskakov-Stancu operators. Lobachevskii Journal Mathematics, 33(2), 175-182.
40 14. Jackson, F. H. (1910). On q-definite integrals, quart. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 41(15), 193-203. 15. Kac, V. G., and Cheung, P. (2002). Quantum calculus. Universitext. Springer- Verlag, New York. 16. Koelink, H. T., and Koorwinder, T. H. (1992). q-special functions, a tutorial. Deformation theory and quantum groups with applications to mathematical physics (Amherst, MA, 1990). 141-142, Contemporary Mathematics 134, American Mathematical Society, Providence, RI. 17. De Sole, A., and Kac, V. G. (2005). On integral representations of q-gamma and q- beta functions. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9). Mathematics Applied, 16(1), 11-29. 18. De Vore, R. A., and Lorentz, G. G. (1993). Constructive Approximation. Springer, Berlin. 19. Gadzhiev, A. D. (1976). Theorems of the type of P. P. Korovkin type theorems, Math. Zametki 20 (5), (1976), 781-786. English Translation, Mathematics Notes, 20 (5-6),996-998. 20. Hacısalihoğlu, H., Hacıyev, A. (1995). Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yakınsaklığı. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Ankara, 1-100. 21. Halilov, H., Hasanoğlu, A. ve Can, M. (1999). Yüksek Matematik(1. Cilt). İstanbul: Literatür Yayınları, 64-82. 22. Balcı, M. (2012). Matematik Analiz I (3). İstanbul: Sürat Yayınları, 113-126. 23. Musayev, B., Alp, M. ve Mustafayev, N.(2003). Teori ve Çözümlü Problemlerle Analiz II (3). Kütahya: Tekağaç Eylül Yayıncılık, 1-320 24. Örkçü, M. (2011). Bazı İntegral Tipli Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin q- Genelleşmelerinin Yaklaşım Özellikleri, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 1-9. 25. Çevik, E. S. (2008). İki Değişkenli q- Bleımann, Butzer ve Hahn Operatörlerinin Yaklaşım Özellikleri, Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 1-11. 26. Karabayır, İ. (2014). q- Logaritmik Konveks Fonksiyonlar Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Kilis 7 Aralık Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Kilis, 2-8.
41 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : VURAL, İlker Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 22.11.1984, Yozgat Medeni hali : Evli Telefon : 0 (537) 450 44 47 Faks : 0 (274) 661 38 93 e-mail : ilker.vural@gazi.edu.tr Eğitim Derece Yüksek lisans Eğitim Birimi Gazi Üniversitesi /Matematik Mezuniyet tarihi Devam Ediyor Yüksek lisans(tezsiz) Gazi Üniversitesi/ Eğitim Bilimleri Ens. 2007 Lisans Trakya Üniversitesi/ Matematik 2005 Lise Şehit Er Mustafa AYDIN ÇPL 2001 İş Deneyimi Yıl Yer Görev 2009- Halen Dumlupınar Üniversitesi Öğretim Görevlisi 2006-2008 Seviye Dershaneleri Uzman Öğretici 2005-2006 Küme Eğitim Kurumları Stajyer Yabancı Dil İngilizce Yayınlar 1. Vural, İ., Yılmaz, S., Demir, M. (2015). 11. Sınıf Temel Düzey Matematik. (1). Ankara: Nitelik Yayıncılık, 35-100. 2. Vural, İ., Yılmaz, S., Demir, M. (2015). 11. Sınıf Temel Düzey Matematik Soru Bankası. (1). Ankara: Nitelik Yayıncılık, 20-90.
42 3. Vural, İ., Yılmaz, S. (2014). Temel Matematik. (1). Ankara: Elsim Yayıncılık, 20-80. 4. Vural, İ., Yılmaz, S. (2006). 6. sınıf Matematik Konu Anlatımlı. (1). İstanbul: Element Yayıncılık, 100-300. 5. Vural, İ., Yılmaz, S. (2006). 7. sınıf Matematik Konu Anlatımlı. (1). İstanbul: Element Yayıncılık, 100-300. 6. Vural, İ. (2010). 6. sınıf Matematik Konu Anlatımlı. (2). Ankara: A Yayınları, 1-300. 7. Vural, İ. (2010). 7. sınıf Matematik Konu Anlatımlı. (2). Ankara: A Yayınları, 1-280 8. Vural, İ. (2010). 8. sınıf Matematik Konu Anlatımlı. (2). Ankara: A Yayınları, 1-320 Hobiler Yaklaşım Teorisi, Yüzme, Tenis, Futbol, Seyahat etmek ve fotoğraf çekmek.
GAZİ GELECEKTİR...