1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması"

Belgin Melek Sezer
9 yıl önce
İzleme sayısı:

1 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0 ifadesi doğrudur. R de verilen bir (x n ) dizisi için ise, x, lim n x n x = 0 lim n,m x n x m = 0 ifadesi de her zaman doğrudur. Buna karşın bir (X, d) metrik uzayaında bir (x n ) dizisi için, x X, lim n d(x n, x) = 0 lim n,m d(x n, x m ) = 0 ifadesi genel olarak doğru değildir. Bu ifadeyi doğru yapan metrik uzayların önemli özellikleri vardır. Bu bölümde bu kavramla ilgili temel sonuçlar verilecektir. Tanım 1.6. (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X olmak üzere ise (x n ) dizisi x ye yakınsıyor denir. d(x n, x) 0 lim n,m d(x n, x m ) = 0 ise, (x n ) dizisine Cauchy dizisi denir. (X, d) metrik uzayında (x n ) dizisi x e yakınsıyor ise x n x ya da lim n x n = x yazabilirız. x n x, x n y = x = y olduğu barizdir. Her yakınsak dizinin Cauchy olduğu, eşitsizliğinin bir sonucudur. d(x, y) d(x, z) d(y, z) Tanım 1.7. (Frechet, 1906) (X, d) metrik uzay olsun. X deki her Cauchy dizisi yakınsak ise X e tam metrik uzay denir. Örnekler Tam metrik uzayın altuzayı tam olmak zorunda değildir. Gerçekten R nin metrik altuzayı Q tam değildir Tam metrik uzayın kapalı altuzayı tamdır.

2 16 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi X boş kümeden farklı bir küme ve (Y, d) tam metrik uzay olsun. B(X, Y ), X den Y tanımlı sınırlı fonksiyonların kümesi olsun. Yani, olsun. B(X, Y ) = {f Y X : sup a,b X d(a, b) < } p(f, g) = sup x X d(f(x), g(x)) eşitliği ile tanımlanan d, B(X, Y ) üzerinde bir metriktir. Üstelik bu metriğe göre B(X, Y )tam uzaydır: p nin metrik olduğu bariz. (f n), B(X, Y ) de bir Cauchy dizisi olsun. Her x X ve f,g B(X, Y ) için d(f(x), g(x)) p(f, g) eşitsizliğinden, (f n(x) dizisinin Y de Cauchy dizisi olduğu elde edilir. Dolayısı ile özelliğinde f Y X vardır. Ayrıca f n(x) f(x) sup a,b X d(f(a), f(b)) < olduğuda barizdir. Yani f B(X, Y ). ɛ > 0 verilsin. n,m n 0 için p(f n, f m) < ɛ özelliğinde n 0 N vardır. Her k N, n n 0 ve x X için olmasından d(f n(x), f n0 +k(x)) p(f n, f n0 +k) < ɛ p(f n, f) < ɛ elde edilir. Böylece f n f olduğu gösterilmiş olunur Euclidean R metrik uzayı tam olduğundan, yukarıdaki örneğin bir sonucu olarak: X boşkümeden farklı bir küme ve D, X den R ye tanımlı sınırlı fonksiyonların kümesi, yani olsun. D, metriğine göre tam uzaydır. D = {f R X : sup x X f(x) < } d(f, g) = sup x X f(x) g(x) (X, d) ve (Y, p) metrik uzaylar ve f : X Y fonksiyonu her x, y X için p(f(x), f(y)) = d(x, y) özelliğinde ise f ye izometri denir. Bir metrik uzay tam olmasa bile tam olan bir metrik uzayın yoğun alt uzayına izometriktir. Daha da fazlası: Teorem (Hausdorff, 1914) (X, d) bir metrik uzay olsun. i : X Y ve i(x) = Y özlliğinde tam metrik uzay (Y, p) ve izometri i vardır. Kanıt: 3 B, X den R ye tanımlı sınırlı fonksiyonlar kümesi ve her f,g B için 3 Bu kanıt Kuratowski ye aittir. p(f, g) = sup x X f(x) g(x)

3 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 17 olmak üzere (B, p) nin tam metrik uzay olduğunu yakarıda verilen örnekten biliyoruz. x 0 X i sabitliyelim. i : X B, i(x)(y) = d(x, y) d(x 0, y) eşitliği ile verilen i fonksiyonun varlığını bariz. p(i(x), i(y)) = sup t X i(x)(t) i(y)(t) = sup t X (d(x, t) d(x 0, t)) (d(y, t) d(x 0, t)) = sup t X d(x, t) d(y, t) d(x, y) = d(x, x) d(y, x) sup t X (d(x, t) d(y, t) = p(i(x), i(y)) eşitsizliklerinden i nin izometri olduğu görülür. Tam metrik uzayın kapalı altuzayı tam olduğundan, Y = i(x) alınarak kanıt tamamlanır. Teorem (Hausdorff, 1927) Y ve Z tam olmak üze (X, d), (Y, p), (Z, q) metrik uzayları verilsin. f : X Y ve g : X Z fonksiyonları Y = f(x) ve Z = g(x) özelliğinde iki izometri olsun. Birebir ve örten h : Y Z izometri vardır. Kanıt: (a n ) ve (b n ) dizileri verilsin. (i) f(x n ) dizisini yakınsaması için gerekli ve yeterli koşul (g(x n )) dizisinin yakınsamasıdır. (ii) lim f(a n ) = lim f(b n ) lim g(a n ) = lim g(b n ) olduğunu göstermek zor değildir. Bu gözlemelerin sonucu olarak h : Y Z, h(y) = lim g(x n ) (f(x n ) y) olarak tanımlanan fonksiyon istenilen özelliktedir. X ve Y metrik uzayları arasında örten izometrik var ise bu uzaylara izometrik eşit uzaylar deriz. Tanım 1.8. Y tam olmak üzere X metrik uzayından Y metrik uzayına tanımlı f(x) = Y özelliğinde bir izometri var ise, Y e X nin metrik uzay tamlaması denir. Yukarıdaki theoremin bir sonucu olarak, bir metrik uzayın metrik uzay tamlamaları izometrik eşittir. Yine yukarıda verilen iki teoremin bir sonucu olarak aşağıdaki teoremi kanıtladık. Yine de farklı klasik bir kanıtını vereceğiz.

4 18 1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Teorem (Hausdorff, 1914) Her metrik uzayın metrik uzay tamlaması vardır. Kanıt: Y 0, X üzerindeki Cauchy dizilerinin kümesi olsun. Her f,g Y 0 için, f f : lim n d(f(n), g(n)) = 0 olarak tanımlansın., Y 0, da bir denklik ilişkisi olduğu bariz. Bu denklik ilişlisine göre, Y, Y 0 nın elemanlarının denklik sınıflarının kümesi olsun. Yani, her f Y 0 için, [f] = {g Y 0 : f g} olmak üzere Y = {[f] : f Y 0 } diyelim. Her x X için π 0 (x)(n) = x olarak tanımlanan π 0 (x) dizisi Y 0 nın elemanıdır. (i) Her f, g Y 0 için (d(f(n), g(n)) dizisi yakınsaktır. (ii) p : Y Y R, p(f, g) = lim n d(f(n), g(n)) olarak tanımlanan fonksiyon bir metriktir. (iii) π : X Y, π(x) = [π 0 (x)] olarak tanımlanan fonksiyon bir izometridir. (iv) π(x) = Y dir. Kanıt. [f] Y verilsin. p(π(f(n)), [f]) = lim k d(π 0 (f(n))(k), f(k)) = lim k d(f(n), f(k)) 0) istenilendir. (iv) (Y, p) tam metrik uzaydır. Kanıt: (G n ), (Y, p) metrik uzayında Cauchy dizisi olsun. π(x) = Y olduğundan her n için, özelliğinde, X de (x n ) dizisi vardır. p(g n, π(x n )) < 1 n d(x n, x m ) = p(π(x n ), G n ) p(π(x n ), π(x m )) + p(π(x m ), G m ) + p(g n, G m ) eşitsizliğinden (x n ) dizisinin X de bir Cauchy dizisi olduğu görülür. f(n) = x n olmak üzere, [f] Y ve π(x n ) [f] dir. p(g n, [f]) p(g n, π(x n )) + p(π(x n ), [f]) 1 n + p(π(x n), [f]) 0 olduğundan G n [f] dir. Alıştırmalar

5 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Euclidean R metrik uzayın alt uzayları Q ve R\Q mın metrik tamlamalarının R olduğunu gösteriniz R nin alt uzayları (0, 1), [0, 1) ve (0, 1] nin tamlamalarını belirleyiniz Bir metrik uzayın tam altuzayının kapalı olduğunu gösteriniz Ayrık topolojik uzayın tam olduğunu gösteriniz (X, d) tam metrik uzay olsun. p : X X R, p(x, y) = min{1, d(x, y)} olarak tanımlansın. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz. (i) p, X üzeinde tam metriktir. (ii) d ve p, X üzerinde aynı topolojiyi üretirler (X, d) bir metrik uzay olsun. A X kümesini çapı r(a) = sup{d(a, b) : a, b A} olarak tanımlanır. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz. (i) X tam uzaydır. (ii) (F n), X nin boş kümeden farklı azalan (yani her n N için, F n+1 F n) kapalı kümelerin dizisi ve r(n), F n nin apı olmak üzere lim r(n) = 0 ise nf n = dır. (iii) {F s : s S}, X nin sonlu arakesit işlem kapalı, kapalı altkümelerinin bir ailesi ve her ɛ > 0 için r(f s) > 0 (F s nin çapı) özelliğinde s S var ise, s SF s dır X = C[0, 1], [0, 1] den R ye tanımlı sürekli fonksiyonların kümesi ve X üzerinde d ve p metrikleri d(f, g) = sup x [0,1] f(x) g(x) ve p(f, g) = 1 f(x) g(x) dx 0 olarak tanımlansın. (X, d) nin tam fakat (X, p) uzayının tam olmadığını gösteriniz. (X, d) uzayının tamlamasını belirleyiniz [0, 1] den R ye tanımlı polinomlar kümesi P ([0, 1]) nin d(f, g) = sup x [0,1] f(x) g(x) metriğine göre tam olmadığını gösteriniz ve tamlamasını belirleyiniz [0, 1] den R ye tanımlı Riemann integrallenebilir fonksiyonlar kümesi R([0, 1]) nin d(f, g) = 1 f(x) g(x) dx 0 metriğine göre tam olmadığını gösteriniz ve tamlamasını belirleyiniz ((X n, d n)) metrik uzayların dizisi ve her n ve x,y X n için d n(x, y) 1 olduğunu varsayalım. X = n Xn olarak tanımlansın. d : X X R, d((x n), (y n)) = n olarak tanımlansın. Aşağıdakilerin doğruluğunu gösteriniz. (i) (X, d) bir metrik uzaydır. 1 2 n d n(x n, y n) (iii) (X, d) nin tam olması için gerekli ve yeterli koşul, her n N için (X n, d n) uzayının tam olmasıdır.

Benzer belgeler

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi

1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d