13.Konu Reel sayılar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "13.Konu Reel sayılar"

Derya Alkan
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık özelliği 7. Reel sayılarının kuvvetleri 8. İrrasyonel sayılar 9. Alıştırmalar 1. Temel dizi 1.Tanım: Tanım cümlesi pozitif tam sayılar cümlesi, değer cümlesi rasyonel sayılar cümlesi olan bir fonksiyonuna rasyonel sayılar cümlesinde bir dizi denir. Kısaca. 2.Tanım: ye dizinin n inci terimi veya genel terimi denir. 3.Tanım: ise diziye sabit dizi denir. 4.Tanım: ise dizisi dizisine eşittir denir. 5.Tanım: olacak biçimde ise dizisi a sayısına yakınsar veya dizisinin limiti a dır denir. veya 6.Tanım: Limiti sıfır olan bir diziye sınır dizisi denir. 7.Tanım: Herhangi bir rasyonel sayılar dizisi için ise dizisine rasyonel sayılar ^cümlesinde bir temel dizi veya Cauchy dizisi denir. 1.Teorem: Yakınsak her rasyonel sayılar dizisi bir temel dizidir. İspat: Buna göre,. Öte yandan, 1

2 8.Tanım: Herhangi bir rasyonel sayılar dizisi için ise dizisine sınırlı dizi denir. 2.Teorem: Herhangi bir rasyonel sayılar dizisi temel dizi ise sınırlıdır. İspat: Rasyonel sayılar dizisi temel dizi olduğundan, olacak biçimde. Buna göre, { } olmak üzere sayılarının küçük olmayanına M denirse, olur. 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 9.Tanım: Terimleri rasyonel sayılar olan temel diziler cümlesi T ve, olduğuna göre dizisine ve dizilerin toplamı, dizisine ve dizilerin çarpımı denir. 3.Teorem: Terimleri rasyonel sayılar olan temel diziler cümlesi T ) matematik yapısı değişmeli ve birimli bir halkadır. 4.Teorem: Terimleri rasyonel sayılar olan temel diziler cümlesi T ve sıfır dizilerinin cümlesi S ise, olacak biçimde bir rasyonel sayılar ile bir TS vardır. 3.Reel sayılar kümesi 5.Teorem: Terimleri rasyonel sayılar olan temel diziler cümlesi T ve sıfır dizilerinin cümlesi S, [ ] biçiminde tanımlanan bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. İspat:, 1) ve olduğundan. Yansıyan. 2). Simetrik. 3). Geçişli. 2

3 bağıntısı T cümlesini denklik sınıflarına ayrır. dizisinin denklik sınırını ile gösterelim. { } 10.Tanım: Terimleri rasyonel sayılar olan temel dizilerin T cümlesinde tanımlanan bağıntısının T den ayırdığı denklik sınıflarından her birine reel sayı denir. Reel sayılar cümlesi ile gösterilir. 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 11.Tanım: Reel sayılar cümlesinde, biçiminde tanımlanan işlemlerine sıra ile toplama ve çarpma denir. 6.Teorem: ) matematik yapısı bir cisimdir. 7.Teorem: Rasyonel sayılar cismi, reel sayılar cisminin bir alt cismine izomorftur. İspat: { } ve fonksiyonunu tanımlayalım. sıfır dizisidir. olduğundan f fonksiyon birebirdir. f örtendir. Öte yandan, olduğundan f homomorfizmdir. 12.Tanım: sayısına x ve y sayılarının farkı denir. Farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma denir. real sayısına x in y ye bölümü denir. Bölümü bulmak için yapılan işleme bölme denir. 5.Reel sayılar kümesinde sıralama 13.Tanım: cisminin sıfırı 0 sayısına x ve y sayılarının farkı denir. Aşağıdaki önermeler doğru olacak biçimde F nin bir P alt cümlesi varsa P ye cisminin pozitif kesimi, P nin her elemanına F nin pozitif bir elemanı, cismine sıralı cisim denir. a) b) ve ise veya elemanlarından biri ve yalnız biri P nin elemanıdır. 3

4 c)p cümlesi F deki toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır. P nin bir elemanı pozitif ise yanı, ise veya yazılır. F nın pozitif olmayan sıfırdan farklı elemanlarına negatif elemanlar denir. 14.Tanım: Sıralı cisminin pozitif kesimi P için ise, den küçüktür, denir ve yazılır. veya ise 15.Tanım: sıralı cisım, pozitif kesimi P için ise, den küçüktür, denir ve yazılır. veya ise 16.Tanım: sıralı cisım, { biçiminde tanımlanan sayısına x in mutlak değeri denir. 8.Teorem: ) cismi sıralı bir cisimdir. 9.Teorem: Herhangi iki reel sayı arasında bir rasyonel sayı vardır. 10.Teorem: a) önermelerinden biri ve yalnız biri doğrudur. b) c) d) e) Her bir rasyonel sayı aynı zamanda bir reel sayıdır. Buna göre terimleri rasyonel sayılar olan her bir dizisi de bir dizi olur. Q daki bir dizisinin de bir dizi olduğunu belirtmemek için yerine yazacağız. 11.Teorem: ise dir. İspat: de bir pozitif sayısı ile olacak biçimde bir rasyonel sayısını göz önüne alalım. dizisi temel olduğundan, olacak biçimde bir rasyonel sayısı vardır. Buna göre olduğundan her için, ve. Öyleyse, her için, < ve <. Yani, ve elde edilir. Buna göre, için,. 4

5 6.Reel sayılar kümesinin tamlık özelliği 17.Tanım: Sıralı cismi verilmiş r r F d n n h r t d z F n n b r anına yakın ıyor a cismine tamdır, denir. 12.Teorem: cismi tamdır. İspat: Terimleri den seçilen bir temel dizi olacak biçimde bir rasyonel seçelim. olmak üzere sayısını olacak biçimde dan büyük bir rasyonel sayısı vardır. Buna göre olduğundan her için, ve buradan, elde edilir. Öyleyse, dizisi temel dizidir. diyelim. de bir pozitif sayı seçelim. vardır. Buna göre, olduğundan, olacak biçimde dan büyük pozitif bir tam sayısı. 18.Tanım: Terimleri den seçilen bir dizi ise dizisine azalmayan dizi, ise dizisine artmayan dizi denir. 13.Teorem: de bir verilmiş a) dizisi sınırlı ve azalmayan bir dizi ise yakınsaktır. b) dizisi sınırlı ve artmayan bir dizi ise yakınsaktır. 14.Teorem: de üstten sınırlı ve boş cümleden farklı her S alt cümlesinin bir en küçük üst sınırı vardır. 19.Tanım: a) dir. b) dir. c) dir. d) 20.Tanım: 7.Reel sayılarının kuvvetleri 5

6 a) tek sayı olmak üzere, denklemini sağlayan reel sayısına b) çift sayı ve olmak üzere, denklemini sağlayan reel sayısına a nın n. kuvvetten denir ve = yazılır. 21.Tanım: [ ] 8. İrrasyonel sayılar 22.Tanım: cümlesinin her bir elemanına irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar cümlesi I ile gösterilir 15.Teorem: Herhangi iki rasyonel say arasında en az bir irrasyonel sayı vardır. 9.Alıştırmalar 1. olduğuna göre, olduğunu gösteriniz. 2. olduğuna göre, nedir? 3. açık önermesinin deki doğruluk cümlesi nedir? 4. açık önermesinin deki doğruluk cümlesi nedir? 5. açık önermesinin deki doğruluk cümlesi nedir? 6. + önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. 7. sayının irrasyonel olduğunu gösteriniz. 6

Benzer belgeler

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir