ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun tersi olarak tanımlanan logaritma fonksiyonu öğrenilmiş olunacak Üstel ve logaritma fonksiyonu ile ilgili örnekler görülecektir. ÜNİTE 7

2 GİRİŞ Üstel ve Logaritma fonksiyonları matematik, mühendislik ve diğer fen bilimlerinde sıkça karşılaşılan fonksiyonlardır. Bu kısımda bu iki fonksiyonun tanımlarını verecek, onların temel özelliklerini öğrenecek ve grafiklerini inceleyeceğiz. Öncelikle bizi bir üstel fonksiyon kavramına götüren bir örnekle işe başlayalım Başlangıçta 500 bin elemana sahip bir bakteri kümesinde eleman sayısındaki artış şöyledir: Her bir günde eleman sayısı bir önceki gündeki eleman sayısının dört katına çıkıyor. gün sonra eleman sayısı ne olur? 2.5 gün sonraki eleman sayısı ne olur? Çözüm: Başlangıçta olduğundan bin Bir gün sonra, bin İki gün sonra, bin Üç gün sonra, [ ] bin gün sonra, bin olarak bulunur. gün için, ( ) bin ÜSTEL FONKSİYON Tanım 7.1. ve olmak üzere, şeklinde tanımlanan bir fonksiyona üstel fonksiyon, ya taban e de üs adı verilir. Burada olmasının sebebi şudur. Eğer negatif olsaydı, örneğin olsaydı, olması halinde olarak fonksiyonun değeri tanımsız olurdu. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 fonksiyonunda olmak zorundadır. Aksi halde alınırsa, her reel sayısı için olacağından fonksiyon sabit fonksiyon Bu sebepten ve olarak alınmıştır. Örneğin, aşağıdaki fonksiyonlardan I,II ve III. Fonksiyonlar birer üstel fonksiyondur. Ancak IV. Fonksiyon bir üstel fonksiyon değildir.,,, Üstel Fonksiyonun Özellikleri Üstel fonksiyonun özelliklerini ve için ayrı ayrı inceleyeceğiz. 1. olması halinde üstel fonksiyonunun özellikleri; a) için için için b), fonksiyonu süreklidir. c), fonksiyonu artandır. d) e) için, fonksiyonunun değişim tablosu ve grafiği aşağıda verilmiştir. 2. olması halinde üstel fonksiyonunun özellikleri : a) için için için Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 b), fonksiyonu süreklidir. c), fonksiyonu azalandır. d) e) için, fonksiyonunun değişim tablosu ve grafiği aşağıda verilmiştir. üstel fonksiyonunda yerine alırsak, fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyon fen bilimleri alanlarında önemli bir fonksiyondur. Bazı kaynaklarda bu fonksiyon şeklinde yazılır. (exp(x)= exponential(x)) Aşağıda verilen ifadelerden hangileri üstel fonksiyon değildir. a), c), b), d) d), e), f), g), h), Çözüm: a, b, d, f ve h şıklarında taban pozitif ve 1 den farklı olduğundan herbir durumda verilen fonksiyon bir üstel fonksiyondur. c, e ve g şıklarında ise taban negatif olduğundan bunlar üstel fonksiyon değildir., fonksiyonunun grafiğinden de kolayca görüleceği gibi için olduğundan,, fonksiyonu daima pozitif değer almaktadır. Eğer, alırsak fonksiyonu birebir örten Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 LOGARİTMA FONKSİYON Tanım 7.2., şeklinde tanımlanan üstel fonksiyon birebir örten olduğundan, şeklinde bir ters fonksiyona sahip Bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir. olmak üzere, için şeklinde gösterilir ve a tabanın da x in logariması şeklinde okunur. Yukardaki tanımdan, için, yazılır. ifadesini kullanarak bazı sayıların logaritmalarını kolayca hesap edeceğiz. 7.3., sayılarını hesaplayınız. Çözüm: diyelim. Bu durumda,, ve ifadesinde ya logaritmanın tabanı e de logaritması alınacak sayı diyeceğiz. Burada, fonksiyonunun tanımlı olması için, ve olması gerektiğini biliyoruz. ifadesinde ise yazacağız. Buna bayağı logaritma diyeceğiz. Bu logarirtmayı kısaca ile göstereceğiz. Eğer ise, logaritmasına doğal logaritma diyeceğiz. Bu logaritmayıda kısaca ile göstereceğiz. Bu çok kullanılan bir logaritmadır. Burada şeklinde bir sayıdır. Buna göre, Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 ise, sayısını bulalım. olduğundan, Buradan bulunur. Yani, Buradan bulunur. Yani, bulunur. Böylece, 1 in her tabandaki logaritması 0 olarak bulunur. Logaritma Fonksiyonunun Bazı Özellikleri 1. Bir çarpımın logaritması, çarpanların logaritmaları toplamına eşittir. ve olsun. Bu durumda, ve olur. Bu iki ifadeyi taraf tarafa çarparsak, Bu da demektir. 2. Bir bölümün logaritması, payın logaritması ile paydanın logaritmaları farkına eşittir. ve olsun. Bu durumda, ve Bu iki ifadeyi taraf tarafa bölersek, 3. Bir sayının kuvvetinin logaritması, kuvveti ile sayının logaritması çarpımına eşittir. Yani, 4.,, ve,, olmak üzere Gerçekten, ve olsun. Bu durumda,, Böylece, bulunur. Yani, Bu son ifadeden ifadesini de yazabiliriz. Buna logaritmada taban değiştirme denir. Burada alırsak, elde edilir. Ayrıca, log b.log c log c ifadesinde c a yazarsak, log b.log a 1 bağıntısını elde ederiz. a b a a b Logaritma fonksiyonunun değişimi ve grafiği ve için aşağıda verilmiştir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 1) için in değişimi ve grafiği; için in değişimi ve grafiği: 7.4. ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm: 7.5. ifadesinin logaritmasını bulunuz. Çözüm: [ ] Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 7.6. işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm:, diyelim. Bu ifadelerin her iki yanlarının tabanında logaritmalarını alırsak; Yani, olacağından, 7.7. Çözüm: ifadesini tek logaritma altında yazınız veriliyor. ( ) değerini bulunuz. Çözüm: Verilen ifadede yerine ( ) yazarsak, ( ) ( ) 7.9. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 bulunuz. olduğuna göre ve ifadelerini cinsinden Çözüm: Logaritmada taban değiştirme formülünü kullanırsak, ise, değerini bulunuz. Çözüm: olduğundan, ise, değeri nedir? Çözüm: olduğundan, ise, i bulunuz. Çözüm: Her iki yanın tabanında logaritmasını alırsak, Diğer yandan olduğundan, olarak bulunur ( ) ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm: ( ) ( ) ( ) ( ) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 Bireysel Etkinlik Üstel ve Logaritma Fonksiyonları Üstel fonksiyon ve logaritmik fonksiyon hakkında neler öğrendiniz? Düşününüz. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 Özet Üstel ve Logaritma Fonksiyonları Bu ünitede üstel ve logaritma fonksiyonlarının tanımlarının yanısıra aralarındaki ilişkinin ne olduğunu gördük. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 DEĞERLENDİRME SORULARI 1., olduğuna göre nin değeri hangisidir? Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. a) b) c) d) e) 2. ( olduğu biliniyor.) işleminin sonucu kaçtır? a) 1 b) c) d) e) 3. işleminin sonucu kaçtır? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 4. ( olduğu biliniyor.) aşağıdakilerden hangisine eşittir? a) b) c) d) e) 5. ( olduğu biliniyor.) ise aşağıdakilerden hangisine eşittir? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.C, 2.E, 3.E, 4.A, 5.D Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Balcı, M., (2006). Genel Matematik Problemleri 1, Ankara: Balcı Yayınları. ISBN: Anadolu Üniversitesi. (2009).Genel Matematik. Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Yayınları. ISBN: Karadeniz, A., Ahmet., (1995). Yüksek Matematik (Cilt1). İstanbul: Çağlayan Kitapevi. ISBN: Kadıoğlu, E., Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayıncılık. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14