Şekil..1 de görüldüğü gibi yassı şekil değiştirmeyen ve sürtünmesi ihmal edilen yatay bir düzlem üzerinde bulunan bir cismi göz önüne alalım. aşlangıç

ÖLÜM DENGE.1 Giriş sırlar boyu hareket ve hareketin nedenleri, doğa felsefesinin, bugünkü adı ile fiziğin temel meselesi olmuştur. u durum Galileo ve Newton dönemine kadar uzanır. Klasik mekaniğin kurucusu kabul edilen Newton, Galileo nun öldüğü yıl İngiltere de doğmuştur. Newton, Galileo nun ve kendisinden önce yaşamış diğer bilim adamlarının çalışmalarından faydalanmıştır. Sir Isaac Newton (1643 177 ) tarafından açıkça ifade edilen 1686 yılında abii ilimlerin Matematik rensipleri adlı makalesiyle yayınlanan üç kanuna dayanır. Galileo dan önce birçok felsefeci, bir cismi hareket halinde tutabilmek için bir etki veya bir kuvvetin gerekli olduğu düşünmüşlerdir. ir cisim hareketsiz ise o cisim doğal durumundadır. Örneğin, bir cisim sabit bir hızla bir doğru boyunca hareket etmesi için, cismin üzerinde daima bir dış etkenin var olması gereklidir, aksi takdirde cismin doğal olarak hareketsiz durumuna dönecektir. Cisimlerin, hareketlerini dış etkiler olmaksızın koruyabilmek olgusu Newton tarafından ortaya atılmıştır.. Newton un irinci Kanunu, Denge Kuvvetin etkilerinden birisi, etkidiği cismin boyutunu veya biçimini değiştirmesi, diğeri de cismin hareketinin bozmasıdır. ir cismin hareketi ya tüm olarak veya öteleme hareketi yanında, eğer varsa, dönme hareketi ile beraber düşünülür. Genel halde bir cisme uygulanan kuvvet o cismin hem öteleme hem de dönme hareketi ile anlaşılır. ir cisme aynı anda birçok kuvvet etki edebilir ve bu kuvvetler birbirini karşılayarak cismin öteleme ve dönme hareketinde bir değişme olmayabilir. u halde cisim dengededir denir. ir cismin dengede olabilmesi için ; 1. cisim ya sükûnet halindedir veya cisim sabit hızla bir doğru üzerinde hareket ediyordur.. cisim ya dönmemekte veya sabit hızla dönmektedir. F 1 F F 1 1 C ( a ) ( b ) F F ( c ) Şekil..1 ir cisim üzerine etki eden değişik şekillerde iki kuvvet 19

Şekil..1 de görüldüğü gibi yassı şekil değiştirmeyen ve sürtünmesi ihmal edilen yatay bir düzlem üzerinde bulunan bir cismi göz önüne alalım. aşlangıçta dengede olan bu cisme Şekil.,1 (a) da görüldüğü gibi bir tek F 1 kuvveti etkirse bu cisim harekete başlar ve saat göstergesi yönünde döner. Cisim başlangıçta hareket halinde ise bu kuvvetin etkisinde öteleme hareketinin hızı ve doğrultusu değişir ve dönmenin hızı artar veya azalır. Her iki halde de cisim dengede kalmaz. Şekil..1 (b) de cisme F 1 le aynı büyüklükte zıt yönde ve aynı doğrultuda ikinci F kuvveti yardımıyla denge sağlanabilir. una göre F 1 ile F kuvvetlerinin bileşkesi sıfır olur. Şekil..1 (c) de görüldüğü gibi iki kuvvetin etki çizgileri aynı değilse cismin öteleme dengesi vardır dönme dengesi yoktur. nalitik çözüm için verilen kuvvetlerin dik bileşenlerinin alınması kolaylık sağlar. Düzlemsel bir kuvvet sisteminin R bileşkesinin dik bileşenlerinin: R x = Σ F x, R y = Σ F y olduğunu görmüştük. Eğer bir cisim dengede ise, cisim üzerine etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. u sebeple dik bileşenlerin her birinin sıfır olma gerekçesinden bir cismin denge şartı olarak, Σ F x = 0, Σ F y = 0 yazabiliriz. u denklemlere dengenin birinci şartı denir. irinci denge şartı bu cismin öteleme dengesinin bulunduğunu ifade eder. Dengenin ikinci şartı ise dönme dengesi ile ilgilidir. Newton un birinci yasası ir cisme bir dış kuvvet ( bileşke kuvvet ) etki etmedikçe, cisim durgun ise durgun kalacak, hareketli ise sabit hızla doğrusal hareketine devam edecektir. ifade edilmiştir..3 Newton un Üçüncü Hareket Kanunu Her hangi bir kuvvetin varlığı, iki cisim arasındaki karşılıklı etkinin bir ifadesidir. Her hangi bir cisim diğer bir cisme etkiyince, ikinci cisimde birinciye aynı doğrultuda zıt yönde eşit şiddette bir kuvvet uygular. u sebepten tek bir kuvvetin varlığı düşünülemez. F 1 = - F 1 dir. u kuvvetlerden birine etki diğerine tepki kuvveti denir. unlardan birisi sebepse diğeri de onun tepkisidir. Kuvvetlerin bu özelliği, Newton tarafından hareketin üçüncü kanunu olarak ifade edilmiştir. Örnek olarak Şekil.. de görüldüğü gibi, bir adam, yatay bir masa üzerinde bir bloğa bağlanmış olan bir sicimi yatay olarak çekiyor.dam sicim üzerine F S kuvvetini uygulamaktadır. Sicimde adama F S tepki kuvvetini uygular. Newton un üçüncü kanununa 0

göre, F S = - F S dır. Sicim, blok üzerine F S gibi bir kuvvet uygularken blokta sicim üzerine F S gibi bir tepki kuvveti uygular. una göre de F S = - F S dir. F S F S F S F S Şekil.. Etki epki Kuvvetleri ir adam sicime bağlı bir bloğu çekiyor. Sicim üzerine adam ve blok tarafından uygulanan kuvvetler eşit ve zıttır. Sicim üzerindeki toplam kuvvet sıfırdır. Sicim ivmelenmez. F S ile F S ve F S ile F S kuvvetleri etki tepki kuvvetleridir. F S ile F S etki tepki kuvvetleri değildirler. Çünkü aynı cisme uygulanmışlardır..4 Denge Örnekleri Denge şartları, dengede olan bir cisim üzerine etkiyen kuvvetler arasında bazı ilişkiler ifade eder. ir cisme etkiyen kuvvetler vektörlerle gösterilerek dikkatle çizilen bir diyagram denge problemlerinin çözümünde esastır. Denge problemlerinin çözümünde izlenecek yol şudur: İlk önce verilen sistemin düzgün bir resmi çizilir. Sonra dengede olan cisimler tespit edilir ve buna etkiyen kuvvetler işaretlenir. u çizilen diyagrama kuvvet veya serbest cisim diyagramı denir. Diyagram üzerinde verilen kuvvetlerin doğrultuları ve sayısal değerleri yazılır. ilinmeyenler harflerle gösterilir. Son olarak ta eğik kuvvetleri dik bileşenlerine ayılarak kuvvet diyagramı çizilir ve denge denklemleri yazarak bilinmeyenler bulunur. ΣF x = 0, Σ Fy= 0.5 Sürtünme ir cisim diğer bir cisim üzerinde kayarken, birbirinin kayma yüzeyine paralel sürtünme kuvveti uygularlar. u kuvvet cisimlerin bağıl hareketlerine zıt yöndedir. ir cisim masa üzerinde soldan sağa kayarsa bu cisme sola doğru bir sürtünme kuvveti etkir. Masa ise buna eşit sağa yönelmiş bir kuvvet etkisinde kalır. Şimdiye kadar etkilerini ihmal ettiğimiz halde sürtünmenin günlük yaşantımızdaki yeri çok önemlidir. Örneğin dönen bir şaft sadece sürtünme kuvvetinin etkisiyle durdurulabilir. ir otomobilde, motor gücünün yüzde % 0 si sürtünme kuvvetlerine karşı koymak için harcanır. 1

Öte yandan sürtünme olmaksızın rahatlıkla yürüyemeyecek, kuşun kalemimizi elimizde tutamayacak tutabilsek bile yazı yazamayacaktık; kara taşımacılık mümkün olmayacaktı! yrıca sürtünme kuvveti sebebi tam anlaşılmış değildir ve önemli bir araştırma konusudur. kışkan ( sıvı veya gaz ) içinde hareket eden, cisimlerde bir sürtünmenin etkisindedir. u sıvıların viskozluğunun sonucudur. iz bu bölümde birbiri üzerinde kayan yağlanmamış iki cisim arasındaki kuru sürtünme adı verilen kuvveti incel iyeceğiz. Şekil..3 (a) da bir cisim kendi w ağırlığı ve üzerinde durduğu yatay yüzeyin uyguladığı kuvveti etkisinde dengede bulunmaktadır. Şekil..3 (b) de ise cisme bir sicim bağlandığını ve sicimdeki geriliminin yavaş yavaş artırdığını düşünelim. Gerilim pek büyük değilse cisim dengede kalır. u halde yüzeyin cisme uyguladığı kuvveti, şekilde görüldüğü gibi sola doğru eğilir. rtık, w ve gibi üç kuvvet düşünülmelidir. nin yüzeye paralel bileşeni statik sürtünme kuvveti adını alır ve f s ile gösterilir. Diğer N bileşeni yüzeyin cisme uyguladığı normal kuvvettir. Denge şartlarına göre f s statik kuvveti ye, N normal kuvveti de w ağırlığına eşittir. N Hareket yok f s < µ s. N w w ( a ) ( b ) N N hareket sınırında f s hareket var f s = µ s. N f k = µ k.n f s f k w w ( c ) ( d ) Şekil.3 daha büyültülürse, bir değerden sonra cisim düzlem üzerinde kaymaya başlar. aşka bir deyimle fs statik sürtünme kuvvetinin belli maksimum değeri vardır. Şekil..3 ( c ) nin hareketi sağlayacağı limitin hemen altında bulunduğu hale ait kuvvet diyagramını gösteriyor. nin limitin üstüne çıkınca artık cismin dengesinden söz edilemez.

emas halindeki belli bir düzlem için fs nin maksimum değeri hemen hemen N nin maksimum değeri ile orantılıdır. Statik sürtünme kuvvetinin değeri sıfırla, N le orantılı µ s.n gibi bir maksimum değer arasında değişir. µ s katsayısına statik sürtünme katsayısı denir. u deyimin matematik değeri fs < µ s.n dir. Kayma başlar başlamaz sürtünme kuvveti küçülür. u halde de sürtünme halindeki iki yüzey için sürtünme kuvveti hemen hemen normal kuvvetle orantılıdır. µ k katsayısına kayma ( kinetik ) sürtünme katsayısı denir. Cisim hareket halinde ise kayma sürtünme kuvveti fk = µ k N bağıntısıyla verilir. 3

ÇÖZÜMLÜ ROLEMLER.1. Şekilde görüldüğü gibi cisminin aşağı doğru harekete başlaması için kuvveti ne olmalıdır. ütün yüzeylerde statik sürtünme katsayısı µ s =0,5 dir. = 100 nt, = 00 nt 30 cos30 0 = sin60 0 = 0,86 cos60 = sin30 0 = 0,5 Çözüm : µ s =0,5, = 100 nt, = 00 nt cismi için denge şartı + x f = 0 cismi için denge şartı N x 30 f y N f f = 0 + x f = 0 + x - f - f = 0 + 50 1,5 50 = 0, = 1,5 nt f = µ s.m.g.cos30 0 = 0,5.100.0,86 = 1,5 nt f = µ s.m.g = 0,5.00 = 50 nt x =. sin30 0 = 100.0,5 = 50 nt = f = 50 nt 4

.. ve blokları şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz makaradan geçen iplerle 1 =90 kg = 300 kg lık ağırlıklar asılmıştır. lokların birbirleriyle ve masa 1 üzerindeki sürtünme katsayısı µ = 0,15 olduğuna göre sistemin dengede kalabilmesi için ve bloklarının ağırlıkları ne olmalıdır? Çözüm : 1 =90 kg, = 300 kg f 1 f f 1 1 1 cismi için denge şartı: N = 0, 1 f = 0 f = 1 = 90, f = µ S. N, 90 90 = 0,15. = = 600kg.f 0,15 f 1 = 0, N - = 0 N = cismi için denge şartı: N = 0, - f f = 0 f = 90 kg.f f f = 0,15 ( + ) 300 90 f = 0, f = 0 N - = 0 N = f = 10 10 = 0,15 (600 + ) 10 = 90 + 0,15., = 10 / 0,15 = 800 kg.f 5

.3. a) Şekildeki sistemin dengede kalabilmesi için / Q oranı ne olmalıdır. b) u oran için ip kuvvetlerini cinsinden bulunuz. 3 cos30 0 = sin60 0 = 0,86 sin30 0 = cos60 0 = 0,5 cos45 0 = sin45 0 = 0,7 1 30 0 60 0 Q Çözüm : / Q =? yükünün bulunduğu nokta için denge şartı : 3 = 0. cos30 0 = 1 ( 1 ) = 0. sin30 0 = ( ) 1 30 0 60 0 Q. 0,5 =, = Q yükünün bulunduğu nokta için denge : = 0 3.cos60 0 =.cos30 0 ( 3 ) = 0 3.sin60 0 -.sin30 0 Q = 0 ( 4 ) 1 30 0 3.0,5. 0,86 = 0 3.0,86. 0,5 Q = 0 3 0,86 / 3.0,5. 0,86 = 0 0,5 / 3.0,86. 0,5 Q = 0 30 0 Q 60 0 0,43. 3 0,75. = 0-0,43. 3 + 0,5. = - 0,5.Q 0,5. = 0,5.Q = Q olur. = Q yi ( ) de yerine koyarsak: 1.0,5 = Q. 0,5 = = olur. =. Q (1) den 1 =..0,86 = 1,7. 1 = 1,7. ( 4 ) den 3.0,86.0,5 - = 0 3.0,86 = 1,5. 3 = 3,44. 6

.4. a ) Sistemin harekete başlaması için C cisminin ağırlığını bulunuz. cisminin masa ile C arasındaki statik sürtünme katsayısı µ s = 0, dir. b) C cismi kaldırılıyor. Cismin sabit hızla hareket etmesi için kinetik sürtünme katsayısı ne olmalıdır. = 44 nt, = nt, µ s = 0, dir. Çözüm : = 44 nt, = nt, µ s = 0, dir. sılı cisim için denge şartı : = 0, = 0, = = nt N Yataydaki cisim için denge şartı: = 0, f s = 0 = f s = µ s ( + C ) C = 0, N top = 0 = f s = µ s ( + C ) = 0, ( 44 + C ) C = 66 nt f s b ) sılı cisim için : = 0 = = nt Yataydaki cisim için denge şartı f k = 0, = µ k. N = µ k., = µ k. 44, µ k = 0,5 N 7

.5. Şekildeki gibi bir noktada kesişen 8 t α Q kuvvetler sisteminin dengede olabilmesi için Q ve α ne olmalıdır 5 m 4 m 3 m 10 t 6 t Çözüm : = 0 Q.cosα 8-10.cos = 0, ( 1 ) = 0 8 t α Q Q.sinα 6 10. sin = 0 ( ) cos = 3 / 5 = 0,6 sin = 4 / 5 = 0,8 Q. cosα 8 10.0,6 = 0, 5 m 4 m Q. cosα = 14 Q.sinα - 6 10.0,8 = 0, Q. sinα = 14 u iki denklemi birbirine böldüğümüzde: tanα = 1 α = 45 0 Q = 14 cosα = 14 0,7 = 0ton 10 t 3 m 6 t y.6. Şekildeki sistem dengede olduğuna göre ve değerlerini bulunuz. 700 kg 45 0 30 0 100 kg 0,65 ton x 600 kg 8

Çözüm : = 0, 100.cos30 0 + 650 +. cos - 700.0,7 = 0 100.0,86 + 650 +. cos - 490 = 0 119 +. cos = 0 (1 ) 700 kg y 100 kg = 0, 100.sin30 0 +.sin + 700.0,7 = 600 45 0 30 0 0,65 ton x 600 +.sin 600 + 490 = 0.sin + 490 = 0 () 600 kg (1) ve () den + sin +cos = (-119) + (-490) = (-119) + (-490) = 188,8 kg X =.cos, Y =.sin (1) den 119 +. cos = 0, 119 + 188,8. cos = 0, 119 cos = = 0,9 188,8.7. şağıda görülen her iki blok ile düzlem arasındaki sürtünme katsayısı 0,5 iken 0 kg 10 kg hareket başlangıcı için lüzumlu kuvvetini bulunuz. kuvveti ve halat düzleme paralel olup, makara ağırlıksızdır. 30 0 Çözüm : 0 kg lık cisim için denge şartı: = 0, x + f = 0 (1).sin30 0 + µ. N = 0 0.0,5 + 0,5.17, = 0 0 kg f x y 30 0 f 9

10 + 4,3 = 0 = 5,7 = 0 N. cos30 = 0 N = 0.0,86 = 17, kg 10 kg lık cisim için denge şartı: = 0, x f = 0 10.sin30 0-0,5. 10.cos30 0 = 0 = 10.0,5 + 0,5.10.0,86 = 7,15 nt = 0, N =. cos30 0 = 10.0,86 = 8,6 nt = 5,7, = 1,45 kg = 7,15 5,7 = 1,45 kg.8. Şekilde gösterilen düzenekte 1 = 40 kg, = 30 kg dır. İpin üç parçasındaki gerilme kuvvetlerini ve açısını bulunuz. 1 = 45 0, = 60 0 1 1 Çözüm : 1 = 40 kg, = 30 kg, 1 = 45 0, = 60 0 1 3 noktası için denge şartı = 0, 1 1.cos 1.cos45 0 = 0. cos - 1.0,7 = 0 (1) = 0. sin + 1.sin45 0 40 = 0. sin + 1.0,7 = 40 () 1 noktası için denge şartı : = 0, 3.cos60 0.cos = 0 3.0,5 -.cos = 0 45 0 = 0 3.sin60 0.sin 30 = 0 3.0,86 -.sin =30 =40 nt 30

3.0,5 -.cos = 0 (3) 3.0,86 -.sin =30 (4). sin = 40-1.0,7 ().sin = -30 + 3.0,86 (4) bu iki denklemden (eşitlikten ) 40-1.0,7 = - 30 + 3.0,86 40-1.0,7 = -30 + ( 7/ 5) 1.0,86 3 1 = 36,84 kg. cos - 1.0,7 = 0 (1). cos = 1.0,7 60 0 3.0,5 -.cos = 0 (3). cos = 3.0,5 u iki denklemden 1.0,7 = 3.0,5 olur. 1 =30 kg 3 = ( 7 / 5 ). 1, 3 = ( 7/5 ).36,84 = 51,57 kg. cos - 1.0,7 = 0. sin = 40-1.0,7 =.0,7 1 cos30 0 36,84.0,7 40 36,84.0,7 = = 30kg sin = = 0, 5 0,86 30 = 30 0 olur..9. oyu 10 m olan bir ip aralarındaki uzaklık 4 m olan düşey iki duvar üzerindeki ve noktalarına bağlanmıştır. ir ağırlığı bir hareketli makara α β yardımıyla ipin üzerine konmuştur. Denge konumunda iplerin yatayla yaptığı açıyı ve ip kuvvetlerini bulunuz. D C E 4 m Çözüm: C noktası için denge şartı : S S = 0 S.cosβ S.cosα = 0 (1) = 0 S.sinβ + S.sinα = () ------------------------------------------------ (1) den S.cosβ = S.cosα, cosβ = cosα, β = α α C β 31

() den S.sinα + S.sinα =.S. sinα = S =, C + C = 10, C. cosα + C..cosβ = 4.sinα cosα ( C + C ) = 4 cosα (10 ) = 4, cosα = 0,4 α = 66,4 0 S = = 1,5..sinα 0.sin66 = olur..10. Şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz makaradan geçen iki cisim görülmektedir. Sürtünme katsayısı µ = 0,3 olan masa üzerindeki 300 nt luk cismin sağa doğru 45 0 30 0 hareket etmesi için ağırlığı ne olmalıdır. sin30 0 = 0,5, cos30 0 = 0,86, 40 nt sin45 0 = cos45 0 = 0,7 Çözüm : 300 nt luk cisim için denge şartı: N = 0, x F x f s = 0,.cos30 0 F.cos45 0 µ. N = 0 (1) 45 0 30 0 = 0, y + F y + N -300 = 0, N +.sin30 0 + F.sin45 0 = 300 () 40 nt f (1) den.0,86 F.0,7 0,3. N = 0.0,86 8 0,3.N = 0 () den.0,5 + 40.0,7 + N = 300.0,5 + 8 + N = 300 N = 7.0,5 F=40 nt N N nin bu değerini (1) de yerine koyarsak: 450 30 0.0,86 8 0,3 ( 7.0,5 ) = 0 f s.0,86 8 81,6 + 0,15. = 0 300 nt = 109,6 nt olur. 3

.11. Şekildeki sistemin dengede dolabilmesi için 1 ve ne olmalıdır. sin70 0 = 0,94 cos70 0 = 0,34 60 0 1 70 0 Çözüm : noktası için denge şartı : = 40 nt = 0,.sin70 0 1.cos60 0 = 0 (1) 1 = 0 1.sin60 0 -.cos70 0 40 = 0 ().0,94-1.0,5 = 0 (1) 1.0,86 -.0,34 = 40 () -----------------------------------------------.0,94 1 = = 1,88. 1/ 1,88.0,86 -.0,34 = 40 = 40/1,78 = 31,9 nt 1 = 1,88.31,9 = 58,84 nt 60 0 70 0.1. Şekildeki iki ağırlık, C ve D ipleri ile dengelenmiştir. Makaradaki sürtünmeyi ihmal ederek 45 0 C iplere gelen kuvvetleri bulunuz. D E 80 kg 100 kg 33

Çözüm: D noktası için denge şartı : S D = 0, 100 S D. cos = 0 (1) = 0, S D. sin 80 = 0 () ------------------------------------------------ u iki denklemi birbirine böldüğümüzde : tan = 80 / 100 = 0,8 = 38,66 0 S D = 80 sin = 80 sin38,66 0 = 18kg 80 kg 100 kg S C noktası için denge şartı : = 0, S C.cos45 0 + S D.cos38,66 0 - S = 0 (1) = 0, S C.sin45 0 - S D.sin38,66 0 = 0 () S C.0,7 + S D.cos38,66 0 - S = 0 S C.cos45 0 - S D.sin38,66 0 = 0 () den S C.0,7 = 18. sin38,66 0, S C = 113, kg (1) den 113,.0,7 + 18. cos38,66 0 = S S = 180 kg S 45 0 36,66 0 S D.13. ir çimento torbası şekilde görüldüğü gibi üç tel yardımıyla asılmıştır. ellerden ikisi yatayla 1 ve açılarını yapmaktadır. Sistem dengede ise; 1 a) 1 gerilmesi için 1.cos( ) = olduğunu gösteriniz. sin( + ) 1 Çimento b) =00 N, 1 =10 ve =5 olarak verilmiş ise, tellerdeki 1, ve 3 gerilimlerini bulunuz. 34

Çözüm: a).sin 1.cos 1 1 1 +.sin =.cos =...(1)...() unlardan yi yok edip 1 çözülür. 1 1 İstenen çözüm trigonometrik özdeşliklerden faydalanılarak bulunur 1(sin1.cos + cos1.sin cos ) = 1 =.cos sin( + 1 ) olur. b) =00 nt, 1 =10 ve =5 3 cos5 = 00 N 1 = 3 = 316N sin35 cos10 = 1 = 343N cos5.14. Hava alanındaki bir bayan, 0 kg lık valizini yatayla açısı yapan bir kuvvet ve sabit bir hızla şekilde görüldüğü gibi çekiyor. Kadının valize uyguladığı kuvvet 35 N ve valiz ile zemin arasındaki sürtünme kuvveti 0 N dur. a) Çekme ipi yatayla kaç derecelik açı yapar? b) Zemin valize ne kadar normal kuvvet uygular? Çözüm : m çanta = 0 kg, F = 35 nt, f = 0 nt = 0, F.cos - f = 0 (1) f N F = 0, F.sin + N = 0 () 35

f 0 (1) den.cos = = = 0,57 = 55 0 F 35 b) () den N = - F.sin = 196-35.0,8 = 167,3 nt = m.g = 0.9,8 = 196 nt.15. ir cisim, 45 eğimli bir eğik düzlemin yüzeyine paralel olarak yukarıya doğru 15 nt luk kuvvet etkisiyle sabit hızla hareket ediyor. Kinetik sürtünme katsayısı µ k = 0,3 ise ; a) loğun ağırlığı nedir? b) loğun aşağı doğru sabit hızla hareket edebilmesi için uygulanması gereken minimum kuvvet nedir? Çözüm : a) = 15 nt, µ k = 0,3 = 0,.sin45 0 µ k.n = 0 (1) = 0, N. cos45 0 = 0 () N f k = µ k.n = 0,3.. cos45 0 = 0,1. (1) de e koyarsak 15.0,7 0,1. = 0 = 15 / 0,91 = 16,48 nt b) =.0,7-0,1. = 16,48.0,7-0,1.16,48 = 8,07 nt x f k 45 0 y.16. Şekildeki asılı cismin ağırlığı 50 nt dur. ve 3 gerilmelerini bulunuz a ) = 3 = 60 0 b) = 60 0, 3 = 0 0 c) = 10 cm O = 6 cm O = 8 cm olduğuna göre cevaplayınız. 3 60 0 3 1 60 0 36

Çözüm: a ) = 3 = 60 0. cos60 0 3.cos60 0 = 0 = 3.sin60 0 + 3.sin60 0-1 = 0.0,86 + 3.0,86 50 = 0.1,7 = 50, = 3 = 9 nt b) = 60 0, 3 = 0 0 = 0.cos60 0 3 = 0,.0,5-3 = 0 ΣF y = 0.sin60 0 = 0,.0,86-50 = 0 3 0 60 0 = (50 / 0,86 ) = 58,13 nt 1 3 =. 0,5 = 9 nt c ) = 10 cm, O = 6 cm, O = 8 cm 3 cos = (8 / 10 ) = 0,8 3 sin = ( 6 / 10 ) = 0,6 cos 3 = (6 / 10 ) = 0,6 3 0 sin 3 = (8 / 10 ) = 0,8 1 F x = 0.cos 3. cos 3 = 0 F y = 0.sin + 3. sin 3-1 = 0 0,6 /.0,8 3 0,6 = 0 0,8 /.0,6+ 3.0,8 = 50-0,48. 0,36 3 = 0-0,48-0,64 3 = - 40, 3 = 40 nt = 30 nt 37

.17. Şekildeki sicimin gerilimini ve mafsalın payandaya uyguladığı kuvveti bulunuz. Cismin ağırlığı 1000 nt dur. 30 0 45 0 Çözüm: F x = 0, F x - x = 0 F y = 0, F y - y - 1 = 0 30 0 45 0 F.cos45 0. cos30 0 = 0 F.sin45.sin30 0 1 = 0 F.0,7 -. 0,86 = 0 F y F F.0,7 0,5 = 1000 -F.0,7 +.0,5 = -1000 -.0,36 = -1000, = 777,8 nt x 30 0 y 45 0 F x F = (777,8. 0,86) / 0,7 = 341,7 nt 1.18. a ) m uzunluğunda yatay bir kalasın bir ucu duvara asılı ve diğer ucunda 500 nt luk bir cisim bağlıdır. Cismin bağlandığı uç çelik bir halatla kalasın üzerinden duvara asılmıştır. Halattaki gerilim 1000 nt u geçmezken askı yerinin kalastan olan yüksekliği ne kadardır. b) Kalas yatay kalmak şartı ile askı noktası 5 cm aşağı indirilse gerilim ne kadar artar. 38

Çözüm : a) F x = 0, F.cosα = 0, F =. cosα F y = 0.sinα = 0, =. sinα h uradan sinα = ( / ) = 500 / 1000 sinα = 0,5 C F m x α y sinα = h = h 4+ h = C + C, =. h = 4+ h, 1 4+ h, 4.h = 4 + h, 3.h = 4 = h 4+ h = 1000 n x α y F h = 1,15 m, h = 115 cm olur. b) h = 115 5 = 90 cm = 0,9 m, = C + C = 0,9 +4 = 4,81 =,19, sinα = /, = / sinα sinα = h /, sinα = 0,9 /,19 = 0,41 = 500 / 0,41 = 150 nt.19. a ) Şekildeki cismi 100 nt dur. Cismin üzerinde durduğu yüzeyle arasındaki statik sürtünme katsayısı 0,30 dur. w ağırlığı 0 nt olup sistem dengededir. cismine etkiyen sürtünme kuvvetini bulunuz. b) Sistemin dengede kalabildiği en büyük w ağırlığını bulunuz. 45 0 w 39

Çözüm : C noktası için denge şartı : F x = 0,.0,7-3 = 0 (1) N F y = 0.0,7 1 = 0 () sılı cisim için denge şartından : 3 3 C 45 0 F y = 0, w 1 = 0 1 = w = 0 nt 1 = 1 ( etki-tepki kuvvetleri ) f S 1 1 w 0 () den = nt (1) den 0, 7 w= 0 nt 3 =.0,7 3 = 0.0,7 0,7 = 0nt cismi için denge şartı : F x = 0, 3 f s = 0 3 = f s = 0 nt olur. b) f s = µ s. N = 0,3. 100 = 30 nt cismi için denge şartı : 3 - f s = 0 3 = f s = 30 nt C noktası için denge şartı : F x = 0,.0,7-3 = 0, = 30 / 0,7 F y = 0,.0,7-1 = 0 30.0,7 =.0,7 0,7 1 = = 30nt cismi için denge şartı : 1 = w = 30 nt olur..0. 14 nt ağırlığında bir cisim şekilde görüldüğü gibi eğik bir düzlem üzerinde iken, ucunda 10 nt luk başka bir cisim asılı sürtünmesiz küçük bir makaradan geçen sicimin diğer bir ucuna bağlı bulunmaktadır. Cisimle yüzey arasındaki kayma sürtünme katsayısı 1 / 7 dir. nın hangi iki değeri için sistem sabit hızla hareket eder. 40

Çözüm : = 14 nt = 10 nt µ k = 1 / 7 =? cismi için denge şartı : F y = 0, = 0 = = 10 nt N cismi için denge şartı : F x = 0, - X f k = 0 (1) F y = 0 N Y = 0 () --------------------------------------------- N =.cos = 14. cos, f k = µ k.n = (1 / 7 ).14. cos X f Y f k =. cos, X =. sin = 14. sin (1) den 14.sin -. cos = 0, 10 14.sin -. cos = 0, 5 7. sin cos = 0 5-7. sin - 1 sin = 0, 5-7. sin = 1 sin ( 5-7. sin ) = ( 1 sin ) 5 70. sin + 49.sin = 1 - sin, 50. sin - 70. sin + 4 = 0 5. sin 35. sin + 1 = 0, ikinci dereceden bir denklemin köklerini çarpanlara ayırma metodunu kullanarak, bu denklemin kökleri 1 = 37 0, = 53 0 bulunur..1. 100 nt ağırlığında cisim, = 30 0 olan eğik düzlem üzerinde konmuş ve şekilde görüldüğü gibi sürtünmesiz bir makara aracılığı ile w ağırlığında cismine bağlanmıştır. Statik sürtünme katsayısı 0,4 kayma sürtünme katsayısı 0,3 dür. a ) cisminin yukarı doğru sabit bir hızla kayması için gerekli w ağırlığı ne olmalıdır. b) aynı cismin aşağı doğru sabit hızla kayması için w ağırlığı ne olmalıdır. c) w nin hangi iki değeri için cisim hareketsiz kalır? 41

Çözüm : µ s = 0,4, µ k = 0,3 = 100 nt cismi için denge şartı : F x = 0, X - f k = 0 (1).sin30 0 µ k. N = 0 (1) F y = 0 N - Y = 0 () N =. cos30 0 = 100.0,86 N = 86 nt, f k = 0,3.86 = 5,8 nt (1) den 100.0,5 0,3.86 = 0 = 50 + 5,8 = 75,8 nt = 75,8 nt sılı cisim için denge şartı : F y = 0, w = 0 w = = 75,8 nt b) Cisim aşağı doğru kaydığında sürtünme kuvveti yukarı doğru olur. Denge denklemleri : F x = 0, - + X - f k = 0 (1), = X - f k = 50 5,8 = 4, nt F y = 0 w = 0 w = = 4, nt c) cisim yukarı doğru hareket ederse, cismi için denge denklemi : F x = 0, X - f s = 0 (1) X =. Sin30 0 = 100.0,5 = 50 nt, f s =µ s.n = 0,4.86 = 34,4 nt F y = 0 N - Y = 0 () N= 86 nt (1) den = X + f s = 50 + 34,4 nt o halde w = olduğundan w = = 84,4 nt olur. Cisim aşağı doğru hareket ederse denge denklemleri : F x = 0 - + X - f s = 0, = X - f s = 50 34,4 = 15,6 nt w = olduğundan w = = 15,6 nt olur. 15,6 < w < 84,3 dir. N x f k y w.. Şekildeki cisminin ağırlığı 4 n, ninki 8 n dur. Kayma olan bütün yüzeyler arasındaki, kayma sürtünme katsayısı 0,5 tir. a), nin üstünde ve onunla kaydığına, b) yerinde kaldığına, c) ve kolayca bükülebilen ve sürtünmesiz bir makaradan geçen bir sicimle birbirine bağlı bulunduğuna (a) (b) göre, nin sola doğru sabit hızla hareketi için gerekli kuvvetini bulunuz. (c) 4

Çözüm : a) = 4 nt = 8 nt µ k = 0,5 F x = 0 - f k1 = 0 (1) N F y = 0 N + - + = 0 () N + = + = 1 nt f k1 = µ k. N + = 0,5. 1 = 3 nt (1) den = f k1 = 3 nt b ) f k1 = µ k. N + = 0,5. 1 = 3 nt N f k1 f k = µ k. N = 0,5. 4 = 1 nt cismi için denge şartı: f k F x = 0, - f k1 - f k = 0 = f k1 + f k = 3 + 1 = 4 nt f k1 c) cismi için denge şartı: f k3 = µ k.n = 0,5. 4 = 1 nt F x = 0, - f k1 - f k f k3 = 0 = 3 + 1 + 1 = 5 nt olur. f k3 N f k f k1.3. ve cisimleri şekildeki gibi halatla C cismine bağlıdır. ve nin her ikisinin ağırlığı da 0 n, düzlemlerle aralarındaki kayma 37 0 sürtünmesi katsayısı 0,5 tir. C cismi sabit hızla aşağı inmektedir. a) ve cisimlerine etkiyen kuvvetleri gösteren diyagramları çiziniz. b) ve cisimlerini birbirine bağlayan halattaki gerilimi hesaplayınız. c) C cisminin ağırlığını bulunuz. C 43

Çözüm : a) N N C 1 y 1 37 0 f kb C f ka b) = = 0 nt µ k = 0,5 cismi için denge şartı : F x = 0, 1 f ka = 0 1 = f ka = µ k. N = 0,5.0 = 10 nt F y = 0, N - = 0 N = = 0 nt cismi için denge şartı : F x = 0, 1 - f kb X = 0 ( 1 ) F y = 0, N Y = 0, N = Y = 0.cos37 = 0.0,8 = 16 nt f kb = µ k. N = 0,5.16 = 8 nt X =.sin37 0 = 0.0,6 = 1 nt Y = 16 nt (1) den, = 1 +f kb + X = 10 + 8 + 1 = 30 nt C cismi için denge şartı : F y = 0, C - = 0 C = = 30 nt olur..4. Şekildeki sistemin dengede olabilmesi için 1,, 3 ve ne olmalıdır. Sin37 0 = cos53 0 = 0,6 3 1 sin53 0 = cos37 0 =0,8 53 0 37 0 1 =300 nt Çözüm : noktası için denge şartı : F x = 0, 1.cos37 0 = 0 (1) F y = 0, 1.sin37 0 1 = 0 () 1 = 1 0 sin37 = 300 0,6 = 500nt = 1 cos37 0 = 500.0,8 = 400 nt 1Y 37 0 1X 1 = 300 nt 1 44

noktası için denge şartı : F x = 0, - 3.cos53 0 = 0 (1) 3 3Y F y = 0, 3.sin53 0 = 0 () 400 = = cos53 0,6 3 = 666,7nt 3X 53 0 = 3.sin53 0 = 666,7.0,8 = 533,4 nt olur. 45