DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

Transkript

1 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

2 Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F 4 F 1 F 2 F 1 F 2 Ayrılan her bir parçanın ayırma yüzeylerin de yayılı karakterde ve bu parçaya gerçekte yapışık olan diğer parçanın molekülleri etkisiyle bir tür yüzey kuvveti etkir. Bu yüzey üzerindeki bir O noktasına bu yüzey kuvvetleri eşdeğer bir kuvvet (F R ) ve kuvvet çifti (M Ro ) olarak indirgenebilir. DA DF F 1 F 2 Ayrılan parçanın yüzeyi çok küçük diferansiyel alan elemanlarına bölünürse (DA), bu elemanlar oluşacak iç kuvvet DF olacaktır. Tüm yüzeydeki diferansiyel elemanlar için bileşke kuvvet (F R = DF) olur. Sadece bu diferansiyel alanlardan bir DA alanı ve bu yüzeye etki eden DF kuvveti dikkate alındığında gerilme kavramı tanımlanabilir. Ancak, gerilmeler noktadan noktaya değişeceğinden, gerilme tanımı sonsuz küçük bir diferansiyel alan elemanıyla ilişkilendirilmelidir. Bu durumda gerilme bir noktadan geçen bir düzlem veya bir alan üzerine etki eden iç kuvvet yoğunluğunun bir ölçüsüdür ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir. F 1 F 2

3 s Gerilmenin etkidiği yüzeyin normali doğrultusunda ve o yüzeye paralel olmak üzere iki bileşeni vardır. DF n DA DF Bu bileşenlerden yüzeyin normali doğrultusunda etkiyene normal gerilme, DF t t Yüzeye paralel ya da teğet etkiyenine ise kayma gerilmesi adı verilir. Dikkat edilirse her bir yüzeyin normaline göre, her bir yüzey için üç bileşeni vardır. Bu durumda gerilme dokuz bileşenli bir gerilme tansörü haline dönüşür. Herhangi bir noktadan geçen bütün yüzey elemanlarındaki gerilme durumunu tam olarak belirlemek için gerekli değerlerin hepsi tek bir büyüklük olarak düşünülür ve adına gerilme hali denir ve vektörlerden karakter olarak farklı olan dokuz bileşenli bu büyüklük gerilme tansörü adını alır.

4 Yukarıda s ij ile verilen gerilme tansörünün ilk indisi i gerilme bileşeninin bulunduğu düzlemi, ikinci indis j ise gerilmenin yönünü göstermektedir. Gerçekte bu dokuz bileşenden bazıları birbirlerinden bağımsız değildir. Bu durum yukarıdaki şekil de verilen diferansiyel küp elemanın dengesi ele alınarak gösterilebilir. Kütle kuvvetleri ihmal edilerek ve uniform gerilme dağılımı durumu için x-y düzlemi dikkate alınırak O noktasına göre moment alınırsa; Düzlem Gerilme Dönüşümleri Kalınlığı diğer boyutlarına göre çok küçük olan yanda görüldüğü gibi levha düzlemine paralel olarak yüklenmiş bir levhayı dikkate alınarak gerilme durumu incelenirse, yüklemenin yapıldığı bölgeden uzaktaki S elemanında s zz, t xz ve t yz gerilmeleri yaklaşık olarak sıfıra eşit olacaktır. Bu durum düzlem gerilme olarak isimlendirilir. S S

5 Yandaki levhadan çıkarılan S yüzey elamanında oluşacak gerilmeler aşağıda verilen şekilde görüldüğü gibi olacaktır. Şimdi bu elemanın x-y düzleminde açısı kadar döndürüldüğünde oluşacak gerilmeleri inceleyelim.

6 Şimdi bu elemanın x ve y eksenleri doğrultusundaki bileşenleri dikkate alarak, denge denklemleri yazılırsa;

7 Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi Tasarım açısından bir cisim içerisinde oluşacak maksimum ve minimum gerilmeleri bilmek son derece önemlidir. Matematikte bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri o fonksiyonunun birinci türevinin sıfıra eşitlenmesiyle bulunabileceğini biliyoruz. Bu durumda;

8 Aynı mantıkla maksimum kayma gerilmesinin bulunduğu düzlem; Aşağıdaki iki denklem kullanılarak; tan p. tan t =-1 ; elde edilir. Bu trigonometrik eşitlik ancak, olması ile mümkün olacaktır. Son ifade asal gerilme düzlemleri ile maksimum kayma gerilmesi arasındaki açının daima 45 o olduğunu işaret eder.

9 Örnek : Yandaki şekilde görülen düzlem gerilme hali için; a) asal düzlemleri, b) asal gerilmeleri, c) maksimum kayma gerilmesi ve bu değere karşılık gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.

10 Örnek : 600 N büyüklüğündeki P kuvveti yandaki ABD Manivela kolunun D noktasına uygulanmaktadır. a) H noktasında oluşacak normal ve kayma gerilmelerini, b)h noktasındaki asal düzlemleri ve asal gerilmeleri belirleyiniz.

11 Düzlem Gerilmemede Mohr Çemberi Aşağıdaki iki denklemin her tarafının kareleri alınarak taraf tarafa toplanırsa, Bu denklem yarıçapı R merkezinin koordinatı C (s ort, 0) olan bir çemberin denklemidir.

12 Y düzlemi olarak isimlendirilirse koordinatları gerilmeler cinsinden Y (s y gösterebiliriz., t xy ) olarak Normal gerilme (s) çeki ise işareti pozitif (+) alınır. Normal gerilme (s) bası ise işareti negatif (-) alınır. X düzlemi olarak isimlendirilirse koordinatları gerilmeler cinsinden X (s x gösterebiliriz., -t xy ) olarak Kayma gerilmesi (t) saat ibresi doğrultusunda döndüğünde, doğrultusu normal gerilme (s) ekseni doğrultusunda yönleniyor ise işareti pozitif (+) alınır. Kayma gerilmesi (t) saat ibresinin tersi doğrultusunda döndüğünde, doğrultusu normal gerilme (s) ekseninin zıttı doğrultusunda yönleniyor ise işareti negatif (-) alınır.

13

14

15 Örnek : Yandaki şekilde görülen düzlem gerilme hali için; a) Mohr çemberini oluşturunuz, b) asal gerilmeleri, c) maksimum kayma gerilmesi ve bu değere karşılık gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.

16

17

18 Örnek : Yandaki şekilde görülen düzlem gerilme hali için; a) Mohr çemberini oluşturunuz, b) asal gerilmeleri ve düzlemlerini, c) verilen elemanın saatin tersi yönünde 30 o dönmesiyle elde edilen eleman üzerine uygulanan gerilme bileşenlerini belirleyiniz.

19