FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ KONİK KESİTLİ MİKRO-KİRİŞLERİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ

FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ KONİK KESİTLİ MİKRO-KİRİŞLERİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ FREE VIBRATION ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MICRO-BEAMS WITH TAPERED CROSS SECTION DUYGU İPCİ PROF. DR. BORA YILDIRIM Tz Danışmanı Hacttp Ünivrsitsi Lisansüstü Eğitim Öğrtim v Sınav Yöntmliğinin MAKİNE Mühndisliği Anabilim Dalı İçin Öngördüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak hazırlanmıştır. 14

DUYGU İPCİ nin hazırladığı Fonksiyonl Drclndirilmiş Konik Ksitli Mikro-Kirişlrin Srbst Titrşim Analizi adlı bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ında YÜKSEK LİSANS tzi olarak kabul dilmiştir. Prof. Dr. Halit KARABULUT :... Başkan Prof. Dr. Bora YILDIRIM :.... Danışman Yrd. Doç. Dr. Can Ulaş DOĞRUER :... Üy ONAY Bu tz Hacttp Ünivrsitsi Fn Bilimlri Enstitüsü tarafından YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak onaylanmıştır. Prof. Dr. Fatma SEVİN DÜZ Fn Bilimlri Enstitüsü Müdürü i

ETİK Hacttp Ünivrsitsi Fn Bilimlri Enstitüsü, tz yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tz çalışmasında, tz içindki bütün bilgi v blglri akadmik kurallar çrçvsind ld ttiğimi, görsl, işitsl v yazılı tüm bilgi v sonuçları bilimsl ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, başkalarının srlrindn yararlanılması durumunda ilgili srlr bilimsl normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, atıfta bulunduğum srlrin tümünü kaynak olarak göstrdiğimi, kullanılan vrilrd hrhangi bir tahrifat yapmadığımı, v bu tzin hrhangi bir bölümünü bu ünivrsitd vya başka bir ünivrsitd başka bir tz çalışması olarak sunmadığımı byan drim. /../14 (İmza) DUYGU İPCİ ii

ÖZET FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ KONİK KESİTLİ MİKRO- KİRİŞLERİN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ Duygu İPCİ Yüksk Lisans, Makin Mühndisliği Bölümü Tz Danışmanı: Prof. Dr. Bora YILDIRIM Haziran 14, 87 sayfa Bu tzd dğişkn ksit alanlı fonksiyonl drclndirilmiş (FD) bir mikro kirişin srbst titrşimi torik olarak inclnmiştir. Malzm özlliklrinin kirişin kalınlığı doğrultusunda kuvvt yasası dağılımına gör olduğu varsayılmıştır. Ana dnklm, vktörl koordinat sistmind gnişliği üstl olarak dğişn ksit alan gomtrisi için adi difransiyl bir dnklm indirgnmiştir. Fonksiyonl drclndirilmiş malzmdn yapılan mikro kirişlrin titrşim davranışları modifiy grilm çifti torisi baz alınarak lastik dğişim aralığında analitik olarak inclnmiştir. Ana harkt dnklmlri v sınır koşulları Hamilton prnsibi il türtilmiştir. Doğal frkansların analitik sonuçları, hr iki ucu basit msntli, hr iki ucu ankastr v bir ucu ankastr diğr ucu srbst üstl FD kirişlr için ld dilmiştir. Doğal frkanslar için çözümlr kirişin karaktristik büyüklüğünün malzm iç uzunluk paramtrsin oranı olarak v FDM dağılım fonksiyonu özlliklrin gör ld dilmiştir. Anahtar Klimlr: Fonksiyonl drclndirilmiş malzmlr, Mikro-kiriş, Srbst titrşim analizi, Konik ksit alanı iii

ABSTRACT FREE VIBRATION ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED MICRO-BEAMS WITH TAPERED CROSS-SECTION Duygu İPCİ Mastr of Scinc, Dpartmnt of Mchanical Enginring Suprvisor: Prof. Dr. Bora YILDIRIM Jun 14, 87 pags In this thsis a thortical invstigation in fr vibration of a functionally gradd taprd (FG) micro bam is prsntd. It is assumd that matrial proprtis vary along th bam thicknss according to powr law distributions. Th govrning quation is rducd to an ordinary diffrntial quation in spatial coordinat for cross-sction gomtris with xponntially varying width. Th vibration bhaviors of micro-bams mad of functionally gradd matrials ar analytically invstigatd on th basis of th modifid coupl strss thory in th lastic rang. Th govrning quations of motion and boundary conditions ar drivd on th basis of Hamilton principl. Analytical solutions of th natural frquncis ar obtaind for xponntial FG bams with hingd-hingd, clampd-clampd and clampdfr nd supports. Solutions for th natural frquncis ar obtaind FGM distribution functions of proprtis and as a function of th ratio of th bam charactristic siz to th intrnal matrial lngth scal paramtr. Kywords: Functionally gradd matrials, Micro-bam, Fr vibration analysis, Taprd cross-sction. iv

TEŞEKKÜR Tz çalışmamın planlanmasında, araştırılmasında, göstrdiği ilgi v dstk için danışmanım Prof. Dr. Bora YILDIRIM a tşkkürlrimi sunarım. Engin bilgi v tcrüblrindn yararlandığım, yönlndirm v bilgilndirmlriyl tz çalışmama yardımını sirgmyn Prof. Dr. Halit KARABULUT a tşkkür drim. Bu sürçt yanımda olan svgili ailm göstrdiklri özvridn dolayı tüm kalbiml tşkkür drim. v

İÇİNDEKİLER ÖZET... iii ABSTRACT... iv 1.GİRİŞ... 1 1.1 Gnl Bilgilr... 1 1. Litratür Araştırması... 3 1.3 Tzin Amacı... 7. FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ MALZEME VE MİKRO KİRİŞLERİN TANIMI... 8.1 Fonksiyonl Drclndirilmiş Malzmlr... 8. Mikro-Kirişlr... 1 3.SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ... 1 3.1 FDM Konik Ksitli Mikro Kirişin Yapısal Özlliklri... 1 3. Yr dğiştirm il Şkil Dğiştirm Arasındaki Kinmatik Bağlantılar... 13 3.3 Modifiy Grilm Çifti Torisini Kullanarak Eulr - Brnoulli Kiriş İçin Potansiyl Enrji... 14 3.4 Modifiy Grilm Çifti Torisini Kullanarak Eulr- Brnoulli Kiriş İçin Kintik Enrji... 19 3.5 Eulr- Brnoulli Kiriş İçin Harici Kuvvtlrin Yaptığı İş... 3.6 Ana Harkt Dnklminin Türtilmsi... 3.7 Ksit Dğişim Analizi... 1 3.7.1 Linr Konik Durumun İnclnmsi... 3.7. Üstl Konik Durumun İnclnmsi... 4 3.8 Üstl Ksit Dğişimin Sahip Kirişin Analitik Çözümü... 6 3.8.1 İki Ucu Basit Msntli Kiriş İçin Çözüm... 8 3.8. İki Ucu Ankastr Kiriş İçin Çözüm... 31 3.8.3 Bir Ucu Ankastr Bir Ucu Srbst Kiriş İçin Çözüm... 34 3.8.4 Bir Ucu Ankastr Bir Ucu Srbst Olan v Srbst Ucunda Kütl Bulunan Kiriş... 37 3.9 Bir Ucu Ankastr Bir Ucu Srbst Boyutsuz Konik Kirişin Frkans Dğrlrinin Diğr Çalışmaların Sonuçlarıyla Karşılaştırılması... 4 4. FGM KİRİŞTE MALZEME DAĞILIMININ ETKİSİNİN ELE ALINMASI... 43 Sayfa vi

4.1 Kirişin Grçk Doğal Frkansının Hsaplanması... 45 4.1.1 İki Ucu Basit Msntli FGM Kiriş İçin / Oranının; Bta v h/ l Oranının Dğişimin Bağlı Olarak Çiziln Grafiklr v Grafiklrin Yorumları. 46 4.1. İki Ucu Ankastr FGM Kiriş İçin / Oranının; Bta v h/ l Oranının Dğişimin Bağlı Olarak Çiziln Grafiklr v Grafiklrin Yorumları... 51 4.1.3 Bir Ucu Ankastr Diğr Ucu Srbst FGM Kiriş İçin / Oranının; Bta v h/ l Oranının Dğişimin Bağlı Olarak Çiziln Grafiklr v Grafiklrin Yorumları... 56 4. Bir Ucu Ankastr Diğr Ucu Srbst Kirişin Grafik Sonuçlarının Diğr Makallr İl Karşılaştırılması... 6 4.3 Sonuçlar Hakkında Yorumlar... 644 KAYNAKLAR... 655 EK-1... 699 EK-... 7 EK-3 71 ÖZGEÇMİŞ 7 vii

ÇİZELGELER Sayfa Tablo.1 Dörtgn ksit alanlı konik kiriş çşitlri... 11 Tablo 3.1 Kiriş uç durumuna gör sınır koşulları... 7 Tablo 3. İki ucu basit msntli v iki ucu sabit konik kirişlr için doğal frkanslar... 33 Tablo 3.3 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst konik kiriş için doğal frkanslar... 36 Tablo 3.4 Bir ucu ankastr bir ucu srbst v ucunda kütl bulunan kirişin doğal frkansları... 4 Tablo 3.5 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst konik kiriş için doğal frkansların karşılaştırılması... 4 Tablo 4.1 Grmanyum v Silisyum lmntlrinin malzm özlliklri... 45 Tablo 4. İki ucu basit msntli fgm kirişin, n v h/ l oranı dğrlrin gör grçk doğal frkans oranları... 47 Tablo 4.3 İki ucu ankastr fgm kirişin, n v h/ l oranı dğrlrin gör grçk doğal frkans oranları... 5 Tablo 4.4 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kirişin, n v h/ l oranı dğrlrin gör grçk doğal frkansları... 56 viii

ŞEKİLLER Sayfa Şkil 1.1 Elktrotrmal mikroaktüatör... Şkil 1. Bir MEMS in iç yapısı... Şkil.1 Fonksiyonl drclndirilmiş malzm dağılımı... 8 Şkil. Malzm özlliklri kalınlık boyunca dğişn fonksiyonl drclndirilmiş kiriş (TFGM)... 9 Şkil.3 Malzm özlliklri ksnl yönd fonksiyonl drclndirilmiş kiriş (AFGM)... 9 Şkil.4 AFM kiriş... 1 Şkil 3.1 Fonksiyonl drclndirilmiş konik kiriş... 1 Şkil 3. Konik bir kirşin nötr ksni v ksit alanı... 13 Şkil 3.3 Konik bir kirişin ğilmsi sonucunda sçiln bir noktanın nötr ksn gör yr dğişimi... 13 Şkil 3.4 İki ucu basit msntli kiriş... 7 Şkil 3.5 İki ucu basit msntli kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5... 9 Şkil 3.6 İki ucu basit msntli kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5 (daralan - gnişlyn)... 3 Şkil 3.7 İki ucu ankastr kiriş... 31 Şkil 3.8 İki ucu ankastr kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5... 3 Şkil 3.9 İki ucu ankastr kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5... 33 Şkil 3.1 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst kiriş... 34 Şkil 3.11 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5... 35 Şkil 3.1 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst kiriş dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5... 36 Şkil 3.13 Bir ucu ankastr bir ucu srbst olan v srbst ucunda kütl bulunan kiriş... 37 Şkil 3.14 Bir ucu ankastr bir ucu srbst v ucunda kütl bulunan kirişin dğişimin gör mod 1 dki doğal frkansları oranı m,.1,.,.5,.8... 38 Şkil 3.15 Bir ucu ankastr bir ucu srbst v ucunda kütl bulunan kirişin dğişimin gör mod dki doğal frkansları oranı m,.1,.,.5,.8... 38 ix

Şkil 3.16 Bir ucu ankastr bir ucu srbst v ucunda kütl bulunan kirişin dğişimin gör mod 3 dki doğal frkansları oranı m,.1,.,.5,.8... 39 Şkil 3.17 İki ucu basit msntli kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranlarının başka bir çalışmayla karşılaştırılması mod 1,,3, 4,5... 41 Şkil 3.18 İki ucu ankastr kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranlarının başka bir çalışmayla karşılaştırılması mod 1,,3, 4,5... 41 Şkil 3.19 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranlarının başka bir çalışmayla karşılaştırılması mod 1,,3, 4,5... 4 Şkil 4.1 Kalınlığı boyunca fonksiyonl drclndirilmiş kiriş v nötr ksni... 43 Şkil 4. İki ucu basit msntli konik fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları., n,.5, 1,... 47 Şkil 4.3 İki ucu basit msntli konik fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.5, n,.5, 1,... 48 Şkil 4.4 İki ucu basit msntli konik fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.8, n,.5, 1,... 48 Şkil 4.5 İki ucu basit msntli konik fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları 1, n,.5, 1,, 5... 49 Şkil 4.6 İki ucu basit msntli fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l.5 n,.5, 1,, 5... 5 Şkil 4.7 İki ucu basit msntli fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l 1 n,.5, 1,, 5... 5 Şkil 4.8 İki ucu basit msntli fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l n,.5, 1,, 5... 51 Şkil 4.9 İki ucu ankastr fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları., n,.5,1,... 5 Şkil 4.1 İki ucu ankastr fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.5, n,.5,1,... 53 Şkil 4.11 İki ucu ankastr fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.8, n,.5,1,... 53 Şkil 4.1 İki ucu ankastr fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları 1, n,.5,1,... 54 Şkil 4.13 İki ucu ankastr fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l.5, n,.5,1,,5... 55 x

Şkil 4.14 İki ucu ankastr fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l 1, n,.5, 1,, 5... 55 Şkil 4.15 İki ucu ankastr fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l, n,.5,1,,5... 56 Şkil 4.16 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları., n,.5,1,... 57 Şkil 4.17 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.5, n,.5,1,... 58 Şkil 4.18 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları.8, n,.5,1,... 58 Şkil 4.19 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için h/ l oranına bağlı / frkans oranları 1, n,.5,1,... 59 Şkil 4. Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l.5, n,.5,1,,5... 6 Şkil 4.1 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l 1, n,.5,1,,5... 6 Şkil 4. Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kiriş için oranına bağlı / frkans oranları h / l, n,.5,1,,5... 61 Şkil 4.3 Bir ucu ankastr diğr ucu srbst fgm kirişin grafik sonuçlarının diğr çalışmalarla karşılaştırılması 1, n... 6 xi

SİMGELER VE KISALTMALAR Simglr P t P b V t V b h z c z z n ij ij m ij ij u w v L t E I A b h c i : Kirişin n üst kısmını oluşturan malzmnin mkanik özlliklri : Kirişin n alt kısmını oluşturan malzmnin mkanik özlliklri : Kirişin n üst kısmını oluşturan malzmnin hacimsl dağılım fonksiyonu : Kirişin n alt kısmını oluşturan malzmnin hacimsl dağılım fonksiyonu : Kirişin yükskliği, m : Nötr ksnin kirişin alt kısmına uzaklığı, m : Kiriş üzrind sçiln bir noktanın kirişin alt kısmı arasındaki uzaklık, m : Nötr ksn il sçiln bir nokta arasında uzaklık, m : Malzm dağılım indksi : Kirişin nötr ksninin rotasyon açısı, rad : Grilm (strss) tnsörü, : Grinim tnsörü N / m : Grilm çiftinin fark (sapma) tnsörü : Eğrilik (Curvatur) tnsörü : Rotasyon vktörü, rd : x yönündki yr dğişim, m : z yönündki yr dğişim, m : y yönündki yr dğişim, m : Kirişin uzunluğu, m : Zaman, sn : Elastik modül, GPa : Atalt momnti, : Kirişin ksit alanı, : Yoğunluk, g / cm 4 m 3 m : Ksit alan gnişliği, m : Ksit alan yükskliği, m : Atalt momnti için ksit alan şkil fonksiyonu sabiti xii

c a y z i a y W Ft : Ksit alanı için şkil fonksiyonu sabiti : Kirişin birim uzunluğu : Birim zaman : z (yüksklik) yönündki koniklik şkil fonksiyonu : y (gnişlik) yönündki koniklik şkil fonksiyonu : Atalt dğişim fonksiyonu : Ksit alanı dğişim fonksiyonu : Kirişin baş uç gnişliği il son uç gnişliğinin oranı : Kirişin baş uç yükskliği il son uç yükskliğinin oranı : z yönündki boyutsuz yr dğiştirm : z (yüksklik) yönündki üstl ksit dğişim fonksiyonu : y (gnişlik) yönündki üstl ksit dğişim fonksiyonu : Kirişin harkt dnklminin yr dğişim bağlı fonksiyonu : Kirişin harkt dnklminin zamana bağlı fonksiyonu : Boyutsuz kirişin doğal frkansı, rad : Kirişin grçk frkansı, rad : Homojn malzm dağılımlı v ksit alanı dğişmyn kirişin frkansı : Virtül yr dğişimi v l M L : Malzm iç uzunluk paramtrsi, m : Kirişin kütlsi, kg m L M m : Kirişin birim kütlsi : Kirişin ucundaki kütl, kg : Kirişin ucundaki birim birim kütl Kısaltmalar FDM (FGM) TFDM AFDM : Fonksiyonl drclndirilmiş malzm : Kalınlık yönünd fonksiyonl drclndirilmiş malzm : Eksnl yönd fonksiyonl drclndirilmiş malzm xiii

P-FDM E-FDM S-FDM MEMS NEMS AFM DTM DTEM DQEL Ark. : Güç yasası dağılımlı fonksiyonl drclndirilmiş malzm : Üstl dağılımlı fonksiyonl drclndirilmiş malzm : Sigmoid dağılımlı fonksiyonl drclndirilmiş malzm : Mikro-lktromkanik sistmlr : Nano-lktromkanik sistmlr : Atomik kuvvt mikroskobu : Difransiyl transform mtodu : Difransiyl transform lmnt mtodu : Difransiyl kuadratör lmnt mtodu : Arkadaşları xiv

1.GİRİŞ 1.1 Gnl Bilgilr Mtal v sramiklrin birlikt kullanıldıkları lamin kompozitlrin yüksk sıcaklık uygulamalarında mtal-sramik katmanı arasındaki sürksizlik ndniyl oluşan ısıl v artık grilmlr, tabakalar arasında yırtılmalar v çatlaklar oluşmasına sbp olmaktadır. Bu tip tabakalı kompozitlrin sramik kısmının düşük toklukta olması v mtal kısmının yüksk sıcaklıkta aşınması v oksitlnmsi gibi zayıf özlliklrinin ortaya çıkması yni malzm arayışlarına ndn olmuştur. Bu sbpl mtalin tokluk özlliğini v sramiğin yüksk ısıl dayanımını kullanmak amaçlı fonksiyonl drclndirilmiş malzm (FDM; functionally gradd matrial, FGM) kavramı ortaya çıkmıştır. Tokluk malzmnin kırılmadan önc sönümldiği nrjinin bir ölçüsüdür. FDM malzmlr iki vya daha fazla malzmnin blli bir hacimsl oranda karıştırılmasıyla ld dilmkt v malzmlr birbirlri il malzm kalınlığı ya da ksni doğrultusunda bir fonksiyona bağlı olarak dğişmktdir. Bu yöntm saysind malzmlrin birbiriyl drclndirilmiş olarak dağılımı, sürkli bir dğişim sbp olduğundan malzmlr arasında çatlakların glişbilcği bir ara yüzy oluşmasını ngllmkt v FDM lri ilri tknolojik uygulamalar için trcih diln idal malzmlr halin gtirmktdir. Titrşim üzrin yapılan ilk çalışmalar makro boyutlu yapılar üzrind grçklştirilmiştir. Mikro yapılar üzrin ilk çalışmayı R.D. Mindlin [1] linr lastisit özlliği göstrn mikro-yapılar üzrin yapmıştır. Daha sonra Flck v Hutchinson [] makro boyutlu yapılar için kullanılan klasik grilm çifti torisini ynidn formül tmişlrdir. Yang F. v ark. [3] grilm çifti torisini kullanarak modifiy grilm çifti torisini (modifid coupl strss; strain gradint) gliştirmişldir. S.K. Park v X-L Gao [4] modifiy grilm çifti torisini kullanarak yni bir Eulr-Brnoulli kiriş modli oluşturmuşlardır. Bu modllm, mikro yapılı kiriş yapılar için n uygun çözüm yolu olmuştur. FDM lr ilk kz ısı bariyri görvi görn kaplama malzmsi olarak füzyon nrji cihazlarında, uzay araçlarında, uçaklarda, raktör kazanlarında kullanılmıştır. Son yıllarda FD malzmlr şkil bllk alaşımlarından oluşan inc filmlr [5], mikrov nano-lktromkanik sistmlr (MEMS v NEMS) [6-7] biyosnsörlr, aktüatörlr [8-9] v atomik kuvvt mikroskoplar (AKM) [1] gibi mikro v nano 1

yapıya sistmlrd çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Şkil 1.1 d bir mikro aktüatörün iç yapısı görülmktdir. (a) (b) Şkil 1.1 Elktrotrmal mikroaktüatör (a) yan profildn görünüş (b) üsttn görünüş MEMS, NEMS v AKM gibi cihazlarda kiriş yapıları bulunmaktadır. Kiriş yapılar uniform olmakla birlikt dğişkn ksitli d olabilmktdir. Bu tür mikro boyutlu yapılarda malzmnin statik v dinamik davranışlarının analizi büyük bir rol sahiptir. Sistmlrin doğru çalışabilmsi için kiriş yapılarının doğal frkanslarının blirlnmsi grkmktdir. Çünkü sistmin sorunsuz çalışması için ortamda oluşan frkansın tasarlanan sistmin doğal frkansı (rzonans frkansı) il aynı olamaması grkmktdir. Yani srbst titrşim analizlrinin yapılması sorunsuz bir tasarım için çok önmlidir. Şkil 1. d Mikro lktro mkanik sistmdki kirişlr görülmktdir. Şkil 1. Bir MEMS in iç yapısı

1. Litratür Araştırması FDM olarak adlandırılan bu özl kompozit yapı ilk kz Japonya da Sndai grubu tarafından 1984 yılında ürtilmiştir. Isı bariyri görvi görmsi amacıyla rokt gövdsinin kaplama malzmsi olarak kullanılmıştır. Makro boyutlu FDM kirişlrin ğilm, titrşim v statik özlliklri hakkında araştırmacıların yaptığı birçok çalışma mvcuttur. Bu çalışmalarda klasik sürkli ortam torilri kullanılmıştır. Gnllikl malzm özlliklrinin kalınlık boyunca dğişimi göz önün alınarak çözümlr yapılmıştır [11-1-13-14]. Eksnl yönd drclndirilmiş kirişlrd mydana gln problmlrin çözümü çok dğişknli katsayılı ana dnklmlr yüzündn karmaşık olduğundan daha az sayıda çalışma bulunmaktadır [15-16]. Elishakoff v ark. smi-invrs mtodunu kullanarak farklı uç dstk yapılı kirişlrin ana frkanslarının grçğ n yakın sonuçlarını ld tmk için çalışmalar yapmışlardır. Smi-invrs mtodu bir kapalı-form çözümü vrmktdir. Bu çözüm, blirli ğilm rijitliği v kütl yoğunluğu için bazı özl polinomlara bnzr sonuçlar vrmiş v bu yöntmin yüksk drcli doğal frkansların blirlnmsi için uygun olmadığı anlaşılmıştır. Bundan dolayı Huang v Li [17] dğişkn katsayılı harkt dnklmini Frdholm dnklmin dönüştürrk doğal frkansları bulmaya çalışmıştır. Fakat bu mtot il doğal frkanslar ancak yaklaşık olarak bulunabilmktdir. Murin v ark. [18] dğişkn malzm özllikli kirişlr için analitik bir yöntm gliştirmiştir. Dnklmlrin oluşturulmasında doğrusal kiriş torisi kullanılmış, atalt momnti ksm kuvvti tkisi v kütl dağılımı dikkat alınmıştır. Eld diln sonuçlar sonlu lmanlar çözümü il karşılaştırılmıştır. Bu çalışmada kirişin sabit ksit alanına sahip olduğu varsayılmıştır. Shahba v Rajaskaran [19] ksnl FD konik Eulr-Brnoulli kirişlrinin statik v srbst titrşim davranışlarını analiz tmk için ana harkt dnklmlrin türtilmsi üzrin çalışmışlardır. Klasik difransiyl transform mtodunu (DTM) kullanarak analiz sonuçlarını irdlyrk yakınsama oranı daha iyi olan difransiyl transform lmnt mtodunu (DTEM) gliştirmişlrdir. DTEM mtoduna k olarak düşük drcli difransiyl kuadratör lmnt mtodunu (DQEL) ana difransiyl dnklmlrin çözümünd kullanmışlardır. Grçklştirdiklri nümrik çalışmalarda, FD kirişlrinin boyuna v nin srbst 3

frkanslarının v kritik burulma yüklmlrinin doğruluğunu DQEL v DTEM yöntmlri kullanılarak kanıtlamışlardır. Park v Gao [4] Eulr-Brnoulli kiriş mtodunu v modifiy grilm çifti torisini kullanarak yni bir modl gliştirmişlrdir. Bu yni modlin bir iç malzm uzunluk ölçk paramtrsi içrdiğini v boyut tkisinin çözümlrd önmli ölçüd tkili olduğunu göstrmişlrdir. Yni gliştirilmiş modllm il klasik kiriş torin gör kirişin daha büyük ğilm rijitliğin sahip olduğunu bulmuşlardır. Bu iki modld mydana gln sapma miktarları arasındaki fark kiriş kalınlığı azaldıkça artmıştır. Kirişin kalınlığı artıkça iki yöntmd d birbirin yakın sonuçlar alındığı görülmüştür. Rddy [] çalışmasında mikro-yapı bağımlı doğrusal olmayan Eulr-Brnoulli v Timoshnko kiriş torilrini virtül yr dğişimi prnsibini kullanarak gliştirmiştir. Kirişi oluşturan iki malzmnin kiriş kalınlığı boyunca güç yasası fonksiyonuna gör dağıldığını varsaymıştır. Bulduğu bu yni dnklm modifiy strs çifti torisi, güç yasası dağılımı v doğrusal olmayan Von-Kârmân gomtrisini tml almaktadır. Bu modl klasik Eulr-Brnoulli v Timoshnko torilrinin aksin FDM dki boyut bağımlılığını göstrn malzm uzunluk paramtrsini içrmktdir. Statik bükülm, titrşim v burulmanın paramtr üzrin tkisini araştırmıştır. Ortaya koyduğu bu torik glişmlr ayrıca sonlu lmanlar modlinin gliştirilmsin olanak sağlamıştır. Ayrıca doğrusal olmayan gomtrinin v mikro-yapı bağımlı tml bağıntının burkulma sonrası üzrin tkisini blirlmiştir. Asghari v ark. [1] FD malzmdn yapılan mikro kirişlrin boyut bağımlı statik v titrşim davranışlarını modifiy grilm çifti torisini tml alarak lastik bölgd analitik olarak inclmişlrdir. Ana harkt dnklmi v sınır koşulları Hamilton prnsibin dayanarak türtilmiştir. Doğal frkans v statik sapma için kapalı form çözümünü, kirişin karaktristik boyutunun iç malzm paramtrsin oran fonksiyonuna v malzm özlliklri dağılım fonksiyonuna bağlı olarak ld tmişlrdir. Bu sonuçlar kirişin karaktristik boyutunun iç malzm uzunluk paramtrsin oranı küçük olduğunda Modifiy Grilm Çifti Torisindn ldn diln statik sapma v doğal frkanslar, klasik kiriş torisin gör büyük farklılıklar göstrmktdir. 4

Şimşk [14] grçklştirdiği çalışmada dğişkn ksit alanlı v malzm özlliklri ksnl yönd dğişn FD konik nano-çubukların srbst titrşimini lokal olmayan lastisit torisiyl inclmiştir. Bu çalışmada nano-çubuğun lastisit modülünün v kütl yoğunluğunun güç dağılımı yasasına gör ksnl doğrultuda dğişim göstrdiği varsayılmıştır. Nano çubuklar için iki ucu sabit v bir ucu sabit diğr ucu srbst olan iki tip sınır koşulu kullanılmıştır. Srbst titrşim frkanslarını ld tmk için Galrkin mtodundan yaralanmıştır. Lokal olmayan paramtrnin tkisi, farklı malzm bilşimi, koniklik oranı, ksit alanındaki dğişimlr v sınır koşulları gibi dğişimlrin ksnl FD nano-çubuğun srbst titrşimi üzrin tkilri araştırılmıştır. Ksit alanı sinüzoidal dğişimli izotropik kirişin v dğişkn yarıçaplı konik nano-çubuğun srbst titrşim frkansını ld tmiş v daha önc yapılan çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Bulunan sonuçların öncki sonuçlarla bnzr olduğu görülmüştür. Bu lokal olmayan tkilrin göz ardı dildiği klasik (lokal) kiriş modli kullanılarak titrşim frkanslarının tahmini dğrlrdn daha fazla olduğu blirlnmiştir. Akgöz v Civalk [] homojn olmayan v konik ksitli mikro-kirişlrin titrşim davranışlarını blirlmk için Eulr-Brnoulli kiriş v modifiy grilm çifti torisini birlştirrk analiz tmişlrdir. Mikro-kirişin çözümünd sınır koşulu olarak bir ucu sabit diğr ucu srbst kiriş olduğu kabul dilmiş v malzm özlliklrinin ksnl yönd dğiştiği varsayılmıştır. Rayligh Ritz mtodu srbst transvrs titrşim problminin yaklaşık olarak çözümünün ld dilmsini sağlamıştır. Eksnl fonksiyonl drclndirilmiş mikro-kirişin doğal frkansına tki dn koniklik oranı v malzm özlliklrinin tkilri dtaylı bir şkild açıklanmıştır. Huang v ark. [17] homojn olmayan ksit alanına sahip v malzm özlliklri ksnl dağılımlı FD Timoshnko kirişlrinin titrşim davranışlarını gözlmlmk için yni bir yöntm ilri sürmüşlrdir. Yardımcı fonksiyonları tanımlayarak sapma v dönüş miktarını blirtn dğişkn katsayılı ana dnklm çiftini tk bir ana dnklm dönüştürmüşlrdir. Üstlik fiziksl nicliklr n son bulunan dnklmin çözülmsi cinsindn ld ttilr. Bilinmyn fonksiyon için kuvvt srilrindn yararlanarak, linr cbirsl dnklm sistmini tk bir dnklm sistmin dönüştürmüşlr v farklı sınır koşulları için doğal frkansları bir karaktristik dnklmi halin gtirmişlrdir. Önriln ilri yaklaşım çoklu-köklrdn ş zamanlı ld diln düşük v yüksk drcli doğal frkansları içirn polinomal 5

dnklmlrdir. Homojn olmayan v ksnl FD kirişlr için hsaplanan doğal frkansların sonuçlarına gör bulunan yöntmin yakınsamayı daha hızlı yaptığını v nümrik sonuçları yüksk doğrulukta vrdiğini blirtmişlrdir. Tong v Tabarrok [3] çalışmalarında, basamaklı Timoshnko kirişlrin, srbst v zorlanmış titrşim durumundaki davranışlarını analitik olarak açıklamak için farklı bir çözüm önrmişlrdir. Bu çözümü gnllikl homojn yapılı olmayan Timoshnko kirişlrinin titrşim analizlrini yaklaşık olarak hsaplamak için kullanmışlardır. Srbst titrşim halindki frkans dnklmini kirişin bir ucundaki başlangıç paramtrlri cinsindn ld dilmişlrdir. Fakat zorlanmış titrşim durumundaki kirişin analitik çözümünü iki bilinmynli cbirsl dnklm kümsinin çözümü il ld tmişlrdir. Kahrobaiyan v ark. [4] boyut bağımlı FD Eulr- Brnoulli kiriş modlini, mikro ölçkli yapılardaki boyut tkisin duyarlı klasik olmayan torilr v grinim gradyan torisin dayandırarak gliştirmişlrdir. Ana dnklmi, klasik v klasik olmayan sınır koşullarını varyasyonl yaklaşım yöntmini kullanarak ld tmişlrdir. Bu yni modli gliştirmk için daha önclri kullanılan, kalınlık boyunca sabit kabul diln uzunluk ölçk paramtrsini göz ardı tmişlridir. Bunun bir sonucu olarak şdğr uzunluk paramtrsi, fonksiyonl drclndirilmiş mikro-kirişlrin bilşnlrinin uzunluk paramtrlrinin bir fonksiyonu olarak göstrilmiştir. Gnl kapalı-form çözümünü yni modlin statik sapmasını bulmak için türtmişlrdir. Bu çalışmada yni modlin statik v srbst titrşim davranışını, basit msntli FD mikro-kiriş için analiz tmişlrdir. FD kirişin malzm özlliklrinin kalınlık doğrultusunda güç yasası dağılımı fonksiyonuna sahip olduğunu dikkat almışlardır. Yni modlin sonucunu modifiy grilm çifti torisi v klasik sürklilik torilriyl karşılaştırmışlardır. Son iki torid kullanılan grinim gardiyan torilrini özl durumlar için ld tmişlrdir. 6

1.3 Tzin Amacı Titrşim priyodik salınım harktinin sonucunda mydana gln bir olaydır. Titrşimlrin bazı durumlarda sönümlnrk ortadan kaldırılması istnirkn, bazı uygulamalarda is kontrol dilrk ya da minimiz dilrk yaralı bir hal dönüştürülmsi hdflnmktdir. Son yıldır mikromtr v nanomtr ölçğindki sistmlrin v cihazların gliştirilmsi mikro v mikro-altı ölçkli titrşim analizlrinin önmini artırmıştır. Homojn olmayan kirişlrin dinamik analizlri çok dğişkn katsayılı dnklmlrin ortaya çıkması ndniyl homojn kirişlrin analizlrin gör çok daha karmaşıktır. Homojn malzm dağılımına sahip olmayan kirişlrin titrşim analizlrini basitlştirmk için Eulr-Brnoulli kiriş modlin dayalı birçok mtot önrilmiştir. Özllikl analitik yöndn çözülmyn harkt dnklmlri için difransiyl transform mtodunun kullanılması, çözüm ulaşmak için hm kolaylık sağlamakta hm d ksin bir doğrulukta sonuç vrmktdir. Gnllikl Emdn-Flownr v Frdholm difransiyl dnklmlrin bnzyn ana dnklmlr DTM dönüşüm tablosu kullanılarak tkrar düznlnmkt v çözümlr ld dilmktdir. Bu tzin tml amacı lastik yapılı makro boyutlu kirişlrin titrşim analizind kullanılan glnksl modllm torilrini, mikro boyuta sahip fonksiyonl drclndirilmiş kirişlr uyarlamak v malzmnin srbst titrşimini analitik yollarla ld tmktir. Analitik çözümlr kirişin sınır şartlarına, ksit alanın gomtrisin, malzm özlliklrinin dağılım fonksiyonuna v doğrultusuna gör yapılmıştır. Uzunluğu boyunca ksit alanı dğişn mikro boyutlu kirişlrin harkt dnklmlri; modifiy grilm çifti torisi v Hamilton prnsibi tml alınarak ld dilmiş v analitik çözümü bulunan dörtgn ksitli kiriş için analiz grçklştirilmiştir. 7

. FONKSİYONEL DERECELENDİRİLMİŞ MALZEME VE MİKRO KİRİŞLERİN TANIMI.1 Fonksiyonl Drclndirilmiş Malzmlr Bilşnlrinin özlliklri, hacimsl bir oran dağılımına bağlı olan malzmlr fonksiyonl drclndirilmiş malzm olarak tanımlanır. FDM yi oluşturan bilşnlr birbirlriyl kimyasal tkilşim girmmktdirlr. FDM lr bu iki özlliğiyl kompozit malzmlr bnzmktdirlr. Kompozitlr, tml olarak kalıp görvi görn rçin için gömülmüş sürkli vya kırpılmış lyaflardan oluşmaktaykn FDM yi oluşturan iki bilşn birbiri içrisind dağılmış olarak bulunur. FDM nin sramik yüzyi sıcak yüzy, mtal yüzyi is soğuk yüzy olarak adlandırılmaktadır. Şkil.1 d fonksiyonl drclndirilmiş malzmyi oluşturan, mtal v sramik malzmlrin faz gçişlri göstrilmiştir. Şkil.1 Fonksiyonl drclndirilmiş malzm dağılımı FDM lrin hacimsl oran dağılımı şitlik (.1-.) d göstrilmktdir. P PV PV t t b b (.1) V b V t 1 (.) P P V P P vya P P V P P t b b t b t t b (.3) Ptv Pb sırasıyla kirişin üst v alt yüzyinin malzm özlliği, Vt v Vb is sırasıyla üst v alt kirişin malzm dağılım fonksiyondur. 8

Fonksiyonl drclndirilmiş kirişlrd malzm dağılımı; kalınlık vya ksnl doğrultuda olabilmktdir. Şkil. d malzm özlliklri kalınlık doğrultusunda dğişn FGM kirişi v şkil.3 t malzm özlliklri ksn doğrultusunda dğişn FGM kiriş göstrmktdir. Malzm dağılımları, kuvvt yasası dağılımı (P- FGM), üstl dağılım (E-FGM), sigmoid dağılım (S-FGM) [9] gibi çşitli fonksiyonlara bağlı olmaktadır. Bu malzmlr döküm v toz mtalürji adları altında birçok farklı ürtim yöntmi il imal dilbilmktdirlr Kirişlrin matmatiksl modllmsi (.1),(.) v (.3) şitliklri tml alınarak yapılmaktadır. Aşağıda kuvvt yasası, üstl v sigmoid dağılım fonksiyonları vrilmiştir 1. Kuvvt yasası dağılım; n ( / ) ( ) P z P z h P P b t b (.4) Üstl dağılım; xp / n log / t b t P z P z h P P (.5) Sigmoid dağılım; n P z Pt Pb.5 1 z / h Pb h / z n P z Pb Pt.5 1 z / h Pt z h / h : Kirişin yükskliği (.6) z : Kiriş üzrind sçiln bir noktanın kirişin alt yüzyin olan uzaklığı n : Malzm dağılım indksi Dağılım fonksiyonları kirişin bulduğu ortamın çalışma şartlarına gör sçilbilmktdir. Örnğin; Bir FDM kirişin malzm dağlımı dğiştirilrk, çalışma frkansıyla dnk olmayacağı bir doğal frkansa sahip olması sağlanabilmktdir. Statik sapmanın blirli bir düzyi gçmmsi grkn ya da burkulma yükünün blirlnmiş bir sviydn az olmaması istnn durumlar için d dağılım fonksiyonları sçilbilir. 1 (Hui-Shn Shn, Functionally Gradd Matrials, Nonlinar Analysis of Plats and Shlls, 9) 9

. Mikro-Kirişlr MEMS, NEMS v AKM gibi cihazlarda mikro v mikro-altı ölçk boyutlarında kiriş yapıları bulunmaktadır. Bu tip sistmlrd küçük dğişimlr kirişin statik v dinamik davranışı üzrind çok önmli bir tkiy sahiptir. Kirişlrdki malzm dağılımı kalınlık yönünd olabilcği gibi ksn doğrultusunda da olabilmktdir. Şkil. Malzm özlliklri kalınlık boyunca dğişn fonksiyonl drclndirilmiş kiriş (TFGM) Şkil.3 Malzm özlliklri ksnl yönd fonksiyonl drclndirilmiş kiriş (AFGM) Bir kirişin ksit alanı dikdörtgn, dairsl vya üçgn gomtriy sahip olabilmktdir. Tablo.1 d dörtgn ksit alanlı linr v üstl konik kiriş gomtrilri göstrilmktdir. Örnğin, üçgn ksitli konik kirişlr atomik kuvvt mikroskop uygulamalarında kullanılmaktadır. Bu gomtriy sahip kirişlrin uç yapısı, kan hücrsi gibi mikro boyutlu yapıların hacmini blirlmk amacıyla parçacığın yüzyin tki dr v bu şkild cismin üç boyutlu (3D) gomtrisi ld dilir. Şkil.4 d atomik kuvvt mikroskobunda bulunan bir kirişin fotoğrafı görülmktdir Şkil.4 AFM kiriş 1

Tablo.1 Dörtgn ksit alanlı konik kiriş çşitlri [] Çift Yönlü Konik Drinlik Boyunca Konik Yüksklik Boyunca Konik Linr Üstl 11

3.SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ 3.1 FDM Konik Ksitli Mikro Kirişin Yapısal Özlliklri Gnllikl FDM kirişlrin bir yüzyi saf mtaldn diğr yüzyi is saf sramiktn oluşmaktadır. Kirişi oluşturan mtal v sramik bilşnlr kirişin kalınlığı boyunca blirli bir dağılıma gör hacimsl oranla karıştırılmış olup birbirlriyl inrt lmntlrdn sçilmişlrdir. z x y Şkil 3.1. Fonksiyonl drclndirilmiş konik kiriş Şkil 3.1 dki FDM mikro kiriş kalınlığı doğrultusu boyunca malzm dağılımına sahiptir. Bu tür bir kirişt malzmnin dağılımı kalınlık doğrultusunda olduğundan malzm özlliklri kalınlık boyunca dğişcktir. Bu sbpl kalınlık yönünd sçiln bir noktadaki malzm özlliklri tanımlanmıştır. z b t b h z z E z E E E h n n b t b z b t b h z n (3.1) (3.) (3.3) Sçiln z noktasında; z: Yoğunluk E z : Elastisit modülü z: Ksm modülü b v t indislri sırasıyla kirişin alt v üst yüzylrindki malzmlri tmsil tmktdir. n smbolü güç yasası dağılım fonksiyonuna gör dağılım fonksiyon indksini göstrmktdir. 1

3. Yr dğiştirm il Şkil Dğiştirm Arasındaki Kinmatik Bağlantılar Eulr-Brnoulli kiriş torisind; x, y v z koordinatları doğrultularında yr dğiştirm miktarı aşağıdaki gibi ifad dilmktdir. u z, u v, u w w x, t (3.4) x y z Şkil 3. Konik bir kirşin nötr ksni v ksit alanı Şkil 3.3 Konik bir kirişin ğilmsi sonucunda sçiln bir noktanın nötr ksn gör yr dğişimi z paramtrsi kirişin nötr ksni il şkil dğişimi için sçiln noktayla arasındaki uzaklığı tmsil drkn, z smbolü sçili noktanın kirişin alt yüzyin olan uzaklığını göstrmktdir. kirişin (cntroidal) mrkz ksninin rotasyon açısını tmsil tmktdir. Kirişin harkt durumu, göz önün alınarak bu sapmanın çok küçük bir sapma olduğu tspit dilmiştir. dw dx (3.5) 13

(3.4) dki u şitliğin (3.5) dki dğri yazılarak w( w, t) y bağlı u ld dilir. dw u z dx (3.6) 3.3 Modifiy Grilm Çifti Torisini Kullanarak Eulr - Brnoulli Kiriş İçin Potansiyl Enrji Yang v çalışma arkadaşları, grinim nrjisi yoğunluğunu ğrilik tnsörü v grinim tnsörünün fonksiyonu cinsindn ld drk modifiy grilm çifti torisini ifad tmişlrdir. Linr lastik izotropik malzm özlliğin sahip kirişin hacmind mydana gln şkil dğiştirm nrjisi kullanılarak yazılmıştır [37]. 1 U ( ij ij mij ij ) dv i, j 1,,3 modifiy grilm çifti torisi (3.7) (3.7) dnklmi kartzyn koordinatları göstrilrk ynidn yazılmıştır. h b L 1 U m dxdydz xx xx xy xy (3.8) h b Eşitlik (3.8) dki,, m v ij ij ij ij smbollri sırasıyla grilm tnsörü, grinim tnsörü, grilm çiftinin dviatorik (fark) tnsörü v ğrilik tnsörünü tmsil tmktdir. I tr ij ij ij (3.9) m ij l ij (3.1) l malzm iç uzunluk paramtrsi, v lam sabitlridir. Lam sabitlri grilm- şkil dğiştirm arasındaki bağıntıyı vrn sabitlrdir. birinci lam sabiti, ikinci lam sabiti (kayma modülü) olarak adlandırılmaktadır. 1 T ij 1 T ij u u (3.11) (3.1) 14

v tnsörlri simtrik özllik göstrdiğindn (3.11) v (3.1) şitliklriyl tanımlanmıştır. v nin simtrik özlliğindn dolayı (3.9) v (3.1) daki olarak ifad diln tnsörlr d simtriktirlr ( v ). Eşitlik (3.11) dki rotasyon vktörünü tmsil tmktdir. Rotasyon vktörü şitlik (3.13) göstrilmiştir 1 ij curl u i (3.13) (3.4) dki tanımlanan şitliklr (3.13) dnklmind yrin yazılarak ynidn düznlnmiştir. i j k i j k 1 1 1 1 ij curl u u dt dt i x y z x y z ux uy uz dw z dx w x, t (3.14),, w x t w x t dw dw ij i j z k z y z x z dx x y dx w x, t y, x z x (3.15) (3.16) (3.16) ld ttiğimiz rotasyon vktör dğrlri (3.11) dnklmin yazılmıştır. x x x x y z y y y dw i, j z x y z x dx z z z x y z (3.17) 15

dw dx 1 T 1 dw ij dx 1 dw xy xx yy zz yz xz, dx (3.18) (3.19) Eşitlik (3.1) d tanımlanan grinim tnsörü dnklmin (3.4) dki yr dğiştirm şitliklri yazılarak kirişin x, y v z doğrultularındaki şkil dğişimi blirlnmiştir. ux ux ux d w dw x y z z dx dx uy uy uy u ui, j x y z dw u z uz u z dx x y z (3.) ij grinim tnsörünü ld tmk için şitlik (3.1) dki dnklmd u yrin yazılmıştır. Eld diln matris gör sadc x doğrultusunda grinimin oluştuğu tspit dilmiştir. ij d w dw d w dw d w z z z dx dx dx dx dx 1 dw dw dx dx (3.1) dw xx z dx (3.) Elastik sabitlrinin birbiriyl arasındaki bağıntıyı göstrn k-1 dki tablodan yararlanarak v sabitlri yazılmıştır. E 11 E 1 (3.3) (3.4) 16

E : Elastik modül : Possion oranı Kirişt oluşan grilmlrin yönlri blirlmk için (3.9) grilm tnsörü dnklmind (3.), (3.3) v (3.4) şitliklri yrin yazılmıştır. dw z dx E E xx yy zz I 3x3 1 1 1 (3.5) z dx dw E 1 11 d w E z dx 11 d w z dx E 11 (3.6) xx dw z dx E 1 11 (3.7) yy E zz z dx 1 1 d w (3.8) Mikro kirişlr gibi boyunun nin gör oranı çok fazla olan kirişlrd, kiriş torisini sad bir şkild formül tmk için Possion oranın tkisi göz ardı dilir. Bu sbptn dolayı possion oranı göz ardı dilip düznlnmiştir., v xx yy zz ynidn dw xx yy zz xy xz yz ze, dx (3.9) 17

(3.1) dnklmiyl tanımlanmış olan grilm çiftini fark tnsörü (3.17) v (3.7) şitliklr il ynidn düznlnrk x, y v z doğrultularındaki dğişimlr göstrilmiştir. dw dx E 1 d w mij l 1 dx dw m, xy l m xx myy mzz mxz myz dx (3.3) (3.31) Modifiy grilm çifti torisin gör kirişin potansiyl nrjisini ld tmk için (3.19), (3.), (3.9) v (3.31) şitliklri (3.7) dnklmind yrin yazıp ynidn düznlnir., d wx, t 1 d w x t U M Y dx L x x dx dx (3.3) M x bilşk momnti, Y momnt çiftini tanımlamaktadır [4]. x M Y x x zda A A xx mxyda (3.33) (3.34) A kirişin ksit alanıdır. Kirişin boyutunu tanımlamak için sçiln kalınlık v yüksklik smbollri kullanılarak; kirişin ksit alanının atalt momnti aşağıdaki gibi ifad dilmktdir. Ksit alanı bu durumda A bh olarak l alınmalıdır. h I b z dz h (3.35) Kalınlık yönünd malzm özlliklri fonksiyonl olarak dğiştiğindn E lastik modülü v ksm modülü z ksnin bağlı olarak dğişcktir. Bu durumda (3.33) v (3.34) şitliklri ynidn düznlnir [4]. 18

xy A A (3.36) d w x, t xy (3.37) dx A A Y m da z l da d w x, t M x xxzda E z z da dx 3.4 Modifiy Grilm Çifti Torisini Kullanarak Eulr- Brnoulli Kiriş İçin Kintik Enrji Titrşim yapan kiriş ksitinin hrhangi bir noktasının hrhangi bir andaki hızı aşağıdaki gibi ifad dilmktdir. du d dw x t d w x t vx z z dt dt dx dxdt v z dw( x, t) dx (, ) (, ) (3.38) (3.39) Eulr-Brnoulli kirişi için kintik nrji ifadsi ld dilirkn, atalt momntinin tkisi ihmal dilir. Bu sbpl kiriş ksit hızının tüm kiriş için kintik nrji ifadsi aşağıdaki şkild olur. v x bilşni ihmal dilir. Böylc T, 1 dw x t dv V dx (3.4) Burada kirişin (yoğunluk) birim hacim kütlsidir. Bu ifad kartzyn koordinatlarda daha ayrıntılı olarak izlyn şkild yazılabilir. T h b L h b, 1 dw x t dxdydz dx (3.41) Eşitlik (3.41) dki intgral işlmi için grkli hsaplamalar yapılarak Eulr-Brnoulli kirişi için kintik nrji ifadsi ld dilmiştir., L 1 dw x t T A dx dt (3.4) 19

3.5 Eulr- Brnoulli Kiriş İçin Harici Kuvvtlrin Yaptığı İş Kirişin üzrin qx, t kadar yayılı bir kuvvt olduğu varsayarak iş dnklmini ld dilmiştir. V L,, q x t w x t dx (3.43) 3.6 Ana Harkt Dnklminin Türtilmsi Kirişin dinamik harkt dnklmi gnişltilmiş Hamilton prnsibi il türtilmiştir. Linr lastisit anizotropik ortam için lastodinamik davranış göstrn bir sistmin dalga harktini tanımlamakta gnişltişmiş Hamilton ilksi il tanımlanmaktadır. Bu prnsib gör; bir sistm, blli bir zaman aralığında, kintik v potansiyl (lastik) nrjilrinin dğişimi il kndisin tkimkt olan aktif kuvvtlrin virtül işlri toplamının intgrali sıfır olacak şkild harkt dr. Hamilton prnsibi harkt dnklmini blirli bir koordinata bağlı olmadan sadc sınır koşullarına bağlı olarak analitik yoldan sonuca ulaşılmasını sağlamaktadır. t t T V U dt T U V dt (3.44) v v v v t1 t1 T : Kintik nrji U : Potansiyl (lastik ) nrji V : Harici kuvvtlr tarafından yapılan iş 1 dw 1 t L L L d w x, t A dx M Y dx q x, twx, tdxdt (3.45) v x xy t1 dt dx Kirişin doğal frkansını bulmak için harici kuvvtlr yok sayılarak dnklm ynidn düznlndiğind aşağıdaki harkt dnklmi ld dilir. Ek- d şitlik (3.45) dn şitlik (3.46) gçiş açıklanmıştır. w x, t w x, t EI x l Ax A x x x t (3.46)

3.7 Ksit Dğişim Analizi Kiriş yükskliği sabit olan v gnişliği üstl olarak dğişn kiriş modli için ana harkt dnklmi ld dilmiştir. d w y x dx t EI x l Ax Ax (3.47) Eşitlik (3.47) dki I x v A x sırasıyla kiriş uzunluğuna (x yönündki yr dğişimi) bağlı atalt momntini v alanını göstrmktdir. I x A x I i x (3.48) A a x (3.49) i x v a x sırasıyla atalt momnti şkil fonksiyonu v alan şkil fonksiyonudur [7]. (3.48) v (3.49) dnklmlri şitlik (3.47) d yrin yazılmıştır. w x, t w x, t EIi x l A ax A ax x x t (3.5) Kirşin harkt dnklmi boyutsuzlaştırmak amacıyla (3.51) dki şitliklr tanımlanmıştır. x, t, y w (3.51) L t L (3.51) d tanımlanan şitliklr (3.5) dnklmind yrin yazılmıştır. yl yl EIi L l A a L A a L L L t 4 y AL y EIi l Aa a t (3.5) (3.53) Eşitlik (3.53) dnklmindki i atalt şkil fonksiyonu v a alan şkil fonksiyonunu tanımlamak grkli olduğundan farklı ksit alanlarına sahip kirişlr için atalt momnti aşağıdaki dnklml ifad dilmiştir. I c bh i 3 (3.54) 1

b, h v c i sırasıyla ksit gnişliği, ksit yükskliği v ksit alanı şkil fonksiyonu sabitini göstrmktdir. Örnğin; dikdörtgn ksit alanı için ci 1/1 ikn, dairsl ksit alanı v liptik ksit alanı için c / 64 dir. Dairsl ksit alanında b v h i yarıçapa şit ikn, liptik ksit alanında b v h dan biri majör ksn, diğri d minör ksn olarak kabul dilir. Yalnız dairsl v liptik ksit alanına sahip kirişlrd bu tanımlamayı kullanabilmk için koniklik y v z ksnlrind şit olmalıdır[7]. I I i (3.55) I c b h (3.56) 3 i 3 i y z (3.57) y v z birbirindn bağımsız boyutsuz paramtrlrdir. Tk v çift yönlü konik kirişlr bu şitlikl tanımlanabilir. Ksit alanını, yukarıda tanımlaman atalt momntinin tanımına bnzr bir şkild yazılmıştır. A c bh a (3.58) c a ksit alanı şkil fonksiyonu sabitini göstrmktdir. Örnğin; kar v dikdörtgn ksit için ca 1, dairsl v liptik ksit alanı için c /4 tür. A A a (3.59) A c b h (3.6) a a y z (3.61) 3.7.1 Linr Konik Durumun İnclnmsi h h1, b b1 v 1 h h, b b başlangıç şartlarına sahip olan ksiti linr dğişn bir kiriş koniklik fonksiyonları aşağıdaki gibi olur. y b b b 1 1 z h h h 1 1 1 1 y z (3.6) (3.63)

h1/ h 1 v b1 b / 1, çubuğun ilk yüksklik v gnişlik dğri 1 indisiyl, çubuğun son yüksklik v gnişlik dğri indisiyl göstrilmiştir. Gnişlyn konik kiriş için şkil fonksiyonları ld dilmiştir. Eşitlik 3.56 da tanımlanan atalt momnt şkil fonksiyonunda v şitlik (3.61) ta tanımlana ksit alanı şkil fonksiyonunda 3.63 dki şitliklr yazılarak koniklik fonksiyonları cinsindn ynidn tanımlanırlar. v 3 1 1 a y z 1 1 i y z 3 (3.64) Tablo.1 d göstriln üç farklı konik kiriş gomtrisi l alınarak 3.64 dki şitliklrdn farklı konik kirişlrin matmatiksl modllmlri yapılmaktadır. Çiftkonik kirişlr için sçilrk konik kirişin atalt v alan şkil fonksiyonları ld dilmiştir. 3 1 i y z 1 a y z 4 (3.65) Yükskliği sabit ( h1/ h 1 1 atalt v alan fonksiyonu yazılmıştır. z ), gnişliği linr dğişn bir kiriş için 1 1 i a (3.66) Tk taraflı konik ksitli kiriş için tanımlanan (3.65) dki atalt dğişim fonksiyon v alan dğişim fonksiyon şitliklri, kiriş yükskliğinin sabit olduğu durum için farklı, gnişliğinin sabit olduğu durum için farklı fonksiyonlar oluşturmaktadır. Gnişliği sabit olan ( b / b 1 y 1), yükskliği linr dğişn bir kiriş için 1 atalt v alan fonksiyonu yazılmıştır. 1 1 i a 3 (3.67) Sonuç olarak olduğu kabul dilrk tk yönlü v çift yönlü linr konik kirişlr (3.67) dki şitliklrl göstrilbilir. 3

3.7. Üstl Konik Durumun İnclnmsi Ksiti üstl olarak dğişn bir kirişin ksit dğişim fonksiyonları tanımlanmıştır []. 1 y, ln (3.68) 1 z, ln (3.69) (3.68) v (3.69) şitliklrind 1 v 1 olduğundan üstl dğişim miktarları v olur. Çift taraflı üstl konik kiriş konikliğin simtrik olmaması için alınarak (3.64) dki dnklmlr ynidn düznlnmiştir. i a 1 3 1 (3.7) Yükskliği sabit olan ( 1 z v ) gnişliği üstl dğişn bir kiriş için atalt v alan fonksiyonu yazılmıştır. i a 1 1 (3.71) Gnişliği sabit olan ( 1 y v ) yükskliği üstl dğişn bir kiriş için atalt v alan fonksiyonu yazılmıştır. i a 3 1 1 (3.7) 3.8. Harkt Dnklminin Analitik Olarak Çözümü Analitik çözüm özl durumlar için ld dilmktdir. Bu sbptn dolayı 3.7.1 v 3.7. başlıkları altında türtilmiş olan atalt v alan şkil fonksiyonları v grçk frkansı ld tmk için malzmnin dağılım fonksiyonları inclndiğind; analitik çözümlrdn birinin üstl olarak gnişliği dğişn tk taraflı kiriş gomtrisi için olacağı tspit dilmiştir. (3.53) dnklmi i a ynidn düznlnir. olarak alınarak v (3.71) dki şitliklr kullanılarak 4

4 y AL y EI l A i a t (3.73) 4 t, (3.74) (3.51) v (3.74) d tanımlanan şitliklr kullanılarak dnklm ynidn düznlnmiştir. 4 y AL y i EI l A t a (3.75) Eşitlik (3.75) hm zaman hm d yola bağlı bir dnklm olduğundan çözümün zamandan bağımsız olması için şitlik (3.76) kullanılmıştır., y W F (3.76) Eşitlik (3.76) kullanılarak (3.75) dnklmi dğişknlrin ayrılır. Bu yöntml, yr dğiştirmy bağlı bir çözüm dnklmi v zamana bağlı bir çözüm dnklmi ld dilmiş olur. W F i F a W 1 W 1 F i W F W i t a W W 4 i a W a (3.77) (3.78) (3.79) (3.8) (3.8) dnklmi ana harkt dnklminin yola bağlı kısmıdır. Yani kirşin uzunluğu boyunca ( x ksni doğrultusunda) alınan bir uzaklığa bağlı kirşin çöklm (z ksni doğrultusundaki yr dğişim) miktarını vrmktdir. F F (3.81) 5

(3.81) dnklmi ana harkt dnklminin zamana bağlı kısmıdır. Bu dnklm iki drcli homojn difransiyl bir dnklmdir v çözümü aşağıdaki gibi ld dilmktdir. cos sin F C C (3.8) 1 3.8 Üstl Ksit Dğişimin Sahip Kirişin Analitik Çözümü Eşitlik (3.71) d üstl ksit dğişimi için ld diln atalt v alan dğişim fonksiyonları (3.8) dnklmind yrin yazılıp tkrar düznlnir [31]. d d W d d 4 W (3.83) cosh( ) sinh( ) cos( ) sin( ) W C C C C (3.84) 1 1 1 3 4 1 / (3.85) (3.81) dnklmindn ld diln dğrlri kirişin doğal frkansı olarak tanımlanır. Bu dnklminin sonsuz tan kökü bulunmaktadır. Hr bir doğal frkansa karşılık kirişin almış olduğu şkil mod şkli olarak tanımlanır. Doğal frkansların küçüktn büyüğ doğru sıralanması sonucunda ld diln n küçük frkans tml frkans v bu frkansa karşılık gln mod şkli birinci mod şkli olarak adlandırılır. Kirişin sınır koşulana bağlı olarak kirişin uçlarında mydana gln dğişimlrinin kullanılması için harkt dnklminin türvlrinin blirlnmsi grkir. Bu sbpl çözüm için sçiln kirişin harkt dnklminin birinci, ikinci v üçüncü türvlri türtilmiştir. Tablo 3.1 d tzd kullanılmış olan üç sınır koşulu vrilmktdir. 6

Tablo 3.1 Kiriş uç durumuna gör sınır koşulları Sınır koşulu Boyutlu form Boyutsuz form Yola bağımlı Basit msntli w uç w, x y y, W, W Ankastr uç w, w x y, y W, W Srbst uç w EI x y W, W w w EI x x y y i Kiriştki çöklm miktarını grilmsini W W, ğimi W, ğilm momnti W v ksm tmsil tmktdir. Aşağıdaki şitliklrd (3.84) d tanımlanan harkt dnklminin türvlri göstrilmktdir. C1 cosh 1 C sinh 1 C3 cos C4 sin W C 11 sinh 1 C1 cosh 1 C3 sin C4 cos (3.86) C1 cosh 1 C sinh 1 C3 cos C4 sin W C1 1 sinh 1 C1 cosh 1 C3 sin C4 cos C1 1 cosh 1 C1 sinh 1 C3 cos C4 sin W 3 C1 cosh 1 C sinh 1 C3 cos C4 sin 3 C1 1 sinh 1 C1 cosh 1 C3 sin C4 cos 3 C1 1 cosh 1 C1 sinh 1 C3 cos C4 sin 3 3 3 3 C1 1 sinh 1 C1 cosh 1 C3 sin C4 cos (3.87) (3.88) 7

3.8.1 İki Ucu Basit Msntli Kiriş İçin Çözüm Boyutsuz kiriş için başlangıç noktasındaki dğri x v kirişin bitiş noktasındaki dğri is x olur. Hr iki ucu basit msntli kiriş için sınır şartları simtrik olduğundan kirişin hrhangi bir ucu koordinat mrkzi sçilbilir. Tablo 3.1 dn yararlanarak sınır koşulları; W, W, W 1, W 1 (3.89) z x Şkil 3.4 İki ucu basit msntli kiriş Kirişin sol tarafından diğr uçuna doğru ksit alanı dğişiminin daraldığını blirtmk için ngatif, gnişldiğini blirtmk için pozitif olarak sçilir. Bu şkild daralan vya gnişlmnin olduğu konik kirişlrin frkansları bulunmaktadır. Hr iki ucu srbst msntli kiriş için (3.89) daki sınır koşullarını göstrn şitliklr (3.84) v (3.87) şitliklrind yrin yazılarak (3.9) şitliği ld dilir. 1 1 C 1 1 1 C cosh1 sinh 1 cos sin C3 c41 c4 c43 c44 C4 (3.9) c c c c cosh sinh cosh 41 1 1 1 1 1 sinh cosh sinh 4 1 1 1 1 1 cos sin cos 43 sin cos sin 44 (3.91) (3.9) şitliğinin sağ tarafı sıfıra şit olduğundan çözümün bulunması için bu şitliktki matrisin dtrminantının sıfıra şit olmasa grkir. Bu şkild dtrminant alınarak ld diln dnklm ya bağlı bir şitlik olmaktadır. Bu 8

şitliğin köklrinin karsi is kirişin gomtrisin bağlı doğal frkansını vrmktdir. Bulunan n küçük kökün karsi kirişin ana frkansını vrmktdir. Köklrin bulunması için Matlab programındaki fzro komutundan yararlanılmıştır. Diğr bütün sınır koşulları için çözümlr bu yöntm kullanılarak yapılmıştır. Şkil 3.5 İki ucu basit msntli kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı, mod 1,,3,4,5 Şkil 3.5 t iki ucu basit msntli kirişin ksit dğişiminin ( ), ilk bş mod durumuna gör ld diln doğal frkanslarının, sabit ksitli bir kirişin doğal frkanslarının oranları dğişimini göstrmktdir. Bta dğrinin bir olması ksit dğişiminin olmadığı yani konik olmayan bir kirişin frkanslarını vrmktdir. Bu sbpl bta 1 dğrin yaklaştıkça, oranlarda 1 dğrin yaklaşmaktadır. Mod 1 için doğal frkanslar oranı 1 dğrinin altındaki dğrdn başlayarak 1 d sabitlşmktdir. Grafiğ gör ilk doğal frkansların (mod 1) oranları sabit ksitli bir kirişin doğal frkansından küçük olurkn, diğr mod (, 3, 4 v 5) biçimlrinin frkanslarının büyük olduğu görülmktdir. Mod d ld diln frkans sonuçları artan mod dğrlrin gör n yüksk doğal frkansları vrmktdir. Sonuç olarak 9

mod dğri sonsuza gittikç kirişin koniklik oranın btanın dğişimini doğal frkanslara tkisinin azaldığı görülmktdir. Diğr bir dğişl mod arttıkça sabit ksitli bir kiriş için hsaplanan doğal frkans dğri, konik ksitli bir kiriş için hsaplana doğal frkansa çok yakın olacağı görülmktdir. Şkil 3.6 İki ucu basit msntli kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı mod 1,,3, 4,5 Şkil 3.6 da bta- ln dğrinin sıfıra şit olduğu noktaya karşılık gln frkanslar sabit ksitli bir kirişin doğal frkanslarını göstrmktdir. Yani bta- sıfır ikn kiriş konik dğildir. Bta- nin -.5 il arası dğri, bta nın 1 yakın bir dğrindn başlayarak a gidrkn ld diln dğrlri göstrirkn, Bta- nin il.5 arası dğri, bta nın dan 1 yaklaşırkn ld diln dğrlrini göstrmktir. Kirişin sınır koşullarının simtrik olmasından dolayı grafik simtrik ksnin gör simtrik olduğu görülmktdir. Şkil 3.5 d mod dğrlrin gör doğal frkanslar hakkında ayrıntılı bir yorum yapılmıştır. 3

3.8. İki Ucu Ankastr Kiriş İçin Çözüm Hr iki ucu ankastr kiriş için sınır koşulları aşağıdaki gibi olur. W, W, W 1, W 1 (3.9) Şkil 3.7 İki ucu ankastr kiriş Hr iki ucu ankastr kiriş için (3.9) dki sınır koşullarını göstrn şitliklr (3.8) v (3.8) şitliklrind yrin yazılarak (3.93) matris şitliği ld dilir. 1 1 C1 C 1 cosh1 sinh 1 cos sin C3 c41 c4 c43 c44 C4 (3.93) c c c c cosh sinh 41 1 1 1 sinh cosh 4 1 1 1 cos sin 43 1 1 1 sin cos 44 1 1 1 (3.94) (3.93) daki şitliğin sağ tarafı sıfıra şit olduğundan matrisin dtrminantının sıfıra şit olmasa grkir. Eld diln kök dğrlri doğal frkansları vrmktdir. Örnğin bulunan n küçük kök 1. mod şklinin frkansının vrmktykn ikinci n büyük kök dğrin. mod şkli için ld diln doğal frkansı vrmktdir. 31

Şkil 3.8 İki ucu ankastr kirişin dğişimin gör doğal frkansları oranı, mod 1,,3,4,5 Şkil 3.8 t iki ucu ankastr kirişin ksit dğişiminin ( ), ilk bş mod durumuna gör ld diln doğal frkanslarının, sabit ksitli bir kirişin doğal frkanslarının oranları dğişimini göstrmktdir. Bta dğrinin bir olması ksit dğişiminin olmadığı yani konik olmayan bir kirişin frkanslarını vrmktdir. Bu sbpl bta 1 dğrin yaklaştıkça, oranlarda 1 dğrin yaklaşmaktadır. Mod 1 için doğal frkanslar oranı diğr mod şkillrin gör n yüksk doğal frkans dğrlrinin vrmktdir. Grafiğ gör mod dğrlrinin 1 dn sonsuza gittikç sabit ksitli bir kirşin sçiln modu için hsaplanan doğal frkansına yaklaştığı görülmktdir. Örnğin mod 1 d btanın.4 dğri için doğal frkans sabit ksitli bir kirişin 1. modu için hsaplanan frkansın yaklaşık 1.5 katı kadar olacağı görülmktdir. Şkil 3.9 da bta- ln dğrinin sıfıra şit olduğu noktaya karşılık gln frkanslar sabit ksitli bir kirişin doğal frkanslarını göstrmktdir. Yani bta- sıfır ikn kiriş konik dğildir. Kirişin sınır koşullarının simtrik olmasından dolayı şkil 3.6 daki grafik gibi simtrik bir grafik ld dilmiştir. Şkil 3.8 d mod dğrlri için doğal frkanslar hakkında ayrıntılı bir yorum yapılmıştır. 3