Projenin Adı: Çizge Kuramıyla Ders Çalışma Planı Projenin Amacı: Farklı birçok alanda kullanılabilen Çizge Kuramı, hemen hemen her zaman karşılaşabileceğimiz bir probleme, daha kolay ve daha verimli bir şekilde çözüm bulabilmek ve bu çözümü bulurken diğer olasılıkları görmeyi sağlamak. Giriş: Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi? 1 18. yüzyılda Prusya daki Königsberg kasabası halkının yanıtlamaya çalıştığı bu soru 1736 yılında Leonhard Euler tarafından yanıtlanmıştır. Hem de hiç bilinmeyen bir yöntemle; Çizge Graf Teorisi olarak da kullanılan Çizge Kuramı; bir olay ve ifadenin, düğüm ve çizgiler kullanılarak gösterilmesi biçimidir. 2 Gösterilen bu biçime ise graf ya da çizge denir. Graf kelimesi; grafların grafiksel olarak gösterilebilmesinden ve bu sayede birçok özelliklerini anlayabilmemizden ötürü verilmiştir. Yani noktaları ve bu noktalar arasında bağlantıları olan herhangi bir matematiksel nesne, graf yani çizge olabilir. Bir olay ya da ifadenin çizgeye dönüştürülmesi ve verilenler üzerinde daha rahat ve anlaşılır çalışmak için veriler en basite indirgenir. Örneğin Königsberg köprüleri probleminde adalar ve şehrin iki kıyısı birer nokta ve köprüler de bu noktaları birbirine bağlayan doğru parçaları ile gösterilir. Şekil 1: Königsberg in Yedi Köprüsü Çizge 1: Königsberg Probleminin Çizge Hali Şehrin üç yakasını ve adaları gösterdiğimiz bu noktalara (A,B,C,D) köşe ya da düğüm; bu noktaları birbirine bağlayan, köprüleri gösteren doğru parçalarına (e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 ) kiriş ya da bağ adı verilir. Çizgede tüm düğümler noktayla, tüm yollar doğru parçasıyla gösterilir. Köşeler ve bağlar arasındaki matematiksel yapıyı gösteren şemaya çizge ya da graf denildiğine göre, Matematiksel olarak ifade edilecek olunursa graf ifadesi; düğüm D, kiriş K ve graf ise G olacağından G=(D,K) şeklindedir. Yani graf, problemi simgeleyen kiriş ve düğümlerin tümüdür.
Ancak zaman zaman bu gösterim İngilizce, Edges (kenar-bağ) ve Vertices (düğüm-köşe), diye adlandırıldığında G=(V,E) şeklinde olabilir. Ayrıca G=(D,K) tanımının yanında V=V(G)=düğümler kümesini, E=E(G)= kenarlar kümesi anlamına gelmektedir. Şekil 2 den yola çıkarsak V= {A, B, C, D}, E={ e 1,e 2,e 3,e 4,e 5,e 6 }şeklinde olur. Çizilen tüm kirişlerin iki uçlarında birer adet düğüm bulunur. Bulunan bu düğümlere kirişin uçları denir. Daha da ayrıntıya girip kirişleri de tanımlayacak olursak tanımlamak istediğimiz kirişin, kiriş uçlarından oluştuğunu söylemeliyiz. Yani e 1 =(A,C), e 2 =(A,B) şeklinde tanımlanabilir. Çizge 2: Bir Çizge Örneği Bazen çizgede bulunan düğüm hiçbir şeklide diğer düğümlerle etkileşime geçemez, geçiş yapamaz. Bu yüzden o düğümü diğer düğümlere bağlayan bir kirişi olamaz. Bu tür düğümlere Ayrık düğüm denir. Çizge 2 de de E düğümü ayrık düğümdür. Çizge 2 den devam edilecek olunursa B düğümü; A, F ve D düğümleri ile komşudur. Çünkü A ve B komşu düğümleri arasında 1 kirişi; B,D komşu düğümleri arasında 5 kirişi ve B, F komşu düğümleri arasında 4 kirişi bulunur. C, D düğümleri ise 6 ve7 kirişleri sayesinde komşu düğümlerdir. Yani aralarında en az bir kiriş bulunan iki düğüm komşu düğümlerdir. Kiriş 8 ise çizgede döngü oluşturmuştur. Başlangıç adımı A düğümü alındığında kiriş 8 kullanılırsa bitiş düğümü de A düğümü olur. Bu yüzden bir kiriş kullanıldığında başlangıç ve bitiş düğümü aynı ise bu bir döngüdür. Temelde 6 çeşit graf vardır. Bunlar; basit graf, çoklu graf, ağırlıklı graf, yönlü graf (digraf) ve yönsüz graftır. Bir graf 2 farklı çeşit graf olabilir. Örneğin basit graflar aynı zamanda yönsüz graflardır aynı zamanda da çoklu graftır. 3 Ancak her çoklu graf bir basit graf olamaz. Bizim bu projemizde ilgilenecek olduğumuz graflar basit, çoklu ve yönlü graflar olduğu için sadece bu üç çeşit grafı anlatacağım. Basit Graf: Herhangi bir yönü olmayan ve içerisinde döngü içermeyen graflardır. Çizge 2 deki C ve D düğümlerini bağlayan 6 ve 7 kirişleri gibi iki düğümü birbirine bağlayan iki veya daha fazla kiriş içermez. İki düğüm arasında yalnızca bir kiriş bulunur. Bu kirişler herhangi bir değer almaz.
Çoklu Graf: Basit graflara ek olarak içerisinde, en az iki düğüm arasında birden fazla kiriş bulundurabilen graflardır. Yönlü Graf (Digraf): Bir graftaki kirişler yön bilgisine sahipse bu tür graflara yönlü graf denir. Bu yön bilgisi graflarda düğümler arasındaki bağlantının yönünü belirtir. Bir grafta kirişlerin hepsi ya yönlüdür ya da hepsi yönsüzdür. Aşağıdaki Çizge 3 yönlü bir graf örneğidir. Kirişlerin üzerindeki oklar, o iki düğüm arasındaki geçişin yönünü gösterir ve yönün tersi çözüm kümesinde yer alamaz. Çizge 3: Bir Yönlü Çizge Örneği Bir çizgenin geometrik şekli önemli değildir. Önemli olan şey düğümler ve kirişler arasındaki ilişkilerdir. Bu yüzden aynı graf çok farklı şekillerde çizilebilir. Bunu düğümlerin ve kirişlerin yerlerini değiştirerek yapabiliriz. Örneğin aşağıda çizmiş olduğum Çizge 4 ve Çizge 5 aynı çizgelerdir. Çünkü aynı düğümlerden aynı kirişlerle aynı düğümlere gidilmektedir. Ancak geometrik şekilleri çok farklıdır. Çizge 4 Çizge 5 Çizgeler; bir problemdeki tüm olasılıkları, durumları gösterir. Ancak biz her zaman tüm olasılıkları görmek istemeyebiliriz. Yani sadece problemin çözümüne odaklı bir çizgede çizebiliriz. Bu işlemi bütünden parça çıkararak kolayca yapabiliriz. Bu işleme kiriş-silme işlemi denir. Bir H çizgesinden e3 kirişi silindiğinde meydana gelen çizgeye, H-e3 çizgesi denir. Yine aynı şekilde bir H çizgesinden v2 düğümü de silinebilir ve G-v2 şeklinde gösterilir. Ancak kiriş-silme işleminden farklı olarak bir düğüm silindiğinde o düğüme bağlı en az bir kirişin ucu açıkta kalacaktır. Böyle bir durum çizge tanımına aykırı olacağından bir H çizgesinden v2 düğümü silindiğinde v2 düğümüne bağlı bütün kirişlerin de silinmesi gerekir. Çizge 6: H Çizgesi Çizge 7: H-d Çizgesi Çizge 8: H-F Çizgesi
Problem: Üniversite sınavlarına hazırlanan bir eşit ağırlık öğrencisi, Cuma günü okul kütüphanesinden Türkçe, Matematik ve Sosyal Bilimler kitaplarını alıyor. Kütüphane sorumlusu ise kitapları en son Perşembe sabahına kadar geri getirmesi gerektiğini söylüyor. Çocuk, kitapları Cuma günü kendisini almaya gelen anne ve babasıyla evine getiriyor ancak hafta sonu dershane derslerinden dolayı kitaplara çalışmayı unutuyor. Pazartesi sabah kalktığında kitapları fark ediyor ve o andan itibaren gündüzleri okulda, akşamları ise evde çalışmaya karar veriyor. Çocuğun çantası, kitaplar büyük olduğu için en fazla bir kitap alabiliyor ve çantasında getirdiği kitabı kesinlikle çalışmak istiyor. Bu arada, evdeki çalışma masasında ve okuldaki dolabında yeterli yer olmadığından ve Matematik kitabı çok kalın olduğundan Türkçe veya Sosyal Bilimler kitabıyla aynı yere duramıyor. Ayrıca Türkçe veya Sosyal Bilimler kitabıyla beraber Matematiğe çalışamıyor. Matematik dersine çalışacağında varsa diğer kitabı ya da diğer derslere çalışacağında varsa Matematik kitabını çantaya koymak zorunda kalıyor. Siz olsanız bu şartlar altında çocuğa en verimli nasıl bir çalışma programı yapardınız? Koşullar: 1. Evden okula götürülen ya da okuldan eve getirilen ders kitabına çalışılacak. 2. Yolda en fazla 1 kitap taşınabilir. 3. Eve ya da okula boş geliniyorsa evde ya da okulda bulunan ders kitabı çalışılacak. 4. Türkçe ve Sosyal Bilimler ders kitapları birlikte çalışılabilir. 5. Matematik ders kitabı yalnız çalışılmalıdır. Çözüm: Çocuk: Ç Sosyal Bilimler: S Türkçe: T Matematik: M 1. 5. 9. 13. 2. 6. 10. 14. 3. 7. 11. 15. 4. 8. 12. 16. Tablo 1 Yukarıda belirtilenler bu problemi çözerken karşımıza çıkabilecek tüm durumları göstermektedir. Çocuk, Matematik, Sosyal Bilimler ve Türkçe kitapları baş harfleriyle temsil edilmiştir. Kesrin pay kısmı evde bulunanları, payda kısmı ise okulda bulunanları göstermektedir. Bu şemada başlangıç konumumuz 1; öncelikle varmak istediğimiz konum 16 dır. (Daha sonra çocuğun kütüphaneye kitaplarını bıraktıktan sonra eve dönme ihtimali göz önüne alınırsa varılmak istenen son nokta 12 olur.)
1 5, 9, 10, 11 5 1 9 1, 2 13 2, 3, 6 2 9, 13, 15 6 13, 16 10 1, 3 14 3, 4, 8 3 10, 13, 14 7 15, 16 11 1, 4 15 2, 4, 7 4 11, 14, 15 8 14, 16 12 16 16 6, 7, 8, 12 Tablo 2 Bir konumdan hangi konuma veya konumlara geçilebileceğini kullanarak problemimizi çizge şeklinde çizebiliriz: Öncelikle problemimizde belirtilen ilk durum çocuğun evde diğer 3 kitapla birlikte bulunmasıdır. Bu yüzden Tablo 1 de gösterilen 1 numaralı durum bizim başlangıç durumumuzdur. Daha sonra Tablo 2 ye baktığımızda 1 numaralı durumdan 5, 9, 10 ve 11 numaralı durumlara geçilebileceğini anlayabiliriz. Ardından sırasıyla 5, 9, 10 ve 11. durumların Tablo 2 yardımıyla hangi durumlara/numaralara gittiğini buluruz ve bulduğumuz bu sonuçlara da aynı yöntemi uygularız. Elde ettiğimiz tüm verileri Çizge Kuramıyla çizecek olursak; Tablo 1 de yazdığımız tüm durumlar düğümleri, düğümler arasındaki geçişi yani çocuğun çantasıyla evden okula ya da okuldan eve kitapları taşımasını temsil eden olaylar ise kirişleri meydana getirir. Elde edeceğimiz çizge aşağıdaki gibi olur: Çizge 9: G Çizgesi Çizge 9, Tablo 2 de elde ettiğimiz tüm geçişleri göstermektedir. Eğer problemimiz bize herhangi bir koşul sunmasaydı ve kitaplar kendi başlarına hareket edebilselerdi çözümümüzü temsil eden çizge, Çizge 9 olurdu. Ancak Tablo 1 de elde ettiğimiz durumların bazıları gerek problemin bize verdiği şartlar yüzünden gerekse mantık çerçevesinde düşünüldüğünde olması imkânsız olan şeyler içermesi nedeniyle çözümümüz Çizge 9 olamaz. Çözümümüzü elde etmek için Tablo 1 ve Tablo 2 deki verileri bir arada kullanarak, Tablo 2 de geçiş yapabildiğimiz ancak Tablo 1 e göre olması imkânsız olan şeyleri elemeliyiz. Bunu yapabilmek için öncelikle tüm geçiş adımlarını yorumlamalı ve problemimizin bize verdiği zaman aralığı için en verimli adımları seçmeliyiz. Aşağıda Tablo 2 de bulduğumuz durumlar arasındaki geçişleri problemin bize sundukları ile yorumlayıp çözüm için gerekli adımları seçmeliyiz. 1. 5, 9, 10, 11
1. adımdan; 5. adıma geçilmesi demek; Çocuğun kitaplarının hepsini evde bırakıp kendi başına okula gitmesi demektir. Bu durumun olamayacağı problemde belirtilmiştir (Matematik kitabı çok kalın olmasından ötürü Türkçe veya Sosyal Bilimler kitabıyla aynı yerde duramıyor). Bu yüzden 5. durum bizim istemediğimiz bir durumdur. 9. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik kitabını alıp okula götürmesi demektir. Bu gerek probleme gerekse koşullara bakıldığında, yapılması gereken tek adım olarak görülmektedir. 10. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını alıp okula götürmesi demektir. Ancak bu durum gerçekleştiğinde Matematik kitabı Sosyal Bilimler kitabıyla birlikte evde bulunmaktadır. (Matematik kitabı çok kalın olmasından ötürü Türkçe veya Sosyal Bilimler kitabıyla aynı yerde duramıyor). Bu durumun olamayacağı problemde belirtilmiştir. Bu yüzden 10. durum bizim istemediğimiz bir durumdur. 11. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler kitabını okula getirip evde Matematik ve Türkçe kitabını bırakması anlamına gelir. Ancak bu istenmeyen bir durumdur. Çünkü Evde ya da okulda Matematik kitabı diğer kitaplarla birlikte bırakılamaz. koşulu bize problemde sunulmuştur. 2 9, 13, 15 2. adımdan; 9. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evde Sosyal Bilimler ve Türkçe kitabını bırakıp okula gitmesi demektir. Bu durumda 3. koşul devreye girmektedir (Eve ya da okula boş geliniyorsa evde ya da okulda bulunan ders kitabı çalışılacak). Bu yüzden okulda Matematik kitabına çalışmak zorundadır. 13. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını okula, Matematik kitabının yanına getirme durumudur. Çocuk, 1. koşulun (Evden okula götürülen ya da okuldan eve getirilen ders kitabına çalışılacak) bize yaptırımı nedeniyle okulda Türkçe çalışacaktır. Problemin bize sunduğu koşul yüzünden (Derslere çalışacağında varsa Matematik kitabını çantaya koymak zorunda.) Matematik kitabını çantaya koymak ve eve onu götürmek zorundadır. 15. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını alıp okula Matematik kitabının yanına götürmesi demektir. Burada da devreye 1. Koşul girer ve okulda Türkçe kitabına çalışacaktır. Ayrıca problemin bize sunduğu koşul yüzünden Matematik kitabını çantaya koymak ve eve onu götürmek zorundadır. 3 10, 13, 14 3. adımdan; 10. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik ve Sosyal Bilimler kitaplarını evde bırakıp, okula; Türkçe kitabının yanına herhangi bir kitap taşımadan gitme durumudur. Ancak problemin bize sunduğu koşullar nedeniyle Matematik ve Sosyal Bilimler kitapları bir arada evde bulunamayacağından bu geçiş durumu bizim istemediğimiz bir durumdur. 13. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evde Sosyal Bilimler kitabını bırakıp okula, Türkçe kitabının yanına Matematik kitabını götürme durumudur. Çocuk, 1. ve 5. koşullar nedeniyle okulda Matematik kitabına çalışmak zorundadır. Ayrıca problemde sunulan koşullar yüzünden Türkçe kitabı çantaya konulmalı ve eve Türkçe kitabı götürmelidir.
14. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler kitabını okula, Türkçe kitabının yanına getirme ve evde Matematik kitabını bırakma durumudur. 4. Koşul nedeniyle okulda Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına birlikte çalışabilir. 4 11, 14, 15 4. adımdan; 5 1 11. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik ve Türkçe kitaplarını evde bırakıp okula, Sosyal Bilimler kitabının yanına herhangi bir kitap taşımadan gitme durumudur. Ancak problemin bize sunduğu koşullar nedeniyle Matematik ve Türkçe kitapları bir arada evde bulunamayacağından bu geçiş durumu bizim istemediğimiz bir durumdur. 14. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evde Matematik kitabını bırakıp okula, Sosyal Bilimler kitabının yanına Türkçe kitabını götürme durumudur. 4. koşul nedeniyle okulda Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına birlikte çalışabilir. 15. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını evde bırakıp okula, Sosyal Bilimler kitabının yanına Matematik kitabını götürme durumudur. 1. koşul nedeniyle Matematik kitabını okula götürdüğü için o kitaba çalışmak zorundadır. Problemin bize sunduğu koşul yüzündense (Matematik kitabına çalışacağında varsa diğer kitabını çantaya koymak zorunda.) Sosyal Bilimler kitabını çantaya koymak ve eve onu götürmek zorundadır. 5. adımdan; 1. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okuldan eve, tüm kitaplarının bulunduğu yere, geri dönmesidir. Bu durum kısa zamanımızın bulunması nedeniyle aradığımız en verimli planı uygulamamızda mantıklı bir geçiş durumu değildir. Ayrıca 5. durum 3 kitabında evde bulunma durumudur ve bu durumun problemde, olmaması gerektiği belirtilmiştir. Problemde yer sorunu yüzünden 5. durum çözüm kümemizde yer almaması gereken bir düğümdür. 6 13, 16 6. adımdan; 13. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evde Sosyal Bilimler kitabını bırakıp okula Matematik ve Türkçe kitaplarının yanına gelmesidir. Ancak bu durum bizim problemimizde olmaması gereken bir geçiş durumudur. Çünkü Matematik ve Türkçe kitapları bir arada, okulda çocuk yokken bulunamaz. 16. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evdeki Sosyal Bilimler kitabını okula getirmesi durumudur. Bu durumda okulda tüm kitaplar toplanmış ve kütüphaneye teslim edilmeye hazır olunmuştur. Ancak okulda çocuk yokken Matematik ve Türkçe kitabı bulunamayacağında dolayı bu geçiş durumu çözümümüzde yer alamaz. Problemde yer sorunu yüzünden 6. durum çözüm kümemizde yer almaması gereken bir düğümdür. 7 15, 16 7. adımdan;
15. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evde Türkçe kitabını bırakıp kitap götürmeden okula, Matematik ve Sosyal Bilimler kitaplarına gitme durumudur. Bu durum problemimizde istenmeyen bir durumdur. Çünkü problemin bize sunduğu koşullar nedeniyle çocuk yokken Matematik ve Türkçe kitapları bir arada okulda bulunamaz. 16. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evdeki Sosyal Bilimler kitabını okula getirmesi durumudur. Bu durumda okulda tüm kitaplar toplanmış ve kütüphaneye teslim edilmeye hazır olunmuştur. Ancak 7. Durum bizim problemimizde istenmeyen bir durum olduğu için bu geçiş durumu çözümde yer alamaz. Problemde yer sorunu yüzünden 7. durum çözüm kümemizde yer almaması gereken bir düğümdür. 8 14, 16 8. adımdan; 14. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik kitabını evde bırakıp okula, hiçbir kitap taşımadan, Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarının yanına gitme durumudur. 4. koşul nedeniyle bu geçiş durumunda çocuk Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına bir arada okulda çalışabilmektedir. 16. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evdeki Matematik kitabını okula getirmesi durumudur. Bu durumda okulda tüm kitaplar toplanmış ve kütüphaneye teslim edilmeye hazır olunmuştur. 9 1, 2 9. adımdan; 1. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik kitabını okuldan alıp eve Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarının yanına götürme durumudur. Bu durum sonucunda çocuk evde Matematik çalışmalıdır ancak problemin bize sunduğu Matematik dersine çalışacağında varsa diğer kitabı çantasına koymak zorunda şartı yüzünden evde maksimum 2 kitap bulunmalıdır. Bu durumun gerçekleşmesi sonucunda evde 3 kitap bulunacağından geçiş durumu bizim çözümde istemediğimiz bir durumdur. 2. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Matematik kitabını bırakıp eve Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarının yanına gelme durumudur. Bu durumda 3. Koşul ve 4. Koşul devreye girer ve evde Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına birlikte çalışabilir. 10 1, 3 10. adımdan; 1. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını okuldan alıp eve diğer kitaplarının yanına götürme durumudur. Ancak bu durum 3 kitabında evde bulunma durumudur ve bu durumun problemde, olmaması gerektiği belirtilmiştir. 3. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını okulda bırakıp Sosyal Bilimler ve Matematik kitaplarının yanına gitme durumudur. Ancak Sosyal Bilimler ve Matematik kitapları bir arada çocuk yokken bulunamayacağı için bu geçiş problemimizde istenmeyen bir durumdur. Problemde yer sorunu yüzünden 10. durum çözüm kümemizde yer almaması gereken bir düğümdür. 11 1, 4
11. adımdan; 1. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler kitabını okuldan alıp eve, Türkçe ve Matematik kitaplarının yanına götürme durumudur. Ancak bu istenmeyen bir durumdur. Çünkü Türkçe ve Matematik kitabı evde çocuk yokken bulunamaz. Ayrıca bu durumun gerçekleşmesi sonucunda evde 3 kitap bulunacağından bu geçiş durumu çözümde yer alamaz. 4. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okuldan kitap götürmeden eve, Türkçe ve Matematik kitaplarının yanına gelme durumudur. Ancak bu istenmeyen bir durumdur. Çünkü Türkçe ve Matematik kitabı evde çocuk yokken bulunamaz. Yani bu geçişten önce 11. adımın gerçekleşmesi çözümde yer alamayacağından, çözümde bu adımda yer alamaz. Problemde yer sorunu yüzünden 11. durum çözüm kümemizde yer almaması gereken bir düğümdür. 12 16 12. adımdan; 16. adıma geçilmesi demek; Çocuğun evden okula; Türkçe, Sosyal Bilimler ve Matematik kitaplarının yanına gitme durumudur. Ancak problemin bize sunduğu koşullar nedeniyle çocuk yokken 3 kitabın bir arada okulda olma durumu çözüm kümemizde yer alamaz. Problemde yer sorunu yüzünden 12. Durum çözüm kümemizde son adım olmadığı sürece yer almaması gereken bir düğümdür. 13 2, 3, 6 13. adımdan; 2. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Matematik kitabını okulda bırakıp Türkçe kitabını eve, Sosyal Bilimler kitabının yanına götürme durumudur. Burada devreye 1. Koşul ile 4. Koşullar girer ve çocuk Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına çalışır. 3. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını okulda bırakıp matematik kitabını eve, Sosyal Bilimler kitabının yanına götürme durumudur. 1. Koşul nedeniyle evde Matematik dersine çalışmak zorunda kalır. Ayrıca problemde bize sunulan şart nedeniyle de Türkçe kitabını çantaya koyması gerekir. Yani ertesi gün okula Türkçe kitabını götürme zorunluluğu getirilmiştir. 6. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Matematik ve Türkçe kitaplarını bırakıp eve, Sosyal Bilimler kitabının yanına gitme durumudur. Ancak bu istenmeyen bir durumdur. Çünkü Türkçe ve Matematik kitabı okulda çocuk yokken bulunamaz. 14 3, 4, 8 14. adımdan; 3. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe kitabını okulda bırakıp Sosyal Bilimler kitabını eve, Matematik kitabının yanına getirme durumudur. Bu geçiş gerçekleştiğinde 1. koşul nedeniyle çocuk Türkçe dersine çalışmalı ve problemin bize sunduğu şart nedeniyle Matematik kitabını çantasına koymak zorundadır. Yani ertesi gün okula Matematik kitabını götürme zorunluluğu gelmiştir. 4. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler kitabını okulda bırakıp Türkçe kitabını eve, Matematik kitabının yanına getirme durumudur. Burada devreye 1. koşul girer ve evde çocuk Türkçe çalışır. Ayrıca problemin bize sunduğu şart nedeniyle Matematik kitabını
çantasına koymak zorundadır. Yani ertesi gün okula Matematik kitabını götürme zorunluluğu gelmiştir. 8. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarını okulda bırakıp eve, Matematik kitabının yanına hiçbir kitap götürmeden gitme durumudur. Burada devreye 3. koşul girer ve çocuk evde Matematik kitabına çalışır. 5 2, 4, 7 15. adımdan; 2. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Matematik kitabını bırakıp Sosyal Bilimler kitabını eve, Türkçe kitabının yanına getirme durumudur. Burada devreye 4. koşul girer ve çocuk evde Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına çalışır. 4. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Sosyal Bilimler kitabını bırakıp Matematik kitabını eve, Türkçe kitabının yanına getirme durumudur. Burada devreye 5. koşul ve 1. koşuldan dolayı Matematik kitabına çalışır. Çantasına ise problemde bize sunulan şart nedeniyle Türkçe kitabını koymak zorundadır. Yani ertesi gün okula Matematik kitabını götürme zorunluluğu gelmiştir. 7. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Sosyal Bilimler ve Matematik kitaplarını bırakıp eve, Türkçe kitabının yanına hiçbir şey getirmeden gelme durumudur. Burada devreye 1. koşul girer ve çocuk evde Türkçe çalışmak zorundadır. Ancak problemde bize sunulan şart nedeniyle çocuk, Sosyal Bilimler ve Matematik kitabını bir arada okulda bırakıp eve gidemez. Bu yüzden bu geçiş durumu bizim istemediğimiz bir olaydır. 16 6, 7, 8, 12 16. adımdan; 6. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Türkçe ve Matematik kitaplarını bırakıp eve Sosyal Bilimler kitabını götürme durumudur. Ancak problemde bize sunulan şart nedeniyle çocuk, Türkçe kitabı ile Matematik kitabını okulda bırakıp eve gidemez. Bu geçiş durumu bizim istemediğimiz bir olaydır. 7. adıma geçilmesi demek; Çocuğun okulda Sosyal Bilimler ve Matematik kitaplarını bırakıp eve Türkçe kitabını götürme durumudur. Ancak problemde bize sunulan şart nedeniyle çocuk, Sosyal Bilimler kitabı ile Matematik kitabını okulda bırakıp eve gidemez. Bu geçiş durumu bizim istemediğimiz bir olaydır 8. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler ve Türkçe kitaplarını okulda bırakıp eve Matematik kitabını götürme durumudur. 1. koşulun devreye girmesiyle çocuk evde Matematik kitabına çalışır. 12. adıma geçilmesi demek; Çocuğun Sosyal Bilimler, Türkçe ve Matematik kitaplarının okulda bırakıp, eve hiçbir şey götürmeden gitme durumudur. Bu durum sadece son adımda gerçekleşebilir. Yani okul kütüphanesine kitapların iadesinin gerçekleşmesiyle olabilir. Çünkü diğer türlü problemde bize sunulan şart nedeniyle Matematik kitabı diğer kitaplarla bir arada bulunamaz. Bu durum sadece son adımda, kütüphaneye kitapların iade edilmesiyle gerçekleşebilir.
Problemimizin bize verdiği zaman aralığını kullanarak kaç adımda sonuca ulaşmamız gerektiğini bulmalıyız: Sabah Akşam Pazartesi Okulda Evde Salı Okulda Evde Çarşamba Okulda Evde Perşembe Teslim Etme Tablo 3 Tablo 3 den de anlaşılacağı üzere 7 adımda tüm kitapların okula teslim edilmesi gerekmektedir. Bunun için Tablo 2 deki geçişlerin yorumlanması sonucunda, çözümümüzde bulunmaması gereken durumları temsil eden düğümleri çizgemizden çıkarmalıyız. Bunun için kiriş-silme ve düğüm-silme işlemlerini uygulamalıyız. Silinmesi gereken düğümler; 5, 6, 7, 10 ve 11 dir. 12. Düğüm ise eğer son düğüm değilse silinmelidir. Düğüm-silme işleminden sonra ortaya çıkan yeni çizge; Çizge 11 şeklinde olur. Çizge 10: Çıkarılması Gereken Düğümlerin Gösterilmesi Çizge 11: 5, 6, 7, 10 ve 11. Düğümlerin G Çizgesinden Çıkarılmış Hali Ayrıca çizgemizi, yönlü bir graf olarak çizebiliriz. Çünkü problemimiz son düğüme 7 adımda ulaşmalıdır. Yönlü Graf olarak çizmezsek ulaşmasını istediğimiz düğümlerden başka düğümlere geçebilir ya da bir döngü yaratıp sonuca ulaşmamızı geciktirebilir. Bu yüzden kirişlerinde oklarla yönler belirtilmelidir. Çizge 12 çözümümüzün Yönlü Graf şeklinde gösterimidir. Çizge 12: Yönlü Çizge
Çizgelerde geometrik şekil önemli değildir. Yani farklı geometrik şekle sahip aynı çizgeler çizebiliriz. Çizge 13, Çizge 11 ile aynıdır. Çizge 14, Çizge 9 ile aynı çizgedir. Çizge 14; problemimizin herhangi bir şart koşulmadığı takdirde olabilecek ya da karşılaşılabilecek tüm olasılıkları içinde barındıran, bir çizgedir. Tablo 2 deki geçişlerin tümünü içerir. Çizge 13 Çizge 14 Çizge 15; Çizge 16 ve Çizge 17 ile aynı, Çizge 11 ise Çizge 13 ile aynı çizgedir. Çözümde olmaması gereken durumları temsil eden düğümler kapalı (siyah renkteki düğümler), çözümü temsil eden düğümler ise açıktır(beyaz renkteki düğümler). Çizge 15: Çözümü Temsil Eden Çizge Çizge 16: Çözümü Temsil Eden Çizge Çizge 17: Çözümü Temsil Eden Çizge
Çizgelerden de kolayca anlaşılabileceği gibi 2 farklı çözüm yolu vardır. Çizge 18 de kırmızı renkteki düğümler 2 çözümde de ortak olan durumları, Yeşil ve mavi renkteki düğümlerse bu 2 farklı çözümü göstermektedir. Çözüm Yolu 1: 1 9 2 13 3 14 8 16 12 Çözüm Yolu 2: 1 9 2 15 4 14 8 16 12 şeklindedir. Yani Çocuk ilk olarak evde 3 kitapla bulunur. Ardından Matematik kitabını okula götürür. Çünkü Matematik kitabı Türkçe ya da Sosyal Bilimler kitabıyla evde kalamaz(yer sorunu var). Okulda getirdiği kitabı çalışacağından Matematik kitabına çalışır. Matematik kitabını okulda bırakıp eve boş döner. Evde bulunan Türkçe ve Sosyal Bilimler kitaplarına birlikte çalışabileceğinden pazartesi akşamı evde bu 2 kitaba çalışır. Sabah olduğunda Sosyal veya Türkçe kitabından birisini okula götürmelidir. Çünkü bu çocuk aynı zamanda kitaplarını okula taşımaya çalışmaktadır. Çizge 18 İşte 2 farklı çözüm yolu bulunmasının sebebi bu adımdır. Düğüm 2 den, hem düğüm 13 e hem de düğüm 15 e geçilebilir. Yani çocuk hem Türkçeyi okula götürüp evde Sosyal Bilimleri bırakabilir, hem de Sosyal Bilimleri, okula götürüp Türkçeyi evde bırakabilir. Bu seçimlerini tablo şeklinde gösterecek olursak; Tablo 4 Çözüm Yolu 1 i, Tablo 5 ise Çözüm Yolu 2 yi gösterir. Tabloda parantez içine alınanlar çantaya konulmuş dersleri, kırmızı fosforlu olanlar ise o durumda çalışılan dersleri göstermektedir. Okun üstünde yazanlar ise ev-okul arasında taşınanları belirtmektedir. Tablo 4
Tablo 5 Çocuğa, 2 farklı çözüm yolu olmasında dolayı 2 farklı ders planı hazırlanabilir. Farklı Çözüm yolları olmasına rağmen her 2 çözümde de 7 adımda toplam 8 saat ders çalışmaktadır. Çözüm Yolu 1 için; Tablo 6 Yani toplamda; Pazartesi sabahından Perşembe sabahına kadar 3 kere Matematik, 3 kere Türkçe ve 2 kere Sosyal Bilimler derslerine çalışabilir.
Çözüm Yolu 2 için; Tablo 7 Yani toplamda; Pazartesi sabahından Perşembe sabahına kadar 3 kere Matematik, 3 kere Sosyal Bilimler ve 2 kere Türkçe derslerine çalışabilir. Sonuç ve tartışma: Benim bu projedeki amacım ilk olarak matematiğin günlük hayata ait bir problemin çözümünde nasıl kullanılabileceğini denemek ve görmek, diğeri de Çizge Kuramını aynen Euler in yaptığı gibi kullanıp probleme farklı bir çözüm getirebilmekti. Her iki amaca da ulaştığımı ve net sonuçlar elde ettiğimi düşünüyorum. Ancak diğer taraftan, yöntemin işlevselliği konusu tartışılabilir. Çünkü her problemin Çizge Kuramıyla çözülüp çözülmeyeceğinin önceden belirlenmesi veya problemi kurarken problemin Çizge Kuramına uygun oluşturulması gerekiyor.
KAYNAKÇA 1. Ruohonen, Keijo. Graph Theory. Çev. Tamminen, Janne. Lee, Kung-Chung. Piché, Robert. 2013. 2. Murty, U.S.R, ve J.A. Bondy. Graph Theory With Applications. United States of America: Elsevier Science, 1982. 3. Bollobas, Bela. Graph Theory.Netherlands: North-Holland,1982. <http://www.google.com.tr/books?hl=tr&lr=&id=p1apt6tx3dyc&oi=fnd&pg=pp2&dq=+gra ph+theory&ots=lj3ri2n24z&sig=peh_5e6rcuuybfrzcluhjdy31f0&redir_esc=y#v=onepag e&q=graph%20theory&f=false> 4. Bollobas, Bela. Extremal Graph Theory. United States of America: Dover, 1978. <http://www.google.com.tr/books?hl=tr&lr=&id=a_7dphlppecc&oi=fnd&pg=pp1&dq=+gra ph+theory&ots=yfl5m8yja3&sig=sxotukt0m3ekex5qlse3tlxscja&redir_esc=y#v=onepa ge&q=graph%20theory&f=false> 5. Rosen, Kenneth. Handbook of Graph Theory. United States of Amerika: CRC Press LLC, 2003. <http://www.google.com.tr/books?hl=tr&lr=&id=mkkigiea_bkc&oi=fnd&pg=pp11&dq=gr aph+theory+explanation&ots=vx1jpkp4tt&sig=skbitr08i6vpgbcemnyhyyz7jc&redir_esc=y#v=onepage&q=graph%20theory%20explanation&f=false> 6. Saran, Murat Sabri. Graf Teorisinin Bazı Mühendislik Uygulamaları. Balıkesir: Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi, Şubat- 2008. <http://193.255.184.8/tezpdf/26292.pdf> 7. Türkyılmaz, İbrahim. Graflar - Çizgeler. <http://members.comu.edu.tr/iturkyilmaz/bm229dersler/ders09.pdf> 1 Karaçay, Timur. Königsberg in Yedi Köprüsü. <http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/zv/2007/konigsberg.html> 2. Bayzan, Şahin. Gprs Verileri Yardımıyla Araç Rotalarının Belirlenmesi Problemine Farklı Bir Yaklaşım, Sayfa 4, Bildiri. <http://ab.org.tr/ab09/bildiri/224.pdf> 3. Yıldız Teknik Üniversitesi Ders Notu. <http://www.yildiz.edu.tr/~diri/graflar.pdf> Şekil 1: < http://galileo.org/classroom-examples/math/math-fair-problems/puzzles/partyin-konigsberg/ > Çizge 1: < http://www.beva.org/maen503/week12/networks.html > Çizge 3: <http://tr.scribd.com/doc/97642632/4-graflar%c4%b1n-ozellikleri-vece%c5%9fitleri#scribd>