2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

Transkript

1 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna göre IR reel sayılar kümesi, doğal sayılar kümesinin, tam sayılar kümesinin ve rasyonel sayılar kümesinin üst kümesidir, diğer bir ifadeyle küme kapsama sembolleri ile şu şekilde gösterebiliriz: IN Z Q IR O halde her doğal sayı, her tamsayı, her rasyonel sayı ve hatta her irrasyonel sayı reel sayıdır. bir rasyonel sayı olmak üzere + 2 şeklindeki bütün sayılar irrasyoneldir. Buna göre her bir rasyonel sayısına bir + 2 irrasyonel sayısı eşlenebilmektedir. Diğer bir deyişle rasyonel sayılar kadar irrasyonel sayıyı sadece 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı yardımıyla Q olmak üzere + 3 yardımı ile de bir o kadar daha irrasyonel sayı elde etmek mümkündür. Bu işlem her bir irrasyonel sayı için tekrarlanabilir. Dolayısıyla irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan çok çok daha fazla miktardadır diyebiliriz, yani sayı ekseni üzerinde rasyonel sayılar işaretlendikten sonra geriye o kadar çok işaretlenmeyen nokta kalır ki işaretlenmiş noktalar, işaretlenmemiş noktalar arasında gökteki yıldızlar gibidir. O halde rasyonel sayılar kümesini sayı ekseni olarak düz tam bir doğru şeklinde ifade edemeyiz, ancak irrasyonel sayıları da sayı ekseni üzerinde işaretlenmiş kabul edersek, tam bir doğru eksen elde etmiş oluruz. İşte bu tamlık özelliğini aşağıda açıklıyoruz: Önce rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan aşağıdaki kümeyi gözönüne alalım. A x : x Q, x 0, x 2 2 Bu kümenin bütün elemanları 2 sayısından küçüktür, hatta bu kümenin bütün elemanları 2 den de küçük olan 2 3, 4 7,... gibi pek çok sayıdan da küçüktür. Hatta bu kümenin bütün elemanları 2 den de küçüktür, ancak 2 sayısı rasyonel değildir. 2 den küçük hiçbir sayı da A nın bütün elemanlarından büyük olamaz. Çünkü; 2 <2 özelliğini sağlayan pozitif bir sayı < 2 2 özelliğini sağlayan bir rasyonel sayı ise + sayısı sayısından büyüktür O halde A kümesinin her elemanından büyük olan en küçük sayı 2 sayısıdır. Bu A kümesi 40

2 Q da üstten sınırlıdır, fakat Q da üst sınırlarının en küçüğü yoktur. Bununla beraber, A kümesi IR nin alt kümesi olarak düşünüldüğünde en küçük üst sınırı vardır ve 2 dir. İşte IR nin bu her üstten sınırlı alt kümesinin bir en küçük üst sınırının var olması durumuna IR nin tamlık özelliği denir. Bu özelliği vermeden önce aşağıdaki tanımı veriyoruz Tanım IR, reel sayılar kümesinin bir alt kümesi A olsun. Eğer her aa için a olacak şekilde bir sayısı varsa A kümesine üstten sınırlıdır denir ve ya da A kümesinin bir üst sınırı adı verilir Tamlık Aksiyomu. IR, reel sayılar kümesinin üstten sınırlı boş olmayan her alt kümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. Reel sayılar kümesinin tamlık aksiyomunu sağlamasından dolayı IR tamdır denir. Bu tamlık aksiyomunun Q da sağlanmadığını yukarıda belirtmiştik. O halde Q tam değildir Tanım IR, reel sayılar kümesinin üstten sınırlı boş olmayan bir alt kümesi A olsun. A nın üst sınırlarının en küçüğüne A nın en küçük üst sınırı ya da A nın supremumu denir ve kümesi için sup A ile gösterilir. Buna göre IR, reel sayılar kümesinin üstten sınırlı boş olmayan bir alt A sağlanmasıdır: sup A =s olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki iki özelliğin (s1) A nın her a elemanı için as dir, ( s nin bir üst sınır olması özelliği) (s2) Her pozitif sayısı için a>s- olacak şekilde A nın bir a elemanı vardır. ( s nin üst sınırların en küçüğü olma özelliği) Bu tanıma göre x : x Q, x 0, x 2 2 A ise sup A= 2 dir, ancak bu A kümesinin Q da supremumunun var olmadığını yukarıda görmüştük Tanım IR, reel sayılar kümesinin bir alt kümesi A olsun. Eğer her aa için a olacak şekilde bir sayısı varsa A kümesine alttan sınırlıdır denir ve ya da A kümesinin bir alt sınırı adı verilir Teorem IR, reel sayılar kümesinin boş olmayan alttan sınırlı her alt kümesinin bir en büyük alt sınırı vardır. ye İspat. IR nin boş olmayan alttan sınırlı herhangi bir alt kümesi A olsun, yani A# ve AIR olsun. B= -A=b : b a, a A yazalım. A kümesi alttan sınırlı olduğundan, her aa için a olacak şekilde bir sayısı vardır. Buradan B=b : b a, a A kümesinin üstten sınırlı olduğu elde edilir. Tamlık aksiyomu dolayısıyla IR reel sayılar kümesinin boş olmayan ve üstten sınırlı olan her alt kümesinin en küçük üst sınırı varolacağından, üstten sınırlı olan B kümesinin bir en 41

3 küçük üst sınırı vardır, buna diyelim ve =- yazalım., sayısı B nin bir üst sınırı olduğundan her bb için b ve buradan her aa için --b=a yazılır ki, - sayısı A kümesi için bir alt sınır olur. Diğer taraftan, sayısı, B kümesinin üst sınırlarının en küçüğü olduğundan, - dan küçük bir sayı B nin üst sınırı olamaz. Buna göre her >0 için -<b 0 olacak şekilde sayısına bağlı bir b 0 B vardır. a 0 A olmak üzere b0 a0 yazabileceğimize göre a 0 sayısı sayısına bağlı olmak üzere -<-a 0 ve dolayısıyla a 0 <-+ elde edilir ki, -= yazarsak, a 0 < + bulunur. Bu ise dan büyük ve ya ne kadar yakın olursa olsun, + sayısından küçük ve A ya ait bir a 0 sayısının varlığını ifade etmektedir ki bu bize dan büyük bir alt sınır olamayacağını gösterir. Böylece reel sayılar kümesinin alttan sınırlı her alt kümesinin bir en büyük alt sınırının var olduğunu ispatlamış olduk. Bu en büyük alt sınıra kümenin infimumu diyeceğiz ve inf A ile göstereceğiz Tanım IR, reel sayılar kümesinin alttan sınırlı boş olmayan bir alt kümesi A olsun. A nın alt sınırlarının en büyüğüne A nın infimumu denir ve bu infimum inf A ile gösterilir. kümesi için Buna göre IR, reel sayılar kümesinin alttan sınırlı boş olmayan bir alt A sağlanmasıdır: inf A= olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki iki özelliğin (A1) A nın her a elemanı için a dir, ( nın bir alt sınır olması özelliği) (A2) Her pozitif sayısı için a<+ olacak şekilde A nın bir a elemanı vardır. ( nın alt sınırların en büyüğü olma özelliği) Tanım Reel sayılar kümesinin hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı olan altkümelerine sınırlı kümeler denir. Bu tanıma göre reel sayılar kümesinin boş olmayan bir A altkümesinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşul her aa için a olacak şekilde ve sayılarının var olmasıdır. Bundan reel sayılar kümesinin boş olmayan bir A altkümesinin sınırlı olması için gerek ve yeter koşulun her a A için şekilde bir M pozitif sayısının var olması olduğu elde edilir. Örnek 1. Şimdi aşağıdaki örnekleri veriyoruz: a M olacak A 1,,,...,,... kümesini göz önüne alalım. Bu takdirde sup A=1, 2 3 n infa=0 dır. Bu kümenin supremumu kümeye aittir, ancak infimumu kümeye ait değildir. Bu küme hem üstten hem de alttan sınırlı olduğundan sınırlıdır. Örnek 2. x : x IR,1 x 2 A kümesi için sup A=2, infa=1 dır. Bu kümenin infimumu kümeye aittir ancak supremumu kümeye ait değildir. Bu küme hem üstten hem de alttan sınırlı olduğundan sınırlıdır. 42

4 Örnek 3. x : x IR,0 x 3 Prof.Dr.Hüseyin ÇAKALLI A kümesi için sup A=3, infa=0 dır. Bu kümenin infimumu da supremumu da kümeye aittir. Bu küme hem üstten hem de alttan sınırlı olduğundan sınırlıdır. Örnek 4. x : x IR, x 4 A kümesi için sup A=4 dır. Bu kümenin supremumu kümeye ait değildir. Diğer taraftan bu küme alttan sınırlı değildir ve dolayısıyla infimumu yoktur. Bu küme alttan sınırlı olmadığından sınırlı değildir. Örnek 5. x : x IR, x 2 A kümesi için inf A=-2 dir. Bu kümenin infimumu kümeye ait değildir. Diğer taraftan bu küme üstten sınırlı değildir ve dolayısıyla supremumu yoktur. Bu küme üstten sınırlı olmadığından sınırlı değildir. Yukarıdaki örneklerden anlaşılabileceği gibi supremum ve infimum kümeye ait olabilir ya da olmayabilir. Supremum kümeye aitse kümenin en büyük elemanı, yani maksimumudur ve infimum kümeye aitse kümenin en küçük elemanı, yani minimumudur. Diğer taraftan bir A kümesinin maksimumu varsa maxa ile gösterilir ve minimumu varsa mina ile gösterilir. Buna göre yukarıdaki örneklerdeki kümelerin sırasıyla maksimum ve minumumları için aşağıdakileri yazabiliriz max 1,,,...,,... =1, 1,,,...,,... kümesinin minimumu yoktur. 2 3 n 2 3 n x : x IR,1 x 2 kümesinin maksimumu yoktur ve minx : x IR,1 x 2 maxx : x IR,0 x 3 =3 ve minx : x IR,0 x 3 =0 dır. x : x IR, x 5 kümesinin maksimumu ve minimumu yoktur. x : x IR, x 2 kümesinin de maksimumu ve minimumu yoktur. x : x Q, x 0 kümesinin maksimumu da minimumu da yoktur. =1 dir. 43

5 1.8.Alıştırmalar (Reel Sayıların Tamlık Özelliği) 1) Bir kümenin supremumu varsa tektir. İspat ediniz. 2) Bir kümenin infimumu varsa tektir. İspat ediniz. 3) Reel sayılar kümesinin sınırlı iki alt kümesi A ve B ve AB kapsaması sağlandığına göre aşağıdakilerin sağlandığını ispat ediniz. i) sup A sup B dir. ii) inf B sup A dır. 4) Reel sayılar kümesinin üstten sınırlı iki alt kümesi A ve B olmak üzere A B a b : a A, b B olduğuna göre sup (A+B)=supA+supB 44

6 dir. İspat ediniz. 5) Reel sayılar kümesinin negatif olmayan sayılardan oluşan bir A alt kümesinin supremumunun 1 den küçük olduğunu ve aşağıdaki özelliğe sahip olduğunu kabul edelim: xa ve ya ve x<y ise A y supremumunun A kümesine ait olduğunu ispat ediniz. 6) Reel sayılar kümesinin sınırlı iki alt kümesi A ve B olduğuna göre aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz. a) sup(ab)=max(supa,supb) b) inf(ab)=min(infa,infb) 7) Reel sayılar kümesinin boş olmayan üstten sınırlı bir alt kümesi A olsun Bu takdirde -A={-a: aa} kümesi alttan sınırlıdır ve inf(-a)= -supa dir. İspat ediniz. 8) A=[x: xir, x 2-1=0} kümesinin varsa supremumunu, infimumunu, maksimumunu ve minimumunu bulunuz. 9) n A x : x, n IN kümesinin varsa supremumunu, infimumunu, n 1 maksimumunu ve minimumunu bulunuz. 45

7 46