Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi)

Transkript

1 Mantıksal Operatörlerin Semantiği (Anlambilimi) Şimdi bu beş mantıksal operatörün nasıl yorumlanması gerektiğine (semantiğine) ilişkin kesin ve net kuralları belirleyeceğiz. Bir deyimin semantiği (anlambilimi), bu deyimin içinde geçtiği cümlelerin doğruluk ve yanlışlığına yaptığı katkıdır. Bir yargının doğruluk veya yanlışlığına o yargının doğruluk değeri denir. Yani bir mantıksal operatörün semantiği, bu operatörü içeren bileşik yargının doğruluk değerini tayin eden kural ile verilir. Semantik kuralları betimlerken ikideğerlilik ilkesini kabul edeceğiz. Yani sadece iki doğruluk değeri vardır: Doğru ve Yanlış. Her durumda, her yargı bu değerlerden yalnız birine sahip olabilir: ya doğrudur veya yanlış. Klasik mantık (burada sunulan mantık) iki değerli bir mantıktır. Değillemenin semantiği basittir. ɸ yargısının değillemesi, yargının kendisi yanlış ise doğru, doğru ise yanlıştır. Bu yargı ister basit isterse bileşik olabilir. Bundan böyle doğru için D ve yanlış için Y kullanacağız. Değillemenin semantiği şu şekilde özetlenir: ɸ D Y ɸ Y D Bu gösterime doğruluk tablosu denir. Birlikte evetlemenin semantiği de benzer şekilde basit ve dolambaçsızdır: φ ψ ɸɅψ D Y Y Y D Y Y Y Y Birlikte evetleme iki yargıyı işleme soktuğu için burada olası dört durum vardır.

2 Seçenekli evetlemede ise seçeneklerden birinin doğru olması durumunda biçimsel ifade doğru, diğer durumlarda yanlıştır: φ ψ ɸVψ D Y D Y D D Y Y Y Koşul operatörü, diğerleri içinde günlük dildeki anlamına en az benzerlik gösterenidir. Önbileşen ile ardbileşen arasındaki ilişkinin farklı olduğu birden çok türde koşullunun bulunduğu kabul edilmektedir. Bizim burada kullandığımız ve işaretiyle gösterdiğimiz koşulluya maddi koşul denir. P Q ile tam olarak ifade edilen şudur: P-olduğu ve Q-olmadığı doğru değildir. Dolayısıyla bir kişi Eğer Özlem giderse, Olcay da gidecek cümlesini maddi koşul anlamında söylüyorsa, Özlem in gittiği halde Olcay ın gitmeyeceği bir durumun söz konusu olmadığını demek istemektedir. Bu yargı (PɅ Q) biçimine sahiptir ve P Q ile aynı anlama sahip olduğu için ikisi de tamamen aynı doğruluk koşullarına sahiptir.o halde, P Q için olan doğruluk tablosunu, (PɅ Q) için olan doğruluk tablosunu bularak oluşturabiliriz. Bunu, ~ ve Ʌ için olan doğruluk tablolarını kullanarak yapabiliriz. Bileşik/karmaşık bir ikb için bir doğruluk tablosu oluştururken, önce onun en küçük altikb lerinin doğruluk değerlerini hesaplarız ve sonra mantıksal operatörleri kullanarak daha uzun altikb lerin doğruluk değerlerini hesaplarız ve bu işlemi başlangıçtaki ikb nin tam halinin değerlerini elde edene kadar tekrarlarız. (PɅ Q) nin en küçük altikb leri P ve Q dur ve dolayısıyla bu cümle harfleri için olan sütunları, bu harflerin biçim içinde her tekrar edildikleri yerin altına kopyalarız: P Q (P Ʌ Q) D D Y D Y Y D Y D Y Y Y Y Bundan sonraki en küçük al kb Q dur. Q nun doğruluk değerleri Q nun tam tersidir bunları Q daki, ~ in altına yazarız:

3 P Q (P Ʌ Q) Y D D Y D D Y Y Y Y Y D Y Y Y D Y Aslında Q sütununun değilini alıp doğrudan Q nun altına yazmak suretiyle zaman kazanabilirdik. Şimdi PɅ Q biçimi bir birlikte evetleme olduğu için her iki müşterek de doğru olduğunda doğrudur. Bunun sağlandığı tek durum tablonun ikinci satırıdır. Bu biçim tablonun ikinci satırında doğru diğer satırlarda yanlıştır: P Q (P Ʌ Q) Y Y D D Y Y Y Y Y Y Y D Y Y Y Y D Y Son olarak, (PɅ Q) biçimi, PɅ Q biçiminin değilidir bunlardan ilkinin doğruluk değerleri Ʌ nin altındaki sütundur ve bunların tersini ~ in altına yazarız. Bu son yazdığımız değerlerin, biçimin bütününün doğruluk değerleri olduğunu belirtmek için onları çember içine alırız: P Q ( P Ʌ Q ) D D D D Y Y D D Y Y Y Y Y D Y Y Y D Y Y D Y Y D Y

4 Demek ki maddi koşullunun doğruluk tablosu şudur: φ ψ ɸ ψ D Y Y Y D D Y Y D Maddi koşullu önbileşen doğru ve ardbileşen yanlışken yanlıştır, diğer hallerde doğrudur. Demek ki önbileşenin yanlış olduğu her durumda doğrudur. Ardbileşenin doğru olduğu her durumda da doğrudur. Sonuç olarak maddi koşullu bizde biraz çelişik bir sezgi yaratır. Mesela Eğer sen ölü isen, sen hayattasın cümlesi, buradaki sen size ve Eğer ise deyimi de maddi koşulluya işaret ediyorsa doğru olmaktadır. Siz gerçekten hayatta olduğunuz için önbileşen yanlış ve ardbileşen de doğru olmaktadır ki bu da koşullunun bütününü doğru yapmaktadır. Böyle acayiplikler, maddi koşullu ile, günlük dilde olağan anlamda kullanılan koşullu cümleler arasındaki orantısızlığı açığa çıkarmaktadır. Yine de maddi koşullu şimdilik bilinen ve anlamı bir doğruluk tablosu ile gösterilebilen en basit koşulludur. Ayrıca, edinilen tecrübeler, maddi koşullunun pek çok mantıksal ve matematiksel maslahatlara uygun geldiğini göstermiştir, bu yüzden mantık ve matematikte standart koşullu olarak benimsenmiştir. Yeterli Koşulun Anlambilimi Yeterli koşulun anlamı şöyle bir cümle ile dile getirilebilir: Bir insanın abi olması, erkek kardeş olması için yeterlidir. Bu cümle şunları içeriyor: Bir insan abi ise erkek kardeştir. Bir insan abi değilse erkek kardeş olabilir. Sonuç olarak: 1. Yeterli koşul (abi olmak) sağlanıyorsa (doğru ise), sonuç (erkek kardeş olmak) oluşmak (doğru olmak) zorundadır. 2. Yeterli koşul (abi olmak) sağlanmıyorsa (yanlış ise), sonuç (erkek kardeş olmak) oluşabilir de oluşmayabilir de(doğru da olabilir yanlış da olabilir).

5 O halde, yeterli koşulun anlambiliminin maddi koşullu ile aynı olduğunu söyleyebiliriz: φ ψ ɸ ψ D Y Y Y D D Y Y D Yeterli koşul bildiren başka örnek cümleler: a) Fiziksel nesneler varsa mekan olmalıdır. b) Güneş doğmuşsa ışık olmalıdır. Zorunlu Koşulun Anlambilimi Zorunlu koşulun anlamı şöyle bir cümle ile dile getirilebilir: Bir insanın abi olması için, erkek kardeş olması zorunludur. Bu cümle şunları içeriyor: Bir insan erkek kardeş değilse abi olamaz. Bir insan erkek kardeş ise abi olabilir. Sonuç olarak: 1. Zorunlu koşul (erkek kardeş olmak) sağlanmıyorsa (yanlış ise), sonuç (abi olmak) oluşamaz (yanlış olmalıdır). 2. Zorunlu koşul (erkek kardeş olmak) sağlanıyorsa (doğru ise), sonuç (abi olmak) oluşabilir de oluşmayabilir de(doğru da olabilir yanlış da olabilir). O halde, zorunlu koşulun anlambiliminin maddi koşulludan farklı olduğu ortaya çıkıyor. Bu yüzden zorunlu koşullu için farklı bir sembol ( ) kullanmak gerekir: φ ψ ɸ ψ D Y D Y D Y Y Y D Zorunlu koşul bildiren başka örnek cümleler: a) Mekan varsa fiziksel nesneler var olabilir. b) Işık varsa Güneş doğmuş olabilir.

6 Daha önce gördüğümüz üzere P Q biçimindeki yargı (P Q) (Q P) ile aynı anlama gelmektedir ve buradaki maddi koşullunun sembolüdür. Bununla uygun şekilde sembolüne maddi karşılıklı koşullu denilir. O halde P Q için doğruluk tablosu, maddi koşullu ve birlikte evetlemenin tablolarından hareketle (P Q) (Q P) için doğruluk tablosu oluşturarak elde edilebilir. P ve Q harflerinin altındaki sütunları bu harflerin her geçtiği yere aynen yazarız: P Q (P Q) (Q P) D Y D Y Y D Y D Y D D Y Y Y Y Y Y Y Şimdi P Q ve Q P için doğruluk değerleri, maddi koşullu için mevcut olan doğruluk tablosuna bakılarak hesaplanabilir. Bir maddi koşullu, önbileşeni doğru ve ardbileşeni yanlış iken yanlıştır diğer hallerde doğrudur. Demek ki P Q ikinci satırda ve Q P üçüncü satırda yanlıştır ve her iki ifade de diğer satırlarda doğrudur. Bu doğruluk değerlerini sembolünün geçtiği yerlerin altına yazarız: P Q (P Q) (Q P) D D D Y D Y Y Y Y D Y D Y D Y Y Y Y D Y Y D Y Tabloyu tamamlamak için bütün bir birlikte evetlemenin doğruluk değerlerini P Q ve Q P nin değerlerini kullanarak hesaplarız. Bunları da sembolünün altına yazarız: P Q (P Q) (Q P) D Y D Y Y Y Y Y D Y D Y D D Y D D Y Y Y Y D Y D Y D Y Çember içine alınmış değerler karşılıklı koşullunun doğruluk tablosunu gösterirler. Demek ki karşılıklı koşullu, eğer her iki bileşeni de aynı doğruluk değerine sahipse doğru, bunun dışında yanlıştır: φ ψ ɸ ψ D Y Y Y D Y Y Y D Aslında, semantik kuralları bu şekilde tanımlanmış olan bütün bu operatörleri kullanmak zorunlu değildir sadece, ile kullanarak diğer bütün mantıksal operatörleri ifade etmek mümkündür. Bu beş tane operatörü muhafaza etmemiz ve kullanmaya devam etmemiz açıklık ve notasyonda kolaylık sağlamak içindir. Hatta sembolünün yanında ile sembollerinden tek başına bir tanesi bile yeterlidir. Zira P Q ifadesi P-değil ve Q-değil olduğu doğru değildir anlamına

7 gelmektedir ki bu da ( P Q) olarak gösterilebilir. Aynı şekilde P Q ifadesi de P-değil veya Q- değil olduğu doğru değildir demektir ve ( P Q) olarak gösterilebilir. Değillemenin yanında birlikte evetleme veya seçenekli evetlemeye sahip olduğumuzda bütün diğer mantıksal operatörleri (en azından, anlamı bir doğruluk tablosu ile dile getirilebilen her mantıksal operatörü) ifade etmenin mümkün olduğu gösterilebilir. Söz konusu operatörlerin bu durumuna, bu mantıksal operatörler kümesinin işlevsel tamlığı denilmektedir. LÜ ÖRNEK 3.8 Türkçe deki ne ne de deyimine ayrı bir mantıksal operatörün gerekli olmadığını, çünkü, ne P ne de Q ifadesinin elde mevcut operatörler kullanılarak biçimselleştirilebilir olduğunu gösteriniz. ne P ne de Q şeklindeki bir cümle hem P hem Q yanlış olduğunda doğru olmaktadır. Demek ki P ve Q doğru iseler, yani ( P Q) doğru ise bu cümle doğru olmaktadır. Dolayısıyla bu deyim için fazladan özel bir operatör gerekli değildir: değilleme ve birlikte evetleme yeterlidir. ne P ne de Q için bir diğer olası gösterim de (P Q) biçimindedir ki sadece değilleme ile seçenekli evetlemeyi kullanır. İKB ler için doğruluk tabloları Şimdi karmaşık ikb ler için doğruluk tabloları oluşturma işini daha sistemli bir şekilde ele alacağız. Bir doğruluk tablosundaki satırların sayısını ilgili biçimde geçen birbirinden farklı harflerin sayısı belirlemektedir. Tek bir harf varsa ilgili biçim için sadece iki ihtimal vardır: doğru ve yanlış. Bu durumda doğruluk tablosunda sadece iki satır olabilir. Eğer ilgili biçimde iki harf varsa doğruluk ve yanlışlık için dört olası durum var demektir ve tablo da dört satırlı olacaktır. Genel kural olarak, cümle harflerinin sayısı n ise doğruluk tablosundaki satırların sayısı da 2 n olacaktır denebilir. Bir biçim üç farklı cümle harfi içeriyorsa bu içimin doğruluk tablosunda 2 3 = 8 satır bulunacak demektir: P Q R D D Y D Y D D Y Y Y D D Y D Y Y Y D Y Y Y

8 Mantıksal operatörler için mevcut olan doğruluk tablolarından faydalanarak önce en küçük altikb ler için ve sonra her adımda daha büyük altikb ler için doğruluk değerleri hesaplanır, böylece biçimin bütününün doğruluk değerleri elde edilene kadar devam edilir. Her ikb veya altikb için olan sütun daima ana operatörün altına yazılır. Biçimin bütününe ait ana operatörün altındaki sütun çember içine alınarak tüm biçimin doğruluk değerleri belirtilmiş olur. LÜ ÖRNEKLER 3.9 Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz. P P P D D Y D Y Y D Y Demek ki, P daima P ile aynı doğruluk değerlerine sahiptir Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz. P Q P Q P Q D D Y D D D Y Y Y Y Y D Y Y D D Y Demek ki, P Q daima P Q ile (veya P Q) ile) aynı doğruluk değerlerine sahiptir ve birbirlerinin yerine geçebilirler Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz. P Q) (P Q)

9 P Q (P Q) (P Q) D D Y Y D Y D D Y Y Y Y D Y D Y Y D Y Y Y Y Y Y D Y Y Y Bu biçim, dışlayıcı seçeneklilik veya bağdaşmaz seçeneklilik (exclusive or) olarak bilinir ve Ya P veya Q fakat ikisi birlikte değil anlamına gelir. Bu durumda karşılıklı koşulluya, kapsayıcı seçeneklilik de (inclusive or)denebilir Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz. P P P P P Y Y Y D D Tabloya göre bu bir totolojidir. Totoloji: Her olası durumda doğru olan ifadeler veya doğruluk tablosunda her satırın doğru değeri aldığı ifadeler. Bunların bir tür mantıksal zorunluluk oldukları söylenebilir. Önermeler mantığının operatörlerine has anlambilimin ürettiği bir mantıksal zorunluluktur bu Aşağıdaki biçim için bir doğruluk tablosu oluşturunuz. P P P P P D D Y Y Y Y Y D Tabloya göre bu bir çelişkidir. Çelişki, doğruluk-işlevsel türden bir tutarsızlıktır. Bütün tutarsızlık türlerinin doğruluk-işlevsel türden olmadıkları ve buradaki çelişkinin önermeler mantığının operatörlerine has bir tutarsızlık olduğu unutulmamalıdır. Örneğin Cemil kendi kendisine özdeş değil önermesi de tutarsızdır. Ancak buradaki tutarsızlık, özdeştir deyiminin semantiğine özgü bir tutarsızlıktır ve doğruluk-işlevsel türden değildir.

10 Doğruluk tablosundaki satırlardan kimisi doğru olan biçimlerin doğruluk-işlevsel açıdan olumsal (contingent) oldukları söylenir. Olumsal yargı, doğru veya yanlış olabilen yargı demektir. Örneğin Cem bir bekardır ve Cem evlidir yargısı B E biçimine sahiptir ve doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir: B E B E D D D Y D Y Y Y D Y Y D Y Y Y Y Y Yani doğruluk-işlevsel açıdan olumsaldır. Oysa bu yargı tutarsızdır, dile getirdiği şey mantıksal veya kuramsal olarak imkansızıdır, bununla birlikte bu bir doğruluk-işlevsel tutarsızlık değildir, yani bir bekardır, evlidir deyimleri ve ve mantıksal operatörü ile kurulan semantiğe (anlambilime) göre tutarsız değildir. LÜ ÖRNEKLER 3.14 Aşağıdaki ikb için bir doğruluk tablosu oluşturarak bunun bir totoloji mi, tutarsız mı ya da doğruluk-işlevsel açıdan olumsal mı olduğunu gösteriniz: ( P Q) (P Q) P Q ( P Q) (P Q) D D Y Y Y Y D Y Y D D Y D Y Y Y Y Y Y Y D Y Y Y Y Y Y Bu ikb, ana operatör olan altındaki sütun tamamen Y lerden oluştuğu için tutarsızdır Aşağıdaki ikb için bir doğruluk tablosu oluşturarak bunun bir totoloji mi, tutarsız mı ya da doğruluk-işlevsel açıdan olumsal mı olduğunu gösteriniz: P (Q R)

11 P Q R P (Q R) D Y D D Y D D D Y D D Y Y Y Y D Y Y D D Y D D Y D D Y Y Y D Y Y D Y Y D Y D Y Y Y Y Y Y Y D Y D D Bu ikb, ana operatör olan altındaki sütun hem Y lerden hem D lerden oluştuğu için doğruluk-işlevsel olumsaldır Aşağıdaki ikb için bir doğruluk tablosu oluşturarak bunun bir totoloji mi, tutarsız mı ya da doğruluk-işlevsel açıdan olumsal mı olduğunu gösteriniz: ((P Q) (R S)) P P Q R S ((P Q) (R S)) P D Y Y D Y Y D D D D Y D Y Y Y D D Y Y Y Y Y Y D D D Y Y Y Y D D D Y D Y D Y Y Y D Y Y D D D Y Y D D Y Y Y Y Y D Y Y Y D Y Y Y Y Y Y D D Y Y Y D Y D Y Y D D Y Y Y D Y D Y Y D Y Y D Y D Y Y D Y Y Y D D Y Y D Y Y Y Y D Y Y Y Y D Y Y Y D D Y Y Y Y D Y Y Y D Y Y Y Y Y D Y Y D Y Y Y Y D Y Y Y Y Y Y D D Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y D Y Bu ikb bir totolojidir.