300 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Aynı boyutlu tutarlı sistemlerin sistem imzası ile karşılaştırılması Yunus BULUT Hikmet YAMAN İnönü Ünirsitesi İktisadi İdari Bilimler Fakültesi Ekonometri Bölümü Malatya-Türkiye Çine Anadolu Öğretmen Lisesi Çine-Aydın-Türkiye Anahtar Kelimeler: Tutarlı sistemler başarı yol kümesi kesen küme sistem imzası sıralı istatistikler stokastik sıralama sağkalım hız sıralaması olasılıksal oran sıralaması. ÖZET Bu çalışmada bağımsız aynı dağılımlı n boyutlu tutarlı sistemlerin sistem imzası ile stokastik sağkalım hız olasılıksal oran sıralaması anlamında nasıl karşılaştırıldıklarını inceledik. Comparing coherent systems of same sizes via system signature Key Words: Coherent systems path set cut set system signature order statistics stochastic ordering hazard rate ordering likelihood ratio ordering. ABSTRACT In this study we examined how to compare the coherent systems of same sizes n whose components ha independent and identically distributed (i.i.d.) lifetimes through system signature in termsof stochastic ordering (st) hazard rate ordering (hr) likelihood ratio ordering (lr). *Sorumlu Yazar (Corresponding author) e-posta: ybulut79@gmail.com
30 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307. Giriş ile gösterilir. Ayrıca i. bileşenin yaşam süresinin herhangi bir t anından büyük olma olasılığına bileşen günilirliği 0. yüzyılda teknolojinin gelişmesi ile birlikte ürünlerin ömürleri yaşam kaliteleri günlük hayatımızda önemli bir denir içind ir. yer tutmaya başlamıştır. Belirli bir t zamanından sonra ürünün yaşam kalitesi ya t zamanda kalan ömrü istatistiksel Benzer şekilde sistemin durumu olarak önem arz etmekte bu tür durumlar sistem günilirliği ile ölçülmektedir. Sistem günilirliği ile ilgili çalışmalar. Dünya Savaşından sonra daha da önem kazanmıştır. Günilirlik Teorisi ile ilgili temel kavramlar dönüşümü ile tanımlanır. olmak için []-[3] incelenebilir. üzere fonksiyonu yapı fonksiyonu olarak adlandırılır. Belli bir çalışma sahasındaki sistemlerden hangisinin daha Sistemdeki bileşen sayısı olan n sistemin boyutu olarak adlandırılır kullanışlı olduğu durumu daha iyi ifade edebildiği ya daha []-[3]. uzun ömürlü olduğunu belirleyebilmek için sistemlerin karşılaştırılması gerekir. Tutarlı sistemlerin Tanım.. Sistemin t anında çalışıyor olma olasılığına yani karşılaştırılmasında sistem imzası önemli bir yer tutmaktadır. olma olasılığına sistem günilirliği denir. n boyutlu bir Sistem İmzası kavramı ilk kez Samaniego (985) tarafından sistemin günilirliği eşitliği ile ortaya atılmıştır []. Sistem imzası ile ilgili daha detaylı bilgiler için [5] incelenebilir. Kochar vd. (999) aynı hesaplanır. Burada p=( ) dir []-[3]. boyutlu i.i.d. bileşenli tutarlı sistemlerin sistem imzası ile nasıl karşılaştırıldığını göstermiştir [6]. Tanım.3. Bir sistem a) yapı fonksiyonu her bir bileşen için Navarro vd. (005) ise sistem imzası yardımıyla aynı boyutlu bağımlı bileşenlere sahip tutarlı sistemlerin sıralamalarını incelemiştir [7]. Bunlara ilaten Navarro vd. (008) farklı boyutlu tutarlı sistemlerin sistem imzası ile sıralamalarını araştırmıştır [8]. Bileşen sayısı az olan sistemlerin sistem imzasını hesaplamak kolay iken çok boyutlu tutarlı sistemlerin imzasını hesaplamak oldukça zordur. Bu problemi ortadan kaldırmak için Da vd. (0) çok boyutlu sistemleri alt sistemlere ayırma prensibine dayanan bu tür sistemlerin imzasının hesaplanmasını kolaylaştıran iki formül geliştirmiştir [9]. Sistem imzası sistemi oluşturan her bileşenin bilgisi ile hesaplanmaktadır. Bu durum bazen sistem imzasının hesaplanmasını güçleştirmektedir. Bu tür durumlar için Marichal vd. (03) sistem imzasının türev yardımıyla yapı fonksiyonundan direkt hesaplanabileceğini göstermiştir [0]. Bulut Yaman (03) farklı boyutlu tutarlı sistemlerin Sistem İmzası ile nasıl karşılaştırıldıklarını incelemiştir []. Bu çalışmada i.i.d. bileşenli aynı boyutlu tutarlı sistemlerin Sistem İmzası ile nasıl karşılaştırıldıklarını inceledik.. Tutarlı Sistemler Günilirlik teorisinde çoğu uygulama tutarlı sistemlerin dizaynı performansı üzerine yapılmaktadır. Tutarlı sistemlerin tanımını rmeden önce bir sistemin bileşenlerinin yapı fonksiyonunun nasıl tanımlandığını receğiz. Tanım.. için i. bileşenin durumu monoton azalmayan ise b) sistem sadece ilişkili bileşenlerden oluşuyor ise tutarlı sistem adını alır. Tanımdan da anlaşılacağı gibi tutarlı sistemlerde başarısız bir bileşen yerine çalışan bir bileşen yerleştirildiğinde sistem performansı etkilenir. Ayrıca her bir bileşen sistemin başarısını ya başarısızlığını etkiler. i. bileşenin ilişkili bileşen olması her için önermesi ile ifade edilir []-[3]. Bir sistemin yapı fonksiyonu belirlenirken sistemin başarı yol kümeleri kesen kümelerinden faydalanılmaktadır. Tanım.. P sistemin bir kısım bileşenlerinden oluşan bir küme olsun. P kümesindeki bütün bileşenler çalıştığında sistem de çalışıyorsa P ye başarı yol kümesi denir.başka bir başarı yol kümesini kapsamayan başarı yol kümesi minimal başarı yol kümesi olarak adlandırılır []-[3]. Tanım.5. K sistemin bir kısım bileşenlerinden oluşan bir küme olsun. K kümesindeki bütün bileşenler başarısız olduğunda sistem de başarısız oluyorsa K ya kesen küme denir. Başka bir kesen kümeyi kapsamayan kesen kümeye minimal kesen küme denir []- [3]. P bir minimal başarı yol kümesi A P nin özalt kümesi olsun. O zaman kümesi bir kesen kümedir. K bir minimal kesen küme B K nin özalt kümesi olsun. O zaman kümesi bir başarı yol kümesidir. Burada kümeleri minimal olmak zorunda değildir. Bir sistemin yapı fonksiyonu Sistemin minimal başarı yol kümeleri ya minimal kesen kümeleri ile ifade edilebilir. kümeleri sırasıyla sistemin minimal başarı yol minimal kesen kümeleri kümesi olsun. O zamansistemin yapı fonksiyonu dönüşümü ile tanımlanır. Burada n sistemdeki bileşenlerin sayısıdır. dönüşümü bir Bernoulli değişkenidir ya operatörleri ile belirlenebilir []-[3]. ( Burada kümeleri sırasıyla A B kümelerinin tümleyen kümeleridir.)
Örnek.. 30 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Örnek.3. 3 Şekil. Seri Sistem 3 Şekil de rilen sistem seri sistem olarak adlandırılmaktadır minmaks operatörü yardımıylasistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla Şekil 3 olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise (yani ise) p=(pppp) olmak üzere sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla ifade edilir. ile Şekil 3 de rilen sistemseri-paralel sistem olarak adlandırılmaktadır minmaks operatörüne göre sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla Örnek.. olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla 3 Şekil. Paralel Sistem Şekil de rilen sistem paralel sistem olarak adlandırılmaktadır minmaks operatörü yardımıyla sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla Örnek.. Şekil 3 Şekil de rilen sistemseri-paralel sistem olarak adlandırılmaktadır minmaks operatörüne göre sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla
Örnek.5. 303 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Örnek.7. 3 3 Şekil 5. den ardıl çıkışlı: G Sistem Şekil 5 de rilen sistem den ardıl çıkışlı:g Sistem olarak adlandırılmaktadır bu sistemin minimal başarı yol kümeleri {}{3} {3} olduğundan maksmin operatörüne göre sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla 3 5 Şekil 7. Köprü Sistemi Şekil 7 de rilen sistem Köprü Sistemi olarak adlandırılmaktadır. Bu sistemin minimal başarı kümeleri {}{5}{35} {3} olduğundan maksmin operatörü yardımıyla sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla Örnek.6. 3 olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla 3 3 Şekil 6. den çıkışlı: F Sistem Şekil 6 de rilen sistem den çıkışlı:f Sistem olarak adlandırılmaktadır minmaks operatörüne göre sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla olarak elde edilir. Eğer sistem bileşenleri özdeş ise sistemin yapı fonksiyonu günilirliği sırasıyla 3. Sistem imzası özellikleri n bileşenli bir sistemin bileşen yaşam süreleri bu yaşam sürelerinin sıralı istatistikleri sistemin yaşam süresi T olsun. O zaman sistemin başarısızlık zamanı (ya T yaşam süresi) sıralı istatistiği ile ilişkili olacaktır. Samaniego (985) bu ilişkiyi temel alarak sistem imzasını tanımlamıştır. Aynı makalede sistem imzası bilinen sistemlerin sistem imzaları ile sistemlerin ömürleri arasındaki ilişkiyi rmiştir []. Bu çalışma tutarlı sistemlerin sistem imzası üzerine kurulmuştur. Tanım 3.. aralığında sürekli bir fonksiyon olsun. Aynı dağılımlı bağımsız bileşenden oluşan n boyutlu tutarlı bir sistemin bileşenleri olmak üzere bileşeni olan ktörüne sistem imzası denir. Burada dir [][5].
30 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Sistem imzası ktörü sisteme özgüdür dağılımdan bağımsızdır (yalnızca sistemin dizaynına bağlıdır sistemin bileşenlerinin yaşam sürelerinin davranışından bağımsızdır) bu yüzden sistemlerin karşılaştırılmasında önemli bir ölçümdür. Sistem imzası bileşen sayısı az olan sistemlerde minmaks operatörü yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir. Da vd. (0) bileşen sayısı fazla olan sistemlerin imzasını sistemleri alt sistemlere ayırarak hesaplamıştır [9]. Örnek 3.. Örnek 3. de in elde edilişi gibi Örnek 3.. Şekil 3 de bileşenden oluşan sistemini göz önüne alalım. Bu sistemin kesme kümeleri kümesi olduğundan yapı fonksiyonu olarak elde edilir. minmaks operatörü yardımıyla T nin hangi sıralı istatistiğe eşit olduğu Tablo de elde edilmiştir. Tablo elde edilir. Genel olarak n boyutlu bir seri sistemin imzası (0 0) bir paralel sistemin imzası (00 ) k çıkışlı:f sistemin imzası (0 k 0) ktörleridir. Teorem 3.. n boyutlu tutarlı bir sistemin aynı F dağılımlı bağımsız bileşen yaşam süreleri olsunlar. T sistem yaşam süresi sistem imzasıolmak üzere sistemin t anındaki günilirliği eşitliği ile rilebilir []-[6]. Sonuç 3.. Teorem 3. den eşitlikleri elde edilebilir [8]. Örnek 3.3. Teorem 3. den seri sistemler için elde edilir. Burada n= alınırsa minmaks operatörü ile elde ettiğimiz özdeş bileşenden oluşan seri sistemin günilirliği elde edilir. Paralel sistemler için elde edilir. Burada n= alınırsa minmaks operatörü ile elde ettiğimiz özdeş bileşenden oluşan paralel sistemin günilirliği elde edilir. olmak üzere sistemlerinin sistem imzaları Teorem 3. e uygulanırsa; aşağıdaki sonuçlara ulaşılır. sistemi için Tablo den elde edilir ki bu Örnek.3 de elde ettiğimiz aynıdır. sistemi için ile elde edilir. Dolayısıyla olarak elde edilir. elde edilir ki bu Örnek. de elde ettiğimiz aynıdır. ile
sistemi için 305 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Lemma.. önermesi sağlanır []. elde edilir ki bu Örnek.5 de elde ettiğimiz sistemi için elde edilir ki bu Örnek.6 da elde ettiğimiz sistemi için elde edilir ki bu Örnek.7 de elde ettiğimiz ile aynıdır. ile aynıdır. ile aynıdır. Tanım.. X Y tesadüfi değişkenlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonları sırasıyla olsun. X Y tesadüfi değişkenlerinin tanım bölgelerinin birleşimi üzerinde oranı azalmıyorsa X tesadüfi değişkeni Y tesadüfi değişkeninden olasılıksal oran anlamında küçüktür denir ile ifade edilir [][7]-[9]. Olasılıksal oran sıralaması iki sistem imzası arasında aşağıdaki şekilde tanımlanabilir; olmak üzere i olması için gerek yeter şart. Sistem imzası ile tutarlı sistemlerin karşılaştırılması Sistemler genel olarak stokastik sıralama []-[3] sağkalım hız sıralaması []-[6] olasılıksal oran sıralaması [7]-[9] ile karşılaştırılabilir. Kochar vd. (999) aynı boyutlu i.i.d. bileşenli tutarlı sistemlerin sistem imzası ile nasıl karşılaştırıldığını göstermiştir [6]. i.i.d. varsayımı sistemlerin aynı çalışma sahasına indirgenmesinde önemli bir rol oynamaktadır [8]. Bu yüzden çalışmamızda sistemi oluşturan bileşenlerin i.i.d. olduğunu kabul edeceğiz. Tanım.. X Y tesadüfi değişkenlerinin kümülatif dağılım fonksiyonları sırasıyla F G olsun. Eğer tüm t değerleri için eşitsizliği sağlanıyorsa X tesadüfi değişkeni Y tesadüfi değişkeninden stokastiksel olarak küçüktür denir ile ifade edilir []-[3]. Stokastik sıralama iki sistem imzası arasında aşağıdaki şekilde tanımlanabilir; j olmak üzere olması için gerek yeter şart her j için eşitsizliğinin sağlanmasıdır [6]. Tanım.. X sürekli tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu kümülatif fonksiyonu olsun. Eğer fonksiyonu azalmayan ise X tesadüfi değişkeni artan başarısızlık hızına sahiptir denir. Eğer fonksiyonu azalmayan ise X tesadüfi değişkeni azalan başarısızlık hızına sahiptir denir. fonksiyonu X in (ya F nin) tehlike hızı olarak da adlandırılır []. Tanım.3. eşitsizliği sağlanıyorsa X tesadüfi değişkeni Y tesadüfi değişkeninden sağkalım hızı anlamında küçüktür denir ile ifade edilir []. Sağkalım hız sıralaması iki sistem imzası arasında aşağıdaki şekilde tanımlanabilir; j olmak üzere olması için gerek yeter şart oranının üzerinde azalmayan olmasıdır [6]. oranının i üzerinde azalmayan olmasıdır [6]. Kochar vd. (999) sistem imzası yardımıyla sistemlerin ömürleri arasındaki stokastik sağkalım hız olasılıksal oran sıralamasının nasıl yapıldığını göstermiştir. Teorem.. n boyutlu i.i.d. bileşenli iki tutarlı sistemin sistem imzası sırasıyla sırasıyla olmak üzere i) ii) iii) önermeleri sağlanır [6]. olsun. Bu sistemlerin yaşam süreleri Sistem imzalarının stokastik sağkalım hız sıralamalarını incelemek için kuyruk olasılık ktörünü tanımlayacağız. Tanım.5. Bir olasılık ktörünün kuyruk olasılık ktörü j için olmak üzere dir [0]. ktörüdür. Burada Örnek.. Çalışmamızda yer alan sistemlerin imzalarına karşılık gelen kuyruk olasılık ktörleri aşağıda rilmiştir; elde edilir. sistemi 5 boyutlu olduğu için kuyruk olasılık ktörünü bulmayacağız. Buradan iki ktör arasındaki adi sıralamadan (yani herhangi iki ktör olmak üzere her için ise dir [0].)
306 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 Tablo Yok Yok Tablo kolaylıkla elde edilir. Tablonun içi ya göre büyük olan ktörlerden oluşmaktadır. Tablo Teorem. kullanılarak stokastik sıralama için aşağıdaki sonuçlara ulaşılır; i) her için ii) iii) iv) v) elde edilir. Ayrıca Tablo den sistem ikililerinin stokastik sıralamaya göre karşılaştırılamadığı görülür. oran ktörü ktörlerinin rağmen (ya ) dir. Yani; Lemma. in tersi sağlanmaz. Teorem. den her için oran ktörleri bileşen anlamında azalmayan olduğundan olasılıksal oran sıralama için aşağıdaki sonuçlara ulaşılır; i) her için ii) iii) iv) Ayrıca v) elde edilir. sistem ikilileri olasılıksal oran sıralamasına göre karşılaştırılamazlar. 5. Sonuç Çalışmamızda bağımsız aynı boyutlu tutarlı sistemlerin sistem imzası ile stokastik sağkalım olasılıksal oran sıralamaları anlamında nasıl karşılaştırıldığını gösterdik. boyutlu 0 tane tutarlı sistem olmasına rağmen biz bunlardan yalnızca 6 tanesini inceledik. Ele alınan sistem ikililerinden bazılarının söz konusu sıralama çeşitleri ile karşılaştırılamadıklarını gördük. İncelediğimiz tüm sıralama çeşitlerinde seri sistemlerin en küçük yaşam süresine stokastik sağkalım hız sıralamalarında paralel sistemlerin en büyük yaşam süresine sahip olduklarını fakat olasılıksal oran sıralamada paralel sistemlerin bazı sistemlerle karşılaştırılamadığını diğerleri arasında ise en büyük yaşam süresine sahip olduklarını gördük. olmak üzere Teorem. den her için Kaynaklar oran ktörleri bileşen anlamında azalmayan olduğundan sağkalım hız sıralama için aşağıdaki sonuçlara ulaşılır; i) her için ii) iii) iv) elde edilir. Ayrıca sistem ikilileri sağkalım hız sıralamasına göre karşılaştırılamazlar.öte yandan olmasına. Barlow R.E. Proschan F. Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability Models s.-5 Holt Rinehart and Winston Inc. New York 975.. Rausand M. Hoyland A. System Reliability Theory: Models Statistical Methods and Applications s.8-33 John Wiley&Sons Inc. Hoboken New Jersey 00. 3. Kuo W. Zuo M. Optimal Reliability Modeling: Principles and Applications s.85-95 John Wiley&Sons Inc. Hoboken New Jersey 003.. Samaniego F.J. On Closure the IFR Class Under Formation of Coherent Systems IEEE Trans. Reliab. Theory 3 69-7 985. 5. Samaniego F.J. System Signatures and Their Applications in Engineering Reliability s.0-7 Springer Science+Business Media LLC 007.
307 Bulut Yaman Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 30():300-307 6. Kochar S. Mukerjee H. Samaniego F.J. The Signature of a Coherent System and Its Application to Comparisons Among Systems Naval Research Logistic 6 507-53 999. 7. Navarro J. Ruiz J.M. Sandoval C.J. A Note on Comparisons among Coherent Systems with Dependent Components Using Signatures Statistics and Probability Letters 7 79-85 005. 8. Navarro. J. et al. On the Application and Extension of System Signatures in Engineering Reliability Naval Research Logistic 55 33-36 008. 9. Da G. Zheng B. Hu T. On Computing Signatures of Coherent Systems Journal of Multivariate Analysis 03-50 0. 0. Marichal J.L. Mathonet P. Computing System Signatures through Reliability Functions Statistics and Probability Letters 83 70-77 03.. Bulut Y. Yaman H. Farklı Boyutlu Tutarlı Sistemlerin Sistem İmzası ile Karşılaştırılması Gaziosmanpaşa Bilimsel Araştırma Dergisi 6 85-0 03.. David H.A. Nagaraja H.N. Order Statistics s.7-76 John Wiley&Sons Inc. Hoboken New Jersey 003. 3. Barbour A.D. Lindvall T. Rogers L.C.G. Stochastic Ordering of Order Statistics Journal of Applied Probability 8 78-86 99.. Navarro J. Shaked M. Hazard Rate Ordering of Order Statistics and Systems Journal of Applied Probability 3 39-08 006. 5. Boland P.J. El-Neweihi E. Proschan F. Applications of the Hazard Rate Ordering in Reliability and Order Statistics Journal of Applied Probability 3 80-9 99. 6. Navarro J. Tail Hazard Rate Ordering Properties of Order Statistics and Coherent Systems Naval Research Logistic 5 80-88 007. 7. Bapat R.B. Kochar S.C. On Likelihood-Ratio Ordering of Order Statistics Linear Algebra and Its Applications 99 8-9 99. 8. Ma C. Likelihood Ratio Ordering of Order Statistics Journal of Statistical Planning and Inference 70 55-6 998. 9. Navarro J. Likelihood Ratio Ordering of Order Statistics Mixtures and Systems Journal of Statistical Planning and Inference 38-57 008. 0. Roychowdhury S.Reliability Comparison Of Systems Of Different OrdersUsing Pseudo-Signatures Electron. J. App. Stat. Anal. 5() 99 0.