1- Geometrinin Gelişimi ve Öklid

GEOMETRİ ÖĞRETİMİ

1- Geometrinin Gelişimi ve Öklid

Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak tanımlamaktadır (Olkun ve Toluk, 2003). Geometri, geo ve metron sözcüklerinin birleşiminden meydana gelmiş yer ölçüsü anlamına gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Nokta, çizgi, açı, yüzey ve cisimlerin birbiriyle ilişkilerini, ölçümlerini, özelliklerini inceleyen matematik dalıdır (TDK, 2008).

Platon: Geometri bilmeyen buradan giremez. M.Ö dördüncü yüzyılda yalnızca matematik ve geometri alanı öğrencileri için değil, akademisinde eğitim gören tıp ve felsefe öğrencilerini de Geometri bilmeyen buradan giremez. şeklinde bir uyarıyla karşılayan Platon, matematiğin felsefeye giriş niteliğinde bir amaç taşıdığını düşünmekte idi.

Öklid Geometrisi Yaklaşık 2400 yıl önce, İskenderiyeli Öklid Öğeler adlı kitabı yakın zamana kadar dünyanın geometri ders kitabıydı. Abraham Lincoln'un zekasını zinde tutmak ve matematiksel tümdengelimi takdir etmek için okuduğu bu kitap, hala geometri dersinin temelini oluşturur.

ELEMENTLER Öklid'in çalışmalarını içeren Oxyrhynchus papirüsü

GEOMETRİK KAVRAMLAR Terim: Geometride özel anlamı olan kelimelerdir. Tanımsız Terim: Geometrinin tanımlanamayan terimleridir. Bu terimler sezgi ve kavramaya yöneliktir. Önerme: Doğru veya yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Teorem: Doğruluğu ispat edilen önermelere teorem denir. Aksiyom: Doğruluğu ispatsız kabul edilen basit ve temel önermelere aksiyom denir. Postülat: Açıkça görülen fakat ispatı yapılamayan gerçeklerdir.

Öklid in Postulatları 1. Postülat: Farklı iki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer. 2. Postülat: Bir doğru parçası sınırsız bir şekilde uzatılabilir. 3. Postülat: Merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizilebilir. 4. Postülat: Bütün dik açılar eşittir. 5. Postülat: Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız ve yalnız bir tek paralel doğru çizilir.

Çıkmış Soru

Öklid'in Aksiyomları Aynı şeye eşit olan şeyler, birbirlerine eşittirler. Eşit şeylere eşit şeyler eklenirse, toplamlar eşit olur. Eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar eşit olur. Birbirleriyle çakışan şeyler, birbirleriyle eşittir. Bütün parçasından büyüktür.

2-Van Hiele Öğrenme Düzeyleri Pier Van Heile'nin Geometri Kuram Basamakları

Van Heile Geometri Kuramı Hollandalı eğitimciler Piere Van Hiele ve Dina Van Hiele Geldof Amerika Birleşik Devletleri ve Sovyet Rusya'daki geometri çalışmalarını da etkileyen çalışmalarında, geometrik düşüncenin gelişmesinin beş düzeyden geçtiği belirtilmektedir. Bu beş düzey Piaget nin verdiği gelişme basamakları gibi sıralıdır. Her çocuk bu basamaklardan aynı yaslarda olmasa bile sırayla geçer.

Van Hiele Öğrenme Düzeyleri Van Hiele, çocukta matematik, özellikle geometrik düşünmenin nasıl geliştiğine ilişkin çalışmalar yapmıştır. Hiele'ye göre çocuğun geometrik kavramları geliştirmesi 5 aşamada olmaktadır. Bunlar 0, 1, 2, 3, 4 düzeyleri olarak bilinir. 0, 1, 2 düzeyleri ilkokul yaşlarına, 3 ve 4 düzeyleri ortaokul ve sonrasına tekabül eder.

0. Düzey (Göz Önünde Canlandırma) Bu basamaktaki çocuklar şekil ve cisimleri bir bütün olarak algılarlar. Çocuk için "kare karedir." Karenin tanımını ve özelliklerini, tanıma bağlı olarak kavrayamazlar. Çocuk bu safhada özellik ve ayrıntıları bütüne yapışık olarak algılamaktadır.

1. Düzey (Analiz) Bu evredeki çocuklar şekillerin özelliklerini analiz etmeye başlarlar ve şekillerin özelliklerini tümüyle açıklayabilirler. Örneğin "Yamuğun dört kenarı vardır. Dört açısı vardır. İki kenarı birbirine paraleldir. Kapalı bir şekildir" gibi. Bir kavramın (örneğin karenin) bir takım özellikler demeti, bu özelliklerin bir araya gelmesi hali olduğunu anlarlar.

2. Düzey (Yaşantıya bağlı çıkarım) Bu evre, şekil sınıfları arasında bağ kurabilmenin geliştiği evredir. Örneğin "yamuk iki kenarı paralel olan dörtgendir", "Dikdörtgen açıları 90 olan paralelkenardır" gibi. Çocuklar bir şekli, onun temel özelliklerini kullanarak sınıflayabilirler, fakat aksiyomatik sistemi kullanamaz ve usule uygun çıkarım yapamazlar. Geometrik bir ispatı izleyebilir ama kendi kendilerine ispat yapamazlar.

3. Düzey (Çıkarım) Çocuklar bu dönemde bir aksiyomatik yapıyı kullanabilirler ve bu sistem içinde kendi kendilerine ispat yapabilirler. Bir teoremin farklı uygulamalarını görebilirler. Bu düzeyde çocuk için, şekillerin özellikleri, şekil ve cisimden bağımsız bir obje haline gelir. Bu dönem lise yıllarına tekabül eder.

4. Düzey Bu düzeydeki öğrenciler farklı iki aksiyomatik sistem arasındaki ilişkileri ve ayrılıkları görebilirler. Öğrenciler bu düzeyde geometriyi bir bilim olarak ele alıp çalışabilirler.

İlköğretim

Lise

3- Okul Öncesi Programından

Uzaysal Algı Bireyin çevresini ve çevresindeki nesneleri sezgileriyle anlamlandırması uzaysal algı olarak tanımlanır.

Önemli

Programdan Kazanımlar Kazanım 12. Geometrik şekilleri tanır. (Göstergeleri: Gösterilen geometrik şeklin ismini söyler. Geometrik şekillerin özelliklerini söyler. Geometrik şekillere benzeyen nesneleri gösterir.) Açıklamaları: Düzenlenecek etkinlikler sırasında öğretmenlerin daire ve çember terimlerini doğru kullanmaya özen göstermeleri gerekmektedir. Çemberin içi boştur, sadece yuvarlak alanın etrafını kaplamaktadır. Daire ise içi dolu yuvarlak alanı tanımlamaktadır. Üçgen, daire, kare, dikdörtgen ve elips geometrik şekillerinin üzerinde durulmalıdır. Gelişimsel seviyesi uygun olan çocuklarla çokgenler üzerinde de çalışılabilir.

Kazanım 14. Nesnelerle örüntü oluşturur. (Göstergeleri: Modele bakarak nesnelerle örüntü oluşturur. En çok üç ögeden oluşan örüntüdeki kuralı söyler. Bir örüntüde eksik bırakılan ögeyi söyler, tamamlar. Nesnelerle özgün bir örüntü oluşturur.) Açıklamaları: Örüntü, en az iki nesneden oluşan çekirdek grubun belli bir kurala göre sıralanması ve bu kuralın ardışık olarak tekrar edilmesi durumudur. Örüntü somut nesnelerle başlatılmalıdır. Örneğin, mandal+boncuk, mandal+boncuk ikili bir örüntüdür. Var olan örüntüyü genişlettiğimizde; mandal+boncuk+pipet, mandal+boncuk+pipet şeklinde örüntüyü genişleterek sürdürmeleri beklenir. Çocuklardan önce model olarak verilen örüntüyü devam ettirmeleri, ardından kendi örüntülerini yapmaları beklenir.

Kazanım 10. Mekânda konumla ilgili yönergeleri uygular. (Göstergeleri: Nesnenin mekândaki konumunu söyler. Yönergeye uygun olarak nesneyi doğru yere yerleştirir. Mekânda konum alır. Harita ve krokiyi kullanır.) Açıklamaları: Mekânda konum ile ilgili yönergeler; yön, yakın, uzak, altında, üstünde, önünde, arkasında, yanında gibi kavramları içermelidir. Çocukların nesnelerin mekândaki konumlarını anlayabilmesi için legolar, bloklar gibi nesneler kullanılarak basit etkinlikler yapılabilir. Bu gibi etkinliklerden sonra basit krokiler/haritalar çocuklara gösterilir ve krokinin/haritanın nasıl okunacağı konusunda rehberlik edilir. Krokide çizilmiş şekillerin ne anlama geldiği ve birbirlerine göre konumları incelenir. Daha sonra çocukların en çok bildiği bir alanda (sınıf, bahçe vb.) yönergeler doğrultusunda basit krokiler/haritalar oluşturmalarına yönelik etkinlikler yapılır. Saklambaç oyunları, hazine avı gibi oyunlar çocukların krokileri somutlaştırmalarına yardımcı olur ve süreci oyunlaştıracağı için eğlenceli kılar.

Uzaysal konum, Yön ve Uzaklık Kavramları

4-İlkokul Programından

Geometrik Cisimler ve Şekiller M.1.2.1. Geometrik Cisimler ve Şekiller Terimler veya kavramlar: kenar, köşe, üçgen, kare, dikdörtgen, çember M.1.2.1.1. Geometrik şekilleri köşe ve kenar sayılarına göre sınıflandırarak adlandırır. M.1.2.1.2. Günlük hayatta kullanılan basit cisimleri, özelliklerine göre sınıflandırır ve geometrik şekillerle ilişkilendirir. M.2.2.1. Geometrik Cisimler ve Şekiller Terimler veya kavramlar: çember, daire, küp, kare prizma, dikdörtgen prizma, üçgen prizma, küre, silindir M.2.2.1.1. Geometrik şekilleri kenar ve köşe sayılarına göre sınıflandırır. M.2.2.1.2. Şekil modelleri kullanarak yapılar oluşturur, oluşturduğu yapıları çizer. M.2.2.1.3. Küp, kare prizma, dikdörtgen prizma, üçgen prizma, silindir ve küreyi modeller üstünde tanır ve ayırt eder. M.2.2.1.4. Geometrik cisim ve şekillerin yön, konum veya büyüklükleri değiştiğinde biçimsel özelliklerinin değişmediğini fark eder. M.3.2.1. Geometrik Cisimler ve Şekiller Terimler veya kavramlar: dörtgen, beşgen, altıgen, sekizgen, köşegen, ayrıt, yüz, koni M.3.2.1.1. Küp, kare prizma, dikdörtgen prizma, üçgen prizma, silindir, koni ve küre modellerinin yüzlerini, köşelerini, ayrıtlarını belirtir. M.3.2.1.2. Küp, kare prizma ve dikdörtgen prizmanın birbirleriyle benzer ve farklı yönlerini açıklar. M.3.2.1.3. Cetvel kullanarak kare, dikdörtgen ve üçgeni çizer; kare ve dikdörtgenin köşegenlerini belirler. M.3.2.1.4. Şekillerin kenar sayılarına göre isimlendirildiklerini fark eder. M.4.2.1. Geometrik Cisimler ve Şekiller M.4.2.1.1. Üçgen, kare ve dikdörtgenin kenarlarını ve köşelerini isimlendirir. M.4.2.1.2. Kare ve dikdörtgenin kenar özelliklerini belirler. M.4.2.1.3. Üçgenleri kenar uzunluklarına göre sınıflandırır. M.4.2.1.4. Açınımı verilen küpü oluşturur. M.4.2.1.5. İzometrik ya da kareli kâğıda eş küplerle çizilmiş olarak verilen modellere uygun basit yapılar oluşturur.

Uzamsal İlişkiler M.1.2.2. Uzamsal İlişkiler M.2.2.2. Uzamsal İlişkiler M.3.2.2. Uzamsal İlişkiler M.4.2.2. Uzamsal İlişkiler Terimler veya kavramlar: eş nesneler Terimler veya kavramlar: simetrik şekil, simetri doğrusu Terimler veya kavramlar: ayna simetrisi M.1.2.2.1. Uzamsal (durum, yer, yön) ilişkileri ifade eder. M.1.2.1.2. Günlük hayatta kullanılan basit cisimleri, özelliklerine göre sınıflandırır ve geometrik şekillerle ilişkilendirir. M.1.2.2.2. Eş nesnelere örnekler verir. M.2.2.2.1. Yer, yön ve hareket belirtmek için matematiksel dil kullanır. M.2.2.2.2. Çevresindeki simetrik şekilleri fark eder. M.3.2.2.1. Şekillerin birden fazla simetri doğrusu olduğunu şekli katlayarak belirler. M.3.2.2.2. Bir parçası verilen simetrik şekli dikey ya da yatay simetri doğrusuna göre tamamlar. M.4.2.2.1. Ayna simetrisini, geometrik şekiller ve modeller üzerinde açıklayarak simetri doğrusunu çizer. M.4.2.2.2. Verilen şeklin doğruya göre simetriğini çizer.

Geometrik Örüntüler M.1.2.3. Geometrik Örüntüler M.2.2.3. Geometrik Örüntüler M.3.2.3. Geometrik Örüntüler Terimler veya kavramlar: örüntü M.1.2.3.1. Geometrik şekiller veya geometrik cisme benzeyen nesnelerden oluşan bir örüntüdeki kuralı bulur ve örüntüde eksik bırakılan ögeleri belirleyerek örüntüyü tamamlar M.2.2.3.1. Tekrarlayan bir geometrik örüntüde eksik bırakılan ögeleri belirleyerek tamamlar. M.3.2.3.1. Şekil modelleri kullanarak kaplama yapar, yaptığı kaplama örüntüsünü noktalı ya da kareli kâğıt üzerine çizer. M.1.2.3.2. En çok üç ögesi olan örüntüyü geometrik cisim ya da şekillerle oluşturur. M.2.2.3.2. Bir geometrik örüntüdeki ilişkiyi kullanarak farklı malzemelerle aynı ilişkiye sahip yeni örüntüler oluşturur.

Geometride Temel Kavramlar M.3.2.4. Geometride Temel Kavramlar Terimler veya kavramlar: nokta, doğru, ışın, doğru parçası, açı M.3.2.4.1. Noktayı tanır, sembolle gösterir ve isimlendirir. M.3.2.4.2. Doğruyu, ışını ve açıyı tanır. M.3.2.4.3. Doğru parçasını çizgi modelleri ile oluşturur; yatay, dikey ve eğik konumlu doğru parçası modellerine örnekler vererek çizimlerini yapar. M.4.2.3. Geometride Temel Kavramlar Terimler veya kavramlar: düzlem, dar açı, dik açı, geniş açı, doğru açı M.4.2.3.1. Düzlemi tanır ve örneklendirir. M.4.2.3.2. Açıyı oluşturan kenarları ve köşeyi belirler, açıyı isimlendirir ve sembolle gösterir. M.4.2.3.3. Açıları, standart olmayan birimlerle ölçer ve standart ölçme birimlerinin gerekliliğini açıklar. M.4.2.3.4. Açıları standart açı ölçme araçlarıyla ölçerek dar, dik, geniş ve doğru açı olarak belirler. M.4.2.3.5. Standart açı ölçme araçları kullanarak ölçüsü verilen açıyı oluşturur.

2015 Programından

2009 Programından

5-Ortaokul Programından

Son