1. Aşağıdakilerden hangisi AB ve CD kenarlarının orta dikmeleri AC köşegeni üstündeki bir noktada kesişen he ABCD dışbükey dörtgeni için doğrudur?

Transkript

1 . Aşağıdakilerden hangisi AB ve CD kenarlarının orta dikmeleri AC köşegeni üstündeki bir noktada kesişen he ABCD dışbükey dörtgeni için doğrudur? A) BA AD BC CD B) BD AC C) AC BD D) AD DC AB BC E) Hiçbiri Çözüm : B C GE ; AB nın orta dikmesi ise AE EB G y F FE ; CD nın orta dikmesi ise DE EC BDE üçgeninde BE ED BD AC BD E y A D

2 . 65 polinomunun kaç katsayısı 65 e bölünmez? A)0 B)8 C)6 D)3 E)Hiçbiri 65 n Çözüm: 5 in ve 3 ün katlarını denediğimizde formundaki katsayılardan n=0, 5, 0, 5, 5, 30, 35, 40, 50, 60, 65 N=0, 3, 6, 39, 5, 65 için 65 e bölünmez. 6 katsayı bölünmez.

3 3. n 9n 0 n 7n eşitsizliğini sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır? A) B) C)3 D)4 E)Hiçbiri Çözüm: n 4. n 5 n 4. n 3 n 4. n 3 n 5 n 3 n 5 n 4 n 3 n 5 n 3 n 5 n 4 n 3 n 5 4 n 4 n 3 n 5 n 3 n 5 n 3 n 5 n 3 n 5 n 3 n 5 Elde edilir ki n 5 için A-G-O eşitsizliği gereği bu ifade doğru olmaz. n,,3, 4 için eşitsizlik sağlanır.

4 4.,,3,..., 0 kümesinin 8 elemanlı alt kümelerinden kaçı ardışık sayılar içermez? A) 3 8 B) 3 9 C) 4 8 D) 4 9 E) 0 5 Çözüm: Kümede olan ve olmayan elemanları belirtmek için olanlar yerine, olmayanlar yerine 0 yazalım. 8 tane kullanmalıyız. a,a,a 3,...,a9 lerin arasındaki 0 ların sayısını temsil etsin. a0a 0a 30...a 9 yazılışında 8 tane, 7 tane 0 kullanılmıştır. Bu durumda 3 9 a a a... a 5 Denkleminin negatif olmayan tam sayı çözümlerinin sayısı= elde edilir.

5 o 5. m ABC 90 olmak üzere ABC üçgeninin AB kenarını çap alan çember AC kenarını D noktasında, çembere D de teğet olan doğru da BC yi E noktasında kesiyor. EC ise AC AE nedir? A) 8 B) 6 C) D) 0 E) Hiçbiri Çözüm : A Yandaki şekle göre DE BE olur. D AC CB AB ve AE EB AB eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa AC AE CB EB 6 4 elde edilir. B E C

6 6. Kaç p asal sayısı için 4 p 86 sayısı da asaldır? A)0 B) C) D)3 E)4 Çözüm : 4 p 86 4 ifadesini 5 modunda inceleyelim. p 5 için p 86 0 mod 5 olduğundan 4 p 86 asal olamaz. p=5 için 65-86=539 asaldır.

7 7. ve sayıları nedir? denkleminin farklı gerçel kökleri ise A) 5 B) C)-50 D)0 E)Hiçbiri Çözüm : 5 ve

8 8. Pozitif tam sayılardan oluşan n elemanlı her kümenin toplamları 6 ile bölünen 6 elemanı bulunabiliyorsa, n en az kaç olabilir? A)3 B) C) D)0 E)9 Çözüm: Sayılarımızı 6 modunda düşünebiliriz. n=0 için olmadığını gösterelim.0, 0, 0, 0, 0,,,,, bu kümenin elemanlarının 6 lı toplamları ile 5 arasındadır. n= için doğruluğunu ispatlayalım. Lemma:5 elemanlı herhangi bir pozitif tam sayı kümesinin öyle 3 elemanı vardır ki toplamları 3 e bölünür. İspat: 3 modunda 3 farklı eleman olabilir. ve çeşit eleman için en az 3 tane birbirine denk eleman vardır. Bu 3 elmanın toplamı 3 e bölünür. 3 modunda 3 çeşit elman varsa her denklik sınıfından birer tanesinin toplamı 3 e bölünür. n= olsun. İçlerinden herhangi bir beşli alalım.3 tanesinin toplamı 3 e bölünür. Bunlar a,a,a 3 olsun. Kalan 8 tanesinden 5 tanesini alalım. 3 tanesinin toplamı 3 e bölünür. Bunlar da b, b, b 3 olsun. Son 5 tanesinin de 3 tanesinin toplamı 3 e bölünür. Bunlarsa c,c,c3 olsun. a a a 3k 3 b b b 3m 3 c c c 3n 3 olsun. 3k, 3m, 3n den en az ikisi çift veya en az ikisi tektir. modunda birbirine denk olan iki tanesinin toplamı hem ye hem 3 e bölünebilir.

9 o 9. m ADC 90 olan bir ABCD dışbükey dörtgeninde D den geçen ve BC ye paralel olan doğru AB doğrusunu E noktasında kesiyor. m DAC m DAE, AB 3 ve AC 4 ise AE? A) 5 6 B) 3 C) D) E) 3 4 Çözüm : C Yandaki şekilde CD BA F olsun. ACF üçgeni ikizkenar üçgendir. AE EF 4 olur. Ayrıca D noktası CF nin orta noktası ve D 4 DE BC olduğundan FE EB yani 4 3 buradan bulunur. F E A 3 B

10 olmak üzere, y+yz+z 0mod 0 ve +y+z 0mod , y, z 0 koşullarını sağlayan kaç(, y, z) tam sayı üçlüsü vardır? A)00 B)0 C)0 D)40 E)403 Çözüm: z y mod 0 z yi yerine koyalım. y y 0mod 0 4 4y y 3y mod 0 y 3y mod 0 olur. Eğer bunu sağlayan (, y) ikilileri varsa lineer denklemde yerine yazarak z nin tek değeri bulunabilir. Bu denkliğin sağlanması için -3, 0 modunda kare kalan olmalıdır. p q ( ) q p p q ( ) 0; 4 modunda 3 tür. -;0 modunda kare kalan olamaz. olur a 3 mod 0 olsun olur. O zaman olduğundan -3 0 modunda kare kalandır. 0 a 005 için y a y mod 0 y ay mod 0 veya y ay mod 0 den 00 a kadar e verdiğimiz her değer için denklikten tane y çözümü buluruz. 0 için her iki denklikte de y 0 olur. Toplam =00.+=40 3 0

11 polinomunun farklı gerçel köklerinin toplamı nedir? A)0 B) C) D)- E)7 0 Çözüm: İlki -, ikincisinin toplamı +, üçüncüde reel kök yok. -+=0

12 . Bir okuldaki 00 öğrenciden her biri aynı okuldaki istediği 50 öğrenciye mesaj yollamıştır. Karşılıklı olarak mesajlaşmış öğrenci çiftlerinin sayısı en az kaç olabilir? A)00 B)75 C)50 D)5 E)Hiçbiri Çözüm: a i ; i numaralı kişiye mesaj gönderen kişi sayısı olsun. *Bir öğrenci 49 kişiye mesaj göndermemiştir. b i i. kişinin karşılıklı mesajlaştığı kişi sayısı a 49 b i a 49 b a 49 b a00 49 b00 i i a 4900 b i Gönderilen mesaj sayısı=toplam alınan mesaj sayısı ai bi karşılıklı mesajlaşan kişi sayısı toplamı kişi içinde sayıldığından, yarısı bu çiftlerin sayısını verecektir. 50 Karşılıklı mesajlaşan çiftler NOT:Herkesin 50 mesaj atıp kendisine göndermeyen 49 kişiye mesaj gönderdiği durum için çift sayısı 50 ye eşittir.

13 3. Dar açılı ABC üçgeninin A,B,C köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla D,E,F dir. DF 3, FE 4, DE 5 ise DE ye teğet olan C merkezli çemberin yarıçapı nedir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 Çözüm : A DH,EH,FH doğruları ABC üçgeninin açı ortaylarıdır. Ayrıca A,B,C noktaları da DEF üçgeninde dış açı ortayların kesim noktalarıdır. C B F 3 4 D H 5 E C merkezli DE ye teğet olan çember de bu kenara ait dış teğet çemberidir. 3.4 AlanDEF = 6 Alan DEF = u a r 6 5 r r r 6 a a a a

14 sayısının 9 ile bölümünden kalan nedir? A)5 B)4 C)3 D) E) 8 Çözüm: 0 mod9 6 φ mod ? mod ? mod mod ve 0 mod3 0 mod mod8 3 mod mod9 3 mod mod mod9. 3 mod9 5 mod9

15 5. Aşağıdaki(a, b) ikililerinin hangisi için +y<a ve y>b eşitsizliklerini sağlayan hiçbir (, y) pozitif gerçel sayı ikilisi yoktur? A) 5 4, 7 7 B) 8, 3 C) 5, 7 6 D) 6, 7 E)Hiçbiri Çözüm: y y a, y b bu şart sağlanmaktadır. 8y a 8b 8y a 8b a olmalıdır.a,b,c ve D şıklarında

16 6. Ağırlıkları herhangi pozitif tam sayı olan 0 taş, biri diğerinin katı ağırlıkta taş içermeyen n bölgeye ayrılabiliyorsa n en az kaç olabilir? A)0 B)5 C) D) E)Hiçbiri Çözüm: Ağırlıkları küçükten büyüğe dizelim. a,a,a 3,,,a 0 Ağırlıkları aynı olan taşları aynı bölgeye koyabiliriz. b b b 3... bk k tane farklı ağırlıktaki taş grupları olsun. Bir taşın katı ağırlığındaki taş o taştan büyüktür. Önce en küçükten başlayarak taşları öbeklere koymaya başlayalım. Aynı ağırlıktaki taşlar aynı öbekte olacağından ve sırası gelen taşın yarısı ağırlığındaki taş sadece öbekte bulunabileceğinden; öbek olduğunda her taş için bu öbekten birine koyabiliriz.

17 7. ABC eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir D noktası için AD, BD 3 ve CD 5 ise m ADB nedir? o o o o o A) 0 B) 05 C) 00 D) 95 E) 90 Çözüm : A D D' 3 ABD ACD' olacak şekilde yandaki çizimi yapalım. ADD üçgeni eşkenar üçgen olur. DD' CDD üçgeninde kosinüs teoremi yazarsak: cos cos o 45 o o o madb B C

18 8. Kaç pozitif tam sayı n n n 3n 5 ifadesini n nin tüm pozitif tam sayı değerleri için böler? A)6 B) C)8 D)4 E)Hiçbiri Çözüm: P(n)= n n n 3n 5 =n n n n 3n 5 n= için P()= n=3 için P(3)= (P(3),P())=.9.7 olur. n( n ) P( n) 3 n( n )( n ) 9 P( n) 3 ( n 3)( n 5) 7 n( n )( n 3)( n 5) 7 P( n).3.7 P( n) ( )( )( )

19 9. Aşağıdaki eşitsizliklerin hangisinin y düzleminde tanımladığı bölge ile kesişimi tam olarak iki noktadan oluşan bir doğru bulunur? A) y B) y y C) 3 3 y D) y E) y Çözüm : A) B) C) D) E)

20 0. 00 öğrencinin girdiği bir sınavda 5 soru sorulmuş ve her soruyu tam olarak 50 öğrenci çözmüştür. Çözdüğü soru sayısı yi aşmayan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir? A) B)8 C)7 D)6 E)Hiçbiri Çözüm: Toplam çözülen soru sayısı=50 den fazla çözenlerin sayısı k olsun. 00-k yi aşmayan sayıda soru çözenlerdir. den fazla soru çözenler en az 3 soru çözmüştür. 3k 50 k 50\3 50\3 00-k 7 yi aşmayan sayıda soru çözenler NOT: 83.3+=50 83 kişinin 3 er, kişinin soru, 6 kişinin 0 soru çözdüğü duruma örnektir.

21 o. Bir ABCD eşkenar dörtgeninin iç bölgesinde yer alan bir E noktası AE EB, m EAB o mebc 7 koşullarını sağlıyorsa m DCE kaçtır? ve o o o o o A) 7 B) 7 C) 70 D) 69 E) 68 Çözüm : D E' 60 C ABE üçgenine eş olacak şekilde BCE üçgenini çizelim. Yandaki gibi açılar yerleştirilince BEE üçgeni eşkenar üçgen olur. o o m CE'E 4 m CEE' m ECE' 9 o o m ECB 30 ve m DCB 98 olduğundan o m DCE 68 olur. A E B

22 . f(0)=0, f()= ve her n için, f(3n-)=f(n)-, f(3n)=f(n), f(3n+)=f(n)+ ise, f(0) nedir? A) 7 B) 5 C) 3 D) E) 0 Çözüm: f(0)=f(670)+ f(670)=f(3)+ f(3)=f(74)+ f(74)=f(5)- f(5)=f(8)+ f(8)=f(3)- f(3)=f() ise f(0)=3 tür.

23 3. y düzlemindeki tam sayı koordinatlı noktalardan koordinatları çarpımı 6 ile bölünenler kırmızıya, bölünmeyenler ise beyaza boyanıyor. Kenarları koordinat eksenlerine paralel çok büyük bir karenin içinde kalan tam sayı koordinatlı noktalardan beyaz olanların sayısının kırmıza olanların sayısına oranı aşağıdakilerden hangisine en yakındır? A) 7 5 B) 3 C) D) 4 3 E) 5 4 Çözüm: Koordinat düzleminde. bölgede k kenarlı bir karenin tam sayı koordinatlı noktalarını inceleyelim. Bu çok büyük karenin içindeki tabanı 6 br. lik bir parçaya baktığımızda; =6a+ için k/6 =6a+ için k/3 =6a+3 için k/ =6a+4 için k/3 =6a+5 için k/6 =6a+6 için k tane nokta şartı sağlar ve kırmızıdır. Bu şekilde seçtiğimiz 6k noktanın 5k/ tanesi şartı sağlar. 7k/ tanesi sağlamaz. Noktaları 6 lı, 6 lı gruplandırdığımızda oranları değişmez. 7k B 7 K 5k 5

24 4. r, r,..., r n renklerinde sırasıyla, a,a,...,a n topun bulunduğu bir torbadan, her seferinde çekilen top torbaya geri konmak koşuluyla, birer birer rasgele n top çekildiğinde bu toplardan en az ikisinin aynı renkte p a,a,...,a ile gösterirsek aşağıdakilerden hangisi en küçüktür? olma olasılığını n A) p(,,, ) B) p(,,, ) C) p(,, 3) D) p(,, ) E) p(,, ) Çözüm: Hepsinin farklı renkte olma olasılığı en büyük olan şıkkı arayalım. 9 p,,, 4! p,,, 4! p,,3 3! p,, 3! p,, 3!

25 5. ABCDE düzgün dışbükey beşgeninin alanının kenarları AC,CE,EB,BD,DA doğruları üstünde yer alan düzgün dışbükey beşgenin alanına oranı nedir? A) 4 6 B) C) 4 5 D) E) Hiçbiri Çözüm : A 36 + E 36 K L P N D M C B KLMNP beşgeninin kenar uzunluğuna br diyerek başlayalım. Açılar yerleştirilirse AEP üçgeni ve EPK üçgeni benzer olur., ve uzunluk olduğundan AE Beşgenlerin alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan:

26 a ve 0 b tam sayıları 7a b mod denkliğini sağlıyorsa, b nedir? A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) Hiçbiri Çözüm: 7a 008 b mod 0 7a 008 b mod 0 0 7a 0 b a b b mod 7 b mod 7 b 3 mod 7 0 b 8 b 3

27 a n n 7. gerçel sayı dizisi a,a 3 4 ve n için an an.a n koşulunu sağlıyorsa, a 0 nedir? A) 00 B)0056 C)0058 D)306 E)0 Çözüm: bn a n a n olsun. bn bn b a a b b b b... 3 b b n n n a n a n n a n a n n... a a Eşitliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla olur. a olmak üzere n n n n a n a a

28 8.,,...,40 sayıları 0 bir satranç tahtasının birim karelerine, iki sayı aynı birim karede olmamak ve ardışık olan sayılar ortak bir kenarı olan birim karelerde yer almak koşuluyla kaç farklı biçimde yerleştirilebilir? A) B)68440 C)00884 D)80844 E)Hiçbiri Çözüm: Her sayı bir karıncanın dikdörtgen üzerinde yapacağı hamleleri göstersin. Karınca kenarları ortak olan kareler arasında bir kareye bir kere basmak koşuluyla yürüsün. Karıncanın n lik tahtanın bir köşesinden başlayarak o tahtayı dolaşma şekillerinin sayısına a n diyelim. Sol üst köşeden başlayıp sağa doğru hareket ederse hamle yapabilir. Yana hamle yaparsa sonuna gelmeden diğer satıra geçerse böldüğü dikdörtgenin bir tarafını dolaşamaz. Sağa doğru gidip alta geçerse ikiye ayrılan yolun bir tarafını gidemez. Sonuna gelince diğer satıra geçip o yolu bitirmek zorundadır. ( farklı şekilde). Diğer satıra ilk hamlede geçerse bu sefer n lik bir dikdörtgeni dolanmış olur ( an farklı şekilde). a 0 lik tahtada i. sütundan giriş yapsın.yukarı çıkmaz. Herhangi bir yanı seçip o tarafı bitirip kalan dikdörtgeni bitirmelidir. 0 0 i 0i T. a a i i an n

29 9. ABC üçgeninin B ve C köşelerinden geçen bir çember AB kenarını D, AC kenarını da E noktasında kesiyor. ACD üçgeninin çevrel çemberi BE doğrusunu BE dışındaki F noktasında kesiyor. AD 4 ve BD 8 ise, AF nedir? A) 3 B) 6 C) 4 6 D) 6 E) Hiçbiri Çözüm : 8 D 4 A E C F DBCE ve DCFA kirişler dörtgenlerinde mdeb mced m AFD olduğu için BFA ve FDA üçgenleri benzer olur. AF 4 AF 4 3 olur. AF B

30 30. m nin hangi değeri için, 9 3 0y 8y m eşitliğini sağlayan hiçbir (, y) tam sayı ikilisi yoktur? A)7 B)6 C)5 D)4 E)3 Çözüm: 9 (3 y)( 4 y) m m=4 icin (3+y)(-4y)= 3 y a 38 y y 38a a 38a (mod 7) 7 modunda nın kalanlarını inceleyelim. k 0 (mod 7) (mod 7) 4(mod 7) 3 (mod 7) m=4 için çözüm yoktur.

31 3. i j k 0 koşulunu sağlayan i, j, k tam sayıları için i+j+k ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir? A)7 B)73 C)74 D)76 E) ise i j k 77 Çözüm: i j k i j k i=9, j=7, k= için i²+j²+k²=0 eder.

32 3. Başlangıçta bir öbekte n taş bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yapıyorlar ve her hamlede sırası gelen oyuncu istediği bir i 0 sayısı için, öbekteki taşlardan i tanesini alıyor. Son taşı alan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun n=000, 000, 0, 3000, 4000 değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunlardan kaçını oyunu başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir? A)4 B)3 C) D) E)Hiçbiri Çözüm: Altı çizili olanlar. oyuncunun, olmayanlar. oyuncunun kazandığı durumlar olsun. n= olduğu görülür. Teorem: Oyunu n 3 e bölünüyorsa. oyuncu, bölünmüyorsa. oyuncu kazanır. Güçlü tümevarımla ispatlamaya çalışalım. İspat: n e kadar tüm 3 ün katları. oyuncu 3 e bölünmeyenleri.oyuncu kazansın. n=3k+ için. oyuncu taş alır. n=3k+ için. oyuncu taş alsın.. oyuncu n=3k oyununun. oyuncusu olur. 3k<n olduğu için n=3k oyununu o oyunun birinci oyuncusu kaybeder. Yani n=3k+ veya n=3k+ oyununun. oyuncusu kaybeder. n=3m için. oyuncu n den daha küçük bir sayıda taş bırakacaktır. Eğer 3 ün katı sayıda taş bırakamazsa oyunu i kaybeder. 3m 3s oyuncu kazanır. olması gerekir. m s i i 3 3 olmalıdır. Çelişki. Demek ki 3 ün katı olursa.

33 33. Bir birim küreye içten ve köşeleri bu küre üzerinde yer alan düzgün dörtyüzlünün bir yüzüne de dıştan teğet olan bir kürenin hacmi en çok ne olabilir? yarıçapı sorulmak istenmiş A) 3 B) 4 C) 3 D) 3 E) Hiçbiri Çözüm : D M merkezli küre aranan küre olsun. H noktası bu kürenin dörtyüzlünün bir yüzüne değme noktası ise O, büyük kürenin merkezi olmak üzere OH BCD olduğunda M merkezli kürenin yarı çapı en büyük olur. Bu durumda da A,O,H,M noktaları doğrusal olur. O noktasını A,B,C ve A O H M C D noktalarıyla birleştirelim. Alan BCD. OH 3 V O,BCD V A,BCD V O,BCD V O, ACD V O,ABC V O, ABD B ve nolu eşitliklerden V A,BCD 4.V O,BCD 4. AlanBCD. OH AlanBCD. AH.. V A,BCD AH 4 OH ve AO OH 3 ve HM 3 3

34 34. n pozitif bir tam sayı olmak üzere, n sayısının on tabanına göre yazılımında sağdan en çok kaç basamakta aynı rakam yer alabilir? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) Hiçbiri Çözüm: n 0 k. a b... olsun. k tane b 9 çünkü: b=0 olursa n, 5 ile bölünür. Çelişki. b rakam olduğu için en fazla b=8 olsun. k tane 3 ile tam bölünebilir. n 0 k n 3 3. a 8... k.5 k. a... olur.bu eşitliğin sağlanabilmesi için k3.5 k. a... k tane n 3 0. a 888 k tane ifadesinin çift olması gerekir. k=3 olur. olur. n3 n 888 mod000 mod5 Elde edilir ki n 39 için bu denklik sağlanır

35 35. Aşağıdaki fonksiyonlar arasında pozitif gerçel sayılar kümesinde aldığı en büyük değer en küçük olan hangisidir? A) B) 3 C) 4 0 D) 5 9 E) 6 8 Çözüm: Paydalara uygulanırsa G. O. A. O en küçük

36 36. Boyları birbirinden farklı 4 öğrenci başlangıçta nasıl sıralanmış olurlarsa olsunlar, her adımda yan yana duran iki öğrencinin yerini değiştirerek en az kaç adımda öğrencileri boy sırasına sokmak mümkün olur? A) 4 B) 43 C) 45 D) 5 E) Hiçbiri Çözüm: X Y Boy sırası şekilde olabilir.elemanlarımızın bulundukları yerler sıralamasına göre a, a,..., a olsun. 4 Her elemanın kendi yerine geçebilmesi için yapması gereken hamle sayısı (yol farklı) e göre dizileceklerse i a i, y e göre dizileceklerse 4 i ai Toplam yol farkı e göre T, y ye göre T a a... 4 a 4 T 4 a 3 a... a y 4 T y olsun. Her iki durumda da iki kişinin yerini sıra değiştireceğimizden yol farkı her hamlede olur. i. T ve T ikisi de çifttir. y İspat: Mutlak değerler açılınca mod düşünebiliriz. T T... 4 a a... a 0 mod y ii. T T 8 y 4 İspat: i a 5 i a 3 (farklı şekillerde yapılabilir.) i i olduğundan bütün terimlerin işareti artıymış gibi i a 5 i olsun. (i ve 5-i simetrik olduğundan i 5 i kabul edebiliriz.) i i a 5 i a 5 i 3 i i a i 5 i olsun. i a 5 i a 5 i 3 i i 5 i ai i ise i a 5 i a a 5 3, a 4 i i i i i T T a 4 a a 3 a... 4 a a y 4 4 T ve T çift olduklarından en az biri 90 dan küçük veya eşittir. y T T hamlede herkes boy sırasına geçebilir. ÇÖZÜMLER İZMİR FEN LİSESİ MATEMATİK OLİMPİYAT TAKIMINA AİTTİR.