EELM 457 Güç Sistemleri

Transkript

1 EELM 457 Güç Sistemleri Saat Çarşamba Perşembe 10:30 11:20 ST119 A216 11:30 12:20 ST119 A216 12:30 13:20 ST119* Açıklama Adet % Vize Sınavı 1 30 Final Sınavı 1 40 Ödev/Kısa Sınav/Proje - 25 Katılım - 5 TOPLAM 100 Mert GÖRGÜ, ME, MIET GENEL GİRİŞ İlk kez 19.yüzyıl sonlarına doğru aydınlatma amacıyla kullanılmaya başlanan elektrik enerjisine olan talep, sonraki yıllarda çok büyük boyutlara ulaşmıştır. Son yıllarda meydana gelen aşırı nüfus artışları ve teknolojik gelişmeler (elektrikli ulaşım, bilgisayar kullanımının artması, otomasyon sistemlerinde meydana gelen gelişmeler vs.) üretilen elektrik enerjisinin kapasiteler üzerinde talebe cevap vermekle yükümlü kılmıştır. Özellikle 2.dünya savaşından sonra gözlenen bu gelişmelere paralel olarak dünyadaki elektrik enerjisi tüketimi her yıl yaklaşık olarak %10 artış göstermektedir. Artan elektrik enerjisi ihtiyacının karşılanabilmesi için yeni üretim tesislerinin kurulması ve iletim hatlarının organize edilmesi gerekmektedir. Böylece elektrik enerjisi sistemleri gelişmiş ve enerji üretimi, enerji iletimi, enerji dağıtımı birer mühendislik dalı haline gelmiştir. Elektrik enerjisini üreten merkezler (hidroelektrik santraller, termik santraller, doğal gaz çevrim santralleri, rüzgâr çiftlikleri gibi) çoğunlukla tüketim merkezlerinin yakınında kurulamamaktadır. Bunun en önemli nedenleri arasında hammadde nakliyesindeki zorluklar, çevre kirliliği, güvenlik vb. nedenler sayılabilir. Örneğin Türkiye Cumhuriyeti nde hidrolik ve termik kaynaklar çoğunlukla Doğu ve Güneydoğu Anadolu Bölgesinde yer almaktadır. Buna karşın elektrik ihtiyacının en yoğun olduğu bölgeler, üretim merkezlerinin tam tersine batıda kalan bölgelerdir. Bu bakımdan üretilen elektrik enerjisinin, kilometrelerce uzağa taşınması söz konusu olacaktır. İşte bu noktada güç sistemlerinin önemi ortaya çıkmaktadır. 1

2 Güç Sistemlerinin Genel Yapısı Güç sistemleri elektrik enerjisi dışındaki enerjileri elektrik enerjisine çeviren ve bu enerjiyi üretim noktalarından yüklere/kullanıcılara taşıyan birbirine bağlı elemanlar ağı şeklinde düşünülebilir. Bir güç sisteminin amacı, müşterilerine olabilecek en ekonomik şekilde en güvenirlikli elektriği sağlamaktır. Günümüzün modern güç sistemleri yanda görüldüğü gibi karmaşık ağlar şeklindedirler. Güç sistemlerini oluşturan dört ana eleman vardır: Üretim (11 20kV) İletim (110kV, 132kV, 220kV, 400kV ve 800kV) Dağıtım (240V, 415V, 6.6kV, 11kV, 33kV ve 66kV) Yükler Güç Sistemlerinin Genel Yapısı Jeneratörler iletim sistemine ve oradan da dağıtım sistemine transformatörler ile bağlanırlar. Transformatörlerin ana amacı düşük olan üretim gerilimini iletim gerilimine yükseltmek ve iletim gerilimini daha düşük olan dağıtım gerilimine düşürmektir. İletim sisteminde yüksek gerilim kullanmanın amacı kayıpları azaltmaktır. Transformatörler sabit bir güçte çalıştıklarından yüksek gerilim düşük akım anlamına gelmekte ve dolayısıyla kayıplar da daha az olacaktır. 2

3 Güç Sistemlerinin Temel Yapısı Üretim Güç sistemlerinin en önemli elemanlarından biri üretimdir. Burada jeneratör elektrik enerjisi dışındaki (termal, hareket, nükleer, güneş vb.) enerjileri elektrik enerjisine çevirir. Üretim genellikle 11kV - 33kV seviyelerindedir. Elektrik üretim santrali yaygın tipleri: Termal Kömür Doğal Gaz Biokütle Jeotermal Nükleer Hidroelektrik Rüzgar Enerjisi Güneş Enerjisi - Fotovoltaik Dalga Enerjisi İletim Sistemi Jeneratör ve yükler, elektrik enerjisini bir noktadan başka bir noktaya taşıyan iletim ve dağıtım hatları ile birbirlerine bağlıdır. Elektrik enerjisi iletim hatları ile jeneratörlerden alınıp kullanılacağı bölgeye taşınır ve ardından dağıtım hatları ile yüklere/kullanıcılara dağıtılır. Güç, kullanılacağı bölgeye ulaştığı zaman, bahsettiğimiz yüksek gerilim, dağıtım istasyonlarında daha alçak seviyelere düşürülüp dağıtım hatları sayesinde kullanıcılara sağlanır. İletim sistemi genel olarak iki bileşenden meydana gelir: İletim Hatları Havai Hatlar Kablolar Yeraltı Sualtı Trafo Merkezleri Hava yalıtımlı açık şalt sahalı trafo merkezleri (AIS Air InsulatedSubstation) Kapalı alanlarda kurulan SF6 gazı ile yalıtılmış kapalı trafo merkezi (GIS Gas Insulated Substation) 3

4 İletim Hatları Günümüzde açık arazide, uzun iletim hatları havai hat; yerleşim yerlerinde ise yeraltı iletim hattı olarak tesis edilirler. Havai iletim hatlarında iletkenler ya bir direkten ya da kuleden izolatörler yardımıyla sarkıtılır. İletim hatlarında faz iletkenleri dışında toprak (koruyucu) hat denen bir veya iki çelik hatla toprağa bağlanır. Dolayısıyla bu hatlar toprak potansiyelindedirler. Yüksek iletim kulelerinde bunlar genellikle faz iletkenlerinin üstünde bulunur ve faz iletkenlerini yıldırımdan koruma amacı güderler. Yeraltı (veya sualtı) hatlarındaki iletkenler birbirlerinde izole edilmiştirler. Yer altı iletim hatları kapasitans sorunları, yüksek izolasyon gereksinimleri ve hava hattına oranla oldukça pahalı olmalarına karşın güvenlik ve görsel açıdan yeğlenirler. İletim Hatları Havai hatlar genellikle üç tekil yada grup halindeki iletkenlerden oluşur. Bu iletkenler önceleri bakır olmakla birlikte artık genellikte gerek maliyet gerekse ağırlık açısından daha çekici olan alüminyum malzemeden yapılmaktadır. (Alüminyum bakıra göre çok hafiftir, alüminyumun yoğunluğu, yaklaşık olarak bakırın % 30 u kadardır.) ACSR - Aluminum Cable Steel Reinforced (Çelik özlü alüminyum iletken): Etrafına alüminyum sarılmış (düşük direnç) merkezinde ise dayanıklılık amaçlı çelik kullanılmış iletkenlerdir. ACSS - Aluminum Conductor Steel Supported (Çelikle desteklenmiş alüminyum iletken): Kompozit yapılı alüminyum-çelik iletkenlerdir. ACCC Aluminum Conductor Composite Core (Kompozit özlü alüminyum iletken): ACSR kablodan çelik çıkarılıp yerine karbon ve cam fiber malzeme konularak elde edilmiş bir iletken türüdür. İletim hatlarının tam yükte güç taşıma kapasitelerini ve gerilim düşümünü etkileyen dört parametre vardır: Seri direnç Endüktans Paralel Kapasitans Kondüktans (işlenmeyecektir) 4

5 Havai İletim Hattı Kuleleri Trafo Merkezleri Trafo merkezlerinin boyutu transformatör büyüklüğüne bağlı olarak değişir. Bununla birlikte merkezin tipine göre de alan gereksinimleri farklılık gösterir. Trafo merkezleri voltaj seviyelerine, lokasyonlarına, konfigürasyonlarına veya kullanım amaçlarına göre sınıflandırılabilir. Trafo merkezleri voltaj seviyelerine göre; EYG, YG, OG, AG veya HVDC şeklinde sınıflandırılabilir. Trafo merkezleri lokasyonlarına göre; açık veya kapalı trafo merkezi olarak sınıflandırılabilir. Trafo merkezleri konfigürasyonlarına göre; Hava yalıtımlı açık şalt sahalı trafo merkezleri (AIS Air Insulated Substation) Kapalı alanlarda kurulan SF6 gazı ile yalıtılmış kapalı trafo merkezi (GIS Gas Insulated Substation) Kompozit trafo merkezleri ise bu iki tipin de aynı alanda bulunduğu merkezlerdir. 5

6 Kullanım Amaçlarına Göre Trafo Merkezleri Yükseltici Trafo Merkezi: Üretim noktasında üretim gerilimini iletim gerilimine yükseltmek için kullanılır. (33kV, 11kV 400kV, 220kV, 132kV) Birincil (EYG) Trafo Merkezi: Birincil iletim hattı üzerinde uygun bir yük merkezinde bulunur. (400kV, 220kV, 132kV 66kV, 33kV, 22kV) İkincil Trafo Merkezi: İkincil iletim hattı üzerinde bulunur. (66/33kV 11kV, 6.6kV) Dağıtım Trafo Merkezi: İletim hattı geriliminin dağıtım gerilimine düşürüldüğü noktada bulunur. (11kV, 6.6kV 415V) Endüstriyel Trafo Merkezi: Dağıtım merkezine benzeyen ancak sadece tek bir kullanıcı için tahsis edilmiş merkezlerdir. Mobil Trafo Merkezi: Geçici olarak kullanılan merkezlerdir. Özel amaçlar için kullanılan trafo merkezleri, ör. Maden, demiryolu vs. Tipik AIS Şalt Sahası 1. Birinci İletim Hattı, 2. Topraklama Hattı, 3. Havai Hat, 4. Gerilimin Trafolar İçin Ölçümü, 5. İzolatörler, 6. Kesiciler, 7. Akım Transformatörü, 8. Yıldırım Parafudru, 9. Ana Trafo, 10.Kontrol Binası, 11.Güvenlik Çitleri, 12.İkincil İletim Hattı 6

7 Dağıtım Sistemi Jeneratör ve yükler, elektrik enerjisini bir noktadan başka bir noktaya taşıyan iletim ve dağıtım hatları ile birbirlerine bağlıdır. Elektrik enerjisi iletim hatları ile jeneratörlerden alınıp kullanılacağı bölgeye taşınır ve ardından dağıtım hatları ile yüklere/kullanıcılara dağıtılır. Güç, kullanılacağı bölgeye ulaştığı zaman, bahsettiğimiz yüksek gerilim, dağıtım istasyonlarında daha alçak seviyelere düşürülüp dağıtım hatları sayesinde kullanıcılara sağlanır. Dağıtım sistemi de iletim sistemi gibi genel olarak iki bileşenden meydana gelir: Dağıtım Hatları Havai Hatlar Kablolar Yeraltı Sualtı Trafo Merkezleri Açık trafo merkezleri Kapalı trafo merkezleri Direk üzeri trafolar Kompakt trafolar Yeraltı trafolar Güç sistemlerinde yükler üç kısma ayrılmıştır. Endüstriyel Yükler: Bu yükler genellikle dağıtım hatlarının birincil tarafından (11kV) beslenmekle birlikte çok büyük müşteriler direkt olarak iletim hattından da beslenebilir. Endüstriyel yükler karışık yükler olmasına rağmen büyük bir kısmını asenkron motorlar oluşturur. Yükler Ticari Yükler: Ağırlıkla aydınlatma, ısıtma ve soğutmadan oluşan yüklerdir. Frekansa bağlı yükler olmadıklarından az miktarda reaktif güç tüketirler. Bu yükler dükkanlar, ofis binaları, okullar, vb. olarak tanımlanabilir. Sabah saat 8-9 dan akşam saat 8-9 a kadar sabit bir talep değeri vardır. Konutsal Yükler: Ticari yükler gibi bunlar da çoğunlukla aydınlatma, ısıtma ve soğutma ağırlıktadır. Genellikle akşamları saat 5 6 arası en yüksek talep değerine ulaşırken gece yarısına doğru talep düşük seviyelere iner. TV pickup (kettle effect)??? 7

8 Hatırlatmalar Gerilim ve Akım Fazörler Görünen Güç v = V max cos ωt + α i = I max cos cos ωt + β V = V max 2 α = V max 2 cosα + jsinα I = I max 2 β = I max (cosβ + jsinβ) 2 S = V I = V α I β = V I α β = V I cos α β + j V I sin α β Yukarıdaki denklemde; α β = θ (gerilim ve akım arasındaki faz açısı yani Güç Açısı dır) α > β olduğunda Q (reaktif güç) pozitif (üretim), α < β olduğunda ise Q negatiftir (tüketim) SORU v = cos ωt + 30 i = cos ωt V max, I max, V ve I değerlerini bulunuz. Fazör şemasın çiziniz. - V max = V ve I max = 7.07 A olduğu görülüyor. - V = V max 2 = = 100 V ve I = I max 2 = = 5 A Akım fazörü referans alınırsa: I = 5 0 = 5 + j0 A ve V = = j50 V Gerilim fazörü referans alınırsa: I = 5 30 = 4.33 j2.5 A ve V = = j0 V 8

9 Üç Fazlı Devreler Y Bağlı yük: V P : Faz-Nötr gerilimi ve V L : Fazlar arası gerilim V P = V L 3 I P = I L Üç Fazlı Devreler Güç Aktif Güç: P = 3 V P I P cosθ P = 3 V L 3 I L cosθ P = 3 V L I L cosθ P Reaktif Güç: Q = 3 V P I P sinθ P = 3 V L I L sinθ P Görünen Güç: S = P 2 + Q 2 = 3 V L I L 9

10 Δ Bağlı yük: V P : Faz-Nötr gerilimi ve V L : Fazlar arası gerilim I P = I L 3 V P = V L Üç Fazlı Devreler Güç Aktif Güç: P = 3 V P I P cosθ P = 3 V L 3 I L cosθ P = 3 V L I L cosθ P Reaktif Güç: Q = 3 V P I P sinθ P = 3 V L I L sinθ P Görünen Güç: S = P 2 + Q 2 = 3 V L I L Bir iletkenin DA direnci şu şekilde yazılabilir: R DC = ρl A Metre başına DA direnci ise şu şekilde olur: r DC = ρ Ω A m Direnç Bu noktada iletkenin direncinin sıcaklığa bağlı olarak değiştiği bilinmelidir. Bu değişim güç sistemlerini ilgilendiren sıcaklılarda doğrusal olduğundan herhangi bir sıcaklıkta direnci bilinen bir iletkenin başka bir sıcaklıktaki direnci orantı yoluyla bulunabilir. R t2 = T + t 2 T + t 1 R t1 İletken materyali Özdirenç (20⁰C) [Ωm] Sıcaklık (T) katsayısı [⁰C] Normal bakır 1.72x Soğuk haddelenmiş bakır 1.77x Alüminyum 2.83x Demir 10.00x Gümüş 1.59x

11 Örnek Tam alüminyum bir iletken her birinin çapı cm. olan 37 damardan oluşmaktadır. Bu iletkenin 75⁰C deki DA direncini Ω/km cinsinden hesaplayınız. (Bükülmeden dolayı direnç değerinde %2 artış olduğunu varsayın) Alan = π ( ) 2 4 R DC = 37 = m = Ω km (20 de) Bükülme de öngörülerek 75⁰C deki direnç değeri: R DC = = Ω km (75 de) Deri Etkisi (Skin Effect) Dairesel kesitli bir iletken DA iletimi «DA direnci» Dairesel kesitli aynı iletkenin düşük frekans AA iletimi «AA direnci» Dairesel kesitli aynı iletkenin yüksek frekans AA iletimi «AA direnci» Taşınan akımın frekansı arttıkça düzgün olmayan akım dağılımı belirgin hale gelmektedir. Bu olay deri etkisi (skin effect) olarak isimlendirilmektedir. Deri etkisi sebebiyle dairesel kesite sahip bir iletkende, akımın, dairenin merkezindeki yoğunluğu çevresindeki yoğunluğundan az olmaktadır. Deri etkisi iletkenin direncinin deri derinliğinin az olduğu yüksek frekanslarda artmasına sebep olarak iletkenin etkin kesitini düşürecek yönde bir sonuç doğurmaktadır. Deri etkisi, alternatif akımın oluşturduğu değişken manyetik alanlardan kaynaklanan fuko akımları (Eddy current) yüzünden gerçekleşmektedir. Bu yüzden bir iletkenin AA direnci her zaman DA direncinden büyüktür. Ancak bizim ilgi alanımızda olan frekanslarda (50Hz 60Hz) deri etkisi çok kuvvetli değildir. 11

12 Örnek Örgülü tam alüminyum «Marigold» bir iletkenin DA direnci AA direnci ise ⁰C şeklinde verilmiştir. İletken 61 damarlı olup mm 2 kesitindedir. Bu iletkenin DA direncini doğrulayıp AA direncinin DA direncine olan oranını bulunuz. (Bükülmeden dolayı direnç değerinde %2 artış olduğunu varsayın) R DC = = Ω km (@20 C) R DC = = Ω km 75 de R AC = = R DC Bu durumda görülüyor ki deri etkisi iletkenin direncinde %2.2 lik bir artışa sebep olmuştur. Endüktans Bildiğiniz gibi akım taşıyan bir iletken etrafında bir manyetik alan oluşturur. İletken üzerinden geçer akım değiştiği zaman, akı da değiştiğinden devre üzerinde bir gerilim endüklenir. Manyetik olmayan maddeler için endüktans toplam manyetik halkalanma akısının akıma oranı şeklinde tanımlanır. L = λ I (λ: Halkalanma akısı) Uzun, r yarıçapında ve I akımını taşıyan dairesel bir iletkeni ele alalım. x yarıçapındaki bir dairenin etrafında oluşan manyetik alan şiddeti sabit ve direye teğettir. Amper kuralına göre bu manyetik alan şiddeti ve akım arasındaki ilişki şu şekilde verilir: H x ds = I x (H: manyetik alan şiddeti, s: akı yolunun uzunluğu, I: halkalanan akım) 2πx 0 H x ds = I x 2πxH x = I x H x = I x 2πx 12

13 İç Endüktans Bir iletkenin endüktansı iki bileşenden oluşur: İç endüktans Dış endüktans İletkenin iç ve dış endüntanslarını bulmak için ise, öncelikle bu iletkenin iç ve dış halkalanma akılarını hesaplayıp akıma bölmemiz gerekir. Ak ı Bu noktada akımın iletken içerisinde düzgün dağıldığını varsayarsak (deri etkisini yok varsayarsak): H x = I x 2πx I x πx 2 = I πr 2 I x = x2 r 2 I H x = I 2πr 2 x H m İletkenin merkezinden x uzaklığındaki manyetik akı şiddeti ise B x = μh x = μxi 2πr2 Wb m2 İç Endüktans Dolayısıyla iletkenin içindeki x noktası (yarıçapı) manyetik alan şiddeti: H x = x 2πr 2 I O zaman aynı noktadaki akı yoğunluğu ise: B x = μh x = μxi 2πr 2 T Φ = AB Ak ı dx kalınlığındaki silindirik kesitte akı dφ, metre başına akı yoğunluğu ve silindirik kesitin akıya dik alanın çarpını olarak verilir. Buradaki alan, dx ve aksiyel uzunluğun çarpımıdır. Bu noktada uzunluğumuzu 1m olarak alırsak: dφ x = B x (dx 1) dφ x = μxi 2πr 2 dx Wb m Metre başına manyetik halkalanma akısı dλ sebebiyle silindirik kesitin içinde oluşan akı, metre başına akı ve akım oranının (silindirik kesit ve tüm iletken) çarpımıdır. dλ = πx2 μix3 πr2 dφ = 2πr 4 dx Wb turns m 13

14 İç Endüktans dλ = πx2 μix3 πr2 dφ = 2πr 4 dx Wb turns m O zaman iletkenin içindeki toplam manyetik halkalanmayı bulmak için: r μix λ iç = 3 μi 0 2πr4 dx = Wbt/m 8π Ak ı Ve son olarak iç endüktans ise: L iç = λ iç I = μ 8π H/m Eğer iletkenin bağıl geçirgenliği (μ r ) 1 ise (bakır ve alüminyum gibi ferromanyetik olmayan maddeler için) denklemimiz aşağıdaki şekle indirgenebilir: L iç = λ iç I = μ 0 4π 10 7 = = H/m 8π 8π Dış Endüktans Bu sefer iletkenimizin dışındaki endüktansı hesaplayacağız. Bunun için iletkenimize D1 ve D2 mesafelerindeki iki nokta arasında kalan bölgedeki akıdan kaynaklanan manyetik halkalanmaları hesaplamalıyız. Φ = AB İletkenin merkezinden x noktasına kadar olan manyetik alan şiddeti daha önce de gördüğümüz gibi: H x = I x 2πx Ancak bu sefer iletkenin içinden akan tüm akım şu an varsaydığımız silindirik kesitin içinde kaldığından denklem aşağıdaki şekli alır: H x = I 2πx B x = μh x = μi 2πx dx kalınlığındaki silindirik kesitte akı dφ, akı yoğunluğu ve silindirik kesitin akıya dik alanın çarpını olarak verilir. Buradaki alan, dx ve aksiyel uzunluğun çarpımıdır. Bu noktada uzunluğumuzu 1m olarak alırsak: dφ x = B x (dx 1) dφ x = μi 2πx dx Wb m 14

15 Dış Endüktans dφ x = μi 2πx dx Wb m Metre başına manyetik halkalanma akısı dλ dolayısıyla silindirik kesitin içinde oluşan akı, metre başına akı ve akım oranının (silindirik kesit ve tüm iletken) çarpımıdır demiştik. Şu anki durumda x noktası iletkenin dışında olduğundan bu oran 1 e eşittir. dλ = dφ = μi 2πx dx Wb turns m İletkenin merkezinden D1 ve D2 noktaları arasındaki toplam akı halkalanması şu şekilde bulunabilir: λ dış = D2 D1 dλ = D2 μi D1 2πx μi D2 dx = ln 2π D1 Wb turns m Ve yine son olarak yukarıdaki denklemi ilk denklemimiz ile birleştirirsek: 1 dx = ln x + C x L dış = λ dış = μ D2 ln I 2π D1 H/m Eğer iletkenin bağıl geçirgenliği (μ r ) 1 ise (bakır ve alüminyum gibi ferromanyetik olmayan maddeler için) denklemimiz aşağıdaki şekle indirgenebilir: L dış = λ dış I = μ 0 2π ln D2 D1 4π 10 7 = ln D2 2π D1 = ln D2 D1 H/m Tek faz iki iletkenli iletim hattının endüktansı Artık aşağıdaki şekildeki iki iletkenli tek faz iletim hattının endüktansını hesaplayabilecek kadar bilgi edindik. Hattımız r yarıçapında ve birbirlerinden D mesafesi kadar uzaklıkta, her birinin üzerinden I akımı geçen (akım yönleri şekilde verilmiştir) iki iletkenden oluşmaktadır. H x ds = I x Şekilde iki ayrı yarıçapta, x1 ve x2, dairesel patikalar çizilmiştir. Görüldüğü üzere x1 patikasın içerisinde sadece bir iletken bulunmakta iken x2 patikası her iki iletkeni de içine almaktadır. İlk formülümüze dönecek olursak ve x1 patikasına göze atarsak, görülecektir ki tüm akım bu patika içerisinde olduğundan denklemimiz net bir değer verecektir. Ancak x2 patikası her iki iletkeni de içine aldığından ve akımların genlikleri eşit fakat yönleri birebirlerine zıt olduğundan bu patika içerisinde net akım 0 a eşit olur. Buradan çıkaracağımız sonuç ise D uzunluğundan büyük uzunluklarda toplam empedansımıza manyetik alanlardan kaynaklanan herhangi bir etki yoktur. 15

16 Tek faz iki iletkenli iletim hattının endüktansı Bu iletim hattının tek fazının birim uzunluk başına toplam empedansını bulmak için daha önce de bahsettiğimiz gibi iletkenin iç endüktansı ile r ile D mesafeleri arasındaki dış empedansı toplayacağız. Bu iki bileşen daha önceki denklemlerimizi kullanarak rahatlıkla bulunabilir. L = L iç + L dış = μ 8π + μ 2π ln D r = μ 2π ln D r H m Simetriden faydalanarak diğer fazdaki toplam empedansın da aynı olduğunu söyleyebiliriz. Bu durumda iletim hattımızın toplam empedansı aşağıdaki denklemle verilebilir: L = μ 1 π 4 + ln D H m r (r: iletkenlerin yarıçapı, D iletkenler arası mesafe) Tek faz iki iletkenli iletim hattının endüktansı Yine iletkenin bağıl geçirgenliği (μ r ) 1 varsayarsak tek faz için denklemimiz aşağıdaki şekli alır: L = 4π π ln D r ln e 1 4 = 1 4 = ln D r 10 7 = ln e ln D r = ln D r e 1 4 r = r e 1 4 = ln D r Denklemimizi yine simetriden faydalanarak tek iletkenden yola çıkıp iletim sistemi için yazarsak: L = ln D r H m 16

17 İletim Hattı Empedası Denklemlerimizden faydalanarak aşağıdaki yorumları yapabiliriz: İletkenler arası mesafe arttıkça endüktans artar. Yüksek gerilim havai hatlarında izolasyon gereği faz iletkenleri arasındaki mesafe büyük olmak zorunda, dolayısıyla YG iletim hatlarının endüktanları da AG iletim hatlarına kıyasla daha fazla olmaktadır. İletken yarıçapı ne kadar büyürse endüktans o kadar düşer. Pratikte iletim hatlarında büyük yarıçaplı ağır iletkenler kullanılmaz. Ancak aslında büyük yarıçaplı bir iletkene yaklaşmak amaçlı iki veya daha fazla iletken gruplanır. Eğer iletkenler büyük bir yarıçap etrafında yerleştirilirse o zaman bu grubun yerleştirildiği yarıçapa sahip tek bir iletken benzer şekilde davranır. Bir grupta ne kadar fazla iletken olursa yaklaşım o kadar iyidir. Endüktif Reaktans İletim hattının seri endüktif reaktansı hattın endüktansına ve güç sisteminin frekansına bağlıdır. Endüktansı l birim uzunluğu ile ifade etmeye çalışırsak birim uzunlukta endüktif reaktans şu şekilde ifade edilebilir: x L = jωl = j2πfl Böylece d uzunluğundaki bir iletim hattının toplam endüktif rektansı aşağıdaki şekilde bulunur: X L = x L d 17

18 r=1.5 cm Soru D= m 1 Bir iletim hattı her biri 1.5cm çaplı iki iletkenden oluşmaktadır. İletken aralığı 1m olduğuna göre (a) bu iletim hattının toplam empedansını bulunuz (b) 50Hz deki endüktif reaktansı hesaplayınız. (a)l = ln D r = ln 1 ( )(e 1 4 ) = μh/m (b)x L = 2πfL = 2π 50 2, = 6, Öz Endüktans ve Ortak Endüktans Daha önce gördüğümüz iki iletkenli tek faz hattımızdaki tek iletken için endüktansımız öz ve ortak endüktans olarak açılabilir. Öz endüktanslarımıza L 11 ve L 22 deyip ortak endüktansımıza da L 12 diyelim. O zaman tek iletken için halkalanma akımız: λ 1 = L 11 I 1 + L 12 I 2 I 1 = I 2 λ 2 = L 22 I 2 + L 21 I 1 λ 1 = L 11 L 12 I 1 Δv 1 Δv 2 λ 2 = L 22 L 21 I 2 Tek iletken için endüktans formülümüzü anımsayalım: i i ln A = lna lnb B λ = I ln D H m r = I ln 1 r I ln D 1 = I ln 1 r I ln 1 D λ = ln 1 r ln 1 D I 18

19 Öz Endüktans ve Ortak Endüktans λ 1 = L 11 L 12 I 1 λ 2 = L 22 L 21 I 2 I 1 = I 2 Δv 1 Δv 2 λ 1 = ln 1 r ln 1 D I 1 i i λ 2 = ln 1 r ln 1 D I 2 L 11 = ln 1 r 1 L 22 = ln 1 r 2 L 12 = L 21 = ln 1 D Bir gruptaki tek iletkenin endüktansı İki iletkenli bir hattan daha genel olan bir grup içerisindeki tek bir iletken düşünelim. Bu grup içerisinde tüm iletkenlerden akan akımın toplamının sıfır olduğunu varsayacağız. I 1 + I I i + + I n = 0 Daha önce bulduğumuz halkalanma akısı denklemini genellemiş olursak ise: n λ i = L ii I i + L ij I j j=1 j i veya λ i = I i ln 1 n r + j=1 I j ln 1 i D ij j i 19

20 Simetrik üç faz iletim hattının endüktansı Her iletkenin yarıçapı r aralarındaki mesafe D dir. I a + I b + I c = 0 (Dengeli yük) λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij λ a = I a ln 1 r + I bln 1 D + I cln 1 D I b + I c = I a λ a = I a ln 1 r I aln 1 D Buradan da faz başına edüktansımız: = I a ln D r L a = ln D r Simetrik üç faz iletim hattının endüktansı λ a = I a ln D r λ b = I b ln D r λ = ln D r ln D r 0 I a I b Ic λ c = I c ln D r 0 0 ln D r Endüktans matrisi 20

21 Soru I a + I b + I c = 0 Yanda gösterilen iletim hattının 3 faz ve dengeli olduğunu varsayalım. Bu iletim hattı 5 km uzunluğunda ve üzerindeki gerilim 60Hz ise, faz başına toplam reaktansı hesaplayınız. (D = 5 m, R = 1.24 cm) L a = ln D r = ln = H m X a = 2π = Ω m X tpl = X a 5km = 2.355Ω e 1 4 Asimetrik üç faz iletim hattının endüktansı Her iletkenin yarıçapı r aralarındaki mesafe yanda gösterildiği gibidir. λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij λ a = I a ln 1 r + I bln 1 + I c ln 1 D 13 λ b = I b ln 1 r + I aln 1 + I c ln 1 D 23 λ c = I c ln 1 r + I aln 1 D 13 + I b ln 1 D 23 21

22 Asimetrik üç faz iletim hattının endüktansı Akımlarımızın dengeli olduğunu varsayarsak: I b = I a 240 = a 2 I a I c = I a 120 = ai a λ a = I a ln 1 r + a2 I a ln 1 + ai a ln 1 D 13 λ b = ai b ln 1 + I b ln 1 r + a2 I b ln 1 D 23 λ c = a 2 I c ln 1 D 13 + ai c ln 1 D 23 + I c ln 1 r L a = λ a I a = ln 1 r + a2 ln 1 + aln 1 D 13 L b = λ b I b = aln 1 + ln 1 r + a2 ln 1 D 23 L c = λ c I c = a 2 ln 1 D 13 + aln 1 D 23 + ln 1 r Asimetrik üç faz iletim hattının endüktansı L a = λ a I a = ln 1 r + a2 ln 1 + aln 1 D 13 L b = λ b I b = aln 1 + ln 1 r + a2 ln 1 D 23 L c = λ c I c = a 2 ln 1 D 13 + aln 1 D 23 + ln 1 r Endüktans matrisi λ = ln 1 r a 2 ln 1 aln 1 D 13 aln 1 ln 1 r a 2 ln 1 D 23 a 2 ln 1 D 13 aln 1 D 23 ln 1 r I a Ib Ic Yukarıda da görüleceği gibi, asimetrik bir dizilişte faz endüktansları birbirlerine eşit olmayıp ortak empedans yüzünden sanal kısımlar ihtiva ederler. 22

23 Soru Aşağıdaki iletim hattının endüktans matrisini yazınız. İletim hattının 3 faz dengeli olduğunu varsayınız. D D 2R a b c a D b D c 2R λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij j i λ a = I a ln 1 R + I bln 1 D + I cln 1 2D I a + I b + I c = 0 λ a = I a ln 1 R + I bln 1 D + ( I a I b )ln 1 2D = I a ln 1 R ln 1 2D + I b ln 1 D ln 1 2D = I a ln 2D R + I bln2 23

24 a D b D c 2R λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij j i λ b = I b ln 1 R + I aln 1 D + I cln 1 D I a + I b + I c = 0 λ b = I b ln 1 R I bln 1 D = I b ln D R a D b D c 2R λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij j i λ c = I c ln 1 R + I aln 1 2D + I bln 1 D I a + I b + I c = 0 λ c = I c ln 1 R + ( I b I c )ln 1 2D + I bln 1 D = I c ln 1 R ln 1 2D + I b ln 1 D ln 1 2D = I c ln 2D R + I bln2 24

25 a D b D c 2R λ i = n I i ln 1 r i + j=1 I j ln 1 D ij j i λ a = λ b = I b ln D R λ c = I a ln 2D R + I bln2 I c ln 2D R + I bln2 λ = ln 2D R ln2 0 0 ln D R 0 0 ln2 ln 2D R I a I b Ic Empendans Matrisi = ln 2D R ln2 0 0 ln D R 0 0 ln2 ln 2D R İletim Hatlarında Çaprazlama (Transpozisyon) Asimetrik formasyondaki durumlarda fazlar arasındaki farklı halkalanma akıları ve dolayısıyla farklı endüktanslara sebebiyet verir. Bu durumda da dengesiz bir devre açığa çıkar. Fazlar arasındaki dengeyi yeniden eşitlemek amacı ile eşit aralıklarla iletkenleri yerlerinin birbirleri ile değiştirilmesine transpozisyon ya da çaprazlama denir. Tam bir döngüde çaprazlama döngüsünde a, b ve c diye adlandırılan iletkenler 1, 2 ve 3. pozisyonlara yerleştirilir. Çaprazlama toplam uzunluğun her 1/3 ünde yapılır. Sonuç olarak hat sonunda toplam faz endüktansları birbirine eşit olur. 25

26 İletim Hatlarında Çaprazlama (Transpozisyon) Çaprazlanmış bit iletim hattının her iletkeni tüm üç pozisyonda da bulunduğundan, faz başına endüktans bu üç değerin ortalamasını alınarak bulunabilir. Daha önce asimetrik diziliş için kullandığımız denklemleri hatırlayalım. a iletkenini inceleyelim. λ a = I a ln 1 r + a2 I a ln 1 + ai a ln 1 D 13 λ b = ai b ln 1 + I b ln 1 r + a2 I b ln 1 D 23 λ c = a 2 I c ln 1 D 13 + ai c ln 1 D 23 + I c ln 1 r İletim Hatlarında Çaprazlama (Transpozisyon) λ a1 = I a ln 1 r + a2 I a ln 1 + ai a ln 1 D 13 λ a2 = I a ln 1 r + a2 I a ln 1 D 23 + ai a ln 1 λ a3 = I a ln 1 r + a2 I a ln 1 D 13 + ai a ln 1 D 23 26

27 İletim Hatlarında Çaprazlama (Transpozisyon) λ a = λ a1 + λ a2 +λ a3 3 = I a ln 1 r a2 I a ln + ai D 23 D a ln 13 D 13 D 23 = I a ln 1 r + 1 (a2 + a)i a ln D 23 D 13 = I a ln 1 r I 1 aln D 23 D 13 3 = D 23 D 13 I a ln r = I a ln D m r Wbt/m D m = 3 D 23 D 13 İletkenler arası geometrik ortalama mesafe (GMD) L a = ln D eq r H/m ÖDEV!!! L b ve L c ve endüktans matrisi Bu noktada çaprazlama yapılmamış iletim hatlarında asimetrinin etkisinin küçük olduğunu ve endüktans hesaplamalarında çoğu zaman hattın çaprazlama yapılmış olduğu varsayıldığı belirtilmelidir. Soru 20 mt 20 mt cm Yandaki üç fazlı iletim hattının tek faz iletkenindeki kilometre başına endüktif reaktansını bulunuz. İletkenlerin tranpozisyonun yapıldığını varsayınız. (f=60hz) 38 mt r = re 1 4 = = 3.73 cm D m = 3 D 23 D 13 = = mt L = ln = H/mt X L = 2π = Ω/km 27

28 Demet İletkenler Özellikle ekstra yüksek gerilimlerde (230kV üstü) faz başına tek iletken kullanıldığı durumlarda, korona etkisi ve korona etkisi sonucu meydana gelen güç kayıpları ve daha önemlisi iletişim sistemlerinde oluşacak parazitler çok yüksek seviyelerdedir. Bu etkiler, her faz için birbirlerine fazlar arası mesafeden daha az mesafede olan iki veya daha fazla iletken kullanılarak önemli ölçüde en aza indirilir. Bu tip iletkenlere demet iletkenler adı verilir. Demetler iki, üç ya da dört iletkenden oluşur. Tipik değerler iki iletken demeti için 345kV, üç iletkenli demet için 500kV ve dört iletkenli demet için 765kV dur. 1 2 Demet İletkenlerde Halkalanma Akısı 9 10 A C 3 4 B 5 6 Yandaki dört iletken demetli iletim hattını inceleyelim. Buradaki varsayımımız akımın demet içerisindeki iletkenler arasında eşit bölündüğü olacak Öncelikle 1 numaralı iletken için halkalanma akımızı yazalım. λ 1 = I a 4 ln 1 r + ln 1 + ln 1 + ln 1 d 12 d 13 d 14 + I b 4 ln 1 d 15 + ln 1 d 16 + ln 1 d 17 + ln 1 d 18 + I c 4 ln 1 d 19 + ln 1 d ln 1 d ln 1 d 112 = I a ln 1 (r d 12 d 13 d 14 ) I bln 1 (d 15 d 16 d 17 d 18 ) I cln 1 (d 19 d 110 d 111 d 112 )

29 Demet İletkenlerde Halkalanma Akısı λ 1 = I a 4 ln 1 r + ln 1 + ln 1 + ln 1 d 12 d 13 d 14 + I b 4 ln 1 d 15 + ln 1 d 16 + ln 1 d 17 + ln 1 d 18 + I c 4 ln 1 d 19 + ln 1 d ln 1 d ln 1 d 112 = I a ln 1 (r d 12 d 13 d 14 ) I bln 1 (d 15 d 16 d 17 d 18 ) I cln 1 (d 19 d 110 d 111 d 112 ) 1 4 D s = (r d 12 d 1n ) 1 n D s = (r d 12 d 13 d 14 ) 1 4 D m = (d 15 d 1b ) 1 b D m = (d 15 d 16 d 17 d 18 ) 1 4 İletken demetinin geometrik ortalama yarıçapı (GMR) I a + I b + I c = 0 I a = I b I c Demetler arası geometrik ortalama mesafe (GMD) D AB = D AC = D BC = D λ 1 = I a ln D m D s = I a ln D D s Demet İletkenlerde Endüktans L 1 = λ I a ln D m 1 Ds (4I 1 )ln D m Ds = = = ln D m I 1 I 1 I 1 D s Her demet birbirine paralel 4 iletkenden oluşmakta: L a = L 1 4 = ln D m D s = I a ln D D s 29

30 Soru Aşağıda gösterilen üç iletken demetli üç faz iletim hattının faz başına endüktans ve reaktansını hesaplayınız. İletim hattının çaprazlanmış olduğunu ve iletkenlerin 1cm yarıçapında olduğunu varsayınız. D = 10 mt. d = 0.3 mt. f = 60 Hz Soru I a = 3I 1 r 1 = r e 4 = mt L 1 = λ I 1 ln D m 1 Ds = I 1 I 1 = ln D m D s D s = 3 r d 12 d 13 = = mt D m = 3 D 13 D 23 = = 12.6 mt L a = L 1 3 = ln D m D s = ln = H/mt X a = 2πfL a = Ω/mt 30

31 Kapasitans İletim hattındaki kapasitans, iletkenler arası gerilim farkından ortaya çıkar. İki iletkenin farklı gerilimlerde olduğunu ve aralarında da bir yalıtkan madde (hava) olduğunu düşünün! Kapasitans, yükün (q) gerilime olan oranı şeklinde verilir: C = q V F/m q = iletkenlerdeki yük V = iletkenler ararsı potansiyel farkı C = bir çift iletken arasındaki kapasitans İletim hatları her faz üzerinde zamanla değişen birer gerilim taşırlar. Bu alternatif gerilimler iletkenler üzerindeki yüklerin yukarıdaki denklem gereğince zamanla artıp çoğalmasına sebep olurlar ve bu değişim bir yüklenme akımı meydana getirir. Bu yüklenme akımı da iletim hattındaki akımı yükseltirken aynı zamanda iletim hattının güç faktörünü ve gerilim düşümünü de değiştirir. Kapasitans Bir iletim hattının kapasitansı Gauss kuralı ile bulunabilir. Gauss kuralına göre kapalı bir yüzey içerisinde kalan toplam elektrik yükü, yüzeyden geçen net elektrik akıya eşittir. Yani bir başka deyişle kapalı yüzey (A) içerisindeki toplam yük, yüzey üzerinde elektrik akı yoğunluğunun dik bileşeninin integraline eşittir: A D da = q q = yüzey içerisindeki yük D = yüzeydeki elektrik akı yoğunluğu da = yüzeye dik birim vektör Bir noktadaki elektrik akı yoğunluğu şu denklemle gösterilir: D = εe D = yüzeydeki elektrik akı yoğunluğu E = aynı noktadaki elektrik alanı şiddeti ε = bağıl yalıtkanlık (havanın yalıtkanlığı: ε 0 = F/m) 31

32 Kapasitans Elektrik akı çizgileri bir iletkenin yüzeyinden düzgün bir biçimde yüzeyde pozitif yük olacak şekilde dışarıya doğru yayılır. Bu yandaki şekille gösterilmeye çalışılmıştır. Böyle bir durumda akı yoğunluğu vektörü (D), yüzeye dik birim vektöre paralel olacak, değeri de değişmeyen bir yapıçap (r) etrafındaki patikada her zaman sabit olacaktır. O zaman integral içerisindeki denklemimiz aşağıdaki şekilde yazılabilir: DA = Q D 2πxl = ql Alan olarak iletkenimizin etrafında bir silindir düşünebiliriz. Ayrıca, Q iletken üzerindeki toplam yük olduğundan, birim uzunluktaki yük yerine ql yazılabilir. Denklemimizi 1 metrelik birim uzunluk için düzenlersek akı yoğunluğu denklemimiz şu şekli alır: D = q 2πx E = q x Kapasitans Elektrik alan şiddetini elde ettikten sonra geriye buradan iki nokta arasındaki potansiyel farka geçmek kalıyor. İki nokta arasındaki potansiyel fark (V), sayısal olarak, 1 coulomb luk bir yükü bu iki nokta arasında hareket ettirmek için gerekli olan (Joules cinsinden) iş e eşittir. Elektrik alan şiddeti (V/m cinsinden) ise bir noktadaki 1 coulomb luk yükün elektrik alan içerisindeki bir noktada üzerindeki (N/C cinsinden) kuvvettir. İki nokta arasında 1 coulomb luk yük üzerindeki (Newton cinsinden) kuvvetin integrali, bu yükün daha düşük potansiyelden daha yüksek potansiyele hareket ettirilmesi için gereken iştir ve sayısal olarak iki nokta arasındaki potansiyel farktır. D 2E D 2E D 2 V 12 = dl = dx = D 1 D 1 D 1 q x dx = q ln D 2 D 1 32

33 Tek faz iki iletkenli iletim hattının kapasitansı Bir metre uzunluğunda iki iletkenden oluşan bir iletim hattını inceleyeceğiz. İki iletken arasındaki potansiyel farkı hesaplayabilmemiz iki ön hesaplama yapmamız gerekir. 1. Öncelikle a iletkeni üzerindeki yükten dolayı oluşan ilk iletkenin yüzeyindeki bir nokta ile ikinci iletken arasındaki potansiyel fark: q a V ab,a = ln D r a 2. Daha sonra ise b iletkeni üzerindeki bir yükten kaynaklanan ikindi iletkenin yüzeyi ile birinci iletken arasındaki potansiyel fark: q b V ba,b = ln D r b Tek faz iki iletkenli iletim hattının kapasitansı 1. Öncelikle a iletkeni üzerindeki yükten dolayı oluşan ilk iletkenin yüzeyindeki bir nokta ile ikinci iletken arasındaki potansiyel fark: q a V ab,a = ln D r a 2. Daha sonra ise b iletkeni üzerindeki bir yükten kaynaklanan ikindi iletkenin yüzeyi ile birinci iletken arasındaki potansiyel fark: q b V ba,b = ln D r b q a = q b q a V ab = V ab,a + V ab,b = ln D ln D = r a r b q b q a ln D r a + ln D r b V ab = q a ln D2 r a r b V 33

34 Tek faz iki iletkenli iletim hattının kapasitansı V ab = q a ln D2 r a r b V Bahsi geçen iki iletkenin yarıçaplarının aynı olduğu düşünülürse: C ab = q a V ab = ln D2 r a r b F/m r a = r b = r C ab = πε 0 ln D r F/m Yukarıdaki denklem tek faz iki iletkenli iletim hattının kapasitansını verir. Her iletken ile toprak ya da nötr arasındaki potansiyel fark iki iletken arasındaki potansiyel farkın yarısına eşittir. O zaman tek faz iki iletkenli bir iletim hattının toprağa/nötre kapasitansı şu şekilde gösterilebilir: C n = C an = C bn = q a V ab 2 = ln D r F/m Soru Her birinin 2 cm lik yarıçapı olan iki alüminyum iletkenden oluşan 8000 V, 60 Hz tek faz bir iletim hattının iletkenleri arasındaki mesafe 1.2m dir. Bu iletim hattı 30 km olup iletim hattındaki iletkenlerin sıcaklığı 20 C dir. (Alüminyum özdireci 2.83x10-8 alınacak.) a) Bu iletim hattının kilometre başına seri direncini bulunuz. b) Bu iletim hattının kilometre başına seri endüktansını bulunuz. c) Bu iletim hattının kilometre başına paralel kapasitansını bulunuz. d) Bu iletim hattının toplam seri reaktansını bulunuz. e) Bu iletim hattının toplam paralel admitansını bulunuz. f) Bu iletim hattının toplam paralel kapasitif reaktansını bulunuz. 34

35 Soru a) Bu iletim hattının kilometre başına seri direncini bulunuz. R = ρl A = ( Ωm)(1000m) π(0.02) 2 = Ω/km b) Bu iletim hattının kilometre başına seri endüktansını bulunuz. L = ln D r = ln = H/m L km = L 1000 = = H/km Soru c) Bu iletim hattının kilometre başına paralel kapasitansını bulunuz. C = πε 0 ln D r = π( F/m) ln 1.2 = F/m 0.02 C km = C 1000 = F/km d) Bu iletim hattının toplam seri empedansını bulunuz. Z se = r + jx = r + j2πfl = j2π = j0.651 Ω/km Z se,ih = Z se 30 km = j19.53 Ω 35

36 Soru e) Bu iletim hattının toplam paralel admitansını bulunuz. Y pr = jc = j2πfc = j2π = j S/km Y pr,ih = Y pr 30 km = j S f) Bu iletim hattının toplam paralel reaktansını bulunuz. Z pr,ih = 1 Y pr,ih = j13 kω Simetrik üç faz iletim hattının kapasitansı İletkenlerin üzerindeki yüklerin toplamının 0 a eşit olduğunu varsayarsak, yani: q 1 + q q n = 0 Önceki formülümüzü süperpoze (?) edersek aşağıdaki denklem elde edilir: V ij = 1 n q k ln D kj V D ki k=1 Bu denklemi simetrik üç fazlı bir iletim hattına uygulayacağız. 36

37 Simetrik üç faz iletim hattının kapasitansı V ij = 1 n k=1 q k ln D kj D ki V ab = 1 q a ln D ab D aa + q b ln D bb D ba + q c ln D cb D ca r a = 1 q a ln D r + q bln r D ln1 = 0 Simetrik üç faz iletim hattının kapasitansı V ac = 1 q a ln D ac D aa + q b ln D bc D ba + q c ln D cc D ca = 1 q a ln D r + q cln r D V ab + V ac = 1 q a ln D r + q bln r D + 1 = 1 2q a ln D r + q b + q c ln r D q a ln D r + q cln r D q a + q b + q c = 0 q a = (q b +q c ) ln1 = 0 = 3q a ln D r V 37

38 Simetrik üç faz iletim hattının kapasitansı V ab + V ac = 3q a ln D r yazabiliriz: Dengeli üç faz gerilim için aşağıdaki denklemleri V ab = V an 0 V an 120 V ac = V an 0 V an 240 V ab + V ac = 3V an 3V an = 3q a ln D r V an = q a ln D r V C n = q a = V an ln D F/m r Çaprazlanmış asimetrik üç faz iletim hattının kapasitansı V ij = 1 k=1 V ab,1 = 1 q 2πε a ln 0 r V ab,2 = 1 q 2πε a ln D 23 0 r V ab,3 = 1 q 2πε a ln D 31 0 r V ab = 1 q 6πε a ln D 23 D 31 0 r 3 n q k ln D kj D ki + q b ln r D 21 + q c ln D 32 D 31 + q b ln r D 23 + q c ln D 31 + q b ln r D 31 + q c ln D 23 + q b ln r 3 D 23 D 31 + q c ln D 23 D 31 D 23 D 31 = 1 q a ln D m r + q b ln r D m 38

39 Çaprazlanmış asimetrik üç faz iletim hattının kapasitansı V ab = 1 q a ln D m r + q b ln r D m Aynı şekilde: V ac = 1 q a ln D m r + q c ln r D m V ab + V ac = 1 2q a ln D m r + q b ln r D m + q c ln r D m q a + q b + q c = 0 q a = (q b +q c ) V an = 1 q 2πε a ln D m 0 r V C n = q a V an = ln D m r F/m Demet İletkenlerde Kapasitans Her bir demetteki iletkenlerin, aralarındaki mesafenin demetler arası mesafeden çok daha az olduğundan, paralel olduğunu ve dolayısıyla demet başına yükün bu iletkenler arası eşit şekilde dağıldığını varsayabiliriz. Yine mesafesinin d mesafesinden çok daha büyük olduğunu düşünürsek -d veya +d yerine sadece kullanacağız. Eğer a fazındaki yüke q a dersek, a ve a iletkenlerindeki yük q a /2 olur. Bu varsayım b ve c fazlarına da uygulanırsa aşağıdaki denklemi yazabiliriz: V ab = 1 q a 2 ln r + ln d + q b 2 ln r + ln d + q c 2 ln D 23 D 31 + ln D 23 D 31 39

40 Demet İletkenlerde Kapasitans V ab,1 = 1 q a 2 ln r + ln d + q b 2 ln r + ln d + q c 2 ln D 23 + ln D 23 = 1 q D 31 D 31 2πε a ln 0 rd + q b ln rd + q D c ln D D 31 V ac,1 = 1 q a 2 ln D 31 r + ln D 31 d + q b 2 ln D 23 + ln D 23 + q c 2 r ln + ln d = 1 q D 31 D 31 2πε a ln D 31 0 rd + q b ln D 23 + q D c ln 12 rd D 31 Yukarıdaki denklemleri çaprazlamanın her 3 bölümü için yazıp toplamı alırsak elimizde aşağıdaki denklem kalır: C n = ln D m rd F/m 40